概率統(tǒng)計-下載課件

2022/12/231第一部分概率統(tǒng)計基礎(chǔ)知識隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)理統(tǒng)計的基本概念參數(shù)估計假設(shè)檢驗(yàn)方差分析2022/12/201第一部分概率統(tǒng)計基礎(chǔ)知識隨機(jī)事2022/12/2321.1隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其運(yùn)算條件概率全概率公式與貝葉斯公式事件的獨(dú)立性2022/12/2021.1隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及2022/12/2331.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)試驗(yàn)(簡稱“試驗(yàn)”)隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)

1.可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

2.試驗(yàn)可能結(jié)果不止一個,但能確定所有的可能結(jié)果;3.一次試驗(yàn)之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。隨機(jī)試驗(yàn)可表為E

2022/12/2031.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)試2022/12/234例1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)例：E1:

拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E3:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E4:記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；E5:在一批燈泡中任取一只，測其壽命。2022/12/204例1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)例：2022/12/2351.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算樣本空間實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為?樣本點(diǎn)試驗(yàn)的每一個結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個樣本點(diǎn),記為ω

基本事件由一個樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集2022/12/2051.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算樣本空2022/12/2361.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)事件試驗(yàn)中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機(jī)事件”,簡稱“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個子集.稱事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是A中的元素兩個特殊事件:必然事件?

、不可能事件Φ.2022/12/2061.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)事2022/12/237例1.1.2對于試驗(yàn)E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù)，以下隨機(jī)事件:?1={0，1，2，3}-----必然事件?A＝“至少出一個正面”＝{1，2，3}；而對試驗(yàn)E5：在一批燈泡中任取一只，測其壽命。

?2={x:0≤x≤

∞(小時）}。

B＝“燈泡壽命超過1000小時”＝{x:1000<x<∞(小時）}1.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算2022/12/207例1.1.2對于試驗(yàn)E2:將一枚硬幣2022/12/2381.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算事件之間的關(guān)系1.包含關(guān)系“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為ABA＝BAB且BA.2.和事件：“事件A與B至少有一個發(fā)生”，記作ABn個事件A1,A2,…,An至少有一個發(fā)生，記作3.積事件:A與B同時發(fā)生，記作AB＝ABn個事件A1,A2,…,An同時發(fā)生，記作A1A2…An2022/12/2081.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算事件之2022/12/2394.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生5.事件的互斥：AB＝表示事件A、B不能同時發(fā)生6.事件的互逆AB＝,且AB＝1.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算2022/12/2094.差事件：A－B稱為A與B的差事件,2022/12/23101.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算事件的運(yùn)算規(guī)律1、交換律：AB＝BA，AB＝BA2、結(jié)合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，

(AB)C＝(AC)(BC)4、對偶(DeMorgan)律：

2022/12/20101.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算事件2022/12/2311例1.1.3甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：1.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算2022/12/2011例1.1.3甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射2022/12/23121.1.2概率的定義及其運(yùn)算從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性。古典概型與概率若某實(shí)驗(yàn)E滿足1.有限性：樣本空間?＝{ω1,ω

2,…,ωn};2.等可能性：P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn).則稱E為古典概型也叫等可能概型。2022/12/20121.1.2概率的定義及其運(yùn)算從2022/12/2313設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個數(shù)為N(A)，以N(?)記樣本空間?中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)：(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，則

P(AB

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率:1.1.2概率的定義及其運(yùn)算2022/12/2013設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個數(shù)為N(A)2022/12/2314例1.1.4甲有三個子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?解:設(shè)A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩T是女孩N(?)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}1.1.2概率的定義及其運(yùn)算2022/12/2014例1.1.4甲有三個子女的家庭,設(shè)每2022/12/2315例1.1.5:設(shè)盒中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個球，求取到一紅一白的概率。解:設(shè)A-----取到一紅一白1.1.2概率的定義及其運(yùn)算2022/12/2015例1.1.5:設(shè)盒中有3個白球，2個2022/12/2316一般地，設(shè)盒中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是1.1.2概率的定義及其運(yùn)算2022/12/2016一般地，設(shè)盒中有N個球，其中有M個白2022/12/2317例1.1.6:將3個球隨機(jī)的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒1.1.2概率的定義及其運(yùn)算2022/12/2017例1.1.6:將3個球隨機(jī)的放入3個2022/12/2318一般地，把n個球隨機(jī)地分配到m個盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：

某班級有n個人(n365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？?1.1.2概率的定義及其運(yùn)算2022/12/2018一般地，把n個球隨機(jī)地分配到m個盒子2022/12/23191.1.2概率的定義及其運(yùn)算概率的統(tǒng)計定義事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).即：fn(A)＝nA/n.頻率的性質(zhì)(1)0≤fn(A)≤1；(2)fn(?)＝1；fn(Φ)=0(3)可加性：若AB＝Φ

