地大版-工程高等代數(shù)答案習(xí)題六

習(xí)題 （1）已知向量a123)T7

b(4,t,6)T

a,b7，則t 2（2）設(shè)解4

4A

Ax0 0a200,B0a0a200,B0an,a3n ,a3n 已知3階方陣A的特征值分別為1,1,2，則矩陣BA32A2的特征值 B 解1,3, 0如果n階矩陣A的元素全為1，那么A的n個特征值 ,0解n,0 矩陣 2 解4 0 設(shè)A 0，BP1AP，其中P為三階可逆矩陣 則B20042A2 0 解 0 Aa是實正交矩陣，且

ij 解(100)T 1f(xxx22 1

的矩陣 解 2 f(xxxx22x

2x22x

2x

x2的秩 解2解2

1 1 2 ,(f 二次型fxTAx是正定的充分必要條件是實對稱矩陣A的特征值都 解

b

a,b1，則向量a與b的夾角 （A）0 4解（C．

3

（D）2 解（B． 3設(shè)P為三階可逆矩陣，A 4，,,是BP1AP的三個特征值則的值

5

解（C． （A）和x （B）1和x （C）1和P1x （D）和Px解（C．設(shè)A是n階實對陳矩陣，P是n階可逆矩陣．已知n維列向量是A的屬于特征值的特征向量，則矩陣P1APT屬于特征值的特征向量是 （A）P1 （B）PT （D）P1T解（B．設(shè)12是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為1,2，則1A(12) （C）10 （D）20解（B．設(shè)A，B為n階矩陣，且A與B相似，E為n階單位矩陣，則下列命題正確的 （A）EAEB （C）A與B都相似于一個對角矩陣 （D）對任意常數(shù)t，tEA與tEB相似解（D．n階方陣A具有n個不同的特征值是A與對角矩陣相似 解（B． 1 設(shè)矩陣B 0，已知矩陣A相似于B，則R(A2E)與R(AE)之和等 0 解（C．11111111 0 0= 11 0 111

0

，則A與 （Ｃ）不合同但相似；（Ｄ）不合同且不相似解（A．（11）f(x,x,xa(x2x2x24xx4xx4x

xPy 1 1 2

6y2，則a的值 1 （B）2 （C）3 1解（B．

(4,1,0)T 解ba(1,2,1)T b1,a2 1b2a2b,bb13(1,1,1)11 b1,a3 b2,1

b3a3b,bb1b,bb2(2,0,2)16e1 116

e3

12 12 （2）矩陣 0

0b

b

b1,a2

b,b 01 b1,a3 1 1

10

1e1

e2

，e3

． 3 35 4設(shè)向量a111)T，求非零向量aa，使得aaa 解aaxTa0xyz0

2 1ξ101)T2 1a

a

ξ2,a2

a2,a2

0

3 （1） 4 （2） 0 3

2

6 1 解（1）

4

3)(2，得到特征值為122

1x1

對于12，解齊次線性方程組 2x0，得基礎(chǔ)解系1，對應(yīng)的特征向量可 1 p1k1

k10

1x1

0

對于23，解齊次線性方程組 1x0，得基礎(chǔ)解系2，對應(yīng)的特征向量可 1 p2k22,k20

1 AE

3

(2)(1)2得到特征值為值12

32

2對于121 10x1 0 0

0 2 1

0 3 得基礎(chǔ)解系

2，對應(yīng)的特征向量可取

k

2,

0 1 10x1

0對于2，解齊次線性方程組 10x0，得基礎(chǔ)解系0，對應(yīng)的特征向量可 2 1 0

1p

00

0

3 2 11A

(1)(9，得到特征值為102139 對于0A0Ex0ξ1k1,

0

1 對于1，解齊次線性方程組AEx0，得基礎(chǔ)解系ξ1，特征向量為 0 k1,k02 0 對于9，解齊次線性方程組A9Ex0，得基礎(chǔ)解系

1

11,

0 22

3 223 設(shè)A ，(A)16E8A4A22A3A4，求(A)的特征值和特征向量 A的特征多項式

3 A的特征值為122

AE

11x

(2)

對于122，解齊次線性方程組 1y0，得特征向量1 2A的特征值，所以(2)80A的特征值，kk1為Ak0若nAAA2A的特征值為0或若nAAkEA的特征值滿足k證明（1）x0Axx，AA2x2xxAxA2x2x，得(1x0x0，所以0或1．（2）x0Axx，則kxAkxExx．因此(k1x0x0，故k 1 0設(shè)A b與 0相似，求a，b 1 2 解A的特征值與0，1，2Aba2012ab0

