連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析講義課件

2.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析

2.1.1基本連續(xù)時(shí)間信號(hào)

2.1.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的沖激表示2.2周期信號(hào)的傅里葉分析

2.2.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)

2.2.2典型周期信號(hào)的頻譜2.3非周期信號(hào)的傅里葉變換

2.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換

2.3.2典型非周期信號(hào)的傅里葉變換

2.3.3傅里葉變換的性質(zhì)2.4周期信號(hào)的傅里葉變換2.5

連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換

2.5.1拉普拉斯變換的定義

2.5.2

拉普拉斯逆變換第二章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析2.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析第二章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析1

時(shí)域分析

以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t)=h(t)*f(t)。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是時(shí)間。頻域分析

本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。

22.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析2.1.1基本連續(xù)時(shí)間信號(hào)1、單位斜變信號(hào)數(shù)學(xué)描述：2.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析2.1.1基本連續(xù)時(shí)間信號(hào)32、單位階躍信號(hào)突然接入的直流電壓突然接通又馬上斷開電源（1）階躍信號(hào)的物理背景（開關(guān)作用）n→∞函數(shù)序列γn(t)階躍信號(hào)和沖激信號(hào)都是奇異信號(hào),階躍信號(hào)與沖激信號(hào)是兩種最基本的理想信號(hào)模型。階躍信號(hào)和沖激信號(hào)在信號(hào)分析與處理中占有重要地位。2、單位階躍信號(hào)突然接入的直流電壓突然接通又馬上斷開電源（14（2）階躍信號(hào)的數(shù)學(xué)描述延遲時(shí)間的階躍函數(shù)

單位階躍函數(shù)（3）階躍信號(hào)的單邊特性對函數(shù)t＞0部分的截取

（2）階躍信號(hào)的數(shù)學(xué)描述延遲時(shí)間的階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)（5（5）用階躍函數(shù)閉式表示分段光滑信號(hào)x(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（4）階躍信號(hào)的加窗特性對脈沖范圍內(nèi)的截取

（5）用階躍函數(shù)閉式表示分段光滑信號(hào)x(t)=2ε(t)6（6）單位階躍函數(shù)的積分為單位斜坡信號(hào)（1）沖激信號(hào)的物理背景

沖激信號(hào)反映一種持續(xù)時(shí)間極短，函數(shù)值極大的脈沖信號(hào)的極限，如：雷擊電閃、短促而強(qiáng)烈的干擾信號(hào)、瞬間作用的沖擊等等。3、單位沖激信號(hào)（6）單位階躍函數(shù)的積分為單位斜坡信號(hào)（1）沖激信號(hào)的物理背7單位沖激信號(hào)的特征：寬度無窮小（脈寬）、高度無窮大（脈高）、面積為1（強(qiáng)度為1）的窄脈沖。單位沖激信號(hào)的特征：寬度無窮小（脈寬）、高度無窮大（脈高）、8注意：圖中K為強(qiáng)度，要括?。。?）沖激信號(hào)δ(t)的數(shù)學(xué)描述

延遲單位沖激1）δ(t)的狄拉克定義單位沖激函數(shù)一般沖激信號(hào)注意：圖中K為強(qiáng)度，要括住?。?）沖激信號(hào)δ(t)的數(shù)學(xué)描述92）脈沖函數(shù)極限定義法矩形脈沖逼近：

脈沖逼近：對γn(t)求導(dǎo)矩形脈沖pn(t)

2）脈沖函數(shù)極限定義法矩形脈沖逼近：脈沖逼近：對γn(t10（3）沖激函數(shù)的性質(zhì)

1）與普通函數(shù)x(t)的乘積——篩分性質(zhì)若x(t)在t=0、t=t0處存在，則

x(t)δ(t)=x(0)δ(t)，x(t)δ(t–t0)=x(a)δ(t–t0)沖激函數(shù)把信號(hào)在充激時(shí)刻的值“篩分”出來，賦給沖激函數(shù)作為沖激強(qiáng)度。連續(xù)信號(hào)與沖激函數(shù)相乘再積分，等于沖激時(shí)刻的信號(hào)值,這就是抽樣性質(zhì)。

2）與普通函數(shù)x(t)的乘積再積分——抽樣性質(zhì)（3）沖激函數(shù)的性質(zhì)1）與普通函數(shù)x(t)的乘積——11（4）沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系：可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在。如x(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)x′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求導(dǎo)n→∞n→∞（4）沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系：可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)12

4、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)

（也稱沖激偶信號(hào)）

δ(–t)=δ(t)為偶函數(shù)

δ’(–t)=–δ’(t)為奇函數(shù)（1）沖激偶信號(hào)的數(shù)學(xué)描述4、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)（也稱沖激偶信號(hào)）13（2）沖激偶信號(hào)的性質(zhì)

1）與普通函數(shù)x(t)的乘積——篩分性質(zhì)

2）抽樣性質(zhì)

（2）沖激偶信號(hào)的性質(zhì)1）與普通函數(shù)x(t)的乘積—140ε(t)例：簡化下列表達(dá)式。0ε(t)例：簡化下列表達(dá)式。15

5、指數(shù)信號(hào)（1）指數(shù)信號(hào)的數(shù)學(xué)描述1）實(shí)指數(shù)信號(hào)指數(shù)規(guī)律增長指數(shù)規(guī)律衰減直流5、指數(shù)信號(hào)（1）指數(shù)信號(hào)的數(shù)學(xué)描述1）實(shí)指數(shù)信號(hào)指數(shù)規(guī)律162）復(fù)指數(shù)信號(hào)增幅振蕩衰減振蕩等幅振蕩復(fù)指數(shù)信號(hào)是連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中使用的基本信號(hào)。其中復(fù)頻率s中的實(shí)部絕對值的大小反映了信號(hào)增長或衰減的速率，虛部的大小反映了信號(hào)振蕩的頻率。2）復(fù)指數(shù)信號(hào)增幅振蕩衰減振蕩等幅振蕩復(fù)指數(shù)信號(hào)是連續(xù)信號(hào)與17（2）用復(fù)指數(shù)信號(hào)表示正余弦信號(hào)

6、抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述：（2）用復(fù)指數(shù)信號(hào)表示正余弦信號(hào)6、抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)182.1.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的沖激表示任意連續(xù)信號(hào)可以表示為無限多個(gè)不同加權(quán)的沖激信號(hào)之和。

2.1.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的沖激表示任意連續(xù)信號(hào)可以表示為無限19傅里葉生平1768年生于法國1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示”拉格朗日反對發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件★非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示

傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)★周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和2.2周期信號(hào)的傅里葉分析傅里葉生平1768年生于法國★非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)20傅里葉分析的工程意義②各種頻率的正弦信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸、分離和變換容易工程實(shí)現(xiàn)。③正弦量只需三要素即可描述，LTI系統(tǒng)的輸入和輸出的差別只有兩要素，即系統(tǒng)的作用只改變信號(hào)的振幅和相位。①

是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，響應(yīng)易求且簡單。1、傅里葉分析的基本信號(hào)單元傅里葉分析的工程意義②各種頻率的正弦信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸、分離和212、適用于廣泛的信號(hào)

由虛指數(shù)或正弦信號(hào)的線性組合可以組成工程中各種信號(hào)，使得對任意信號(hào)作用下的LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析成為一件容易的事情。利于濾波、壓縮處理。2、適用于廣泛的信號(hào)由虛指數(shù)或正弦信號(hào)的線性223、頻域分析的優(yōu)勢①任意信號(hào)分解成不同頻率虛指數(shù)（正弦）信號(hào)的線性組合，分析LTI系統(tǒng)對這些不同頻率單元信號(hào)作用的響應(yīng)特性的過程就是頻域分析。②頻率分析可以方便求解系統(tǒng)響應(yīng)。例如相量法。③頻域分析的結(jié)果具有明顯的物理意義，例如抽樣定理和無失真?zhèn)鬏敻拍疃际穷l域分析的結(jié)果。④可直接在頻域內(nèi)設(shè)計(jì)可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，例如濾波器的設(shè)計(jì)。狄里赫利條件1、在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；2、在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)；3、在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即3、頻域分析的優(yōu)勢①任意信號(hào)分解成不同頻率虛指數(shù)（正弦）信號(hào)23正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交函數(shù)：若兩個(gè)函數(shù)g1(t)、g2(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)滿足則說明這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)正交，或稱它們是區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)。正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交函數(shù)：若兩個(gè)函數(shù)g1(t)、g2(t24正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交函數(shù)集：若函數(shù)集{gi(t)}在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)且函數(shù)g1(t)，...gn(t)滿足則這個(gè)函數(shù)集就是正交函數(shù)集，當(dāng)ki=1時(shí)為歸一化正交函數(shù)集。正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交函數(shù)集：若函數(shù)集{gi(t)}在區(qū)25滿足一定條件的信號(hào)可以被分解為正交函數(shù)的線性組合若正交函數(shù)集是完備的，則：滿足一定條件的信號(hào)可以被分解為正交函數(shù)的若正交函數(shù)集是完備的26三角函數(shù)集是最重要的完備正交函數(shù)集三角函數(shù)是基本函數(shù)；用三角函數(shù)表示信號(hào)，建立了時(shí)間與頻率兩個(gè)基本物理量之間的聯(lián)系；單頻三角函數(shù)是簡諧信號(hào)，易于產(chǎn)生、傳輸、處理；三角函數(shù)信號(hào)通過LTI系統(tǒng)后，仍為同頻三角函數(shù)信號(hào)。三角函數(shù)集是最重要的完備正交函數(shù)集三角函數(shù)是基本函數(shù)；27三角函數(shù)集：完備正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集：三角函數(shù)集：完備正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集：281、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式設(shè)周期信號(hào)x(t)，其周期為T1，角頻率ω1=2/T1，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)——稱為x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)

系數(shù)ak,bk稱為傅里葉系數(shù)

可見，ak

是k的偶函數(shù)，bk是k的奇函數(shù)。2.2.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)1、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式設(shè)周期信號(hào)x(t)，其周期為T1，角29式中，C0=a0上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。其中，C0為直流分量；

C1cos(ω1t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)相同；

C2cos(2ω1t

+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ckcos(kω1t+k)稱為k次諧波。

可見Ck是k的偶函數(shù)，k是k的奇函數(shù)。ak=Ckcosk，bk=–Cksink，k=1,2,…將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為式中，C0=a0上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦30由前知引入了負(fù)頻率其中由歐拉公式指數(shù)級(jí)數(shù)2、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪胏osx=(ejx+e–jx)/2由前知引入了負(fù)頻率其中由歐拉公式指數(shù)級(jí)數(shù)2、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)31稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。(k=0,±1,±2，…)表明：任意周期信號(hào)x(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。X0=C0為直流分量。兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系:

稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。(k=0,±323、三角形式與指數(shù)形式的比較三角形式便于電路計(jì)算，便于對稱性分析指數(shù)形式是本課程研究的主要形式③可推出傅里葉變換①表達(dá)最簡練k=0,±1,±2，…指數(shù)形式的優(yōu)勢②代表頻譜3、三角形式與指數(shù)形式的比較三角形式便于電路計(jì)算，便于對稱性332.2.2典型周期信號(hào)的頻譜

從廣義上說，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將Ck~ω和k~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閗≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Xk|~ω和k~ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Xk為實(shí)數(shù)，也可直接畫Xk

。2.2.2典型周期信號(hào)的頻譜從廣義上說，信341、周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)的脈沖寬度為τ，脈沖幅度為A，周期為T1，求頻譜。

1、周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)的脈沖寬度為τ，脈35離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密；各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比；各譜線的幅度按包絡(luò)線變化；過零點(diǎn)為：；主要能量在第一過零點(diǎn)內(nèi)。主頻帶寬度為：●周期矩形脈沖信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密；●周期36●譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a)T1一定，變小，此時(shí)ω1（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目增多。周期不變時(shí)，脈沖寬度越窄，其頻譜包絡(luò)線第一個(gè)零值點(diǎn)的頻率越高，即信號(hào)的帶寬越大，頻帶內(nèi)所含的分量越多?！褡V線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a)T1一定，變小，此時(shí)37如果周期無限增長（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。

(b)一定，T1增大，間隔ω1減小，頻譜變密。幅度減小。如果周期無限增長（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線(b)382、周期三角脈沖信號(hào)的頻譜2、周期三角脈沖信號(hào)的頻譜392.3非周期信號(hào)的傅里葉變換2.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換

非周期信號(hào)x(t)可看成是周期T1→∞時(shí)的周期信號(hào)。前已指出當(dāng)周期T1趨近于無窮大時(shí)，譜線間隔ω1趨近于無窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令

