現(xiàn)代信號處理第3章課件

第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/20221機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/20222機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用頻譜是信號在頻域上的重要特征，它反映了信號的頻率成分以及分布情況。信號頻譜分析方法通常分為經(jīng)典頻譜分析和現(xiàn)代頻譜分析兩大類。經(jīng)典頻譜分析是一種非參數(shù)、線性估計(jì)方法，其理論基礎(chǔ)是信號的傅里葉變換?，F(xiàn)代頻譜分析屬于非線性參數(shù)估計(jì)方法，以隨機(jī)過程參數(shù)模型的參數(shù)估計(jì)為基礎(chǔ)。12/23/20223機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用頻譜是信號在頻域上的重3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1

傅里葉級數(shù)與離散頻譜

根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，任何周期性信號均可展開為若干簡諧信號的疊加。

(3.1.1)其中，是靜態(tài)分量,是基頻,是第次諧波(),，是第次諧波的幅值,是第次諧波的相位。12/23/20224機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1傅里葉級數(shù)3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1

傅里葉級數(shù)與離散頻譜

各系數(shù)分別為

(3.1.2)其中，是基本周期，是基頻。12/23/20225機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1傅里葉級數(shù)3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1

傅里葉級數(shù)與離散頻譜

周期信號可分為一個(gè)或幾個(gè)、乃至無窮多個(gè)諧波的迭加。

圖3.1.1周期信號的傅立葉級數(shù)分解12/23/20226機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1傅里葉級數(shù)3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1

傅里葉級數(shù)與離散頻譜傅里葉級數(shù)也可以寫成復(fù)指數(shù)函數(shù)的形式。根據(jù)歐拉公式(3.1.3)(3.1.4)(3.1.5)式(3.1.1)中可寫為(3.1.6)

其中離散頻譜(3.1.7)12/23/20227機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1傅里葉級數(shù)3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1

傅里葉級數(shù)與離散頻譜為一復(fù)數(shù)，由周期信號確定。它綜合反映了次諧波的幅值、相位及頻信息。頻率的取值范圍也擴(kuò)展到負(fù)頻率。展開系數(shù)和與正負(fù)頻率對應(yīng)。在實(shí)軸上的合成結(jié)果正好形成了代表諧波幅值的實(shí)向量，而在虛軸上的合成結(jié)果正好抵消為零。周期信號的頻譜具有離散性、諧波性和收斂性三個(gè)特點(diǎn)。圖3.1.2諧波幅值的向量分解12/23/20228機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1傅里葉級數(shù)3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.2

傅里葉變換與連續(xù)頻譜當(dāng)周期信號的周期趨于無窮大時(shí)，變成連續(xù)變量，求和符號Σ就變成積分符號∫，于是得到傅里葉積分。(3.1.8)

由于時(shí)間是積分變量，故上式括號內(nèi)積分之后僅是的函數(shù)，記作(3.1.9)(3.1.10)式(3.1.9)為的傅里葉變換，式(3.1.10)為其傅里葉逆變換，互稱為變換對。

12/23/20229機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.2傅里葉變換3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.2

傅里葉變換與連續(xù)頻譜為的連續(xù)頻譜。一般是復(fù)函數(shù)，可寫成(3.1.10)式中，||為信號的連續(xù)幅值譜，為信號的連續(xù)相位譜。非周期信號的幅值譜||和周期信號的幅值譜||很相似，但兩者是有差別的：

||的量綱與信號幅值的量綱一樣；||的量綱與信號幅值的量綱不一樣，它是單位頻帶上的幅值。稱由信號求出它的頻譜的過程為對信號作譜分析。求矩形窗函數(shù)頻譜的例子，見p45。12/23/202210機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.2傅里葉變換3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用

傅里葉變換的性質(zhì)1、線性疊加性質(zhì)若，則2、時(shí)移性質(zhì)若，則3、頻移性質(zhì)若，則4、時(shí)間伸縮性質(zhì)設(shè)，a為正實(shí)數(shù)，則5、時(shí)間微分性質(zhì)若，則6、時(shí)間積分性質(zhì)若，且，則7、卷積定理若，，則

及

12/23/202211機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用傅里葉變換的性質(zhì)13.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.3

離散傅里葉變換(DFT)離散傅里葉變換對為

正變換(3.1.15)逆變換(3.1.16)式中，是采樣值，是序列點(diǎn)數(shù)，是采樣間隔，是頻域離散值的序號，是時(shí)域離散值的序號。采樣間隔不影響離散傅里葉變換的實(shí)質(zhì)，通常略去。有正變換(3.1.17)逆變換(3.1.18)式中，。12/23/202212機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.3離散傅里葉3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.4

快速傅里葉變換(FFT)當(dāng)N=4

時(shí)，離散傅里葉變換式(3.1.17)可寫成

(3.1.19)由于和可能都是復(fù)數(shù)，若計(jì)算所有的離散值，需要進(jìn)行=16次復(fù)數(shù)乘法和次復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算。計(jì)算量將以進(jìn)行增長。以Cooley-Tukey計(jì)算序列數(shù)長(為正整數(shù))的算法來說明FFT的基本原理。將離散傅里葉變換式(3.1.17)寫成如下形式

(3.1.20)式中，12/23/202213機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.4快速傅里葉3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.4

快速傅里葉變換(FFT)

