第18章分析力學(xué)基礎(chǔ)動力學(xué)普遍方程拉格朗日方程課件

問題：用虛功方程可解幾個代數(shù)未知量？看例子——平面平衡自由剛體幾個自由度？給剛體虛位移：對應(yīng)平動對應(yīng)轉(zhuǎn)動用虛功方程解決過若干問題，即，一個變分方程可對應(yīng)幾個獨立的代數(shù)方程：獨立代數(shù)方程數(shù)＝廣義坐標(biāo)數(shù)——廣義坐標(biāo)的變分——虛功表達式中廣義坐標(biāo)的變分的系數(shù)，稱為廣義力Qi可見，虛功方程等價于Qi=0(i=1,2,...,k)1問題：用虛功方程可解幾個代數(shù)未知量？看例子——平面平衡自由剛在以下（拉格朗日方程）的講解中，會用到廣義力的概念，故下面首先介紹廣義力。注2：①對應(yīng)每一個廣義坐標(biāo)，有一個廣義力；②廣義力是代數(shù)量而非矢量；③廣義力不作用在某個物體上，故也無法畫出。注1：對單個自由剛體，該組方程等同于平衡方程；對非自由質(zhì)點系，該組方程不同于平衡方程（見后面例1）。2在以下（拉格朗日方程）的講解中，會用到廣義力的概念，故下面首第18章動力學(xué)普遍方程拉格朗日方程§18-1廣義力一、廣義力的概念質(zhì)點系任一質(zhì)點坐標(biāo)可用廣義坐標(biāo)qh(h=1,2,…,k)表示：求變分，得用廣義坐標(biāo)變分表示的虛位移：該質(zhì)點上的力所作虛功：整個質(zhì)點系上所有（主動）力所作虛功：對應(yīng)第h個廣義坐標(biāo)的廣義力3第18章動力學(xué)普遍方程拉格朗日方程§18-1廣義二、廣義力的求法1.解析法——由各力及其作用點求用直角坐標(biāo)表示：2.幾何法——由虛功求質(zhì)點系虛功：若只給定第h個廣義坐標(biāo)的虛位移，其余廣義坐標(biāo)的虛位移為0，則4二、廣義力的求法1.解析法——由各力及其作用點求用直角坐標(biāo)例1（書上例17-10）解1：（解析法）建立坐標(biāo)系如圖。選1、2為廣義坐標(biāo)。各力在坐標(biāo)軸上的投影為各力作用點坐標(biāo)為代入廣義力公式（過程略，你可以再詳細些），得計算雙擺的廣義力，已知擺長各為l1、l2，重量各為W1、W2，力P。（2自由度）5例1（書上例17-10）解1：（解析法）建立坐標(biāo)系如圖。選解2：（幾何法）選1、2為廣義坐標(biāo)，對應(yīng)虛位移為1、2。①先令1≠0、2＝0，如圖（a）。所有力在此虛位移上的虛功為所以，對應(yīng)1的廣義力為6解2：（幾何法）選1、2為廣義坐標(biāo)，對應(yīng)虛位移為1、②再令2≠0、1＝0，如圖(b)。所以，對應(yīng)2的廣義力為§18-2動力學(xué)普遍方程拉格朗日是分析力學(xué)的創(chuàng)始人?；氐絼恿W(xué)問題上來。達朗貝爾原理虛位移原理動力學(xué)普遍方程拉格朗日方程分析力學(xué)的基礎(chǔ)所有力在此虛位移上的虛功為：7②再令2≠0、1＝0，如圖(b)。