(單位頻率上的頻譜）

稱X(ω)為頻譜密度函數(shù)。2.3非周期信號(hào)的傅里葉變換2.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅40考慮到：T1→∞，ω1→無窮小，記為dω；

kω1

→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而同時(shí)，∑→∫于是，傅里葉變換式“-”傅里葉反變換式X(ω)稱為x(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。x(t)稱為X(ω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)考慮到：T1→∞，ω1→無窮小，記為dω；同時(shí)，∑→∫于是41也可簡記為或

x(t)←→X(ω)X(ω)是一個(gè)密度函數(shù)的概念X(ω)是一個(gè)連續(xù)譜X(ω)包含了從零到無限高頻的所有頻率分量各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系●非周期信號(hào)FT的物理意義也可簡記為或x(t)←→X(ω)X(ω)是一個(gè)密度函數(shù)42X(ω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為說明：

(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)x(t)的傅里葉變換存在的充分條件:(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分。|X(ω)|~ω幅度譜

(ω)~ω相位譜非周期信號(hào)的幅度頻譜是頻率的連續(xù)函數(shù)，其形狀與相應(yīng)周期信號(hào)頻譜的包絡(luò)線相同。

X(ω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為說明：(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格432.3.2典型非周期信號(hào)的頻譜單邊指數(shù)信號(hào)x(t)=e–tε(t)，

>0實(shí)數(shù)2.3.2典型非周期信號(hào)的頻譜單邊指數(shù)信號(hào)x(t)=442.矩形脈沖信號(hào)（門函數(shù)）

2.矩形脈沖信號(hào)（門函數(shù)）453.符號(hào)函數(shù)

3.符號(hào)函數(shù)464.單位沖激信號(hào)

5.直流信號(hào)(t)←→1代入反變換定義式，有將→t，t→-再根據(jù)傅里葉變換定義式4.單位沖激信號(hào)5.直流信號(hào)(t)47有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t)等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。

可構(gòu)造一函數(shù)序列{xn(t)}逼近x

(t)

，即而xn(t)滿足絕對可積條件，并且{xn(t)}的傅里葉變換所形成的序列{Xn()}是極限收斂的。則可定義x(t)的傅里葉變換X

()為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換?！駨V義傅里葉變換有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t)等，但486.單位階躍信號(hào)

7.雙邊指數(shù)信號(hào)x(t)=e–t,

>06.單位階躍信號(hào)7.雙邊指數(shù)信號(hào)x(t)492.3.3傅里葉變換的性質(zhì)1.線性(LinearProperty)若，則對于任意常數(shù)a1和a2，有

證明:

F[a1

x1(t)+a2

x2(t)]=[a1

X1(ω)+a2

X2(ω)]2.3.3傅里葉變換的性質(zhì)1.線性(LinearPr502.對偶性(SymmetricalProperty)若x(t)←→X(ω)則證明:（1）in(1)t→ω，ω→tthen

（2）in(2)ω→-ωthen∴X(t)←→2πx(–ω)endX(t)←→2πx(–ω)2.對偶性(SymmetricalProperty)若513.尺度變換性質(zhì)(ScalingTransformProperty)若x(t)←→X(ω)則其中“a”

為不等于零的實(shí)常數(shù)。證明：F

[x(at)]=Fora>0F

[x(at)]fora<0F[x(at)]Thatis,如果

a=-1,有x(-t)←→X(-ω)3.尺度變換性質(zhì)(ScalingTransformPr52

尺度變換性質(zhì)表明，時(shí)域信號(hào)的壓縮與擴(kuò)展，對應(yīng)于頻域頻譜函數(shù)的擴(kuò)展與壓縮。

若要壓縮信號(hào)持續(xù)時(shí)間，提高通信速率，則不得不以展寬頻帶作代價(jià)例如尺度變換性質(zhì)表明，時(shí)域信號(hào)的壓縮與擴(kuò)展，對應(yīng)于頻域頻53若x(t)←→X(ω)則其中“t0”為實(shí)常數(shù)。證明：

F[x(t–t0)]4.時(shí)移性質(zhì)(TimeshiftingProperty)

時(shí)移性質(zhì)表明，信號(hào)在時(shí)間軸上的移位，其頻譜函數(shù)的幅度譜不變，而相位譜產(chǎn)生附加相移。若x(t)←→X(ω)則其中“t0”為實(shí)常數(shù)。證54若x(t)←→X(ω)則證明：其中“ω0”為實(shí)常數(shù)。F[ejω0t

x(t)]=X(ω-ω0)end5.頻移性質(zhì)(FrequencyShiftingProperty)頻移性質(zhì)表明，若要使一個(gè)信號(hào)的頻譜在頻率軸上右移單位，在時(shí)域就對應(yīng)于其時(shí)間信號(hào)x(t)乘以。若x(t)←→X(ω)則證明：其中“ω0”55例1x(t)=ej3t←→X(ω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)例2x(t)=cosω0t

←→X(ω)=?Ans:X(ω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]例1x(t)=ej3t←→X(ω)=?Ans:56例3Giventhatx(t)←→X(ω)Themodulatedsignalx(t)cosω0t←→?Ans:

例3Giventhatx(t)←→X(ω)Th576.時(shí)域微分(Differentiationintimedomain)證明：若

則

兩邊對t求導(dǎo)，得

所以

6.時(shí)域微分(Differentiationintim58x(t)=1/t2←→?例1Ans:x(t)=1/t2←→?例1Ans:59例2Determinex(t)←→X

(ω)Ans:x

”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)X2(ω)=F[x”(t)]=(jω)2

X

(ω)=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2X

(ω)=例2Determinex(t)←→X(ω)Ans:607.卷積定理(ConvolutionProperty)時(shí)域卷積（Convolutionintimedomain）：Ifx1(t)←→X1(ω)，x2(t)←→X2(ω)Thenx1(t)*x2(t)←→X1(ω)X2(ω)頻域卷積（Convolutioninfrequencydomain）：Ifx1(t)←→X1(ω)，x2(t)←→X2(ω)Thenx1(t)x2(t)←→X1(ω)*X2(ω)7.卷積定理(ConvolutionProperty)61證明：