，則

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).2022/12/20191.1.2概率的定義及其運(yùn)算概2022/12/2320實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時，fn(A)逐漸趨向一個穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率歷史上曾有人做過試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機(jī)會均等。實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.50051.1.2概率的定義及其運(yùn)算2022/12/2020實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時，fn2022/12/23211.1.2概率的定義及其運(yùn)算概率的加法公式對任意兩事件A、B，有P(AUB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，…，An的情形，以及：(1)互補(bǔ)性：P(ā)＝1－P(A);(2)可分性：對任意兩事件A、B，有P(B)＝P(BA)＋P(Bā).2022/12/20211.1.2概率的定義及其運(yùn)算概2022/12/2322例1.1.7某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲乙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.解:設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報1.1.2概率的定義及其運(yùn)算2022/12/2022例1.1.7某市有甲,乙,丙三種報紙2022/12/23231.1.2概率的定義及其運(yùn)算幾何概型設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為某可度量的區(qū)域?，且?中任一區(qū)域出現(xiàn)的可能性大小與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān)，則稱E為幾何概型的試驗(yàn)。且定義事件A的概率為：2022/12/20231.1.2概率的定義及其運(yùn)算幾2022/12/2324例1.1.8:蒲豐(Buffon)投針問題：平面上畫著一些平行線，他們之間的距離都是a，向此平面隨意投一長度為L的針，試求此針與任一平行線相交的概率。解:以x表示針的中點(diǎn)到最近一條平行線的距離，以θ表示針與平行線的夾角，如圖所示：顯然樣本空間為：θxa1.1.2概率的定義及其運(yùn)算2022/12/2024例1.1.8:蒲豐(Buffon)投2022/12/2325以R表示邊長為a/2與π的長方形，針與平行線相交當(dāng)且僅當(dāng)：設(shè)在R中滿足該關(guān)系的區(qū)域?yàn)镚，即圖中陰影部分，則所求概率為：x=Lsinθ/2Ra/2Gπ1.1.2概率的定義及其運(yùn)算2022/12/2025以R表示邊長為a/2與π的長方形，針2022/12/23261.1.3條件概率

思考：袋中有十只球，其中九只白球，一只紅

球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問：(1)第一個人取得紅球的概率是多少？(2)第二個人取得紅球的概率是多少？(3)若已知第一個人取到的是白球，則第二個人取到紅球的概率是多少？(4)若已知第一個人取到的是紅球，則第二個人取到紅球的概率又是多少？?2022/12/20261.1.3條件概率2022/12/23271.1.3條件概率條件概率的定義已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率，記作P(B|A)顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間?中的兩個事件，其中A含有nA個樣本點(diǎn),AB含有nAB個樣本點(diǎn)，則2022/12/20271.1.3條件概率條件概率的定2022/12/2328例1.1.9設(shè)袋中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個，取后不放回，（1）求兩次均取到紅球的概率（2）求第二次取到紅球的概率（3）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率;設(shè)A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球1.1.3條件概率2022/12/2028例1.1.9設(shè)袋中有3個白球，22022/12/2329?=ABA——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球1.1.3條件概率2022/12/2029?=ABA——第一次取到紅球,1.12022/12/23301.1.3條件概率乘法公式設(shè)P(A)>0,則:P(AB)＝P(A)P(B|A)

稱為事件A、B的概率乘法公式推廣到三個事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1).2022/12/20301.1.3條件概率乘法公式2022/12/2331例1.1.10有1張電影票需要給3個人分，每個人都想要，決定用抓鬮的方式解決，問抓鬮的先后對此方法的公平性是否有影響。解：設(shè)Ai為第i次抓鬮時取到電影票，i=1,2,3。則由此可見，抓鬮的方式是公平的！可推廣到n中抓m的情況。P=m/n2022/12/2031例1.1.10有1張電影票需要給32022/12/23321.1.4全概率公式與貝葉斯公式完備事件組事件組A1，A2，…，An(n可為∞)，稱為樣本空間?的一個完備事件組，若滿足：AnA2A1-----B----------?2022/12/20321.1.4全概率公式與貝葉斯公2022/12/23331.1.4全概率公式與貝葉斯公式全概率公式事件組A1，A2，…，An為樣本空間?的一個完備事件組，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件B∈?有：AnA2A1-----B----------?2022/12/20331.1.4全概率公式與貝葉斯公2022/12/2334例1.1.11市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。B2022/12/2034例1.1.11市場上有甲、乙、丙三家2022/12/2335解：設(shè)A1——從甲袋放入乙袋的是白球；

A2——從甲袋放入乙袋的是紅球；

B——從乙袋中任取一球是紅球；甲乙例1.1.12有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個白球．這六個球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？2022/12/2035解：設(shè)A1——從甲袋放入乙袋的是白球2022/12/23361.1.4全概率公式與貝葉斯公式貝葉斯公式上例中，若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？?事件組A1，A2，…，An為樣本空間?的一個完備事件組，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件B∈?有：2022/12/20361.1.4全概率公式與貝葉斯公2022/12/2337稱為貝葉斯公式。例1.1.13用血清甲胎蛋白法診斷肝癌，試驗(yàn)反應(yīng)有陰性和陽性兩種結(jié)果。當(dāng)被診斷者患肝癌時，其反應(yīng)為陽性的概率為0.95；當(dāng)被診斷者未患肝癌時，其反應(yīng)為陰性的概率為0.9。根據(jù)記錄，某地人群中肝癌的患病率為0.0004，現(xiàn)有一人的試驗(yàn)反應(yīng)為陽性，問此人確實(shí)患肝癌的概率?2022/12/2037稱為貝葉斯公式。例1.1.13用血清2022/12/2338解：設(shè)A1——患肝癌；

A2——未患肝癌；

B——反應(yīng)為陽性；則：根據(jù)貝葉斯公式，有所求概率為：表明還需要通過綜合考慮其他方面才能確診?。?！2022/12/2038解：設(shè)A1——患肝癌；根據(jù)貝葉斯公式2022/12/23391.1.5事件的獨(dú)立性兩個事件獨(dú)立的定義設(shè)A、B是兩事件，P(A)≠0,若

P(B)＝P(B|A)?