A

2ab 設(shè)方陣A 2與 相似，求x,y 1 解AA的特征值為152y341x15yA

x

29x36x4y5

AB均為nA0ABBAA0A1ABBA

A1(AB)A(A1A)BA 0 0若A與B相似，C與D相似，則分塊矩陣 C與 D相似 P1AP P

D 0

P

P

0

P

0 0 0

D

P P

P

C 2

2 2

21 01 0 01

0 0

C 所以 C與 D相似 3AxxAxA2xA3x3Ax2A2xP=xAxA2x，求三階矩陣B，使APBP1AE 解（1）設(shè)B= b，則由APPB 3 c 3

Ax,A2x,A3xx,Ax,A2x b 3 c

3 Ax=ax+bAx+cA2 A2x=ax+bAx+cA2 A3x=ax+bAx+cA2 A3x3Ax2A2x 3Ax2A2x=ax+bAx+cA2 xAxA2x 0 從而B= 3

a2b20,c2 （2）由（1）ABAEBE A

B

4

（1）設(shè)A 3，求(A)A5A 2 （2）A 2，求(AA106A95A8 1 解（1）AE1)(5)011,25對于1，解方程組AEx0得特征向量

1 11 1

對于5，解方程組A5Ex0得特征向量

1

1 令P(p1,p2) 1，則PAP 5，于 A9

11

1510

1A10P10P1 ，(A)

．21 1510

1（2）AE(1)(5)(1)0對于1，解方程組AEx0p1 對于1，解方程組AEx0p 0對于5，解方程組A5Ex0

1 11 1 因此，P(p,p,p) 11，且P1AP 0

A A 231 2 0

（1）A 2 （2）A= 4 0

解（1）AE1)(4)(2)0A的特征值為11

21,341對于2，解齊次線性方程組A2Ex0得特征向量ξ2p122 222

32 2對于1，解齊次線性方程組AEx0得特征向量ξ1p12

3 2 2對于4，解齊次線性方程組A4Ex0得特征向量ξ2p12

3 2

寫出正交矩陣P1 2，則P1AP 3

4 （2）A

1)210)0A的特征值為10,1． 對于10，解齊次線性方程組A10Ex0得特征向量ξ

2

2

3 2 對于1時，解齊次線性方程組AEx0得特征向量ξ1,ξ2

2 2 ξ,ξ,ξ

ξξ

11,p12

3 3 2

P1 2，則有P1AP 3

1 A的特征值為6336p1111)AT解p1,p2,p3分別是對應(yīng)于特征值633p2,p3p1 xxx0p1,p0，于是

0

P(p,p,p) 0，P1AP

1 1 4 ABABAB解（1）ABPP1APBEB

P1EAPEA 1 0 （2）令A(yù)= 0，B= 0，則EAEB

AB P1APB=0得A=0，（3）AB均為實對稱矩陣時,AB均相似于對角陣.AB 相等，記為, ,，有A相似于 ，B也相似于 n

n 使得P1AP =Q1BQ，于是PQ11APQ1B，由PQ1可逆知A，B相似 nA的秩為2，6A的二重特征值．若1,10)T,

3123)T,A63A題設(shè)知

2A的秩為2，于是|A|0，所以A的另一特征值3030所對應(yīng)的特征向量為2xxx)T，則有T0T0

x1

2x x 3解得基礎(chǔ)解系為1,1,1)TA的屬于特征值0kk(1,1,1)T，其中k3

(２)令矩陣P(,,)，則P1AP ，所 0 00 （1）f(x,y,z)x22y28z24xy6yz（2）f(x,x,x,x)5x23x2x2x22xx4xx6xx8xx 1 1 1 2 0x 解（1）f(x,y,z)(x,y,z) 3

8z 3x1 4x

(x,x,x,x) 2

0x 3 1x4 1（1）f(x,x,x)2x26x2 1 2（2）f(x,x,x)2x23x2 2f(x,x,x,x)x2x2x2x22xx2xx2xx2xx 1 1 2 3 4 0由AE0求得A的特征值為

2,

6 2 對于2，解A2Ex0p

0

對于236，解A6Ex00 123p1, p23 p1,p2,p3 1 P 0 2 xPy f2y26y26 0 （2）二次型的矩陣為A 2，由A 3

2)(1)(5)0A11,22,350 0對于1，解方程組AEx0得特征向量ξ1p11

2 對于2，解方程組A2Ex0得特征向量

10

10 000

000對于35，解方程組A5Ex0得特征向量

1p323211

11 0 12121212于是正交矩陣P(p,p,p)