F[x1(t)*x2(t)]=利用時(shí)移性質(zhì)，所以

F[x1(t)*x2(t)]==X1(ω)X2(ω)證明：F[x1(t)*x2(t)]=利用時(shí)移性質(zhì)，所62已知為矩形脈沖信號(hào),求的傅里葉變換。根據(jù)時(shí)域卷積定理，有的傅里葉變換為門函數(shù)其實(shí)，y(t)是脈寬為2τ、脈高為τ的三角脈沖。例1Ans:已知為矩形脈沖信號(hào),求的傅里葉變換。根據(jù)時(shí)域卷積定理，有的傅63例2Ans:利用對偶性，例2Ans:利用對偶性，64例3調(diào)制解調(diào)例3調(diào)制解調(diào)652.4周期信號(hào)的傅里葉變換1.正、余弦信號(hào)的傅里葉變換1←→2πδ(ω)由頻移特性得

ejω0t←→2πδ(ω–ω0)e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)cos(ω0t)=?(ejω0t+e–jω0t)←→π[δ(ω–ω0)+δ(ω+ω0)]sin(ω0t)=(ejω0t-e–jω0t)/(2j)←→jπ[δ(ω+ω0)–δ(ω–ω0)]2.4周期信號(hào)的傅里葉變換1.正、余弦信號(hào)的傅里葉變換662.從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換(1)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉系數(shù)（頻譜）Xk與X0(ω)的關(guān)系x(t)中一個(gè)周期的傅里葉變換周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜密度Xk是對X0(ω)以ω0為間隔離散化的結(jié)果。2.從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換(1)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)傅里67(2)周期信號(hào)的傅里葉變換（1）周期信號(hào)的傅里葉變換是由沖激函數(shù)組成的沖激串。特點(diǎn)：（2）沖激串的頻率間隔為ω0=2π/T，沖激位于周期信號(hào)的諧頻處，沖激強(qiáng)度為Xk的2π倍。Xk易求時(shí)X0(kω0)易求時(shí)

(2)周期信號(hào)的傅里葉變換（1）周期信號(hào)的傅里葉變換是由沖激68例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)T(t)=解：沖激周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)T(t)=解：沖激周期函69例2：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。解：周期信號(hào)x(t)也可看作一時(shí)限非周期信號(hào)x0(t)的周期拓展。周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)

例2：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。解：周期信號(hào)x(t)也可70

頻域分析以虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，如e2tε(t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。在這一節(jié)將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來解決這些問題。本節(jié)引入復(fù)頻率s=σ+jω,以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率s

，故稱為s域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。頻域分析以虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意712.5連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換2.5.1拉普拉斯變換的定義1、從傅里葉變換到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e-t(為實(shí)常數(shù)）乘信號(hào)x(t)，適當(dāng)選取的值，使乘積信號(hào)x(t)e-t當(dāng)t∞時(shí)信號(hào)幅度趨近于0，從而使x(t)e-t的傅里葉變換存在。相應(yīng)的傅里葉逆變換為2.5連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換2.5.1拉普拉斯變換的定義72

令復(fù)變量s=+j,d=ds/j，有雙邊拉氏變換（象函數(shù)）拉氏逆變換（原函數(shù)）說明：①X(s)=L[x(t)]象函數(shù)，自然界中不存在，復(fù)函數(shù)，無法直接測量；x(t)=L-1[X(s)]原函數(shù)，實(shí)際存在，實(shí)函數(shù)，可以感覺和測量。

令復(fù)變量s=+j,d=ds/j，有雙73②關(guān)鍵在于這個(gè)衰減因子e-σt

的引入，滿足更多信號(hào)。ω只能描述振蕩頻率，而s不僅能給出重復(fù)頻率，還可表示振蕩幅度的增長速率或衰減速率。③把x(t)變到s域的目的：方便計(jì)算－微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程，卷積變成相乘。單邊拉氏變換信號(hào)x(t)的單邊拉氏變換即為x(t)ε(t)（因果信號(hào)）的雙邊拉氏變換，單邊拉氏變換的反變換應(yīng)是因果信號(hào)，即x(t)ε(t)。②關(guān)鍵在于這個(gè)衰減因子e-σt的引入，滿足更多信號(hào)。ω只74●單邊拉氏變換的工程背景

因?yàn)楸緯鴥H研究線性時(shí)不變且為因果系統(tǒng)，故僅討論單邊拉氏變換。

在系統(tǒng)分析中，一般認(rèn)為信號(hào)在0時(shí)刻加入，對于因果系統(tǒng)其響應(yīng)在才出現(xiàn)，實(shí)際響應(yīng)一定也是因果信號(hào)。

實(shí)際信號(hào)x(t)都有起始時(shí)刻，一般認(rèn)為起始時(shí)刻為0時(shí)刻，故把實(shí)際信號(hào)看成因果信號(hào)是符合實(shí)際的?！穹e分下限取0_考慮到信號(hào)x(t)在t=0時(shí)可能出現(xiàn)沖激，故采用0_?！駟芜吚献儞Q的工程背景因?yàn)楸緯鴥H研究線性時(shí)不變752、拉氏變換的收斂域ROC

使x(t)拉氏變換存在的=Re{s}取值范圍稱為收斂域。對于單邊拉氏變換，X(s)存在的條件是被積函數(shù)收斂,從而要求滿足當(dāng)>0時(shí)收斂域收斂邊界即單邊拉氏變換的ROC為：Re[s]=>02、拉氏變換的收斂域ROC使x(t)拉氏變換存在的=R76可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：1.ROC是S平面上平行于軸的帶狀區(qū)域。2.在ROC內(nèi)無任何極點(diǎn)。3.時(shí)限信號(hào)的ROC是整個(gè)S平面。4.右邊信號(hào)的ROC是S平面內(nèi)某一條平行于軸的直線的右邊。TheRegionofConvergenceforLaplaceTransforms可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：TheRegionofCo77若，則表明也在收斂域內(nèi)。若是右邊信號(hào),,在ROC內(nèi)，則有絕對可積，即：若，則表明也在收斂域內(nèi)。若是右邊785.左邊信號(hào)的ROC是S平面內(nèi)的一條平行于軸的直線的左邊。

若是左邊信號(hào)，定義于,在ROC內(nèi)，，則表明也在收斂域內(nèi)。5.左邊信號(hào)的ROC是S平面內(nèi)的一條平行于軸的直796.雙邊信號(hào)的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于軸的帶形區(qū)域。例1.6.雙邊信號(hào)的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于80考查零點(diǎn)，令得例2.有極點(diǎn)

顯然在也有一階零點(diǎn)，由于零極點(diǎn)相抵消，致使在整個(gè)S平面上無極點(diǎn)?？疾榱泓c(diǎn)，令得例2.有極點(diǎn)顯然在81當(dāng)時(shí)，上述ROC有公共部分，當(dāng)時(shí)，上述ROC無公共部分，表明不存在。當(dāng)時(shí)，上述ROC有公共部分，當(dāng)82

