直線與平面及兩平面的相對(duì)位置課件

直線與平面平行

兩平面平行平行問題

牛牛文庫文檔分享直線與平面平行兩平面平行平行問題www.niuwk.⒈

直線與平面平行DBCAP若：AB∥CD則：AB∥P

若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。幾何條件：有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。

牛牛文庫文檔分享⒈直線與平面平行DBCAP若：AB∥CD若平面外的fgfg結(jié)論：直線AB不平行于定平面[例1]

試判斷直線AB是否平行于定平面

牛牛文庫文檔分享fgfg結(jié)論：直線AB不平行于定平面[例1]試n●●acbmabcmn[例2]過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解ddX

牛牛文庫文檔分享n●●acbmabcmn[例2]過M點(diǎn)作直線MN正平線[例3]過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面ABC。唯一解c●●bamabcmnnddX

牛牛文庫文檔分享正平線[例3]過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和唯一解c●●bbaaffb[例4]

試過點(diǎn)K作水平線AB平行于ΔCDE平面

牛牛文庫文檔分享baaffb[例4]試過點(diǎn)K作水平線AB平行于ΔC直線與特殊位置平面平行

當(dāng)平面為投影面的垂直面時(shí)，只要平面有積聚性的投影和直線的同面投影平行，或直線也為該投影面的垂線，則直線與平面必定平行。

牛牛文庫文檔分享直線與特殊位置平面平行當(dāng)平面為投影面的垂直面時(shí)，⒉

兩平面平行

若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線對(duì)應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。

判別兩已知平面是否相互平行；過一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。幾何條件：

兩平面平行的作圖問題有：

牛牛文庫文檔分享⒉兩平面平行若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)兩平面平行①若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。ⅠⅡⅢAB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ；

則：P∥Q

牛牛文庫文檔分享兩平面平行①若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。兩特殊位置平面平行

牛牛文庫文檔分享②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相cfbdeaabcdefXfgabcdefgabcdeX兩特殊位置平面平行兩一般位置平面平行

牛牛文庫文檔分享cfbdeaabcdefXfgabcdefgacebbaddfcfekhkhOXmm由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。[例1]

判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行，

已知AB∥CD∥EF∥MH

牛牛文庫文檔分享acebbaddfcfekhkhOXmm由[例2]

試判斷兩平面是否平行mnmnrrss結(jié)論：兩平面平行

牛牛文庫文檔分享[例2]試判斷兩平面是否平行mnmnrrssemnmnfefsrsrkk[例3]

已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。

牛牛文庫文檔分享emnmnfefsrsrkk[例3]已知定[例4]

試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因?yàn)镻H平行SH，所以兩平面平行

牛牛文庫文檔分享[例4]試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因?yàn)镻H平行SH

直線與平面相交

兩平面相交5.2相交問題

牛牛文庫文檔分享直線與平面相交兩平面相交5.2相交問題www.n

直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。1.

直線與平面相交要討論的問題：(1)求直線與平面的交點(diǎn)。

(2)判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。

我們將分別討論一般位置的直線與平面或至少有一個(gè)處于特殊位置的情況?！瘛?/p>

牛牛文庫文檔分享直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。1.直線2.

兩平面相交

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問題：①

求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。⑵確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。

②

判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。

牛牛文庫文檔分享2.兩平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面5.2.1特殊位置線面相交直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性特殊位置直線與一般位置平面相交

牛牛文庫文檔分享5.2.1特殊位置線面相交直線與特殊位置平面相交www.n1.直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。bbaaccmmnnkk

牛牛文庫文檔分享1.直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚2.判斷直線的可見性特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。kbbaaccmmnnk

牛牛文庫文檔分享2.判斷直線的可見性特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影例1求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性?？臻g及投影分析:

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。①

求交點(diǎn)②

判別可見性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。

還可通過重影點(diǎn)判別可見性。⑴

平面為特殊位置abcmncnbamk●k●1(2)2●1●●X

牛牛文庫文檔分享例1求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性。空間及投影km(n)b●mncbaac⑵