FFT先對原數(shù)據(jù)序列按奇、偶逐步進(jìn)行抽取。原始序列x0x1x2x3x4x5x6x71個(gè)長度為8的序列第一次抽取x0x2x4x6

x1x3x5x72個(gè)長度為4的序列第二次抽取x0x4

x2x6

x1x5

x3x74個(gè)長度為2的序列第三次抽取x0

x4

x2

x6

x1

x5

x3

x78個(gè)長度為1的序列N=8時(shí)的計(jì)算流程圖。逆變換的計(jì)算同理。計(jì)算量由降為

12/23/202214機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.4快速傅里葉3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.5

FFT的校正算法

當(dāng)FFT計(jì)算時(shí)，矩形窗引起能量泄漏，使得譜峰幅值變小，精度降低。1）比值校正算法通過主瓣中心兩側(cè)的兩根譜線的幅值和頻率的大小，利用窗函數(shù)的頻譜圖形，去求主瓣中心點(diǎn)A點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)

x

為主瓣中心與左譜線的距離，由窗函數(shù)的頻譜函數(shù)構(gòu)成如下函數(shù):(3.1.25)校正頻率為，校正幅值，校正相位2）峰值搜尋算法優(yōu)化，約束條件(3.1.33)取得極小值的x。12/23/202215機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.5FFT的校3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.6

確定性信號的傅里葉譜分析確定性信號的傅里葉譜是個(gè)復(fù)數(shù)，因此它包含實(shí)頻、虛頻或幅頻、相頻等信息。工程中為了方便起見，常采用以下幾種表示方法：(1)實(shí)頻特性及虛頻特性表示實(shí)頻，虛頻。(2)幅頻特性及相頻特性表示幅頻，相頻(3)幅頻、相頻率特性或奈魁斯特圖表示將視為極坐標(biāo)中的一矢量，用此矢量端點(diǎn)隨頻率而變化的軌跡來表示的幅頻、相頻率特性。傅里葉譜的幅值信息，有三種不同的表示方法。(1)幅值譜。，等權(quán)(權(quán)重均為1)譜。(2)均方譜。,變權(quán)重譜(權(quán)重取決于頻率分量幅值)。(3)對數(shù)譜。，變權(quán)重譜(權(quán)重大小不同)。12/23/202216機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.6確定性信號3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.7

功率譜密度函數(shù)功率譜密度函數(shù)反應(yīng)了信號的功率在頻域隨頻率的分布。自功率譜密度函數(shù)是信號的自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。(3.1.34)自功率譜密度函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)。自功率譜密度函數(shù)的傅里葉逆變換為。(3.1.35)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的物理意義為信號能量的度量,于信號的均方值。(3.1.36)稱為雙邊功率譜。實(shí)際中常用其單邊功率譜(3.1.37)12/23/202217機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.7功率譜密度3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.7

功率譜密度函數(shù)兩組信號和的互譜密度函數(shù)定義為互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換(3.1.38)相應(yīng)的傅里葉逆變換為(3.1.39)單邊互譜密度函數(shù)定義為(3.1.40)由于互譜密度函數(shù)是復(fù)函數(shù)，所以單邊互譜密度函數(shù)又可寫成(3.1.41)稱為共譜、協(xié)譜或余譜，稱為正交譜、方譜或重譜。12/23/202218機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.7功率譜密度第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/202219機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及3.2相干分析及應(yīng)用3.2.1

相干函數(shù)的概念相干函數(shù)分析建立在平穩(wěn)機(jī)械信號的自功率譜密度函數(shù)、和互功率譜密度函數(shù)之上。相干函數(shù)(凝聚函數(shù))的定義如下(3.2.1)相干函數(shù)是頻率的函數(shù)。它在頻域內(nèi)描述信號和的相關(guān)性。具有明確的物理意義，它反映了信號中頻率的分量在多大程度上來源于信號。一般情況下相干函數(shù)取值在0～1之間:(1)測量中存在外部噪聲；(2)譜估計(jì)中存在分辨率偏差；(3)系統(tǒng)是非線性的；(4)除了輸入信號之外還有其它輸入。12/23/202220機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.2相干分析及應(yīng)用3.2.1相干函數(shù)的概念12/203.2相干分析及應(yīng)用3.2.2

相干函數(shù)的工程應(yīng)用(1)判斷系統(tǒng)輸出與某特定輸入的相關(guān)程度。利用相干函數(shù)可發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)是否還有其它輸入干擾及系統(tǒng)的線性程度。(2)譜估計(jì)和系統(tǒng)動態(tài)特性的測量精度估計(jì)。在計(jì)算傳遞函數(shù)的幅頻特性及相頻特性時(shí)，輔以相干函數(shù)分析，可以分析出機(jī)械系統(tǒng)和基礎(chǔ)振動的傳遞特性，為結(jié)構(gòu)動態(tài)分析提供依據(jù)。

(a)輸入信號的功率譜和輸出信號的功率譜(b)幅頻特性、相頻特性和相干函數(shù)12/23/202221機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.2相干分析及應(yīng)用3.2.2相干函數(shù)的工程應(yīng)用12/第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/202222機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.3.1

頻譜細(xì)化的概念頻率分辨率由譜線數(shù)(一般是原始采樣點(diǎn)數(shù)的一半)決定。細(xì)化譜分析是在頻譜分析中用來增加頻譜中某些部分頻率分辨率的方法。