當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，其ROC總是由的極點(diǎn)分割的。ROC必然滿足下列規(guī)律：

1.右邊信號(hào)的ROC一定位于最右邊極點(diǎn)的右邊。

2.左邊信號(hào)的ROC一定位于最左邊極點(diǎn)的左邊。

3.雙邊信號(hào)的ROC可以是任意兩相鄰極點(diǎn)之間的帶狀區(qū)域。當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，其ROC總是由83例3.可以形成三種ROC：

ROC：此時(shí)是右邊信號(hào)。

ROC：此時(shí)是左邊信號(hào)。

ROC：此時(shí)是雙邊信號(hào)。例3.可以形成三種ROC：84(1)(t)←→1，>-∞(2)(t)或1←→1/s，>0☆利用0_系統(tǒng)，可以計(jì)算信號(hào)在t=0時(shí)發(fā)生的沖激?！钊玸域內(nèi)均存在拉氏變換。注意：階躍信號(hào)只在的區(qū)域內(nèi)存在拉氏變換，是區(qū)域邊界。是的極點(diǎn)實(shí)部。當(dāng)s

的實(shí)部時(shí)，，故

3、常見信號(hào)的拉氏變換(1)(t)←→1，>-∞(2)(t)或1←85時(shí)，有注意：指數(shù)信號(hào)只在的區(qū)域內(nèi)存在拉氏變換，是區(qū)域邊界。cos0t=(ej0t+e-j0t)/2←→sin0t=(ej0t–e-j0t)/2j←→(3)指數(shù)函數(shù)e-s0t←→>-Re[s0]=0時(shí)，有注意：指數(shù)信號(hào)只在的區(qū)域864、拉氏變換的性質(zhì)

線性時(shí)移頻移尺度變換t域微分s域微分t域積分s域積分t域卷積4、拉氏變換的性質(zhì)線性時(shí)移頻移尺度變換t域微分s域微分87例1:求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。解：x1(t)=(t)–(t-1)，

x2(t)=(t+1)–(t-1)X1(s)=X2(s)=X1(s)注意:X2(s)≠例2:求x(t)=e-2(t-1)ε(t－1)←→X

(s)=?例3:求x(t)=e-2(t-1)ε(t)←→X

(s)=?x(t)=e-2te2ε(t)例1:求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。解：x1(t)=(t)88例4:已知x1(t)←→X1(s),

求x2(t)←→X2(s)。解：x2(t)=x1(0.5t)–x1[0.5(t-2)]x1(0.5t)←→2X1(2s)x1[0.5(t-2)]←→2X1(2s)e-2sx2(t)←→2X1(2s)(1–e-2s)例5:已知因果信號(hào)x(t)的象函數(shù)X(s)=求e-tx(3t-2)的象函數(shù)。解：e-tx(3t-2)←→

例4:已知x1(t)←→X1(s),解：x2(t)89例6:

(n)(t)←→?

例7:例9:t2(t)←→?解:例8:t(t)←→?例6:(n)(t)←→?例7:例9:t2(t)90例10：例11:已知因果信號(hào)x(t)如圖,求X(s)。解:由于x(t)為因果信號(hào)，故x(0-)=0結(jié)論：若x(t)為因果信號(hào)，已知x(n)(t)←→Xn(s)

則x(t)←→Xn(s)/sn例10：例11:已知因果信號(hào)x(t)如圖,求X(s)。解:912.5.2拉普拉斯逆變換1、基本思想

根據(jù)線性性質(zhì)，把象函數(shù)分解為基本單元的組合，再求取拉普拉斯逆變換。

直接求取相當(dāng)困難！2.5.2拉普拉斯逆變換1、基本思想根據(jù)線性性92的根稱為X(s)的極點(diǎn)，用表示的根稱為X(s)的零點(diǎn)，用表示例如：2、零極點(diǎn)的根稱為X(s)的極點(diǎn)，用93若象函數(shù)X(s)是s的有理分式，可寫為

若M≥N（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)X(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。

由于L-1[1]=(t)，L

-1[sn]=(n)(t)，故多項(xiàng)式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。3、部分分式展開法若象函數(shù)X(s)是s的有理分式，可寫為若M≥N（假分式）94(1)單極點(diǎn)互不相等下面主要討論有理真分式的情形。

D(s)稱為X(s)的特征多項(xiàng)式，方程D(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為X(s)的固有頻率（或自然頻率）。(1)單極點(diǎn)95(2)復(fù)數(shù)極點(diǎn)k1和k2也呈共軛關(guān)系假定復(fù)數(shù)極點(diǎn)必以共軛形式出現(xiàn)，令(2)復(fù)數(shù)極點(diǎn)k1和k2也呈共軛關(guān)系假定復(fù)數(shù)極點(diǎn)必以共軛形96(3)重極點(diǎn)

X(s)含有r重極點(diǎn)p1

(3)重極點(diǎn)X(s)含有r重極點(diǎn)p197解:例1：已知，求其逆變換。例2：已知，求其逆變換。解:解:例1：已知，求其逆變換。例2：已知，求其逆變換。解:98例3：已知，求其逆變換。解:令例3：已知，求其逆變換。解:令99例4:

已知函數(shù)試求信號(hào)。解:例4:已知函數(shù)試求信號(hào)100理解沖激信號(hào)與斜坡、階躍、沖激偶函數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)信號(hào)，掌握沖激信號(hào)的性質(zhì)；理解任意連續(xù)信號(hào)可以表示為無限多個(gè)不同加權(quán)的沖激信號(hào)之和；理解三角形式和指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系，掌握周期信號(hào)的頻譜概念及特點(diǎn)，尤其是周期矩形波的頻譜；理解非周期信號(hào)的傅里葉變換，尤其是頻譜密度概念。熟悉常用的傅里葉變換性質(zhì)；理解周期信號(hào)的傅里葉變換；理解拉氏變換與傅氏關(guān)系，熟悉常用拉氏變換及逆變換。學(xué)習(xí)要求理解沖激信號(hào)與斜坡、階躍、沖激偶函數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)信號(hào)，掌握101重點(diǎn)：沖激信號(hào)，頻譜難點(diǎn)：周期信號(hào)的頻譜及頻譜圖；正確理解信號(hào)的時(shí)域、頻域及復(fù)頻域關(guān)系重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：沖激信號(hào)，頻譜重點(diǎn)和難點(diǎn)1022-1（1）（3）（6）2-22-52-8（a）（b）2-9（a）（b）2-11（1）2-142-152-17（2）（4）2-18（3）（4）2-212-22（1）（3）（5）作業(yè)2-1（1）（3）（6）作業(yè)1032.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析