P(AB)＝P(A)P(B)

則稱事件A與B相互獨(dú)立（即A的發(fā)生與否對B毫無影響）。定理以下四件事等價：(1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立；(3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)事件A、B相互獨(dú)立。2022/12/20391.1.5事件的獨(dú)立性兩個2022/12/23401.1.5事件的獨(dú)立性多個事件獨(dú)立的定義若三個事件A、B、C滿足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),則稱事件A、B、C相互獨(dú)立。2022/12/20401.1.5事件的獨(dú)立性多個2022/12/23411.1.5事件的獨(dú)立性推廣：一般地，設(shè)A1，A2，…，An是n個事件，如果對任意k(1≤k≤n),任意的1≤i1<i2

<…<ik≤n，具有等式：

P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)

則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立。2022/12/20411.1.5事件的獨(dú)立性推廣2022/12/23421.1.5事件的獨(dú)立性事件獨(dú)立性的應(yīng)用1、加法公式的簡化：若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立,則：2、在可靠性理論上的應(yīng)用2022/12/20421.1.5事件的獨(dú)立性事件2022/12/23431.2隨機(jī)變量隨機(jī)變量的概念離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量正態(tài)分布2022/12/20431.2隨機(jī)變量隨機(jī)變量的概念2022/12/23441.2.1隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量

設(shè)?={ω}是試驗(yàn)的樣本空間，如果量X是定義在?上的一個單值實(shí)值函數(shù)即對于每一個ω

?，有一實(shí)數(shù)X=X(ω)與之對應(yīng)，則稱X為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用X、Y、Z或、等表示。通俗地說，每一個樣本點(diǎn)可以數(shù)量化，每次試驗(yàn)的結(jié)果在未結(jié)束前是個未知變量，而且取值具有隨機(jī)性。隨機(jī)變量的特點(diǎn):(1)X的全部可能取值是互斥且完備的(2)X的部分可能取值描述隨機(jī)事件2022/12/20441.2.1隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量2022/12/2345?請舉幾個實(shí)際中隨機(jī)變量的例子例1.2.1引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件：(1)將3個球隨機(jī)放入三個格子中，記空格子數(shù)為X：事件A={有1個空格}={X=1}，B={全有球}={X=0}。(2)進(jìn)行5次試驗(yàn)，記試驗(yàn)成功次數(shù)為Y：事件C={試驗(yàn)成功一次}={Y=1}，D={試驗(yàn)至少成功一次}={Y≥1}(3)擲1次硬幣，觀察正反面。記正面為1，反面為02022/12/2045?請舉幾個實(shí)際中隨機(jī)變量的例子例1.2022/12/23461.2.1隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的分類

隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)X是隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)x，事件{X≤x}的概率P{X≤x}稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即

F(x)＝P{X≤x}.

易知，對任意實(shí)數(shù)a,b(a<b),P{a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝F(b)－F(a).

2022/12/20461.2.1隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的分2022/12/23471.2.1隨機(jī)變量的概念分布函數(shù)的性質(zhì)(1)單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)≤F(x2);(2)歸一性：對任意實(shí)數(shù)x，0≤F(x)≤1，且(4)對任意實(shí)數(shù)a,b(a<b),P{a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝F(b)－F(a).

具有(1~3)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。(3)右連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù)x，2022/12/20471.2.1隨機(jī)變量的概念分布函數(shù)的性2022/12/2348當(dāng)x<0時,F(x)=0;當(dāng)x>1時,F(x)=1當(dāng)0≤x≤1時,特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1例1.2.2向[0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).假定質(zhì)點(diǎn)落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù)解：F(x)=P{X≤x}

1.2.1隨機(jī)變量的概念2022/12/2048當(dāng)x<0時,F(x)=0;當(dāng)x>1時2022/12/23491.2.2離散型隨機(jī)變量定義

若隨機(jī)變量X取值x1,x2,…,xn,…而且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機(jī)變量，而稱

P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)為X的分布律(列)或概率分布。也可表為:X

x1 x2

…

xK …

P

p1 p2 … pk …2022/12/20491.2.2離散型隨機(jī)變量定義X2022/12/23501.2.2離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1.2.3設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解k可取值0，1，22022/12/20501.2.2離散型隨機(jī)變量分布律的2022/12/23511.2.2離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)

一般地，對離散型隨機(jī)變量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀!2022/12/20511.2.2離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)2022/12/2352解

X012P0.10.60.3例1.2.4設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表:試求出X的分布函數(shù)。1.2.2離散型隨機(jī)變量2022/12/2052解X012P02022/12/2353兩點(diǎn)(0-1)分布

若隨機(jī)變量X的取值為0,1兩個值，分布律為：

P{X＝0}=q=1-p,P{X＝1}=p則稱X服從(0－1)分布(兩點(diǎn)分布)

1.2.2離散型隨機(jī)變量幾個常用的離散型分布2022/12/2053兩點(diǎn)(0-1)分布1.2.2離散2022/12/23542.貝努里(Bernoulli)概型與二項(xiàng)分布設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn).

