2016屆高三一輪復(fù)習(xí)步步高光盤-理科-全書課件第九章

數(shù)學(xué)

A（理）§9.2兩直線的位置關(guān)系第九章平面解析幾何基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分1.兩條直線的位置關(guān)系(1)兩條直線平行與垂直①兩條直線平行：(ⅰ)對于兩條不重合的直線l1、l2，若其斜率分別為k1、k2，則有l(wèi)1∥l2?

.(ⅱ)當(dāng)直線l1、l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.k1＝k2②兩條直線垂直：(ⅰ)如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設(shè)為k1、k2，則有l(wèi)1⊥l2?

.(ⅱ)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在,而另一條的斜率為0時,l1⊥l2.(2)兩條直線的交點直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組

的解.k1·k2＝－12.幾種距離(1)兩點P1(x1，y1),P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝_________________.(2)點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝

.(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離d＝

.知識拓展1.一般地，與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0；與之垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋n＝0.2.過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3.點到直線與兩平行線間的距離的使用條件：(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式.(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等.思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直,則它們的斜率之積一定等于－1.()(3)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2為常數(shù)),若直線l1⊥l2,則A1A2＋B1B2＝0.()√××(5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.(

)√×√返回題號答案解析1234

EnterACAx＋y＋1＝0或x＋y－3＝0∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3.∴直線l1的方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.解析例1

已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值.(1)l1⊥l2，且l1過點(－3，－1)；題型一兩條直線的平行與垂直思維升華思維點撥解析例1

已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值.(1)l1⊥l2，且l1過點(－3，－1)；題型一兩條直線的平行與垂直本題考查兩直線平行或垂直成立的充要條件，解題易錯點在于忽略斜率不存在的情況.思維升華思維點撥解析例1

已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值.(1)l1⊥l2，且l1過點(－3，－1)；題型一兩條直線的平行與垂直解

方法一由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a.若k2＝0,則1－a＝0,a＝1.∵l1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b＝0.思維升華思維點撥解析例1

已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值.(1)l1⊥l2，且l1過點(－3，－1)；題型一兩條直線的平行與垂直∴此種情況不存在，∴k2≠0.即k1，k2都存在，思維升華思維點撥解析例1

已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值.(1)l1⊥l2，且l1過點(－3，－1)；題型一兩條直線的平行與垂直又∵l1過點(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②聯(lián)立，解得a＝2，b＝2.思維升華思維點撥解析例1

已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值.(1)l1⊥l2，且l1過點(－3，－1)；題型一兩條直線的平行與垂直方法二由于l1⊥l2，所以a(a－1)＋(－b)·1＝0.即b＝a2－a.①又因為l1過點(－3，－1).所以－3a＋b＋4＝0.②思維升華思維點撥解析例1

已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值.(1)l1⊥l2，且l1過點(－3，－1)；題型一兩條直線的平行與垂直經(jīng)驗證，符合題意.故a＝2，b＝2.思維升華思維點撥解析(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時還要注意x、y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.例1

已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值.(1)l1⊥l2，且l1過點(－3，－1)；題型一兩條直線的平行與垂直思維升華思維點撥解析(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.例1

已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值.(1)l1⊥l2，且l1過點(－3，－1)；題型一兩條直線的平行與垂直思維升華思維點撥解析例1

(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等.思維點撥解析思維升華本題考查兩直線平行或垂直成立的充要條件，解題易錯點在于忽略斜率不存在的情況.例1

(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等.思維點撥解析思維升華解

∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直線l1的斜率存在，又∵坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2，例1

(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等.思維點撥解析思維升華∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即

＝b.④例1

(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等.思維點撥解析思維升華例1

(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等.思維點撥解析思維升華(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時還要注意x、y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.例1

(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等.思維點撥解析思維升華(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.例1

(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等.思維點撥解析思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)若已知兩直線l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；解方法一當(dāng)sinα＝0時，直線l1的斜率不存在，l2的斜率為0，顯然l1不平行于l2.跟蹤訓(xùn)練1

(1)若已知兩直線l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；跟蹤訓(xùn)練1

(1)若已知兩直線l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；跟蹤訓(xùn)練1

(1)若已知兩直線l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；方法二由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，跟蹤訓(xùn)練1

(1)若已知兩直線l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0，即sinα≠－1.(2)l1⊥l2.解