2.1.1基本連續(xù)時(shí)間信號(hào)

2.1.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的沖激表示2.2周期信號(hào)的傅里葉分析

2.2.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)

2.2.2典型周期信號(hào)的頻譜2.3非周期信號(hào)的傅里葉變換

2.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換

2.3.2典型非周期信號(hào)的傅里葉變換

2.3.3傅里葉變換的性質(zhì)2.4周期信號(hào)的傅里葉變換2.5

連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換

2.5.1拉普拉斯變換的定義

2.5.2

拉普拉斯逆變換第二章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析2.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析第二章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析104

時(shí)域分析

以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t)=h(t)*f(t)。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是時(shí)間。頻域分析

本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。

1052.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析2.1.1基本連續(xù)時(shí)間信號(hào)1、單位斜變信號(hào)數(shù)學(xué)描述：2.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析2.1.1基本連續(xù)時(shí)間信號(hào)1062、單位階躍信號(hào)突然接入的直流電壓突然接通又馬上斷開電源（1）階躍信號(hào)的物理背景（開關(guān)作用）n→∞函數(shù)序列γn(t)階躍信號(hào)和沖激信號(hào)都是奇異信號(hào),階躍信號(hào)與沖激信號(hào)是兩種最基本的理想信號(hào)模型。階躍信號(hào)和沖激信號(hào)在信號(hào)分析與處理中占有重要地位。2、單位階躍信號(hào)突然接入的直流電壓突然接通又馬上斷開電源（1107（2）階躍信號(hào)的數(shù)學(xué)描述延遲時(shí)間的階躍函數(shù)

單位階躍函數(shù)（3）階躍信號(hào)的單邊特性對函數(shù)t＞0部分的截取

（2）階躍信號(hào)的數(shù)學(xué)描述延遲時(shí)間的階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)（108（5）用階躍函數(shù)閉式表示分段光滑信號(hào)x(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（4）階躍信號(hào)的加窗特性對脈沖范圍內(nèi)的截取

（5）用階躍函數(shù)閉式表示分段光滑信號(hào)x(t)=2ε(t)109（6）單位階躍函數(shù)的積分為單位斜坡信號(hào)（1）沖激信號(hào)的物理背景

沖激信號(hào)反映一種持續(xù)時(shí)間極短，函數(shù)值極大的脈沖信號(hào)的極限，如：雷擊電閃、短促而強(qiáng)烈的干擾信號(hào)、瞬間作用的沖擊等等。3、單位沖激信號(hào)（6）單位階躍函數(shù)的積分為單位斜坡信號(hào)（1）沖激信號(hào)的物理背110單位沖激信號(hào)的特征：寬度無窮小（脈寬）、高度無窮大（脈高）、面積為1（強(qiáng)度為1）的窄脈沖。單位沖激信號(hào)的特征：寬度無窮?。}寬）、高度無窮大（脈高）、111注意：圖中K為強(qiáng)度，要括?。。?）沖激信號(hào)δ(t)的數(shù)學(xué)描述

延遲單位沖激1）δ(t)的狄拉克定義單位沖激函數(shù)一般沖激信號(hào)注意：圖中K為強(qiáng)度，要括?。。?）沖激信號(hào)δ(t)的數(shù)學(xué)描述1122）脈沖函數(shù)極限定義法矩形脈沖逼近：

脈沖逼近：對γn(t)求導(dǎo)矩形脈沖pn(t)

2）脈沖函數(shù)極限定義法矩形脈沖逼近：脈沖逼近：對γn(t113（3）沖激函數(shù)的性質(zhì)

1）與普通函數(shù)x(t)的乘積——篩分性質(zhì)若x(t)在t=0、t=t0處存在，則

x(t)δ(t)=x(0)δ(t)，x(t)δ(t–t0)=x(a)δ(t–t0)沖激函數(shù)把信號(hào)在充激時(shí)刻的值“篩分”出來，賦給沖激函數(shù)作為沖激強(qiáng)度。連續(xù)信號(hào)與沖激函數(shù)相乘再積分，等于沖激時(shí)刻的信號(hào)值,這就是抽樣性質(zhì)。

2）與普通函數(shù)x(t)的乘積再積分——抽樣性質(zhì)（3）沖激函數(shù)的性質(zhì)1）與普通函數(shù)x(t)的乘積——114（4）沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系：可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在。如x(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)x′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求導(dǎo)n→∞n→∞（4）沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系：可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)115

4、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)

（也稱沖激偶信號(hào)）

δ(–t)=δ(t)為偶函數(shù)

δ’(–t)=–δ’(t)為奇函數(shù)（1）沖激偶信號(hào)的數(shù)學(xué)描述4、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)（也稱沖激偶信號(hào)）116（2）沖激偶信號(hào)的性質(zhì)

1）與普通函數(shù)x(t)的乘積——篩分性質(zhì)

2）抽樣性質(zhì)

（2）沖激偶信號(hào)的性質(zhì)1）與普通函數(shù)x(t)的乘積—1170ε(t)例：簡化下列表達(dá)式。0ε(t)例：簡化下列表達(dá)式。118

5、指數(shù)信號(hào)（1）指數(shù)信號(hào)的數(shù)學(xué)描述1）實(shí)指數(shù)信號(hào)指數(shù)規(guī)律增長指數(shù)規(guī)律衰減直流5、指數(shù)信號(hào)（1）指數(shù)信號(hào)的數(shù)學(xué)描述1）實(shí)指數(shù)信號(hào)指數(shù)規(guī)律1192）復(fù)指數(shù)信號(hào)增幅振蕩衰減振蕩等幅振蕩復(fù)指數(shù)信號(hào)是連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中使用的基本信號(hào)。其中復(fù)頻率s中的實(shí)部絕對值的大小反映了信號(hào)增長或衰減的速率，虛部的大小反映了信號(hào)振蕩的頻率。2）復(fù)指數(shù)信號(hào)增幅振蕩衰減振蕩等幅振蕩復(fù)指數(shù)信號(hào)是連續(xù)信號(hào)與120（2）用復(fù)指數(shù)信號(hào)表示正余弦信號(hào)

6、抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述：（2）用復(fù)指數(shù)信號(hào)表示正余弦信號(hào)6、抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)1212.1.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的沖激表示任意連續(xù)信號(hào)可以表示為無限多個(gè)不同加權(quán)的沖激信號(hào)之和。