圖3.3.1頻譜細(xì)化示意圖要使頻譜的分辨率增加K倍，只要將信號的采樣點(diǎn)數(shù)N增加到KN點(diǎn)就可以實(shí)現(xiàn)。這樣使頻譜范圍內(nèi)所有的頻率分辨率都增加了K倍，相應(yīng)的代價(jià)是運(yùn)算次數(shù)的增加。所謂細(xì)化變換，即只對選定的某頻帶進(jìn)行細(xì)化。12/23/202223機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.3.1頻譜細(xì)3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.3.2

復(fù)調(diào)制細(xì)化分析的原理用采樣頻率進(jìn)行采樣，得到N點(diǎn)離散序列。細(xì)化的頻帶是中心頻率為的一個(gè)窄帶。用一個(gè)復(fù)正弦序列乘以進(jìn)行復(fù)調(diào)制，得N點(diǎn)新的離散復(fù)序列。根據(jù)傅里葉變換的頻移定理，復(fù)調(diào)制將頻率原點(diǎn)移到了頻率處。采樣頻率也移動了。

圖3.3.2復(fù)調(diào)制細(xì)化分析過程12/23/202224機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.3.2復(fù)調(diào)制3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.3.2

復(fù)調(diào)制細(xì)化分析的原理

設(shè)為原來信號抗混濾波的截止頻率，由于新的序列的頻率頻率上限可能高于原序列的奈奎斯特頻率，產(chǎn)生頻率混淆。需進(jìn)行低通濾波。得到序列。如果要進(jìn)行D倍的細(xì)化，應(yīng)保證原始信號的采樣長度為DN。對低通濾波后的復(fù)序列以采樣頻率進(jìn)行重抽樣，即每隔D個(gè)點(diǎn)抽取一個(gè)數(shù)據(jù)，得到新的長度為N的復(fù)序列,其時(shí)間跨度增長D倍，頻率分辨率也將提高了D倍。

對序列進(jìn)行FFT變換，得到中心頻率為帶寬為的細(xì)化譜。

12/23/202225機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.3.2復(fù)調(diào)制第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/202226機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.4.1

倒頻譜的數(shù)學(xué)描述定義：倒頻譜是信號的功率譜的對數(shù)值的傅里葉逆變換。

(3.4.1)倒頻譜自變量q稱為倒頻率，與自相關(guān)函數(shù)的自變量有相同的時(shí)間量綱。q值大者稱為高倒頻率，表示譜圖上的低頻波動。q值小者稱為低倒頻率，表示譜圖上的高頻波動。倒頻譜可定義為信號的功率譜的對數(shù)值的傅里葉變換。

兩種定義方法實(shí)質(zhì)一樣。因?yàn)槭菍?shí)偶函數(shù)，log也是實(shí)偶函數(shù)。其正、逆傅里葉變換相等，并且也是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)。倒頻譜是頻域函數(shù)的傅里葉再變換，是頻譜的頻譜，可以提取頻譜上的周期性分量。此外，它與相關(guān)函數(shù)量綱相同，不同之處只差對數(shù)加權(quán)。12/23/202227機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.4.13.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.4.2

倒頻譜與解卷積對于線性系統(tǒng)、、三者的關(guān)系可用卷積公式表示(3.4.2)對式(3.4.2)進(jìn)行傅里葉變換，將時(shí)域卷積變?yōu)轭l域乘積。有(3.4.3)對式(3.4.3)兩邊取對數(shù)，將乘積變?yōu)榫€性相加。有(3.4.4)對式(3.4.4)再進(jìn)一步作傅里葉逆變換，可得倒頻譜或(3.4.5)12/23/202228機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.4.23.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.4.3

倒頻譜的應(yīng)用由式(3.4.4)得到的是與的線性和。在倒頻域上由兩部分組成，低倒頻率和高倒頻率。前者表示源信號的譜特征，而后者表示系統(tǒng)特性的譜特征，它們各自在倒頻譜圖上占有不同的倒頻率位置。機(jī)械故障診斷：識別齒輪、軸承故障頻譜中多簇等間隔的調(diào)制邊頻帶。語音和回聲分析及解卷積：分離和提取源信號與傳遞系統(tǒng)影響。12/23/202229機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.4.3第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/202230機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及3.5信號調(diào)制與解調(diào)分析當(dāng)機(jī)械出現(xiàn)故障時(shí)，信號中包含的故障信息往往以調(diào)制的形式出現(xiàn)，提取調(diào)制信號的過程就是信號的解調(diào)。本節(jié)介紹常用的Hilbert解調(diào)。3.5.1

實(shí)信號的復(fù)數(shù)表示對簡單的余弦信號(其中)，可用復(fù)數(shù)形式表示為顯然有，稱為的復(fù)信號。(3.5.1)因?yàn)?，所以有，?3.5.2)其中就是的復(fù)信號。12/23/202231機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.5信號調(diào)制與解調(diào)分析當(dāng)機(jī)械出現(xiàn)故障時(shí)，信號中3.5信號調(diào)制與解調(diào)分析3.5.2

Hilbert變換設(shè)的頻譜為，由式(3.5.2)知(3.5.3)設(shè)是由濾波得到，則相應(yīng)的濾波器頻譜為(3.5.4)濾波器對應(yīng)的時(shí)間函數(shù)是

(3.5.5)任何一個(gè)實(shí)信號的復(fù)信號(解析信號)可由濾波得到(3.5.6)稱為的Hilbert變換。相當(dāng)于進(jìn)行濾波處理，濾波單位脈沖響應(yīng)為，Hilbert變換又稱為90°移相濾波。12/23/202232機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.5信號調(diào)制與解調(diào)分析3.5.2Hilbert變換3.5信號調(diào)制與解調(diào)分析3.5.3