因為A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要條件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.故當(dāng)α＝kπ，k∈Z時，l1⊥l2.例2求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程.題型二兩直線相交思維升華思維點撥解析可先求出l1與l2的交點，再用點斜式；也可利用直線系方程求解.例2求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程.題型二兩直線相交思維升華思維點撥解析得l1，l2的交點坐標(biāo)為(－1,2)，例2求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程.題型二兩直線相交思維升華思維點撥解析例2求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程.題型二兩直線相交思維升華思維點撥解析例2求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程.題型二兩直線相交方法二由于l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，而l過l1，l2的交點(－1,2)，思維升華思維點撥解析例2求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程.題型二兩直線相交故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程為5x＋3y－1＝0.思維升華思維點撥解析例2求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程.題型二兩直線相交方法三由于l過l1，l2的交點，故l是直線系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一條，將其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.思維升華思維點撥解析例2求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程.題型二兩直線相交代入直線系方程得l的方程為5x＋3y－1＝0.思維升華思維點撥解析(1)兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點即為交點.例2求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程.題型二兩直線相交思維升華思維點撥解析(2)常見的三大直線系方程①與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).例2求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程.題型二兩直線相交思維升華思維點撥解析②與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R).例2求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程.題型二兩直線相交思維升華思維點撥解析③過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.例2求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程.題型二兩直線相交思維升華思維點撥解析跟蹤訓(xùn)練2

已如圖，設(shè)一直線過點(－1,1)，它被兩平行直線l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的線段的中點在直線l3：x－y－1＝0上，求其方程.解與l1、l2平行且距離相等的直線方程為x＋2y－2＝0.設(shè)所求直線方程為(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直線過(－1,1)，跟蹤訓(xùn)練2

已如圖，設(shè)一直線過點(－1,1)，它被兩平行直線l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的線段的中點在直線l3：x－y－1＝0上，求其方程.∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝

.∴所求直線方程為2x＋7y－5＝0.例3正方形的中心為點C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程.題型三距離公式的應(yīng)用思維升華思維點撥解析中心C到各邊的距離相等.思維升華思維點撥解析例3正方形的中心為點C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程.題型三距離公式的應(yīng)用設(shè)與x＋3y－5＝0平行的一邊所在直線的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，思維升華思維點撥解析例3正方形的中心為點C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程.題型三距離公式的應(yīng)用解得m＝－5(舍去)或m＝7，思維升華思維點撥解析例3正方形的中心為點C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程.題型三距離公式的應(yīng)用所以與x＋3y－5＝0平行的邊所在直線的方程是x＋3y＋7＝0.設(shè)與x＋3y－5＝0垂直的邊所在直線的方程是3x－y＋n＝0，思維升華思維點撥解析例3正方形的中心為點C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程.題型三距離公式的應(yīng)用解得n＝－3或n＝9，思維升華思維點撥解析例3正方形的中心為點C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程.題型三距離公式的應(yīng)用所以與x＋3y－5＝0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.思維升華思維點撥解析例3正方形的中心為點C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程.題型三距離公式的應(yīng)用正方形的四條邊兩兩平行和垂直,設(shè)平行直線系和垂直直線系可以較方便地解決,解題時要結(jié)合圖形進行有效取舍.本題的解法可以推廣到求平行四邊形和矩形各邊所在直線的方程.思維升華思維點撥解析例3正方形的中心為點C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程.題型三距離公式的應(yīng)用運用點到直線的距離公式時，需把直線方程化為一般式；運用兩平行線的距離公式時，需先把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式.思維升華思維點撥解析例3正方形的中心為點C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程.題型三距離公式的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練3

已知點P(2，－1).(1)求過P點且與原點距離為2的直線l的方程；解過P點的直線l與原點距離為2，而P點坐標(biāo)為(2，－1)，可見，過P(2，－1)垂直于x軸的直線滿足條件.此時l的斜率不存在，其方程為x＝2.若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.跟蹤訓(xùn)練3

已知點P(2，－1).(1)求過P點且與原點距離為2的直線l的方程；此時l的方程為3x－4y－10＝0.綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.(2)求過P點且與原點距離最大的直線l的方程，并求出最大距離.解作圖可證過P點與原點O距離最大的直線是過P點且與PO垂直的直線，由l⊥OP，得klkOP＝－1.(2)求過P點且與原點距離最大的直線l的方程，并求出最大距離.由直線方程的點斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，(3)是否存在過P點且與原點距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.題型四對稱問題例4已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；思維點撥解析思維升華解決對稱問題，不管是軸對稱還是中心對稱，一般都要轉(zhuǎn)化為點之間的對稱問題.題型四對稱問題例4已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；思維點撥解析思維升華題型四對稱問題例4已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；解設(shè)A′(x，y)，思維點撥解析思維升華題型四對稱問題例4已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；思維點撥解析思維升華(1)解決點關(guān)于直線對稱問題要把握兩點，點M與點N關(guān)于直線l對稱，則線段MN的中點在直線l上，直線l與直線MN垂直.題型四對稱問題例4已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；思維點撥解析思維升華(2)如果是直線或點關(guān)于點成中心對稱問題，則只需運用中點公式就可解決問題.題型四對稱問題例4已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；思維點撥解析思維升華(3)若直線l1、l2關(guān)于直線l對稱，則有如下性質(zhì)：①若直線l1與l2相交，則交點在直線l上；②若點B在直線l1上，則其關(guān)于直線l的對稱點B′在直線l2上.題型四對稱問題例4已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；思維點撥解析思維升華例4