2.1.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的沖激表示任意連續(xù)信號(hào)可以表示為無限122傅里葉生平1768年生于法國1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示”拉格朗日反對發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件★非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示

傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)★周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和2.2周期信號(hào)的傅里葉分析傅里葉生平1768年生于法國★非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)123傅里葉分析的工程意義②各種頻率的正弦信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸、分離和變換容易工程實(shí)現(xiàn)。③正弦量只需三要素即可描述，LTI系統(tǒng)的輸入和輸出的差別只有兩要素，即系統(tǒng)的作用只改變信號(hào)的振幅和相位。①

是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，響應(yīng)易求且簡單。1、傅里葉分析的基本信號(hào)單元傅里葉分析的工程意義②各種頻率的正弦信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸、分離和1242、適用于廣泛的信號(hào)

由虛指數(shù)或正弦信號(hào)的線性組合可以組成工程中各種信號(hào)，使得對任意信號(hào)作用下的LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析成為一件容易的事情。利于濾波、壓縮處理。2、適用于廣泛的信號(hào)由虛指數(shù)或正弦信號(hào)的線性1253、頻域分析的優(yōu)勢①任意信號(hào)分解成不同頻率虛指數(shù)（正弦）信號(hào)的線性組合，分析LTI系統(tǒng)對這些不同頻率單元信號(hào)作用的響應(yīng)特性的過程就是頻域分析。②頻率分析可以方便求解系統(tǒng)響應(yīng)。例如相量法。③頻域分析的結(jié)果具有明顯的物理意義，例如抽樣定理和無失真?zhèn)鬏敻拍疃际穷l域分析的結(jié)果。④可直接在頻域內(nèi)設(shè)計(jì)可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，例如濾波器的設(shè)計(jì)。狄里赫利條件1、在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；2、在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)；3、在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即3、頻域分析的優(yōu)勢①任意信號(hào)分解成不同頻率虛指數(shù)（正弦）信號(hào)126正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交函數(shù)：若兩個(gè)函數(shù)g1(t)、g2(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)滿足則說明這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)正交，或稱它們是區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)。正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交函數(shù)：若兩個(gè)函數(shù)g1(t)、g2(t127正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交函數(shù)集：若函數(shù)集{gi(t)}在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)且函數(shù)g1(t)，...gn(t)滿足則這個(gè)函數(shù)集就是正交函數(shù)集，當(dāng)ki=1時(shí)為歸一化正交函數(shù)集。正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交函數(shù)集：若函數(shù)集{gi(t)}在區(qū)128滿足一定條件的信號(hào)可以被分解為正交函數(shù)的線性組合若正交函數(shù)集是完備的，則：滿足一定條件的信號(hào)可以被分解為正交函數(shù)的若正交函數(shù)集是完備的129三角函數(shù)集是最重要的完備正交函數(shù)集三角函數(shù)是基本函數(shù)；用三角函數(shù)表示信號(hào)，建立了時(shí)間與頻率兩個(gè)基本物理量之間的聯(lián)系；單頻三角函數(shù)是簡諧信號(hào)，易于產(chǎn)生、傳輸、處理；三角函數(shù)信號(hào)通過LTI系統(tǒng)后，仍為同頻三角函數(shù)信號(hào)。三角函數(shù)集是最重要的完備正交函數(shù)集三角函數(shù)是基本函數(shù)；130三角函數(shù)集：完備正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集：三角函數(shù)集：完備正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集：1311、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式設(shè)周期信號(hào)x(t)，其周期為T1，角頻率ω1=2/T1，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)——稱為x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)

系數(shù)ak,bk稱為傅里葉系數(shù)

可見，ak

是k的偶函數(shù)，bk是k的奇函數(shù)。2.2.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)1、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式設(shè)周期信號(hào)x(t)，其周期為T1，角132式中，C0=a0上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。其中，C0為直流分量；

C1cos(ω1t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)相同；

C2cos(2ω1t

+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ckcos(kω1t+k)稱為k次諧波。

可見Ck是k的偶函數(shù)，k是k的奇函數(shù)。ak=Ckcosk，bk=–Cksink，k=1,2,…將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為式中，C0=a0上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦133由前知引入了負(fù)頻率其中由歐拉公式指數(shù)級(jí)數(shù)2、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪胏osx=(ejx+e–jx)/2由前知引入了負(fù)頻率其中由歐拉公式指數(shù)級(jí)數(shù)2、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)134稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。(k=0,±1,±2，…)表明：任意周期信號(hào)x(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。X0=C0為直流分量。兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系:

稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。(k=0,±1353、三角形式與指數(shù)形式的比較三角形式便于電路計(jì)算，便于對稱性分析指數(shù)形式是本課程研究的主要形式③可推出傅里葉變換①表達(dá)最簡練k=0,±1,±2，…指數(shù)形式的優(yōu)勢②代表頻譜3、三角形式與指數(shù)形式的比較三角形式便于電路計(jì)算，便于對稱性1362.2.2典型周期信號(hào)的頻譜

從廣義上說，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將Ck~ω和k~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閗≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Xk|~ω和k~ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Xk為實(shí)數(shù)，也可直接畫Xk

。2.2.2典型周期信號(hào)的頻譜從廣義上說，信1371、周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)的脈沖寬度為τ，脈沖幅度為A，周期為T1，求頻譜。

1、周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)的脈沖寬度為τ，脈138離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密；各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比；各譜線的幅度按包絡(luò)線變化；過零點(diǎn)為：；主要能量在第一過零點(diǎn)內(nèi)。主頻帶寬度為：●周期矩形脈沖信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密；●周期139●譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a)T1一定，變小，此時(shí)ω1（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目增多。周期不變時(shí)，脈沖寬度越窄，其頻譜包絡(luò)線第一個(gè)零值點(diǎn)的頻率越高，即信號(hào)的帶寬越大，頻帶內(nèi)所含的分量越多?！褡V線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a)T1一定，變小，此時(shí)140如果周期無限增長（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。

(b)一定，T1增大，間隔ω1減小，頻譜變密。幅度減小。如果周期無限增長（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線(b)1412、周期三角脈沖信號(hào)的頻譜2、周期三角脈沖信號(hào)的頻譜1422.3非周期信號(hào)的傅里葉變換2.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換

非周期信號(hào)x(t)可看成是周期T1→∞時(shí)的周期信號(hào)。前已指出當(dāng)周期T1趨近于無窮大時(shí)，譜線間隔ω1趨近于無窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令