直線為特殊位置空間及投影分析:

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①

求交點(diǎn)②

判別可見性

點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前，點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后，故k1為不可見。k●2●1●●1(2)X

牛牛文庫文檔分享km(n)b●mncbaac⑵直線為特殊位置空間()k21k'2'1'例2求鉛垂線EF與一般位置平面△ABC的交點(diǎn)并判別

其可見性。

牛牛文庫文檔分享()k21k'2'1'例2求鉛垂線EF與一般位置平面一般位置平面與特殊位置

平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題，由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交線可直接求出。

1.求交線

2.判斷平面的可見性

牛牛文庫文檔分享一般位置平面與特殊位置

平面相交求兩平1.求交線MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmmlnbaccabfkfk

牛牛文庫文檔分享1.求交線MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmm2.判斷平面的可見性

牛牛文庫文檔分享2.判斷平面的可見性牛牛文庫文2.判斷平面的可見性

牛牛文庫文檔分享2.判斷平面的可見性牛牛文庫文abcdefcfdbeam(n)●例3求兩平面的交線

MN并判別可見性。⑴空間及投影分析：①

求交線②

判別可見性

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。m●n●

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。

還可通過重影點(diǎn)判別可見性

牛牛文庫文檔分享abcdefcfdbeam(n)●例3求兩a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●空間及投影分析：

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m

、n即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。①

求交線②

判別可見性

點(diǎn)Ⅰ在MC上，點(diǎn)Ⅱ在FH上，點(diǎn)Ⅰ在前，點(diǎn)Ⅱ在后，故mc

可見。作圖X211'(2')m′●●●n′●●

牛牛文庫文檔分享a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●nbcdefabacdef⑶投影分析

N點(diǎn)的水平投影n位于Δdef

的外面，說明點(diǎn)N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個(gè)圖形內(nèi)。

所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。m●k●k●nn'●①

求交線②

判別可見性作圖●m●ΔDEF的正面投影積聚

牛牛文庫文檔分享bcdefabacdef⑶投影分析N點(diǎn)的水5.2.3直線與一般位置平面相交以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

示意圖判別可見性

示意圖

牛牛文庫文檔分享5.2.3直線與一般位置平面相交以正垂面為輔助平面求線面交12QV21kk步驟：1．過EF作正垂平面Q。2．求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。示意圖以正垂面為輔助平面求直線EF與ΔABC平面的交點(diǎn)

牛牛文庫文檔分享12QV21kk步驟：2．求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡABCQ過EF作正垂面QEF以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖ⅠⅡ

牛牛文庫文檔分享ABCQ過EF作正垂面QEF以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)2PH1步驟：1．過EF作鉛垂平面P。2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。kk2

示意圖以鉛垂面為輔助平面求直線EF與ΔABC平面的交點(diǎn)1

牛牛文庫文檔分享2PH1步驟：2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線過EF作鉛垂面P以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖FCABPEFKEⅠⅡ

牛牛文庫文檔分享過EF作鉛垂面P以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖FCAfee直線EF與平面

ABC相交，判別可見性。利用重影點(diǎn)判別可見性1243（

）kk(3)4示意圖(

)213

牛牛文庫文檔分享fee直線EF與平面ABC相交，判別可見性。利用重影ⅠⅡⅢ1

(2)(4)3利用重影點(diǎn)判別可見性Ⅳ直線EF與平面

ABC相交，判別可見性。示意圖

牛牛文庫文檔分享ⅠⅡⅢ1(2)(4)3利用重影點(diǎn)判別可見性Ⅳ直線E兩一般位置平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題,因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。兩一般位置平面相交求交線判別可見性

牛牛文庫文檔分享兩一般位置平面相交求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點(diǎn)的方法，作出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)K、E。llnmmnPVQV1221kkee2．連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫出交線KE。示意圖例4求兩平面的交線