所以，對應(yīng)2的動力學(xué)普遍方程的思想是：對n個質(zhì)點的質(zhì)點系：動力學(xué)問題形式上的平衡問題動力學(xué)普遍方程達朗貝爾原理虛位移原理理想約束：(1)(2)或(3)或注：①上式中不一定指質(zhì)點，而一般可理解為力或力偶個數(shù)；②當(dāng)質(zhì)點系靜止時（靜平衡），，退化為虛功方程：即，對動力學(xué)問題，給系統(tǒng)加上慣性力，再應(yīng)用虛位移原理即可解題。8動力學(xué)普遍方程的思想是：對n個質(zhì)點的質(zhì)點系：動力學(xué)問題形式上例2（補充，由例12-1改，求反力）圖示系統(tǒng)。均質(zhì)滾子A、滑輪B重量和半徑均為Q和r，滾子純滾動，三角塊固定不動，傾角為，重量為G，重物重量P。試用動力學(xué)普遍方程求地面給三角塊的水平反力。分析：此題已經(jīng)由動量定理、質(zhì)心運動定理和達朗貝爾原理分別求解過。欲用動力學(xué)普遍方程求解三角塊水平反力，需解除其水平約束，研究整體，給各運動物體加慣性力和慣性力偶，但有關(guān)加速度和角加速度未知；欲求加速度和角加速度，研究整體（不去約束），加慣性力和慣性力偶，給系統(tǒng)虛位移，應(yīng)用動力學(xué)普遍方程可求。解題步驟：(一)研究整體（若求反力，需先去其約束，畫上約束力）；(二)畫主動力，并加慣性力（偶），畫運動圖；給系統(tǒng)虛位移；(三)列解方程。PQQCOAB9例2（補充，由例12-1改，求反力）圖示系統(tǒng)。均質(zhì)滾子A、滑解：I.求加速度和角加速度。①研究整體（不去約束，因后面要用虛位移原理），加慣性力和慣性力偶，如圖。其中慣性力和慣性力偶：PQQaaCCOAB②給系統(tǒng)虛位移，如圖。其中虛位移的關(guān)系：且(1)(2)③列動力學(xué)普遍方程：④將(1)、(2)式代入方程(3)，解得：從而(3)10解：I.求加速度和角加速度。①研究整體（不去約束，因后面作業(yè)：選做18-5（試用動力學(xué)普遍方程求。注意為2自由度問題）II.求地面水平反力。①研究整體，解除地面的水平約束，代之以水平反力X；加慣性力和慣性力偶，如圖。PQQaaCCOABX②給系統(tǒng)虛位移，如圖。③列動力學(xué)普遍方程：④將(1)式代入上式，解得：注：由于使用動力學(xué)普遍方程較麻煩，通常不用其直接求解動力學(xué)問題。其意義在于導(dǎo)出拉格朗日方程。11作業(yè)：選做18-5（試用動力學(xué)普遍方程求。注意為2自由度問題拉氏方程由動力學(xué)普遍方程導(dǎo)出，它秉承了動力學(xué)普遍方程不需考慮約束力的優(yōu)點。因而，對受完整約束的多自由度多剛體系統(tǒng)，比其它動力學(xué)方法簡單（特別是保守系統(tǒng)，毋需求廣義力）?！?8-3拉格朗日方程（簡介）簡稱拉氏方程。拉格朗日推導(dǎo)出兩種形式的拉氏方程，即第一類拉格朗日方程和第二類拉格朗日方程。第一類方程使用直角坐標(biāo)及約束方程（用待定乘子法），因而方程組中的方程很多；第二類方程使用廣義坐標(biāo)、廣義力及動能的概念，使方程組中的方程數(shù)大大減少（為廣義坐標(biāo)數(shù)或自由度數(shù)）。一般（此處亦如此）的拉格朗日方程均指第二類方程。一、拉格朗日方程二、保守系統(tǒng)中的拉格朗日方程其中L=T－V