Hilbert解調(diào)原理設(shè)窄帶調(diào)制信號，是緩慢變化的調(diào)制信號。令，是的瞬時(shí)頻率。設(shè)的Hilbert變換為。則它的解析信號為(3.5.10)解析信號的?；蛐盘柕陌j(luò)為(3.5.11)解析信號的相位為(3.5.11)解析信號相位的導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)頻率為(3.5.11)12/23/202233機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.5信號調(diào)制與解調(diào)分析3.5.3Hilbert解調(diào)第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/202234機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析隨機(jī)信號的參數(shù)模型頻譜估計(jì)的步驟可以分為以下三步:（1）對給定的隨機(jī)信號確定合理的參數(shù)模型；（2）根據(jù)信號的自相關(guān)函數(shù)估計(jì)所確定的模型的參數(shù)；（3）用估計(jì)出的模型參數(shù)計(jì)算信號的功率譜密度函數(shù)。3.6.1

譜估計(jì)原理及常見的參數(shù)模型設(shè)隨機(jī)信號是由白噪聲激勵某一確定性的線性系統(tǒng)所產(chǎn)生的。若已知白噪聲的功率和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，就可根據(jù)式(3.6.1)估計(jì)出信號的功率譜密度函數(shù)。(3.6.1)設(shè)參數(shù)模型的輸入和輸出滿足差分方程(3.6.2)系數(shù)和就是模型的參數(shù)，常數(shù)和被稱為參數(shù)模型的階數(shù)。12/23/202235機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析隨機(jī)信號3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.6.1

譜估計(jì)原理及常見的參數(shù)模型進(jìn)行變換，得到參數(shù)模型的傳遞函數(shù)為：(3.6.3)顯然，是一個(gè)有理分式。根據(jù)的不同，參數(shù)模型可分為三類：1）自回歸(Auto-regressive，AR)模型當(dāng)，模型AR(P)為(3.6.4)(3.6.5)AR模型的傳遞函數(shù)中只含有極點(diǎn)，不含有零點(diǎn)，是全極點(diǎn)模型。輸出功率譜為(3.6.7)12/23/202236機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.6.1譜估計(jì)原理3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.6.1

譜估計(jì)原理及常見的參數(shù)模型

2）滑動平均(Moving-average，MA)模型當(dāng)，模型MA(q)為(3.6.8)(3.6.9)參數(shù)模型的輸出是該時(shí)刻的輸入和以前q

個(gè)輸入的線性組合，稱為滑動平均模型，其傳遞函數(shù)中只含有零點(diǎn)，不含有極點(diǎn)，所以MA模型也叫作全零點(diǎn)模型。3）自回歸滑動平均(Auto-regressive&Moving-average，ARMA)模型若不全為零，也不全為零，則稱為自回歸滑動平均模型，記為，其中p和q為ARMA模型的階數(shù)。ARMA模型的傳遞函數(shù)既包含零點(diǎn)，又包含極點(diǎn)，所以ARMA模型也叫作極零點(diǎn)模型。所建立的模型是多項(xiàng)式的有理分式，因此得到的功率譜密度函數(shù)是頻率的連續(xù)函數(shù)。

以上3種模型適用較短的信號，對非平穩(wěn)性信號的頻譜分析也有利。12/23/202237機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.6.1譜估計(jì)原理3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.6.2

AR模型的建立

從數(shù)學(xué)逼近的角度來講，三種模型可以互相轉(zhuǎn)換。由于AR模型的參數(shù)估計(jì)可以歸結(jié)為求解一組線性方程組，計(jì)算簡單。因此，AR模型便成為研究最多且應(yīng)用最廣的一種參數(shù)模型。AR模型：(3.6.4)自相關(guān)估計(jì)(3.6.10)(3.6.11)(3.6.12)12/23/202238機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.6.2AR模型的3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.6.2

AR模型的建立令，且有得如下的規(guī)范方程(3.6.13)式(3.6.13)就是AR模型的Yule-Walker方程。由于一個(gè)p階AR模型共有個(gè)參數(shù)，即和。只要已知輸出信號的前個(gè)自相關(guān)函數(shù)，就可求出這個(gè)參數(shù)。

12/23/202239機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.6.2AR模型的3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.6.2

AR模型階次的確定AR模型建模的另一個(gè)問題就是如何選擇合適的階次p。階次的判據(jù)有1）最終預(yù)測誤差判據(jù)FPE(FinalPredictionErrorCriterion)(3.6.14)2）信息論判據(jù)AIC(Akaika’sInformationCriterion)(3.6.15)AIC準(zhǔn)則的改進(jìn)形式稱為BIC準(zhǔn)則，即(3.6.16)其中，N為數(shù)據(jù)長度，p為階次，為預(yù)測誤差的均方值。選擇判據(jù)的極小值對應(yīng)的p作為AR模型的最佳階次。經(jīng)驗(yàn)公式：數(shù)據(jù)序列長度在20~50之間，階次p可取長度的一半；當(dāng)數(shù)據(jù)序列長度在50~100之間，階次p可取長度的三分之一到一半12/23/202240機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.6.2AR模型階第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/202241機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及3.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)西安交通大學(xué)屈梁生院士提出了一種全息譜理論和分析方法。綜合考慮了振動信號幅值、頻率和相位信息，真實(shí)地反映機(jī)組振動狀態(tài)。1)全息譜基礎(chǔ)全息譜技術(shù)要求在每個(gè)測量面上安裝兩個(gè)相互垂直的位移傳感器。全息譜要求參與集成融合的各個(gè)傳感器的輸出信號必須具有高度的一致性。