牛牛文庫文檔分享兩一般位置平面相交，求交線步驟：llnmmnPVQV1兩一般位置平面相交求交線的方法示意圖

利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL

牛牛文庫文檔分享兩一般位置平面相交求交線的方法示意圖利用求一般利用重影點(diǎn)判別可見性兩平面相交，判別可見性3

4

()34

21()12

牛牛文庫文檔分享利用重影點(diǎn)判別可見性兩平面相交，判別可見性345.2.5綜合性問題解法試過K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。綜合性問題解法

綜合性問題解法

綜合性問題解法

例5

牛牛文庫文檔分享5.2.5綜合性問題解法試過K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ΔA

過已知點(diǎn)K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH分析

牛牛文庫文檔分享過已知點(diǎn)K作平面P平行于ABC；直線EFmnhhnmPV11221．過點(diǎn)K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點(diǎn)H。3．連接KH，KH即為所求。作圖

牛牛文庫文檔分享mnhhnmPV11221．過點(diǎn)K作平面KMN//

直線與平面垂直

兩平面互相垂直垂直問題

牛牛文庫文檔分享直線與平面垂直兩平面互相垂直垂直問題www.niuw直線與平面垂直VHPAKLDCBE幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。

牛牛文庫文檔分享直線與平面垂直VHPAKLDCBE幾何條件：若一直線垂直于一定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO

牛牛文庫文檔分享定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬VP定理2：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線（逆）的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXO

牛牛文庫文檔分享定理2：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線acacacnnmfdbdbfm例6

平面由

BDF給定，試過定點(diǎn)M作平面的垂線。

牛牛文庫文檔分享acacnnmfdbdbfm例6平面由hhhhhhkkSVkkPVkkQH例7

試過定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線。

牛牛文庫文檔分享hhhhhhkkSVkkPVkkQH例7試過efemnmncaadbcdbfXO例8

平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN

是否垂直于定平面。

牛牛文庫文檔分享efemnmncaadbcdbfXO例8例9

試過點(diǎn)N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，與H面的夾角為45°。nnXO

牛牛文庫文檔分享例9試過點(diǎn)N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，n平面的法線與平面的最大斜度線對(duì)同一投影面的夾角互為補(bǔ)角。HPAKFDCBEf分析

牛牛文庫文檔分享平面的法線與平面的最大斜度線對(duì)同一投影面的夾角互為補(bǔ)角。HP直徑任取NM|yM-yN||zM-zN|mhmnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnmnkhnnXO作圖過程

牛牛文庫文檔分享直徑任取NM|yM-yN||zM-zN|mhmnmk|幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。PAB5.3.2兩平面垂直

牛牛文庫文檔分享幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所PAB5

反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。ABⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠAB

牛牛文庫文檔分享反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向ghacachkkfdbdbfgXO例10

平面由

BDF給定，試過定點(diǎn)K作已知平面的垂面

牛牛文庫文檔分享ghacachkkfdbdbfgXO例10ghachackkbbgffdd結(jié)論：兩平面不平行XO例11

試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面

是否垂直。

牛牛文庫文檔分享ghachackkbbgffdd結(jié)論：兩平面

5.4.1空間幾何元素定位問題

5.4.2空間幾何元素度量問題綜合問題分析及解法

5.4.3綜合問題解題舉例

牛牛文庫文檔分享5.4.1空間幾何元素定位問題5.4.2空間幾何求解綜合問題主要包括：

平行、相交、及垂直等問題側(cè)重于探求每一個(gè)單個(gè)問題的投影特性、作圖原理與方法。而實(shí)際問題是綜合性的，涉及多項(xiàng)內(nèi)容，需要多種作圖方法才能解決。綜合問題解題的一般步驟：