(單位頻率上的頻譜）

稱X(ω)為頻譜密度函數(shù)。2.3非周期信號(hào)的傅里葉變換2.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅143考慮到：T1→∞，ω1→無窮小，記為dω；

kω1

→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而同時(shí)，∑→∫于是，傅里葉變換式“-”傅里葉反變換式X(ω)稱為x(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。x(t)稱為X(ω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)考慮到：T1→∞，ω1→無窮小，記為dω；同時(shí)，∑→∫于是144也可簡記為或

x(t)←→X(ω)X(ω)是一個(gè)密度函數(shù)的概念X(ω)是一個(gè)連續(xù)譜X(ω)包含了從零到無限高頻的所有頻率分量各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系●非周期信號(hào)FT的物理意義也可簡記為或x(t)←→X(ω)X(ω)是一個(gè)密度函數(shù)145X(ω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為說明：

(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。可證明，函數(shù)x(t)的傅里葉變換存在的充分條件:(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分。|X(ω)|~ω幅度譜

(ω)~ω相位譜非周期信號(hào)的幅度頻譜是頻率的連續(xù)函數(shù)，其形狀與相應(yīng)周期信號(hào)頻譜的包絡(luò)線相同。

X(ω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為說明：(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格1462.3.2典型非周期信號(hào)的頻譜單邊指數(shù)信號(hào)x(t)=e–tε(t)，

>0實(shí)數(shù)2.3.2典型非周期信號(hào)的頻譜單邊指數(shù)信號(hào)x(t)=1472.矩形脈沖信號(hào)（門函數(shù)）

2.矩形脈沖信號(hào)（門函數(shù)）1483.符號(hào)函數(shù)

3.符號(hào)函數(shù)1494.單位沖激信號(hào)

5.直流信號(hào)(t)←→1代入反變換定義式，有將→t，t→-再根據(jù)傅里葉變換定義式4.單位沖激信號(hào)5.直流信號(hào)(t)150有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t)等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。

可構(gòu)造一函數(shù)序列{xn(t)}逼近x

(t)

，即而xn(t)滿足絕對可積條件，并且{xn(t)}的傅里葉變換所形成的序列{Xn()}是極限收斂的。則可定義x(t)的傅里葉變換X

()為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換?！駨V義傅里葉變換有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t)等，但1516.單位階躍信號(hào)

7.雙邊指數(shù)信號(hào)x(t)=e–t,

>06.單位階躍信號(hào)7.雙邊指數(shù)信號(hào)x(t)1522.3.3傅里葉變換的性質(zhì)1.線性(LinearProperty)若，則對于任意常數(shù)a1和a2，有

證明:

F[a1

x1(t)+a2

x2(t)]=[a1

X1(ω)+a2

X2(ω)]2.3.3傅里葉變換的性質(zhì)1.線性(LinearPr1532.對偶性(SymmetricalProperty)若x(t)←→X(ω)則證明:（1）in(1)t→ω，ω→tthen

（2）in(2)ω→-ωthen∴X(t)←→2πx(–ω)endX(t)←→2πx(–ω)2.對偶性(SymmetricalProperty)若1543.尺度變換性質(zhì)(ScalingTransformProperty)若x(t)←→X(ω)則其中“a”

為不等于零的實(shí)常數(shù)。證明：F

[x(at)]=Fora>0F

[x(at)]fora<0F[x(at)]Thatis,如果

a=-1,有x(-t)←→X(-ω)3.尺度變換性質(zhì)(ScalingTransformPr155

尺度變換性質(zhì)表明，時(shí)域信號(hào)的壓縮與擴(kuò)展，對應(yīng)于頻域頻譜函數(shù)的擴(kuò)展與壓縮。

若要壓縮信號(hào)持續(xù)時(shí)間，提高通信速率，則不得不以展寬頻帶作代價(jià)例如尺度變換性質(zhì)表明，時(shí)域信號(hào)的壓縮與擴(kuò)展，對應(yīng)于頻域頻156若x(t)←→X(ω)則其中“t0”為實(shí)常數(shù)。證明：

F[x(t–t0)]4.時(shí)移性質(zhì)(TimeshiftingProperty)

時(shí)移性質(zhì)表明，信號(hào)在時(shí)間軸上的移位，其頻譜函數(shù)的幅度譜不變，而相位譜產(chǎn)生附加相移。若x(t)←→X(ω)則其中“t0”為實(shí)常數(shù)。證157若x(t)←→X(ω)則證明：其中“ω0”為實(shí)常數(shù)。F[ejω0t

x(t)]=X(ω-ω0)end5.頻移性質(zhì)(FrequencyShiftingProperty)頻移性質(zhì)表明，若要使一個(gè)信號(hào)的頻譜在頻率軸上右移單位，在時(shí)域就對應(yīng)于其時(shí)間信號(hào)x(t)乘以。若x(t)←→X(ω)則證明：其中“ω0”158例1x(t)=ej3t←→X(ω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)例2x(t)=cosω0t

←→X(ω)=?Ans:X(ω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]例1x(t)=ej3t←→X(ω)=?Ans:159例3Giventhatx(t)←→X(ω)Themodulatedsignalx(t)cosω0t←→?Ans:

例3Giventhatx(t)←→X(ω)Th1606.時(shí)域微分(Differentiationintimedomain)證明：若

則

兩邊對t求導(dǎo)，得

所以

6.時(shí)域微分(Differentiationintim161x(t)=1/t2←→?例1Ans:x(t)=1/t2←→?例1Ans:162例2Determinex(t)←→X

(ω)Ans:x

”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)X2(ω)=F[x”(t)]=(jω)2

X

(ω)=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2X

(ω)=例2Determinex(t)←→X(ω)Ans:1637.卷積定理(ConvolutionProperty)時(shí)域卷積（Convolutionintimedomain）：Ifx1(t)←→X1(ω)，x2(t)←→X2(ω)Thenx1(t)*x2(t)←→X1(ω)X2(ω)頻域卷積（Convolutioninfrequencydomain）：Ifx1(t)←→X1(ω)，x2(t)←→X2(ω)Thenx1(t)x2(t)←→X1(ω)*X2(ω)7.卷積定理(ConvolutionProperty)164證明：

F[x1(t)*x2(t)]=利用時(shí)移性質(zhì)，所以

F[x1(t)*x2(t)]==X1(ω)X2(ω)證明：F[x1(t)*x2(t)]=利用時(shí)移性質(zhì)，所165已知為矩形脈沖信號(hào),求的傅里葉變換。