若以X表示n重貝努里試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記作X~B（n,p)

其分布律為：1.2.2離散型隨機(jī)變量2022/12/20542.貝努里(Bernoulli)概型2022/12/2355解:(1)由題意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:例1.2.5從某大學(xué)到火車站途中有6個交通崗,假設(shè)在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.2022/12/2055解:(1)由題意,X~B(6,1/32022/12/23563.泊松(Poisson)分布P(λ)

若隨機(jī)變量X的分布律為：1.2.2離散型隨機(jī)變量P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布。記作X~P（λ)

泊松定理設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

即可認(rèn)為X~P（λ)2022/12/20563.泊松(Poisson)分布P(λ2022/12/2357泊松定理表明：泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布1.2.2離散型隨機(jī)變量2022/12/2057泊松定理表明：泊松分布是二項(xiàng)分布的極2022/12/2358解

設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)，則X～B(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…取λ=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有：例1.2.6某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.2022/12/2058解設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命2022/12/2359解:由題意,例1.2.7設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。2022/12/2059解:由題意,例1.2.7設(shè)某國每對夫2022/12/23601.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

對于隨機(jī)變量X，若存在(-∞，+∞)上的非負(fù)函數(shù)f(x)，使對任意實(shí)數(shù)x，都有：概率密度則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).2022/12/20601.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量對于隨機(jī)2022/12/2361密度函數(shù)的幾何意義為2022/12/2061密度函數(shù)的幾何意義為2022/12/2362

(1)

非負(fù)性

f(x)0，(-<x<)；

(2)歸一性性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；

1.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)(3)若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則2022/12/2062(1)非負(fù)性f(x)0，(-2022/12/23631.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量(4)對任意實(shí)數(shù)b，若X～f(x)，(-<x<)，則:P{X=b}＝0。(5)2022/12/20631.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量(4)對任2022/12/23641.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量幾個常用的連續(xù)型分布1.

均勻分布若X的分布密度為：則稱X在(a,b)內(nèi)服從均勻分布。記作X~U(a,b)

對任意實(shí)數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有2022/12/20641.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量幾個常用的連2022/12/23651545解：設(shè)A—乘客候車時間超過10分鐘X—乘客于某時X分鐘到達(dá)，則XU(0,60)例1.2.8長途汽車起點(diǎn)站于每時的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時間超過10分鐘的概率2022/12/20651545解：設(shè)A—乘客候車時間超過12022/12/23662.

指數(shù)分布

若X的分布密度為：則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布，記為：X~exp(λ)。其分布函數(shù)為1.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量2022/12/20662.指數(shù)分布則稱X服從參數(shù)為>02022/12/2367解例1.2.9電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？2022/12/2067解例1.2.9電子元件的壽命X(年）2022/12/2368

正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。3.正態(tài)分布--高斯(Gauss)分布1.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的分布密度為：其中為實(shí)數(shù)，

>0，則稱X服從參數(shù)為

,2的正態(tài)分布,記為：X～N(,2).2022/12/2068正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最2022/12/23691.2.4正態(tài)分布正態(tài)分布的特性

(1)單峰對稱密度曲線關(guān)于直線x=對稱；

f()＝maxf(x)＝.(2)的大小直接影響概率分布越大，曲線越平坦；越小，曲線越陡峭。2022/12/20691.2.4正態(tài)分布正態(tài)分布的特性(2022/12/2370

參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作：X~N(0,1)。1.2.4正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布2022/12/2070參數(shù)＝0，2＝1的正2022/12/23711.2.4正態(tài)分布性質(zhì)(1)密度函數(shù)(2)分布函數(shù)(3)(x)＝1－(－x)；(4)若X～N(,2)，則一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。2022/12/20711.2.4正態(tài)分布性質(zhì)(1)密度函數(shù)2022/12/23721.2.4正態(tài)分布性質(zhì)(1)密度函數(shù)(2)分布函數(shù)(3)(x)＝1－(－x)；(4)若X～N(,2)，則2022/12/20721.2.4正態(tài)分布性質(zhì)(1)密度函數(shù)2022/12/2373例1.2.10

(1)Z~N(0，1):Φ(0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)

=0.9925-0.9066(2)X~N(μ,σ2):P{-3σ<X-μ<

3σ}=Φ(3)-Φ(-3)=2Φ(3)-1=0.99731.2.4正態(tài)分布上式稱為3

原則.在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P{|X|≤3}≈1，忽略P{|X|>3}的值.如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值±3作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報.表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常.2022/12/2073例1.2.101.2.4正態(tài)分布上2022/12/2374解:設(shè)Y為使用的最初90小時內(nèi)損壞的元件數(shù),故則Y~B(3,p)其中例1.2.11一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時）服從正態(tài)分布Ｎ(100,225),某儀器上裝有3個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨(dú)立的.求：使用的最初90小時內(nèi)無一元件損壞的概率.