1.分析題意

2.明確所求結(jié)果，找出解題方法

3.擬定解題步驟空間幾何元素的定位問題（交點(diǎn)、交線）空間幾何元素的度量問題（如距離、角度）。

牛牛文庫文檔分享求解綜合問題主要包括：平行、相交、及垂直等問空間幾何元素定位問題cghefdcefghdXO例12

已知三條直線CD、EF和GH，求作一直線AB與

CD平行，并且與EF、GH均相交。

牛牛文庫文檔分享空間幾何元素定位問題cghefdcefghdXO分析

所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，并且與交叉直線EF、GH相交。ABCDHGEF

牛牛文庫文檔分享分析所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，作圖過程kkcghefdcefghdXOPV1122aabb

牛牛文庫文檔分享作圖過程kkcghefdcefghdXOPV1例13

試過定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。

牛牛文庫文檔分享例13試過定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。www.niEQ分析FAK

過已知點(diǎn)A作平面垂直于已知直線EF，并交于點(diǎn)K，連接AK，AK即為所求。

牛牛文庫文檔分享EQ分析FAK過已知點(diǎn)A作平面垂直于已知直線E作圖211221aefafe12PVkk

牛牛文庫文檔分享作圖211221aefafe12PVkkww5.4.2空間幾何元素度量問題度量問題—是解決距離和角度的度量問題，主要基礎(chǔ)是根據(jù)直角投影定理作平面的垂線或直線的垂面，并求其實(shí)長或?qū)嵭巍?/p>

1.距離的度量點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離.

求二點(diǎn)之間線段的實(shí)長（直角三角形法）。

點(diǎn)到直線之間的距離.過點(diǎn)作平面垂直于直線，求出垂足，再求出點(diǎn)與垂足之間的線段實(shí)長。

點(diǎn)到平面之間的距離.過點(diǎn)作平面的垂線，求出垂足，

..再求出點(diǎn)與垂足之間的線段實(shí)長。

牛牛文庫文檔分享5.4.2空間幾何元素度量問題度量問題—是解決距離和角度直線與直線平行之間的距離直線與交叉直線之間的距離直線與平面平行之間的距離平面與平面平行之間的距離過一直線上任一點(diǎn)作另一直線的垂線，余下方法同點(diǎn)到直線的距離。包含一直線作一平面平行于另一直線，在另一直線上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作平面的垂線，求出垂足，再求出點(diǎn)與垂足之間的線段實(shí)長。過直線上任一點(diǎn)作平面的垂線。方法同點(diǎn)到平面的距離。過一平面上任一點(diǎn)作另一平面的垂線。余下方法同點(diǎn)到平面的距離。

牛牛文庫文檔分享直線與直線平行之間的距離直線與交叉直線之間的距離直線與平面平PQPPDBPPBPKAKALCKLLABKLABKCDELF

牛牛文庫文檔分享PQPPDBPPBPKAKALCKLLABKLABKCDEL例14

求點(diǎn)C到直線AB的距離。cabcabXO

牛牛文庫文檔分享例14求點(diǎn)C到直線AB的距離。cabcabXOw分析PABCK

過C點(diǎn)作直線AB的垂線CK一定在過C點(diǎn)并且與AB垂直的平面P內(nèi)，過C點(diǎn)作一平面與直線AB垂直，求出該平面與AB的交點(diǎn)K，最后求出垂線CK的實(shí)長即為所求。