稱為拉格朗日函數(shù)或動勢。(1)(2)注1：拉格朗日方程提供了k個（系統(tǒng)自由度數(shù)）（廣義坐標(biāo)的）微分方程。注2：通常用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程（特別是振動系統(tǒng)的振動微分方程），或求加速度，而不用其求速度。12拉氏方程由動力學(xué)普遍方程導(dǎo)出，它秉承了動力學(xué)普遍方程不需考慮解題步驟：(一)研究整體（一般不去約束），選廣義坐標(biāo)；(二)畫主動力，并分析速度；求拉格朗日函數(shù)或廣義力；(三)列解方程。例3（補充，例12-1）圖示系統(tǒng)。均質(zhì)滾子A、滑輪B重量和半徑均為Q和r，滾子純滾動，三角塊固定不動，傾角為，重物重量P。試用拉格朗日方程求滾子質(zhì)心加速度。系統(tǒng)為1個自由度保守系統(tǒng)，故用保守系統(tǒng)拉格朗日方程求解：分析：選廣義坐標(biāo)s

，寫任意位置下系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)（L=T－V

），由上式可寫1個方程，其中所含待求量即為所求。PQQvavCaCssCOAB此時，k=1。13解題步驟：(一)研究整體（一般不去約束），選廣義坐標(biāo)；(二)拉格朗日方程：其中則即則拉格朗日函數(shù)：解：設(shè)重物從靜止上升s，選s為廣義坐標(biāo)。在任意位置時系統(tǒng)動能：設(shè)系統(tǒng)起始位置為0勢能位置，系統(tǒng)勢能為：PQQvavCaCssCOAB14拉格朗日方程：其中則即則拉格朗日函數(shù)：解：設(shè)重物從靜止上升s例4（書例18-3，2自由度系統(tǒng)，較難）已知：均質(zhì)圓柱質(zhì)量為M，半徑r，純滾動；擺長l，不計質(zhì)量；小球視為集中質(zhì)量，質(zhì)量m。試用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程。分析：為2自由度保守系統(tǒng)。用拉氏方程求解：研究整個系統(tǒng)，選滾子轉(zhuǎn)角（注：為方便，設(shè)為如圖方向）、擺轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。為寫系統(tǒng)任意位置時的動能，需先進行速度分析。解：事實上，拉格朗日方程最拿手的還不是上面1個自由度系統(tǒng)的動力學(xué)問題，而是多自由度系統(tǒng)問題，如下例。先選廣義坐標(biāo)，再寫任意位置下系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，由上式可寫2個方程，即為所求。此時，k=2。15例4（書例18-3，2自由度系統(tǒng)，較難）已知：均質(zhì)圓柱質(zhì)量為OA作平面運動。選O為基點，A為動點，則其中，易知質(zhì)點系動能：選O點所在水平面為0勢能面，系統(tǒng)勢能為拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程：整理得非線性O(shè)DE，一般無解析解。16OA作平面運動。選O為基點，A為動點，則其中，易知質(zhì)點系動能下次課預(yù)習(xí)：第20章單自由度系統(tǒng)的振動作業(yè)：選做18-5（試用拉格朗日方程求。注意為2自由度問題）17下次課預(yù)習(xí)：第20章單自由度系統(tǒng)的振動作業(yè)：選做18-問題：用虛功方程可解幾個代數(shù)未知量？看例子——平面平衡自由剛體幾個自由度？給剛體虛位移：對應(yīng)平動對應(yīng)轉(zhuǎn)動用虛功方程解決過若干問題，即，一個變分方程可對應(yīng)幾個獨立的代數(shù)方程：獨立代數(shù)方程數(shù)＝廣義坐標(biāo)數(shù)——廣義坐標(biāo)的變分——虛功表達式中廣義坐標(biāo)的變分的系數(shù)，稱為廣義力Qi可見，虛功方程等價于Qi=0(i=1,2,...,k)18問題：用虛功方程可解幾個代數(shù)未知量？看例子——平面平衡自由剛在以下（拉格朗日方程）的講解中，會用到廣義力的概念，故下面首先介紹廣義力。注2：①對應(yīng)每一個廣義坐標(biāo)，有一個廣義力；②廣義力是代數(shù)量而非矢量；③廣義力不作用在某個物體上，故也無法畫出。注1：對單個自由剛體，該組方程等同于平衡方程；對非自由質(zhì)點系，該組方程不同于平衡方程（見后面例1）。19在以下（拉格朗日方程）的講解中，會用到廣義力的概念，故下面首第18章動力學(xué)普遍方程拉格朗日方程§18-1廣義力一、廣義力的概念質(zhì)點系任一質(zhì)點坐標(biāo)可用廣義坐標(biāo)qh(h=1,2,…,k)表示：求變分，得用廣義坐標(biāo)變分表示的虛位移：該質(zhì)點上的力所作虛功：整個質(zhì)點系上所有（主動）力所作虛功：對應(yīng)第h個廣義坐標(biāo)的廣義力20第18章動力學(xué)普遍方程拉格朗日方程§18-1廣義二、廣義力的求法1.解析法——由各力及其作用點求用直角坐標(biāo)表示：2.幾何法——由虛功求質(zhì)點系虛功：若只給定第h個廣義坐標(biāo)的虛位移，其余廣義坐標(biāo)的虛位移為0，則21二、廣義力的求法1.解析法——由各力及其作用點求用直角坐標(biāo)例1（書上例17-10）解1：（解析法）建立坐標(biāo)系如圖。選1、2為廣義坐標(biāo)。