1.2.4正態(tài)分布2022/12/2074解:設(shè)Y為使用的最初90小時內(nèi)損壞的2022/12/2375隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差幾個常見分布的期望與方差隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)大數(shù)定律中心極限定理1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征2022/12/2075隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差1.32022/12/2376引例：設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計成績及得分人數(shù)如下表所示：分?jǐn)?shù)4060708090100總?cè)藬?shù)人數(shù)169157240則學(xué)生的平均成績是總分÷總?cè)藬?shù)。即數(shù)學(xué)期望——描述隨機(jī)變量取值的平均特征1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差數(shù)學(xué)期望的定義2022/12/2076引例：設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)2022/12/23771.3.1隨機(jī)變量的期望與方差數(shù)學(xué)期望的定義若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…n,....則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。函數(shù)Y=g(X)的期望E(g(X))為2022/12/20771.3.1隨機(jī)變量的期望與方差2022/12/23781.3.1隨機(jī)變量的期望與方差數(shù)學(xué)期望的定義為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望若X~f(x),-<x<,則稱若X~f(x),-<x<,則Y=g(X)的期望2022/12/20781.3.1隨機(jī)變量的期望與方差2022/12/2379例1.3.1擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望。1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差例1.3.2設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求隨機(jī)變量Y=aX+b的數(shù)學(xué)期望(其中a>0)2022/12/2079例1.3.1擲一顆均勻的骰子2022/12/2380解:設(shè)乘客于某時X分到達(dá)車站,候車時間為Y,則=10分25秒例1.3.3長途汽車起點(diǎn)站于每時的10分、30分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客的平均候車時間2022/12/2080解:設(shè)乘客于某時X分到達(dá)車站,候車時2022/12/23811.3.1隨機(jī)變量的期望與方差數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.E(c)=c,c為常數(shù);2.E(cX)=cE(X),c為常數(shù);4.若X與Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y).3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)推廣：E(aX+b)=aE(X)+b2022/12/20811.3.1隨機(jī)變量的期望與方差2022/12/2382例1.3.4若X~B(n,p),求E(X)1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差例1.3.5設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,...,Xn服從N(μ,σ2)分布，求隨機(jī)變量:的數(shù)學(xué)期望2022/12/2082例1.3.4若X~B(n,p),求E2022/12/2383方差是衡量隨機(jī)變量取值波動程度的一個數(shù)字特征。1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差方差的定義

若E(X),E(X2)存在,則稱E[X-E(X)]2=E(X)2–[E(X)]2

為隨機(jī)變量X的方差，記為D(X)或Var(X).稱 為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差方差的性質(zhì)(1)D(c)=0(2)D(aX)=a2D(X),a為常數(shù)；(3)若X，Y獨(dú)立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y);2022/12/2083方差是衡量隨機(jī)變量取值波動程度的一2022/12/23841.3.1隨機(jī)變量的期望與方差推廣：若X，Y獨(dú)立，則

D(X-Y)=D(X)+D(Y)D(aX+bY+c)=a2D(X)+b2D(Y)2022/12/20841.3.1隨機(jī)變量的期望與方差2022/12/2385求D（X）1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差例1.3.6設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為2022/12/2085求D（X）1.3.1隨機(jī)變量的2022/12/23861.3.2幾個常見分布的期望與方差0-1分布EX=p,E(X2)=p,DX=pq二項(xiàng)分布B(n,p)2022/12/20861.3.2幾個常見分布的期望與方差02022/12/23871.3.2幾個常見分布的期望與方差二項(xiàng)分布B(n,p)2022/12/20871.3.2幾個常見分布的期望與方差二2022/12/23881.3.2幾個常見分布的期望與方差泊松分布X~P(λ)2022/12/20881.3.2幾個常見分布的期望與方差泊2022/12/23891.3.2幾個常見分布的期望與方差均勻分布U(a,b)2022/12/20891.3.2幾個常見分布的期望與方差均2022/12/23901.3.2幾個常見分布的期望與方差指數(shù)分布X~exp(λ)2022/12/20901.3.2幾個常見分布的期望與方差指2022/12/23911.3.2幾個常見分布的期望與方差正態(tài)分布N(μ,σ2)2022/12/20911.3.2幾個常見分布的期望與方差正2022/12/23921.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差定義

若隨機(jī)變量X和Y的期望E(X)、E(Y)存在,則稱：

COV(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}為X與Y的協(xié)方差,易見：

COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y)當(dāng)COV(X,Y)=0時，稱X與Y不相關(guān)。X與Y不相關(guān)是X與Y獨(dú)立的必要條件。2022/12/20921.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差2022/12/23931.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差性質(zhì)

(1)COV(X,Y)=COV(Y,X);(2)COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0(3)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b為常數(shù)

(4)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y).2022/12/20931.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差2022/12/23941.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)定義若X，Y的方差和協(xié)方差均存在,且DX>0,DY>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù).