牛牛文庫文檔分享分析PABCK過C點(diǎn)作直線AB的垂線CK一定作圖過程cabcabXOeded1212kk所求距離PV

牛牛文庫文檔分享作圖過程cabcabXOeded1212kk例15

求兩平行直線AB和CD的距離。cabcabXOeded1212kk所求距離PVdd

牛牛文庫文檔分享例15求兩平行直線AB和CD的距離。cabca例16

求Ｍ點(diǎn)到△ABC平面的距離。

作出垂線后，用輔助平面法求出垂線與△ＡＢＣ平面的交點(diǎn)（即垂足），再用直角三角形法求出線段的實(shí)長即可。hfebmbacach所求距離

MK實(shí)長kkXOefm

牛牛文庫文檔分享例16求Ｍ點(diǎn)到△ABC平面的距離。作出垂線后，ccababXOdd例17

求交叉兩直線AB和CD的公垂線。

牛牛文庫文檔分享ccababXOdd例17求交叉兩直線AB和CD分析LKABDCGHEFP

過一條直線CD作平面P平行于另一條直線AB，在過點(diǎn)A作平面P的垂線AH，求出垂足點(diǎn)E；在平面P上過點(diǎn)E作直線EF∥AB與直線CD交于點(diǎn)K；過點(diǎn)K作直線KL∥AH交AB于L點(diǎn)，KL即為所求的公垂線。

牛牛文庫文檔分享分析LKABDCGHEFP過一條直線CD作平作圖過程gg1122h3434eefkklflccababXOddhPH

牛牛文庫文檔分享作圖過程gg1122h3434eefkkl2.角度的度量兩相交直線間的夾角直線與平面的夾角兩平面間的夾角

牛牛文庫文檔分享2.角度的度量兩相交直線間的夾角直線與平面的夾角兩平面間的夾PABCEF任作一直線分別與兩相交直線相交，構(gòu)成三角形，求三角形的實(shí)形（分別求出三邊的實(shí)長），夾角即可求得。兩相交直線間的夾角

牛牛文庫文檔分享PABCEF任作一直線分別與兩相交直線相交，構(gòu)成三角形，求三PCAB直線和它在平面上的投影所夾的銳角，稱為直線與面的夾角。過直線上任一點(diǎn)角度作平面的垂線，求出直線與垂線的夾角（方法同兩相交直線的夾角）的余角，余角即為所求。此法又稱余角法。直線與平面的夾角?

牛牛文庫文檔分享PCAB直線和它在平面上的投影所夾的銳角，稱為直線與面的夾角PQ兩平面間的夾角兩平面間的夾角就是兩平面二面角的平面角。在空間任取一點(diǎn)，分別作二平面的垂線，求出二垂線間的夾角(方法同兩相交直線間的夾角)的補(bǔ)角，補(bǔ)角即為所求。此法又稱補(bǔ)角法。?

BCA

牛牛文庫文檔分享PQ兩平面間的夾角兩平面間的夾角就是兩平面二面角的平面角。在例18

求直線ＤＥ與△ＡＢＣ平面的夾角θ作∠ＥＤＦ的余角θ，即為所求直線ＤＥ與△ＡＢＣ平面的夾角。ＥＦfXObeebacacddＤＦＦＤＥ?fdfef

牛牛文庫文檔分享例18求直線ＤＥ與△ＡＢＣ平面的夾角θ作∠ＥＤＦ的余角

直線與平面平行

兩平面平行平行問題

牛牛文庫文檔分享直線與平面平行兩平面平行平行問題www.niuwk.⒈

直線與平面平行DBCAP若：AB∥CD則：AB∥P

若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。幾何條件：有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。

牛牛文庫文檔分享⒈直線與平面平行DBCAP若：AB∥CD若平面外的fgfg結(jié)論：直線AB不平行于定平面[例1]

試判斷直線AB是否平行于定平面

牛牛文庫文檔分享fgfg結(jié)論：直線AB不平行于定平面[例1]試n●●acbmabcmn[例2]過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解ddX

牛牛文庫文檔分享n●●acbmabcmn[例2]過M點(diǎn)作直線MN正平線[例3]過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面ABC。唯一解c●●bamabcmnnddX

牛牛文庫文檔分享正平線[例3]過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和唯一解c●●bbaaffb[例4]

試過點(diǎn)K作水平線AB平行于ΔCDE平面

牛牛文庫文檔分享baaffb[例4]試過點(diǎn)K作水平線AB平行于ΔC直線與特殊位置平面平行

當(dāng)平面為投影面的垂直面時(shí)，只要平面有積聚性的投影和直線的同面投影平行，或直線也為該投影面的垂線，則直線與平面必定平行。

牛牛文庫文檔分享直線與特殊位置平面平行當(dāng)平面為投影面的垂直面時(shí)，⒉

兩平面平行

若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線對(duì)應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。

