2024-2025學年高中數學課時分層作業(yè)14解三角形的實際應用舉例含解析北師大版必修5

PAGE1-課時分層作業(yè)(十四)(建議用時：60分鐘)[基礎達標練]一、選擇題1．若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且AC＝BC，則點A在點B的()A．北偏東15° B．北偏西15°C．北偏東10° D．北偏西10°B[如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴點A在點B的北偏西15°.]2．已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A到C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°處，A，B兩船的距離為3km，則B到C的距離為()A．eq\r(6)－1 B．(2eq\r(6)－1)kmC．3 D．2eq\r(2)A[由條件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，設BC＝xkm，則由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°，∵x＞0，∴x＝eq\r(6)－1.]3．如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，則A，B兩點間的距離為()A．eq\f(msinα,sinβ) B．eq\f(msinα,sinα＋β)C．eq\f(msinβ,sinα＋β) D．eq\f(msinα＋β,sinα＋sinβ)C[在△ABC中，∠ABC＝π－(α＋β)，AC＝m，由正弦定理，得eq\f(AB,sinβ)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，所以AB＝eq\f(msinβ,sin[π－α＋β])＝eq\f(msinβ,sinα＋β).]4．一艘船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且與它相距8eq\r(2)海里，之后它接著沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，此船的航速是()A．8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/小時B．8(eq\r(6)－eq\r(2))海里/小時C．16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/小時D．16(eq\r(6)－eq\r(2))海里/小時D[由題意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得eq\f(SA,sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，即eq\f(8\r(2),sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，得AB＝8(eq\r(6)－eq\r(2))，因此此船的航速為eq\f(8\r(6)－\r(2),\f(1,2))＝16(eq\r(6)－eq\r(2))(海里/小時)．]5．要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點分別測得塔頂的仰角分別為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，則電視塔在這次測量中的高度是()A．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500mD[由題意畫出示意圖，設高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝eq\r(3)h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500(m)．故選D．]二、填空題6．甲、乙兩樓相距a，從乙樓底望甲樓頂的仰角為60°，從甲樓頂望乙樓頂的俯角為30°，則甲、乙兩樓的高分別是________．eq\r(3)a，eq\f(2\r(3),3)a[甲樓的高為atan60°＝eq\r(3)a，乙樓的高為eq\r(3)a－atan30°＝eq\r(3)a－eq\f(\r(3),3)a＝eq\f(2\r(3),3)a.]7．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m.10eq\r(3)[如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．]8．甲船在A處視察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里的B處，乙船向正北行駛，若甲船是乙船速度的eq\r(3)倍，甲船為了盡快追上乙船，則應取北偏東______(填角度)的方向前進．30°[設兩船在C處相遇，則由題意∠ABC＝180°－60°＝120°，且eq\f(AC,BC)＝eq\r(3)，由正弦定理得eq\f(AC,BC)＝eq\f(sin120°,sin∠BAC)＝eq\r(3)?sin∠BAC＝eq\f(1,2).又0°＜∠BAC＜60°，所以∠BAC＝30°.]三、解答題9.如圖所示，在高出地面30m的小山頂上建立一座電視塔CD，今在距離B點60m的地面上取一點A，若測得∠CAD＝45°，求此電視塔的高度．[解]設CD＝xm，∠BAC＝α，則tanα＝eq\f(30,60)＝eq\f(1,2)，又∠DAB＝45°＋α，tan∠DAB＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(x＋30,60)，又tan(α＋45°)＝eq\f(tan45°＋tanα,1－tanα)＝3，∴eq\f(x＋30,60)＝3，∴x＝150m，即電視塔的高度為150m.10.一艘海輪從A動身，沿北偏東75°的方向航行(2eq\r(3)－2)nmile到達海島B，然后從B動身，沿北偏東15°的方向航行4nmile到達海島C.(1)求AC的長；(2)假如下次航行干脆從A動身到達C，求∠CAB的大?。甗解](1)由題意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2eq\r(3)－2，BC＝4，依據余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(2eq\r(3)－2)2＋42＋(2eq\r(3)－2)×4＝24，所以AC＝2eq\r(6).故AC的長為2eq\r(6)nmile.(2)依據正弦定理得，sin∠BAC＝eq\f(4×\f(\r(3),2),2\r(6))＝eq\f(\r(2),2).所以∠CAB＝45°.[實力提升練]1．如圖所示為起重機裝置示意圖．支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的貨物與岸的距離AD為()A．30m B．eq\f(15,2)eq\r(3)mC．15eq\r(3)m D．45mB[在△ABC中，cos∠ABC＝eq\f(102＋5\r(19)2－152,2×10×5\r(19))＝eq\f(7,2\r(19))，∠ABC∈(0°，180°)，∴sin∠ABC＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2\r(19))))2)＝eq\f(3\r(3),2\r(19))，∴在Rt△ABD中，AD＝AB·sin∠ABC＝5eq\r(19)×eq\f(3\r(3),2\r(19))＝eq\f(15,2)eq\r(3).]2．如圖，某山上原有一條筆直的山路BC，現在又新架設了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)覺張角∠ABC＝120°，從B處攀登400米后到達D處，再看索道AC，發(fā)覺張角∠ADC＝150°，從D處再攀登800米方到達C處，則索道AC的長為________米．A．100eq\r(3) B．200eq\r(3)C．300eq\r(3) D．400eq\r(13)D[在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°，因為∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，所以∠DAB＝30°，所以AB＝BD＝400，AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB·BDcos120°)＝400eq\r(3).在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝(400eq\r(3))2＋8002－2×400eq\r(3)×800×cos150°＝4002×13，所以AC＝400eq\r(13)，故索道AC的長為400eq\r(13)米．]3．一海輪以20nmile/h的速度向正東方向航行，它在A點測得燈塔P在船的北偏東60°方向上，2h后船到達B點時，測得燈塔P在船的北偏東45°方向上，則B點到燈塔P的距離為________nmile.20(eq\r(6)＋eq\r(2))[由題可知，在△ABP中，AB＝40，∠PAB＝30°，∠ABP＝135°，∴∠BPA＝15°，由正弦定理得eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(BP,sin30°)，∴BP＝eq\f(AB·sin30°,sin15°)＝eq\f(40×\f(1,2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝20(eq\r(6)＋eq\r(2))(nmile)．]4．如圖所示，一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為________海里/時．eq\f(17\r(6),2)[由題可知PM＝68，∠MPN＝120°，N＝45°，由正弦定理eq\f(MP,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)得MN＝68×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝34eq\r(6).∴速度v＝eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17\r(6),2)(海里/時)．]5．如圖，一輛汽車從O點動身，沿海岸一條直線馬路以100km/h的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在O點南偏東方向距O點500km且在海岸距離為300km的海上M處有一快艇，與汽車同時動身，要把一件重要的物品遞送給這輛汽車的司機，問快艇至少必需以多大的速度行駛，才能把物品遞送到司機手中？并求快艇以最小速度行駛時方向與OM所成的角．[解]如圖所示，設快艇從M處以vkm/h的速度動身，沿MN方向航行，th后與汽車在N點相遇，在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt.設∠MON＝α，由題意知，sinα＝eq\f(3,5)，則cosα＝eq\f(4,5)，由余弦定理知MN2＝OM2＋ON2－2·OM·ON·cosα，即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×eq\f(4,5)，整理得，v2＝eq\b\