xPy

y22y25y2

01212 1212

0A A

1)(1)23)0A

43 對于1，解方程組AEx0得特征向量

1

2 對于231，解方程組AEx0A1 00 1ξ 1

ξ 0 1 0ξ,ξp

01,p0

111

21 20

1對于3，解方程組(A3E)x0得特征向量ξ ，單位化得p

2

12 012 12 12 12P 12 0 12 12 xPy

y23y2y2 f(x,x,x)x22x2x22xx2xx4xx 1 1 2解f(x,x,x)(xxx)2(xx)2x2y2y2y2,

y1x1x2

x1y1y2y2 x2x3 x2 y2y3y x x y 0故所用的變換矩陣為 1 （1）f(x,x,x)5x26x24x24x

4xx 1 2（2）f(x,x,x)10x22x2x28xx24xx28xx 1 1 2 0解（1）二次型的矩陣為A 2，因 4

5

626

2840 f （2）二次型的矩陣為A 14，因

10

140

f確定t（1）f(x,x,x)5x2x2tx24xx2xx2xx 1 1 2（2）f(x,x,x)tx2x25x22txx2xx4xx 1 1 2 解（1）二次型的矩陣為A

1fA t50

10，

1t20 得t2．即當(dāng)t2f （2）二次型的矩陣為A 2．要使f正定，就要求A的順序主子式都大于零，

2t0，

t(1t)0，1

2

5t10 55t5

5

5t5

5f A是可逆實矩陣，證明ATA是正定矩陣2證明由(ATA)TATAATAx0Ax02xTATAxAxTAx

0從而ATA是正定矩陣AARA2A22A0當(dāng)kAkEE（1）設(shè)A的一個特征值，對應(yīng)的特征向量為A0A22A22A22A22A0得220．又0，所以220 2或0．因為實對稱矩陣A必可對角化，又RA2，所以A與對角矩陣 0 A的全部特征值為122,3

A+kE的全部特征值為2k2kkkAkEAkE 1 已知向量a(1,k,1)T是矩陣A 1的逆矩陣A1的特征向量，求常數(shù)k的 2 解A1的特征向量a1k1)T對應(yīng)的特征值為A1aaaAa1 11 k 1 解得k2或 0若矩陣A a相似于對角陣，試確定常數(shù)a的值；并求可逆矩陣P使P1AP 6 A

EA

A的特征值為1263

A相似于對角矩陣，故126應(yīng)有兩個線性無關(guān)的特征向量，即3R(6EA)2，于是有R(6EA)1．由 0 06EA a aa0

0 0

1因此，對應(yīng)于

6的兩個線性無關(guān)的特征向量可取為

011

ξ20202 0 0

2x1x2當(dāng)32時，2EA 0 1，解方程組

得對應(yīng)于 0 32的特征向量

2 1令P 2，則P可逆，并有P1AP 0 22221032,01解

3

,BP1APB2E

P1 0

A

0 0BP1AP 4， B2E 4

5 B2E

3)(9)20B2E的特征值為9,3 對于9，由AEx0p1,p0

0 對應(yīng)于129的全部特征向量為k1p1k2p2k1k20

對于3，由AEx0

1．因此，對應(yīng)于33k3p3k3

11 0設(shè)A,B相似，且A , B 0 a b求ab

PP1APB解（1）A,BA,B12

3b．由于2A3特征值，所以2A3

22(a3)3(a1)0的二重根，解得a5A

(2)(2812)(2)2(6得到b

6 1（2）對于2，解方程組A2Ex0p1,p0

0 1 對于6，解方程組A6Ex0p2 令P(p,p,p) 2，有P1APB 2已知p1是矩陣A 3的一個特征向量

求abp解（1）2

(AE)p a 1 21得解得a

b

2125a31b2（2）A

2 3，所以A

(1)31RAE)2 從而1A 1 1設(shè)矩陣A 1可逆，向量b是矩陣A*的一個特征向量，是對應(yīng)的特征值 1 a 1A*A的伴隨矩陣．試求ab和A*屬于特征值的特征向量為AA*可逆.于是0A0AA*AAA*AAA

A 11 1A 1b

bb

a1 1

AA3b AA22bAA

ab1 由第一、二個方程解得b1，或b2．由第一、三個方程解得a2 由于A 13a24，故特征向量所對應(yīng)的特征值

AA3

3

時1；當(dāng)b2時4 設(shè)矩陣A 3的特征方程有一個二重根，求a的值，并討論A是否可相似對角化 5 A的特征多項式EA

1(2)當(dāng)2是特征方程的二重根時，則有2216183a0,解得a2a2時A的特征值為2,2,6,矩陣2EA

3 31，故2 若228183a183a16a23 當(dāng)a2時，A的特征值為2,4,4，矩陣4EA= 3的秩為2，故4對應(yīng)的

3 b1bb1設(shè)nAP,P1AP解（1）①當(dāng)b0|EA

1(n1)b(1b)n1得A的特征值為11(n1)b，2 n1b．對于11(n1)b，(n(n(n (n (n n nn11n100n0000n110n 001n1n 0 00nn 00 00 00可解得 ,1)T，所以A的屬于的全部特征向量為