判別兩已知平面是否相互平行；過一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。幾何條件：

兩平面平行的作圖問題有：

牛牛文庫文檔分享⒉兩平面平行若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)兩平面平行①若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。ⅠⅡⅢAB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ；

則：P∥Q

牛牛文庫文檔分享兩平面平行①若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。兩特殊位置平面平行

牛牛文庫文檔分享②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相cfbdeaabcdefXfgabcdefgabcdeX兩特殊位置平面平行兩一般位置平面平行

牛牛文庫文檔分享cfbdeaabcdefXfgabcdefgacebbaddfcfekhkhOXmm由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。[例1]

判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行，

已知AB∥CD∥EF∥MH

牛牛文庫文檔分享acebbaddfcfekhkhOXmm由[例2]

試判斷兩平面是否平行mnmnrrss結(jié)論：兩平面平行

牛牛文庫文檔分享[例2]試判斷兩平面是否平行mnmnrrssemnmnfefsrsrkk[例3]

已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。

牛牛文庫文檔分享emnmnfefsrsrkk[例3]已知定[例4]

試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因?yàn)镻H平行SH，所以兩平面平行

牛牛文庫文檔分享[例4]試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因?yàn)镻H平行SH

直線與平面相交

兩平面相交5.2相交問題

牛牛文庫文檔分享直線與平面相交兩平面相交5.2相交問題www.n

直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。1.

直線與平面相交要討論的問題：(1)求直線與平面的交點(diǎn)。

(2)判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。

我們將分別討論一般位置的直線與平面或至少有一個(gè)處于特殊位置的情況?！瘛?/p>

牛牛文庫文檔分享直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。1.直線2.

兩平面相交

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問題：①

求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。⑵確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。

②

判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。

牛牛文庫文檔分享2.兩平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面5.2.1特殊位置線面相交直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性特殊位置直線與一般位置平面相交

牛牛文庫文檔分享5.2.1特殊位置線面相交直線與特殊位置平面相交www.n1.直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。bbaaccmmnnkk

牛牛文庫文檔分享1.直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚2.判斷直線的可見性特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。kbbaaccmmnnk

牛牛文庫文檔分享2.判斷直線的可見性特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影例1求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性?？臻g及投影分析:

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。①

求交點(diǎn)②

判別可見性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。

還可通過重影點(diǎn)判別可見性。⑴

平面為特殊位置abcmncnbamk●k●1(2)2●1●●X

牛牛文庫文檔分享例1求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性?？臻g及投影km(n)b●mncbaac⑵

直線為特殊位置空間及投影分析:

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①

求交點(diǎn)②

判別可見性

點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前，點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后，故k1為不可見。k●2●1●●1(2)X

牛牛文庫文檔分享km(n)b●mncbaac⑵直線為特殊位置空間()k21k'2'1'例2求鉛垂線EF與一般位置平面△ABC的交點(diǎn)并判別

其可見性。

牛牛文庫文檔分享()k21k'2'1'例2求鉛垂線EF與一般位置平面一般位置平面與特殊位置

平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題，由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交線可直接求出。

1.求交線

2.判斷平面的可見性

牛牛文庫文檔分享一般位置平面與特殊位置

平面相交求兩平1.求交線MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmmlnbaccabfkfk

牛牛文庫文檔分享1.求交線MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmm2.判斷平面的可見性

牛牛文庫文檔分享2.判斷平面的可見性牛牛文庫文2.判斷平面的可見性

牛牛文庫文檔分享2.判斷平面的可見性牛牛文庫文abcdefcfdbeam(n)●例3求兩平面的交線

MN并判別可見性。⑴空間及投影分析：①

求交線②

判別可見性

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。m●n●

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。

還可通過重影點(diǎn)判別可見性

牛牛文庫文檔分享abcdefcfdbeam(n)●例3求兩a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●空間及投影分析：