(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；解析思維升華思維點撥解決對稱問題，不管是軸對稱還是中心對稱，一般都要轉(zhuǎn)化為點之間的對稱問題.例4

(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；解析思維升華思維點撥解在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點必在m′上.例4

(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；解析思維升華思維點撥例4

(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；解析思維升華思維點撥例4

(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；解析思維升華思維點撥又∵m′經(jīng)過點N(4,3)，∴由兩點式得直線方程為9x－46y＋102＝0.例4

(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；解析思維升華思維點撥(1)解決點關(guān)于直線對稱問題要把握兩點，點M與點N關(guān)于直線l對稱，則線段MN的中點在直線l上，直線l與直線MN垂直.例4

(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；解析思維升華思維點撥(2)如果是直線或點關(guān)于點成中心對稱問題，則只需運用中點公式就可解決問題.例4

(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；解析思維升華思維點撥(3)若直線l1、l2關(guān)于直線l對稱，則有如下性質(zhì)：①若直線l1與l2相交，則交點在直線l上；②若點B在直線l1上，則其關(guān)于直線l的對稱點B′在直線l2上.例4

(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；解析思維升華思維點撥例4

(3)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程.解析思維升華思維點撥解決對稱問題，不管是軸對稱還是中心對稱，一般都要轉(zhuǎn)化為點之間的對稱問題.解析思維升華思維點撥例4

(3)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程.解設(shè)P(x,y)為l′上任意一點，則P(x,y)關(guān)于點A(－1,－2)的對稱點為P′(－2－x，－4－y)，解析思維升華思維點撥例4

(3)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程.∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.解析思維升華思維點撥例4

(3)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程.(1)解決點關(guān)于直線對稱問題要把握兩點，點M與點N關(guān)于直線l對稱，則線段MN的中點在直線l上，直線l與直線MN垂直.解析思維升華思維點撥例4

(3)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程.(2)如果是直線或點關(guān)于點成中心對稱問題，則只需運用中點公式就可解決問題.解析思維升華思維點撥例4

(3)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程.(3)若直線l1、l2關(guān)于直線l對稱，則有如下性質(zhì)：①若直線l1與l2相交，則交點在直線l上；②若點B在直線l1上，則其關(guān)于直線l的對稱點B′在直線l2上.解析思維升華思維點撥例4

(3)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程.跟蹤訓(xùn)練4

(2013·湖南)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點P(如圖).若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于(

)解析建立如圖所示的坐標(biāo)系：可得B(4,0)，C(0,4)，故直線BC的方程為x＋y＝4，跟蹤訓(xùn)練4

(2013·湖南)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點P(如圖).若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于(

)設(shè)P(a,0)，其中0<a<4，跟蹤訓(xùn)練4

(2013·湖南)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點P(如圖).若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于(

)由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四點共線，跟蹤訓(xùn)練4

(2013·湖南)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點P(如圖).若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于(

)跟蹤訓(xùn)練4

(2013·湖南)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點P(如圖).若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于(

)D一、平行直線系由于兩直線平行,它們的斜率相等或它們的斜率都不存在,因此兩直線平行時,它們的一次項系數(shù)與常數(shù)項有必然的聯(lián)系.易錯警示系列15妙用直線系求直線方程典例1：求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(1,2)的直線l的方程.思

維

點

撥規(guī)

范

解

答溫馨提醒典例1：求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(1,2)的直線l的方程.思

維

點

撥規(guī)

范

解

答溫馨提醒因為所求直線與3x＋4y＋1＝0平行，因此，可設(shè)該直線方程為3x＋4y＋c＝0(c≠1).典例1：求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(1,2)的直線l的方程.解依題意，設(shè)所求直線方程為3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因為直線過點(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直線方程為3x＋4y－11＝0.思

維

點

撥規(guī)

范

解

答溫馨提醒典例1：求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(1,2)的直線l的方程.與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由其他條件求C1.思

維

點

撥規(guī)

范

解

答溫馨提醒二、垂直直線系由于直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件為A1A2＋B1B2＝0.因此，當(dāng)兩直線垂直時，它們的一次項系數(shù)有必要的關(guān)系.可以考慮用直線系方程求解.典例2：求經(jīng)過A(2,1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程.思