讓鍵相信號觸發(fā)多通道信號采集，這樣就保證了各個(gè)通道的同步采樣，各通道信號的起始時(shí)刻就是鍵相信號的觸發(fā)時(shí)刻。全息譜方法在集成融合過程中對參數(shù)的精確性有要求。

在進(jìn)行頻域轉(zhuǎn)換后，能夠精確確定譜線的頻率、幅值和相位。這實(shí)質(zhì)上也是構(gòu)造全息譜的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。屈梁生，機(jī)械故障診斷的全息譜原理，科學(xué)出版社,200712/23/202242機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)屈梁3.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)2)二維全息譜將轉(zhuǎn)子測量截面上水平和垂直兩方向的振動信號作傅里葉變換，從中提取各主要頻率分量的頻率、幅值和相位。然后按照各主要頻率分量分別進(jìn)行合成，并將合成結(jié)果按頻率順序排列在一張譜圖上，就得到了二維全息譜。若轉(zhuǎn)子截面兩個(gè)方向(水平方向和垂直方向)振動信號中的第主要頻率分量的參數(shù)方程為：(3.7.1)其中，代表不同的主要頻率分量，。和分別為第主要頻率分量的相位，和為第主要頻率分量的幅值，為主要頻率分量旋轉(zhuǎn)頻率。第主要頻率分量的二維全息譜表示為：(3.7.2)

二維全息譜包含了轉(zhuǎn)子測量面處的頻率、幅值和相位的全部信息。

12/23/202243機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)123.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)2)二維全息譜二維全息譜構(gòu)造過程如圖所示。上圖：相互垂直安裝的X、Y方向渦流傳感器分別獲取轉(zhuǎn)子徑向振動信號。中圖：X、Y方向振動信號的頻譜。表示工頻。下圖：二維全息譜分別代表二維全息譜的旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針方向（＋）和順時(shí)針方向（－）。12/23/202244機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)123.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)2)二維全息譜

(a)振動信號頻譜

(b)二維全息譜得到轉(zhuǎn)子不同頻率分量二維全息譜橢圓旋向、大小、形狀及頻率間相互關(guān)系等信息。工頻橢圓扁：支承剛度不對稱或受力不均；橢圓較大、較園則說明轉(zhuǎn)子存在不平衡、軸瓦間隙大或轉(zhuǎn)子永久彎曲等。工頻的二倍頻圓比較大、較扁，且工頻的四倍頻橢圓扁，說明轉(zhuǎn)子存在對中不良、受力不均、基礎(chǔ)變形等。工頻的二倍頻橢圓較大、較園，說轉(zhuǎn)子存在裂紋或其它故障。

12/23/202245機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)123.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)3)三維全息譜三維全息譜顯示了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)多個(gè)測量截面上同一主要頻率分量的二維全息譜橢圓以及它們之間的相位關(guān)系，反映轉(zhuǎn)子在該主要頻率分量下的整體振動情況。三維全息譜的構(gòu)造過程如圖所示。

12/23/202246機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)123.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)3)三維全息譜參考二維全息譜的表達(dá)形式，三維全息譜可用轉(zhuǎn)子在多個(gè)測量截面的二維全息譜橢圓參數(shù)方程表示為如下的形式(3.7.3)其中，和分別代表不同的主要頻率分量和不同的測量截面，。和分別為第測量截面上第主要頻率分量的相位，和為第測量截面上第主要頻率分量的幅值，為整個(gè)軸系的旋轉(zhuǎn)頻率。整個(gè)軸系的第個(gè)主要頻率分量的三維全息譜表示為(3.7.4)這里，為測量截面總數(shù)。

12/23/202247機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)123.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)3)三維全息譜將二維全息橢圓上對應(yīng)時(shí)刻點(diǎn)用直線連接，形成創(chuàng)成線，構(gòu)成三維全息譜。下圖是轉(zhuǎn)子軸系的四截面的工頻三維全息譜。三維全息譜的形狀不相同，反映軸系轉(zhuǎn)子的振動狀態(tài)也不同?？梢苑治龊团袛噢D(zhuǎn)子的失衡大小和類型，以及失衡力分量和力偶分量的大小。若三維全息譜形狀為倒錐，兩個(gè)二維全息譜上的相位差為180°，轉(zhuǎn)子存在力偶失衡。12/23/202248機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.7全息譜理論和方法3.7.1全息譜理論和技術(shù)123.7全息譜理論和方法3.7.2全息譜方法的應(yīng)用轉(zhuǎn)子裂紋故障和50Hz信號干擾兩種情況特征區(qū)別。

(a)(b)(a)(b)12/23/202249機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.7全息譜理論和方法3.7.2全息譜方法的應(yīng)用12第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/202250機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/202251機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用頻譜是信號在頻域上的重要特征，它反映了信號的頻率成分以及分布情況。信號頻譜分析方法通常分為經(jīng)典頻譜分析和現(xiàn)代頻譜分析兩大類。經(jīng)典頻譜分析是一種非參數(shù)、線性估計(jì)方法，其理論基礎(chǔ)是信號的傅里葉變換?，F(xiàn)代頻譜分析屬于非線性參數(shù)估計(jì)方法，以隨機(jī)過程參數(shù)模型的參數(shù)估計(jì)為基礎(chǔ)。12/23/202252機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用頻譜是信號在頻域上的重3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1