注：若記稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化，易知EX*=0，DX*=1.且2022/12/20941.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系2022/12/23951.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)

(1)|XY|1；

(2)|XY|=1存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1；

(3)X與Y不相關(guān)XY=0;

矩1.K階原點(diǎn)矩

Ak=E(Xk),k=1,2,…而E(|X|k)稱為X的K階絕對原點(diǎn)矩；2.K階中心矩

Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…而E|X-E(X)|k稱為X的K階絕對中心矩；2022/12/20951.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系2022/12/23961.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)

(1)|XY|1；

(2)|XY|=1存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1；

(3)X與Y不相關(guān)XY=0;

矩1.K階原點(diǎn)矩

Ak=E(Xk),k=1,2,…而E(|X|k)稱為X的K階絕對原點(diǎn)矩；2.K階中心矩

Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…而E|X-E(X)|k稱為X的K階絕對中心矩；2022/12/20961.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系2022/12/2397

設(shè)X1，…,Xn為n個隨機(jī)變量,記cij=cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.則稱由cij組成的矩陣為隨機(jī)變量X1，…,Xn的協(xié)方差矩陣C。即1.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差矩陣2022/12/2097設(shè)X1，…,Xn為n2022/12/2398

若隨機(jī)變量X的期望和方差存在，則對任意0，有這就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。

它有以下等價的形式：切比雪夫不等式1.3.4大數(shù)定律2022/12/2098若隨機(jī)變量X的期望和方差存在，則2022/12/23991.3.4大數(shù)定律2022/12/20991.3.4大數(shù)定律2022/12/23100解:由切比雪夫不等式令1.3.4大數(shù)定律例1.3.6已知某種股票每股價格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，求a,使股價超過1+a元或低于1-a元的概率小于10%。2022/12/20100解:由切比雪夫不等式令1.3.42022/12/23101依概率收斂1.3.4大數(shù)定律設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，若任給>0,使得：則稱{Xn}依概率收斂于X.可記為2022/12/20101依概率收斂1.3.4大數(shù)定律2022/12/23102如意思是:當(dāng)a而意思是:時,Xn落在內(nèi)的概率越來越大.,當(dāng)1.3.4大數(shù)定律2022/12/20102如意思是:當(dāng)a而意思是:時,Xn落2022/12/23103依概率收斂1.3.4大數(shù)定律設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，若任給>0,使得：則稱{Xn}依概率收斂于X.可記為2022/12/20103依概率收斂1.3.4大數(shù)定律2022/12/23104設(shè){Xk,k=1,2,...}為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且有相同的數(shù)學(xué)期望，及方差2>0，則即若任給>0,使得1.3.4大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律2022/12/20104設(shè){Xk,k=1,2,...}為獨(dú)2022/12/23105證明:由切比雪夫不等式這里故2022/12/20105證明:由切比雪夫不等式這里故2022/12/23106設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，記fn為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率，則證明:設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則由切比雪夫大數(shù)定理1.3.4大數(shù)定律伯努里大數(shù)定律2022/12/20106設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中2022/12/23107

若{Xk,k=1.2,...}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,EXk=<,k=1,2,…則推論:若{Xi,i=1.2,...}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,E(X1k)=<,則1.3.4大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律2022/12/20107若{Xk,k=1.22022/12/23108

設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，其對應(yīng)的分布函數(shù)分別為Fn(x),F(x).若在F(x)的連續(xù)點(diǎn)，有則稱{Xn}依分布收斂于X.可記為1.3.5中心極限定理依分布收斂2022/12/20108設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序2022/12/23109

設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，若EXk=<，DXk=2≠0，k=1,2,…,則{Xn}滿足：1.3.5中心極限定理獨(dú)立同分布中心極限定理(Levy-Lindeberg)根據(jù)上述定理，當(dāng)n充分大時實(shí)際上，當(dāng)n充分大時，Xi對總和的影響既均勻又微小2022/12/20109設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)2022/12/23110解:設(shè) Xk為第k次擲出的點(diǎn)數(shù),k=1,2,…,100,則X1,…,X100獨(dú)立同分布.由中心極限定理例1.3.7將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少？1.3.5中心極限定理2022/12/20110解:設(shè) Xk為第k次擲出的點(diǎn)數(shù),2022/12/23111

設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，若EXk=<，DXk=2≠0，k=1,2,…,則{Xn}滿足：1.3.5中心極限定理獨(dú)立同分布中心極限定理(Levy-Lindeberg)根據(jù)上述定理，當(dāng)n充分大時實(shí)際上，當(dāng)n充分大時，Xi對總和的影響既均勻又微小2022/12/20111設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)2022/12/23112設(shè)隨機(jī)變量n(n=1,2,...)服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則證明:設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則由中心極限定理,結(jié)論得證1.3.5中心極限定理德莫佛-拉普拉斯中心極限定理2022/12/20112設(shè)隨機(jī)變量n(n=1,2,.2022/12/231131.3.5中心極限定理例1.3.8在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險，每人每年付12元保險費(fèi)。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元，問：

(1)保險公司虧本的概率有多大？

(2)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不少于60000元，賠償金至多可設(shè)為多少？2022/12/201131.3.5中心極限定理例1.32022/12/23114解：