維

點

撥規(guī)

范

解

答溫馨提醒依據(jù)兩直線垂直的特征設(shè)出方程，再由待定系數(shù)法求解.典例2：求經(jīng)過A(2,1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程.思

維

點

撥規(guī)

范

解

答溫馨提醒解因為所求直線與直線2x＋y－10＝0垂直，所以設(shè)該直線方程為x－2y＋C1＝0，又直線過點(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直線方程為x－2y＝0.典例2：求經(jīng)過A(2,1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程.思

維

點

撥規(guī)

范

解

答溫馨提醒與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程為Bx－Ay＋C1＝0，再由其他條件求出C1.典例2：求經(jīng)過A(2,1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程.思

維

點

撥規(guī)

范

解

答溫馨提醒思

維

點

撥規(guī)

范

解

答溫馨提醒三、過直線交點的直線系典例3：求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.三、過直線交點的直線系典例3：求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.溫馨提醒規(guī)

范

解

答思

維

點

撥可分別求出直線l1與l2的交點及直線l的斜率k，直接寫出方程；也可以利用過交點的直線系方程設(shè)直線方程，再用待定系數(shù)法求解.三、過直線交點的直線系典例3：求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.溫馨提醒規(guī)

范

解

答思

維

點

撥三、過直線交點的直線系典例3：求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.溫馨提醒規(guī)

范

解

答思

維

點

撥三、過直線交點的直線系典例3：求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.方法二設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，溫馨提醒規(guī)

范

解

答思

維

點

撥三、過直線交點的直線系典例3：求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.解得λ＝11.∴直線l的方程為4x＋3y－6＝0.溫馨提醒規(guī)

范

解

答思

維

點

撥三、過直線交點的直線系典例3：求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.本題法一采用常規(guī)方法，先通過方程組求出兩直線交點，再根據(jù)垂直關(guān)系求出斜率，由于交點在y軸上，故采用斜截式求解；溫馨提醒規(guī)

范

解

答思

維

點

撥三、過直線交點的直線系典例3：求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.法二則采用了過兩直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，溫馨提醒規(guī)

范

解

答思

維

點

撥三、過直線交點的直線系典例3：求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.直接設(shè)出過兩直線交點的方程，再根據(jù)垂直條件用待定系數(shù)法求解.溫馨提醒規(guī)

范

解

答思

維

點

撥返回方法與技巧1.兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合.對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1、l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率一定要特別注意.2.對稱問題一般是將線與線的對稱轉(zhuǎn)化為點與點的對稱.利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法.失誤與防范1.在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在.若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率，要單獨考慮.返回2345678910123456789101.已知兩條直線l1：x＋y－1＝0，l2：3x＋ay＋2＝0且l1⊥l2，則a等于(

)1解析由l1⊥l2，可得1×3＋1×a＝0，∴a＝－3.C345678910122.從點(2,3)射出的光線沿與向量a＝(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為(

)A.x＋2y－4＝0 B.2x＋y－1＝0C.x＋6y－16＝0 D.6x＋y－8＝034567891012解析由直線與向量a＝(8,4)平行知：過點(2,3)的直線的斜率k＝

，所以直線的方程為y－3＝

(x－2),其與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2)，又點(2,3)關(guān)于y軸的對稱點為(－2,3)，所以反射光線過點(－2,3)與(0,2)，由兩點式知A正確.答案

A456789101233.若A(－3，－4)，B(6,3)兩點到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則a等于(

)D567891012344.已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是(

)A.0 B.2 C. D.4B6789101234567891012345解析由題意知點P關(guān)于直線AB的對稱點為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點為C(－2,0)，答案

A578910123466.與直線l1：3x＋2y－6＝0和直線l2：6x＋4y－3＝0等距離的直線方程是______________.設(shè)與l1，l2等距離的直線l的方程為3x＋2y＋c＝0，所以l的方程為12x＋8y－15＝0.12x＋8y－15＝07.已知點A(－1,1)，B(2，－2)，若直線l：x＋my＋m＝0與線段AB相交(包含端點的情況)，則實數(shù)m的取值范圍是_________.解析直線l：x＋my＋m＝0可化為x＋m(y＋1)＝0，所以直線恒過定點P(0，－1).5891012346758910123467∵直線l：x＋my＋m＝0與線段AB相交(包含端點的情況)，8.將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n＝________.解析由題意可知紙的折痕應(yīng)是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，59101234678591012346789.若直線l過點A(1，－1)與已知直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點，且|AB|＝5，求直線l的方程.解過點A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1.51012346789求得B