傅里葉級數(shù)與離散頻譜

根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，任何周期性信號均可展開為若干簡諧信號的疊加。

(3.1.1)其中，是靜態(tài)分量,是基頻,是第次諧波(),，是第次諧波的幅值,是第次諧波的相位。12/23/202253機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1傅里葉級數(shù)3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1

傅里葉級數(shù)與離散頻譜

各系數(shù)分別為

(3.1.2)其中，是基本周期，是基頻。12/23/202254機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1傅里葉級數(shù)3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1

傅里葉級數(shù)與離散頻譜

周期信號可分為一個(gè)或幾個(gè)、乃至無窮多個(gè)諧波的迭加。

圖3.1.1周期信號的傅立葉級數(shù)分解12/23/202255機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1傅里葉級數(shù)3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1

傅里葉級數(shù)與離散頻譜傅里葉級數(shù)也可以寫成復(fù)指數(shù)函數(shù)的形式。根據(jù)歐拉公式(3.1.3)(3.1.4)(3.1.5)式(3.1.1)中可寫為(3.1.6)

其中離散頻譜(3.1.7)12/23/202256機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1傅里葉級數(shù)3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1

傅里葉級數(shù)與離散頻譜為一復(fù)數(shù)，由周期信號確定。它綜合反映了次諧波的幅值、相位及頻信息。頻率的取值范圍也擴(kuò)展到負(fù)頻率。展開系數(shù)和與正負(fù)頻率對應(yīng)。在實(shí)軸上的合成結(jié)果正好形成了代表諧波幅值的實(shí)向量，而在虛軸上的合成結(jié)果正好抵消為零。周期信號的頻譜具有離散性、諧波性和收斂性三個(gè)特點(diǎn)。圖3.1.2諧波幅值的向量分解12/23/202257機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.1傅里葉級數(shù)3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.2

傅里葉變換與連續(xù)頻譜當(dāng)周期信號的周期趨于無窮大時(shí)，變成連續(xù)變量，求和符號Σ就變成積分符號∫，于是得到傅里葉積分。(3.1.8)

由于時(shí)間是積分變量，故上式括號內(nèi)積分之后僅是的函數(shù)，記作(3.1.9)(3.1.10)式(3.1.9)為的傅里葉變換，式(3.1.10)為其傅里葉逆變換，互稱為變換對。

12/23/202258機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.2傅里葉變換3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.2

傅里葉變換與連續(xù)頻譜為的連續(xù)頻譜。一般是復(fù)函數(shù)，可寫成(3.1.10)式中，||為信號的連續(xù)幅值譜，為信號的連續(xù)相位譜。非周期信號的幅值譜||和周期信號的幅值譜||很相似，但兩者是有差別的：

||的量綱與信號幅值的量綱一樣；||的量綱與信號幅值的量綱不一樣，它是單位頻帶上的幅值。稱由信號求出它的頻譜的過程為對信號作譜分析。求矩形窗函數(shù)頻譜的例子，見p45。12/23/202259機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.2傅里葉變換3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用

傅里葉變換的性質(zhì)1、線性疊加性質(zhì)若，則2、時(shí)移性質(zhì)若，則3、頻移性質(zhì)若，則4、時(shí)間伸縮性質(zhì)設(shè)，a為正實(shí)數(shù)，則5、時(shí)間微分性質(zhì)若，則6、時(shí)間積分性質(zhì)若，且，則7、卷積定理若，，則

及

12/23/202260機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用傅里葉變換的性質(zhì)13.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.3

離散傅里葉變換(DFT)離散傅里葉變換對為

正變換(3.1.15)逆變換(3.1.16)式中，是采樣值，是序列點(diǎn)數(shù)，是采樣間隔，是頻域離散值的序號，是時(shí)域離散值的序號。采樣間隔不影響離散傅里葉變換的實(shí)質(zhì)，通常略去。有正變換(3.1.17)逆變換(3.1.18)式中，。12/23/202261機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.3離散傅里葉3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.4

快速傅里葉變換(FFT)當(dāng)N=4

時(shí)，離散傅里葉變換式(3.1.17)可寫成

(3.1.19)由于和可能都是復(fù)數(shù)，若計(jì)算所有的離散值，需要進(jìn)行=16次復(fù)數(shù)乘法和次復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算。計(jì)算量將以進(jìn)行增長。以Cooley-Tukey計(jì)算序列數(shù)長(為正整數(shù))的算法來說明FFT的基本原理。將離散傅里葉變換式(3.1.17)寫成如下形式

(3.1.20)式中，12/23/202262機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.4快速傅里葉3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.4

快速傅里葉變換(FFT)

FFT先對原數(shù)據(jù)序列按奇、偶逐步進(jìn)行抽取。原始序列x0x1x2x3x4x5x6x71個(gè)長度為8的序列第一次抽取x0x2x4x6

x1x3x5x72個(gè)長度為4的序列第二次抽取x0x4

x2x6

x1x5

x3x74個(gè)長度為2的序列第三次抽取x0

x4

x2

x6

x1

x5

x3

x78個(gè)長度為1的序列N=8時(shí)的計(jì)算流程圖。逆變換的計(jì)算同理。計(jì)算量由降為

12/23/202263機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.4快速傅里葉3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.5