設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則X~B(n,p),其中：n=10000，p=0.6%，np=60,npq=59.64設(shè)Y表示保險公司一年的利潤，

Y=10000*12-1000X于是由中心極限定理

(1)P{Y<0}=P{10000*12-1000X<0}=1P{X120}1(7.75)=0;1.3.5中心極限定理2022/12/20114解：設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則2022/12/23115P{Y>60000}=P{10000*12-aX>60000}=P{X60000/a}0.9;（2）設(shè)賠償金為a元，則令由中心極限定理,上式等價于1.3.5中心極限定理2022/12/20115P{Y>60000}=P{10002022/12/23116隨機(jī)樣本抽樣分布1.4數(shù)理統(tǒng)計的基本概念2022/12/201161.4數(shù)理統(tǒng)計的基本概念2022/12/23117

1.總體----研究對象的全體。通常指研究對象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)全體。

組成總體的元素稱為個體。

從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機(jī)變量或隨機(jī)變量的分布。1.4.1隨機(jī)樣本總體與樣本2.樣本：來自總體的部分個體X1，…

，Xn

如果滿足：(1)同分布性：

Xi，i=1,…,n與總體X同分布.2022/12/201171.總體----研究對象的全2022/12/231181.4.1隨機(jī)樣本

(2)獨(dú)立性：

X1，…

，Xn

相互獨(dú)立；則稱為容量為n的簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本。而稱X1，…

，Xn

的一次實(shí)現(xiàn)為樣本觀察值，記為x1，…

，xn

簡單隨機(jī)樣本來自于簡單隨機(jī)抽樣試驗(yàn)，特點(diǎn)：

(1)每次抽樣中，各個個體被抽到的機(jī)會均等

(2)每次抽樣前，總體成分保持不變樣本容量n相對于總體容量N而言是極小的，在試驗(yàn)中，不放回抽樣可近似認(rèn)為是有放回抽樣。2022/12/201181.4.1隨機(jī)樣本(2)2022/12/231193.總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體樣本樣本觀察值？理論分布統(tǒng)計是從手中已有的資料——樣本觀察值，去推斷總體的情況——總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體1.4.1隨機(jī)樣本2022/12/201193.總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總2022/12/23120統(tǒng)計量的定義抽樣分布常用統(tǒng)計量及其分布1.4.2抽樣分布2022/12/20120統(tǒng)計量的定義1.4.2抽樣2022/12/231211.4.2抽樣分布統(tǒng)計量的定義

如果樣本X1,…,Xn的函數(shù)g(X1，…，Xn)不含未知參數(shù)，則稱g(X1，…，Xn)是總體X的一個統(tǒng)計量.

如：2022/12/201211.4.2抽樣分布統(tǒng)計量的定2022/12/231221.4.2抽樣分布三大抽樣分布

統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計中常用到如下三個分布：

2—分布、t

—分布和F—分布。

1

2—分布2022/12/201221.4.2抽樣分布三大抽樣分2022/12/23123(2)2—分布的密度函數(shù)f(x)曲線1.4.2抽樣分布2022/12/20123(2)2—分布的密度函數(shù)f(2022/12/23124(3)臨界點(diǎn)

設(shè)X

~2(n)，若對于：0<<1，存在滿足則稱為分布的臨界點(diǎn)。1.4.2抽樣分布2022/12/20124(3)臨界點(diǎn)滿足則稱為分布2022/12/23125實(shí)際應(yīng)用中，常常將滿足：的點(diǎn)稱為分布的上側(cè)臨界點(diǎn)。1.4.2抽樣分布而將滿足：的點(diǎn)分布的下側(cè)臨界點(diǎn)。稱為2022/12/20125實(shí)際應(yīng)用中，常常將滿足：的點(diǎn)稱為分2022/12/23126使得：對于不同的n和a,和1.4.2抽樣分布可查χ2分布表得到。(4)性質(zhì):分布可加性:

若X~2(n1),Y~2(n2),X與Y獨(dú)立,則X

+

Y

~2(n1+n2)

期望與方差:

若X~2(n)，則E(X)=n，D(X)=2n2022/12/20126使得：對于不同的n和a,和1.4.2022/12/231271.4.2抽樣分布三大抽樣分布2

t—分布(1)定理：若~N(0,1),~2(n),與獨(dú)立，則t(n)稱為自由度為n的t—分布。(2)t(n)

的概率密度為:2022/12/201271.4.2抽樣分布三大抽樣分2022/12/231281.4.2抽樣分布(3)基本性質(zhì):f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對稱。f(t)的極限為N(0，1)的密度函數(shù)，即

表明：當(dāng)n比較大時(n≥30),可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布代替t分布2022/12/201281.4.2抽樣分布(3)基本2022/12/23129(4)臨界點(diǎn)設(shè)T～t(n)，若對:0<<1,存在t(n)>0，滿足：

P{-t(n)≤T≤t(n)}=1-，則稱t(n)為t(n)的臨界點(diǎn)1.4.2抽樣分布2022/12/20129(4)臨界點(diǎn)1.4.2抽樣分2022/12/231301.4.2抽樣分布三大抽樣分布3