對于21b1 10 00 可解得(1,1, ,0)T，(1,0, ,0)T ，(1,0, ,1)T．故A的屬于 征向量為k22k33 knn，其中k2,k3,,kn是不全為零的常數(shù)②當(dāng)b0 0 0 (00因此特征值為1 n1，任意非零列向量均為特征向量（2）①當(dāng)b0時，A有n個線性無關(guān)的特征向量，令P ,n)，1(n

1 P1AP 1b ②當(dāng)b0AEP,P1APE9A為三階矩陣，1,2,3是線性無關(guān)的三維列向量，且滿足A1123A2223，A32233（1）B,A1,23123BP,P1AP 0 0解（1）由A(,,)(,,) 2可知，B 2

3

3 （2）因為,,是線性無關(guān)的三維列向量，可知矩陣C,

可逆，所以C1ACB ABAB

EB

(1)2(4)0BA的特征值12134（3）

1，解齊次線性方程組EBx0，得基礎(chǔ)解系

2(2,0,1)T2 對應(yīng)于4，解齊次線性方程組4EBx0，得基礎(chǔ)解系0,1,1T 0

0令矩陣Q,

1

Q1BQ 0

1

Q1BQQ1C1ACQCQ1 0PCQ,,

1

,

,

P

1

設(shè)實對稱矩陣A 1，求可逆矩陣P，使P1AP為對角矩陣，并計算AE a解A

(a1)2(a2)0，得到A的特征值a a2 1 1對于a1，由AEx0p1,p0

對于a2，由AEx0p1 令P(p,p,p)1 1，

aP1APΛ

a a2 A

PP1PP1

a2(a3) a 設(shè)A 1,1，線性方程組Ax有解但不惟一 1 2 求a求正交矩陣Q，使得QTAQ 解（1）因為線性方程組Ax有解但不惟一所以A 1(a1)2(a2)0當(dāng)a1 時，R(A)R ，方程組無解．當(dāng)a2時，R(A)R ，方程組有解但不惟一．因此 （2）可計算出A

(3)(30，得到3，330

由AEx0p

p

p1．單位化后（

126312632626 1Q 312 12 于是，QTAQ

16363 0 212．已知二次型

2x23x23x22ax

(a

可以通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形 fy22y25y2 0解二次型的矩陣為A a．由題意知A的特征值為1,2,5．將1代 3 AE(2)(269a2)0，a0 0 得a2．于是A 2 3 對于1，解方程組AEx0得特征向量ξ

01p

01 1

1

2 對于2，解方程組A2Ex0得特征向量ξ0

0 000

00

0對于35，解方程組A5Ex0得特征向量

1p323211

11 0 12 12 1故所用的正交變換矩陣為P 2121121200

xx i

解1 012

0 0 A0 02 1 2 1 1A的任意k

2 2 1

(k10之積為

ax22x22x22bx

求ab b解（1）二次型對應(yīng)的矩陣為A 0．設(shè)A的特征值為,,， 123a221，

4a2b212 解得a1,b2

2A 0A

(2)23A的特征值為

2 0對于2，由(A2E)x0，求得兩個線性無關(guān)的特征向量p0, p1

對于3，由A3Ex0p

0 p1,p2,p32515 2515 Q

2 5 于是有QTAQ ．在正交變換xQy下， f2y22y23 fxTAx在x1時的最大（?。〢的最大（小）證明xPyfxTAx1 2 nfy2y2 1 2 n不妨設(shè)1是A的特征值中的最大值， (y 22 (y 222n 12y2)n1 2由于正交變換不改變向量的長度，而

1

y1， (y 222 (y 222y)2n n11 2并且，f可以達(dá)到上限1，只要取y11,y2 yn0即可fxTAx在x1A設(shè)UAUTUfxTAx證明x0，由U為可逆矩陣知Ux02fxTAxxTUTUx(Ux)TUx 02fxTAxA為正定矩陣，證明存在可逆矩陣UAUTU證明AP P1AP 其中，每個i0

n

QQT n nAPP1PQQTPT(PQ)(PQ)T令UPQTAUTUPQ均可逆，所以UA,BnAB也是n證明ATA,BTB(AB)TATBTABABA,BnxxTAx xTBx0xTAB)xxTAxxTBx0ABnp1p2A的屬于特征值12的特征向量，且12p1p2A的證明Ap11p1,Ap22p2p1p2A的某個特征值0A(p1p2)0(p1p2)另一方面，Ap1p2Ap1Ap21p12p2(10p120p20p1線性無關(guān)，故102 ．故p1p2不可能是A的特征向量f(x

,x)(1a)x2(1a)x22x22(1a)x