FFT的校正算法

當(dāng)FFT計(jì)算時(shí)，矩形窗引起能量泄漏，使得譜峰幅值變小，精度降低。1）比值校正算法通過主瓣中心兩側(cè)的兩根譜線的幅值和頻率的大小，利用窗函數(shù)的頻譜圖形，去求主瓣中心點(diǎn)A點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)

x

為主瓣中心與左譜線的距離，由窗函數(shù)的頻譜函數(shù)構(gòu)成如下函數(shù):(3.1.25)校正頻率為，校正幅值，校正相位2）峰值搜尋算法優(yōu)化，約束條件(3.1.33)取得極小值的x。12/23/202264機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.5FFT的校3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.6

確定性信號的傅里葉譜分析確定性信號的傅里葉譜是個(gè)復(fù)數(shù)，因此它包含實(shí)頻、虛頻或幅頻、相頻等信息。工程中為了方便起見，常采用以下幾種表示方法：(1)實(shí)頻特性及虛頻特性表示實(shí)頻，虛頻。(2)幅頻特性及相頻特性表示幅頻，相頻(3)幅頻、相頻率特性或奈魁斯特圖表示將視為極坐標(biāo)中的一矢量，用此矢量端點(diǎn)隨頻率而變化的軌跡來表示的幅頻、相頻率特性。傅里葉譜的幅值信息，有三種不同的表示方法。(1)幅值譜。，等權(quán)(權(quán)重均為1)譜。(2)均方譜。,變權(quán)重譜(權(quán)重取決于頻率分量幅值)。(3)對數(shù)譜。，變權(quán)重譜(權(quán)重大小不同)。12/23/202265機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.6確定性信號3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.7

功率譜密度函數(shù)功率譜密度函數(shù)反應(yīng)了信號的功率在頻域隨頻率的分布。自功率譜密度函數(shù)是信號的自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。(3.1.34)自功率譜密度函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)。自功率譜密度函數(shù)的傅里葉逆變換為。(3.1.35)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的物理意義為信號能量的度量,于信號的均方值。(3.1.36)稱為雙邊功率譜。實(shí)際中常用其單邊功率譜(3.1.37)12/23/202266機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.7功率譜密度3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.7

功率譜密度函數(shù)兩組信號和的互譜密度函數(shù)定義為互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換(3.1.38)相應(yīng)的傅里葉逆變換為(3.1.39)單邊互譜密度函數(shù)定義為(3.1.40)由于互譜密度函數(shù)是復(fù)函數(shù)，所以單邊互譜密度函數(shù)又可寫成(3.1.41)稱為共譜、協(xié)譜或余譜，稱為正交譜、方譜或重譜。12/23/202267機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.1.7功率譜密度第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/202268機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及3.2相干分析及應(yīng)用3.2.1

相干函數(shù)的概念相干函數(shù)分析建立在平穩(wěn)機(jī)械信號的自功率譜密度函數(shù)、和互功率譜密度函數(shù)之上。相干函數(shù)(凝聚函數(shù))的定義如下(3.2.1)相干函數(shù)是頻率的函數(shù)。它在頻域內(nèi)描述信號和的相關(guān)性。具有明確的物理意義，它反映了信號中頻率的分量在多大程度上來源于信號。一般情況下相干函數(shù)取值在0～1之間:(1)測量中存在外部噪聲；(2)譜估計(jì)中存在分辨率偏差；(3)系統(tǒng)是非線性的；(4)除了輸入信號之外還有其它輸入。12/23/202269機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.2相干分析及應(yīng)用3.2.1相干函數(shù)的概念12/203.2相干分析及應(yīng)用3.2.2

相干函數(shù)的工程應(yīng)用(1)判斷系統(tǒng)輸出與某特定輸入的相關(guān)程度。利用相干函數(shù)可發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)是否還有其它輸入干擾及系統(tǒng)的線性程度。(2)譜估計(jì)和系統(tǒng)動態(tài)特性的測量精度估計(jì)。在計(jì)算傳遞函數(shù)的幅頻特性及相頻特性時(shí)，輔以相干函數(shù)分析，可以分析出機(jī)械系統(tǒng)和基礎(chǔ)振動的傳遞特性，為結(jié)構(gòu)動態(tài)分析提供依據(jù)。

(a)輸入信號的功率譜和輸出信號的功率譜(b)幅頻特性、相頻特性和相干函數(shù)12/23/202270機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.2相干分析及應(yīng)用3.2.2相干函數(shù)的工程應(yīng)用12/第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/202271機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.3.1

頻譜細(xì)化的概念頻率分辨率由譜線數(shù)(一般是原始采樣點(diǎn)數(shù)的一半)決定。細(xì)化譜分析是在頻譜分析中用來增加頻譜中某些部分頻率分辨率的方法。

圖3.3.1頻譜細(xì)化示意圖要使頻譜的分辨率增加K倍，只要將信號的采樣點(diǎn)數(shù)N增加到KN點(diǎn)就可以實(shí)現(xiàn)。這樣使頻譜范圍內(nèi)所有的頻率分辨率都增加了K倍，相應(yīng)的代價(jià)是運(yùn)算次數(shù)的增加。所謂細(xì)化變換，即只對選定的某頻帶進(jìn)行細(xì)化。12/23/202272機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.3.1頻譜細(xì)3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.3.2