各力在坐標(biāo)軸上的投影為各力作用點坐標(biāo)為代入廣義力公式（過程略，你可以再詳細些），得計算雙擺的廣義力，已知擺長各為l1、l2，重量各為W1、W2，力P。（2自由度）22例1（書上例17-10）解1：（解析法）建立坐標(biāo)系如圖。選解2：（幾何法）選1、2為廣義坐標(biāo)，對應(yīng)虛位移為1、2。①先令1≠0、2＝0，如圖（a）。所有力在此虛位移上的虛功為所以，對應(yīng)1的廣義力為23解2：（幾何法）選1、2為廣義坐標(biāo)，對應(yīng)虛位移為1、②再令2≠0、1＝0，如圖(b)。所以，對應(yīng)2的廣義力為§18-2動力學(xué)普遍方程拉格朗日是分析力學(xué)的創(chuàng)始人。回到動力學(xué)問題上來。達朗貝爾原理虛位移原理動力學(xué)普遍方程拉格朗日方程分析力學(xué)的基礎(chǔ)所有力在此虛位移上的虛功為：24②再令2≠0、1＝0，如圖(b)。所以，對應(yīng)2的動力學(xué)普遍方程的思想是：對n個質(zhì)點的質(zhì)點系：動力學(xué)問題形式上的平衡問題動力學(xué)普遍方程達朗貝爾原理虛位移原理理想約束：(1)(2)或(3)或注：①上式中不一定指質(zhì)點，而一般可理解為力或力偶個數(shù)；②當(dāng)質(zhì)點系靜止時（靜平衡），，退化為虛功方程：即，對動力學(xué)問題，給系統(tǒng)加上慣性力，再應(yīng)用虛位移原理即可解題。25動力學(xué)普遍方程的思想是：對n個質(zhì)點的質(zhì)點系：動力學(xué)問題形式上例2（補充，由例12-1改，求反力）圖示系統(tǒng)。均質(zhì)滾子A、滑輪B重量和半徑均為Q和r，滾子純滾動，三角塊固定不動，傾角為，重量為G，重物重量P。試用動力學(xué)普遍方程求地面給三角塊的水平反力。分析：此題已經(jīng)由動量定理、質(zhì)心運動定理和達朗貝爾原理分別求解過。欲用動力學(xué)普遍方程求解三角塊水平反力，需解除其水平約束，研究整體，給各運動物體加慣性力和慣性力偶，但有關(guān)加速度和角加速度未知；欲求加速度和角加速度，研究整體（不去約束），加慣性力和慣性力偶，給系統(tǒng)虛位移，應(yīng)用動力學(xué)普遍方程可求。解題步驟：(一)研究整體（若求反力，需先去其約束，畫上約束力）；(二)畫主動力，并加慣性力（偶），畫運動圖；給系統(tǒng)虛位移；(三)列解方程。PQQCOAB26例2（補充，由例12-1改，求反力）圖示系統(tǒng)。均質(zhì)滾子A、滑解：I.求加速度和角加速度。①研究整體（不去約束，因后面要用虛位移原理），加慣性力和慣性力偶，如圖。其中慣性力和慣性力偶：PQQaaCCOAB②給系統(tǒng)虛位移，如圖。其中虛位移的關(guān)系：且(1)(2)③列動力學(xué)普遍方程：④將(1)、(2)式代入方程(3)，解得：從而(3)27解：I.求加速度和角加速度。①研究整體（不去約束，因后面作業(yè)：選做18-5（試用動力學(xué)普遍方程求。注意為2自由度問題）II.求地面水平反力。①研究整體，解除地面的水平約束，代之以水平反力X；加慣性力和慣性力偶，如圖。PQQaaCCOABX②給系統(tǒng)虛位移，如圖。③列動力學(xué)普遍方程：④將(1)式代入上式，解得：注：由于使用動力學(xué)普遍方程較麻煩，通常不用其直接求解動力學(xué)問題。其意義在于導(dǎo)出拉格朗日方程。28作業(yè)：選做18-5（試用動力學(xué)普遍方程求。注意為2自由度問題拉氏方程由動力學(xué)普遍方程導(dǎo)出，它秉承了動力學(xué)普遍方程不需考慮約束力的優(yōu)點。因而，對受完整約束的多自由度多剛體系統(tǒng)，比其它動力學(xué)方法簡單（特別是保守系統(tǒng)，毋需求廣義力）?！?8-3拉格朗日方程（簡介）簡稱拉氏方程。拉格朗日推導(dǎo)出兩種形式的拉氏方程，即第一類拉格朗日方程和第二類拉格朗日方程。第一類方程使用直角坐標(biāo)及約束方程（用待定乘子法），因而方程組中的方程很多；第二類方程使用廣義坐標(biāo)、廣義力及動能的概念，使方程組中的方程數(shù)大大減少（為廣義坐標(biāo)數(shù)或自由度數(shù)）。一般（此處亦如此）的拉格朗日方程均指第二類方程。一、拉格朗日方程二、保守系統(tǒng)中的拉格朗日方程其中L=T－V

稱為拉格朗日函數(shù)或動勢。(1)(2)注1：拉格朗日方程提供了k個（系統(tǒng)自由度數(shù)）（廣義坐標(biāo)的）微分方程。注2：通常用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程（特別是振動系統(tǒng)的振動微分方程），或求加速度，而不用其求速度。29拉氏方程由動力學(xué)普遍方程導(dǎo)出，它秉承了動力學(xué)普遍方程不需考慮解題步驟：(一)研究整體（一般不去約束），選廣義坐標(biāo)；(二)畫主動力，并分析速度；求拉格朗日函數(shù)或廣義力；(三)列解方程。例3（補充，例12-1）圖示系統(tǒng)。均質(zhì)滾子A、滑輪B重量和半徑均為Q和r，滾子純滾動，三角塊固定不動，傾角為，重物重量P。試用拉格朗日方程求滾子質(zhì)心加速度。系統(tǒng)為1個自由度保守系統(tǒng)，故用保守系統(tǒng)拉格朗日方程求解：分析：選廣義坐標(biāo)s

，寫任意位置下系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)（L=T－V

），由上式可寫1個方程，其中所含待求量即為所求。PQQvavCa