F—分布(1)定理：若X~χ2(n1)，Y~χ2(n2)，X與Y獨(dú)立，則稱為第一自由度為n1

，第二自由度為n2的F—分布。其概率密度為2022/12/201301.4.2抽樣分布三大抽樣分2022/12/23131(2)F-分布的臨界點(diǎn)1.4.2抽樣分布

對于：0<<1，若存在F/2(n1,n2)>0，滿足：

P{FF/2(n1,n2)}=/2，則稱F/2(n1,n2)為F分布的上側(cè)臨界點(diǎn)；

對于：0<<1，若存在F1-/2(n1,n2)>0，滿足：

P{FF1-/2(n1,n2)}=1-/2，則稱F1-/2(n1,n2）為F分布的下側(cè)臨界點(diǎn)；總之，使得：

P{F1-/2(n1,n2)≤F≤F/2(n1,n2)}=1-2022/12/20131(2)F-分布的臨界點(diǎn)1.4.22022/12/23132(3)F-分布的性質(zhì)1.4.2抽樣分布證明:設(shè)F~F(n1,n2),則2022/12/20132(3)F-分布的性質(zhì)1.4.22022/12/231331.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計量及其分布1

樣本均值證明:由于n個獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合,仍然服從正態(tài)分布2022/12/201331.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計量2022/12/231341.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計量及其分布2

樣本方差定理4證明提示:2022/12/201341.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計量2022/12/231351.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計量及其分布2

樣本方差2022/12/201351.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計量2022/12/231361.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計量及其分布3

樣本矩2022/12/201361.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計量2022/12/23137點(diǎn)估計估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間估計正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計1.5參數(shù)估計

參數(shù)估計問題是一類統(tǒng)計推斷問題，指的是在處理實(shí)際問題時，采用抽樣的方法，從獲取的樣本數(shù)據(jù)中提取有用的信息，來對總體的情況進(jìn)行推斷，主要指的是對分布形式已知的總體中的某些未知參數(shù)的估計問題。主要內(nèi)容：2022/12/20137點(diǎn)估計1.5參數(shù)估計2022/12/23138

設(shè)X1，…，Xn是總體X的一個樣本，其分布函數(shù)為F(x;),。其中為未知參數(shù),為參數(shù)空間,若統(tǒng)計量g(X1，…，Xn)可作為的一個估計,則稱其為的一個估計量，記為注：F(x;)也可用分布律或密度函數(shù)代替.1.5.1點(diǎn)估計參數(shù)估計的概念2022/12/20138設(shè)X1，…，Xn2022/12/23139若x1，…，xn是樣本的一個觀測值。

由于g(x1，…，xn)

是實(shí)數(shù)域上的一個點(diǎn)，現(xiàn)用它來估計，故稱這種估計為點(diǎn)估計。

點(diǎn)估計的經(jīng)典方法是矩估計法與極大似然估計法。1.5.1點(diǎn)估計點(diǎn)估計稱為估計量θ的一個觀測值。2022/12/20139若x1，…，xn是樣本的一個2022/12/231401.5.1點(diǎn)估計矩估計法（簡稱“矩法”）

關(guān)鍵點(diǎn)：用樣本矩作為總體同階矩的估計，即

一般使用：2022/12/201401.5.1點(diǎn)估計矩估計法2022/12/231411.5.1點(diǎn)估計例1.5.1設(shè)X1,…,Xn為取自總體B(m,p)的樣本，其中m已知，0<p<1未知，求p的矩估計。例1.5.2設(shè)X1,…,Xn為取自總體N(μ,σ2)的樣本，求μ,σ2的矩估計。2022/12/201411.5.1點(diǎn)估計例1.52022/12/231421.5.1點(diǎn)估計極大似然估計法1

極大似然思想

有兩個射手，一人的命中率為0.9,另一人的命中率為0.1,現(xiàn)在他們中的一個向目標(biāo)射擊了一發(fā)，結(jié)果命中了，估計是誰射擊的？

一般說，事件A發(fā)生的概率與參數(shù)有關(guān)，取值不同，則P(A)也不同。因而應(yīng)記事件A發(fā)生的概率為P(A|).若A發(fā)生了，則認(rèn)為此時的值應(yīng)是在中使P(A|)達(dá)到最大的那一個。這就是極大似然思想2022/12/201421.5.1點(diǎn)估計極大似然2022/12/231431.5.1點(diǎn)估計極大似然估計法2

似然函數(shù)為該總體的似然函數(shù)。3

極大似然估計則稱為的極大似然估計若有使得2022/12/201431.5.1點(diǎn)估計極大似然2022/12/231441.5.1點(diǎn)估計極大似然估計法4

求極大似然估計步驟(1)建立似然函數(shù)(2)做對數(shù)似然函數(shù)(3)列似然方程若該方程有解，則其解就是注：若概率函數(shù)中含有多個未知參數(shù)，則可解方程組2022/12/201441.5.1點(diǎn)估計極大似然2022/12/231451.5.1點(diǎn)估計例1.5.3設(shè)X1,…,Xn為取自總體N(μ,σ2)的樣本，求μ,σ2的極大似然估計。2022/12/201451.5.1點(diǎn)估計例1.52022/12/231461.5.1點(diǎn)估計2022/12/201461.5.1