復(fù)調(diào)制細(xì)化分析的原理用采樣頻率進(jìn)行采樣，得到N點(diǎn)離散序列。細(xì)化的頻帶是中心頻率為的一個(gè)窄帶。用一個(gè)復(fù)正弦序列乘以進(jìn)行復(fù)調(diào)制，得N點(diǎn)新的離散復(fù)序列。根據(jù)傅里葉變換的頻移定理，復(fù)調(diào)制將頻率原點(diǎn)移到了頻率處。采樣頻率也移動了。

圖3.3.2復(fù)調(diào)制細(xì)化分析過程12/23/202273機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.3.2復(fù)調(diào)制3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.3.2

復(fù)調(diào)制細(xì)化分析的原理

設(shè)為原來信號抗混濾波的截止頻率，由于新的序列的頻率頻率上限可能高于原序列的奈奎斯特頻率，產(chǎn)生頻率混淆。需進(jìn)行低通濾波。得到序列。如果要進(jìn)行D倍的細(xì)化，應(yīng)保證原始信號的采樣長度為DN。對低通濾波后的復(fù)序列以采樣頻率進(jìn)行重抽樣，即每隔D個(gè)點(diǎn)抽取一個(gè)數(shù)據(jù)，得到新的長度為N的復(fù)序列,其時(shí)間跨度增長D倍，頻率分辨率也將提高了D倍。

對序列進(jìn)行FFT變換，得到中心頻率為帶寬為的細(xì)化譜。

12/23/202274機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.3.2復(fù)調(diào)制第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/202275機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.4.1

倒頻譜的數(shù)學(xué)描述定義：倒頻譜是信號的功率譜的對數(shù)值的傅里葉逆變換。

(3.4.1)倒頻譜自變量q稱為倒頻率，與自相關(guān)函數(shù)的自變量有相同的時(shí)間量綱。q值大者稱為高倒頻率，表示譜圖上的低頻波動。q值小者稱為低倒頻率，表示譜圖上的高頻波動。倒頻譜可定義為信號的功率譜的對數(shù)值的傅里葉變換。

兩種定義方法實(shí)質(zhì)一樣。因?yàn)槭菍?shí)偶函數(shù)，log也是實(shí)偶函數(shù)。其正、逆傅里葉變換相等，并且也是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)。倒頻譜是頻域函數(shù)的傅里葉再變換，是頻譜的頻譜，可以提取頻譜上的周期性分量。此外，它與相關(guān)函數(shù)量綱相同，不同之處只差對數(shù)加權(quán)。12/23/202276機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.4.13.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.4.2

倒頻譜與解卷積對于線性系統(tǒng)、、三者的關(guān)系可用卷積公式表示(3.4.2)對式(3.4.2)進(jìn)行傅里葉變換，將時(shí)域卷積變?yōu)轭l域乘積。有(3.4.3)對式(3.4.3)兩邊取對數(shù)，將乘積變?yōu)榫€性相加。有(3.4.4)對式(3.4.4)再進(jìn)一步作傅里葉逆變換，可得倒頻譜或(3.4.5)12/23/202277機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.4.23.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.4.3

倒頻譜的應(yīng)用由式(3.4.4)得到的是與的線性和。在倒頻域上由兩部分組成，低倒頻率和高倒頻率。前者表示源信號的譜特征，而后者表示系統(tǒng)特性的譜特征，它們各自在倒頻譜圖上占有不同的倒頻率位置。機(jī)械故障診斷：識別齒輪、軸承故障頻譜中多簇等間隔的調(diào)制邊頻帶。語音和回聲分析及解卷積：分離和提取源信號與傳遞系統(tǒng)影響。12/23/202278機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.4.3第三章信號的頻域分析

3.1信號的頻譜和FFT算法及應(yīng)用3.2相干分析及應(yīng)用3.3頻譜細(xì)化分析(ZOOM-FFT)3.4倒頻譜(Cepstrum)分析及應(yīng)用3.5

信號調(diào)制與解調(diào)分析3.6時(shí)間序列建模與自回歸譜分析3.7全息譜理論和方法12/23/202279機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第三章信號的頻域分析3.1信號的頻譜和FFT算法及3.5信號調(diào)制與解調(diào)分析當(dāng)機(jī)械出現(xiàn)故障時(shí)，信號中包含的故障信息往往以調(diào)制的形式出現(xiàn)，提取調(diào)制信號的過程就是信號的解調(diào)。本節(jié)介紹常用的Hilbert解調(diào)。3.5.1

實(shí)信號的復(fù)數(shù)表示對簡單的余弦信號(其中)，可用復(fù)數(shù)形式表示為顯然有，稱為的復(fù)信號。(3.5.1)因?yàn)椋杂?，?3.5.2)其中就是的復(fù)信號。12/23/202280機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室3.5信號調(diào)制與解調(diào)分析當(dāng)機(jī)械出現(xiàn)故障時(shí)，信號中3.5信號調(diào)制與解調(diào)分析3.5.2

Hilbert變換設(shè)的頻譜為，由式(3.5.2)知(3.5.3)設(shè)是由濾波得到，則相應(yīng)的濾波器頻譜為(3.5.4)濾波器對應(yīng)的時(shí)間函數(shù)是

(3.5.5)任何一個(gè)實(shí)信號的復(fù)信號(解析信號)可由濾波得到(3.5.6)稱為的Hilbert變換。相當(dāng)于進(jìn)行濾波處理，濾波單位脈沖響應(yīng)為，Hilbert變換又稱為90°移相濾波。12/23/2