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m

、n即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。①

求交線②

判別可見性

點(diǎn)Ⅰ在MC上，點(diǎn)Ⅱ在FH上，點(diǎn)Ⅰ在前，點(diǎn)Ⅱ在后，故mc

可見。作圖X211'(2')m′●●●n′●●

牛牛文庫文檔分享a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●nbcdefabacdef⑶投影分析

N點(diǎn)的水平投影n位于Δdef

的外面，說明點(diǎn)N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個(gè)圖形內(nèi)。

所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。m●k●k●nn'●①

求交線②

判別可見性作圖●m●ΔDEF的正面投影積聚

牛牛文庫文檔分享bcdefabacdef⑶投影分析N點(diǎn)的水5.2.3直線與一般位置平面相交以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

示意圖判別可見性

示意圖

牛牛文庫文檔分享5.2.3直線與一般位置平面相交以正垂面為輔助平面求線面交12QV21kk步驟：1．過EF作正垂平面Q。2．求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。示意圖以正垂面為輔助平面求直線EF與ΔABC平面的交點(diǎn)

牛牛文庫文檔分享12QV21kk步驟：2．求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡABCQ過EF作正垂面QEF以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖ⅠⅡ

牛牛文庫文檔分享ABCQ過EF作正垂面QEF以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)2PH1步驟：1．過EF作鉛垂平面P。2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。kk2

示意圖以鉛垂面為輔助平面求直線EF與ΔABC平面的交點(diǎn)1

牛牛文庫文檔分享2PH1步驟：2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線過EF作鉛垂面P以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖FCABPEFKEⅠⅡ

牛牛文庫文檔分享過EF作鉛垂面P以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖FCAfee直線EF與平面

ABC相交，判別可見性。利用重影點(diǎn)判別可見性1243（

）kk(3)4示意圖(

)213

牛牛文庫文檔分享fee直線EF與平面ABC相交，判別可見性。利用重影ⅠⅡⅢ1

(2)(4)3利用重影點(diǎn)判別可見性Ⅳ直線EF與平面

ABC相交，判別可見性。示意圖

牛牛文庫文檔分享ⅠⅡⅢ1(2)(4)3利用重影點(diǎn)判別可見性Ⅳ直線E兩一般位置平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題,因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。兩一般位置平面相交求交線判別可見性

牛牛文庫文檔分享兩一般位置平面相交求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點(diǎn)的方法，作出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)K、E。llnmmnPVQV1221kkee2．連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫出交線KE。示意圖例4求兩平面的交線

牛牛文庫文檔分享兩一般位置平面相交，求交線步驟：llnmmnPVQV1兩一般位置平面相交求交線的方法示意圖

利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL

牛牛文庫文檔分享兩一般位置平面相交求交線的方法示意圖利用求一般利用重影點(diǎn)判別可見性兩平面相交，判別可見性3

4

()34

21()12

牛牛文庫文檔分享利用重影點(diǎn)判別可見性兩平面相交，判別可見性345.2.5綜合性問題解法試過K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。綜合性問題解法

綜合性問題解法

綜合性問題解法

例5

牛牛文庫文檔分享5.2.5綜合性問題解法試過K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ΔA

過已知點(diǎn)K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH分析

牛牛文庫文檔分享過已知點(diǎn)K作平面P平行于ABC；直線EFmnhhnmPV11221．過點(diǎn)K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點(diǎn)H。3．連接KH，KH即為所求。作圖

牛牛文庫文檔分享mnhhnmPV11221．過點(diǎn)K作平面KMN//

直線與平面垂直

兩平面互相垂直垂直問題

牛牛文庫文檔分享直線與平面垂直兩平面互相垂直垂直問題www.niuw直線與平面垂直VHPAKLDCBE幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。

牛牛文庫文檔分享直線與平面垂直VHPAKLDCBE幾何條件：若一直線垂直于一定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO

牛牛文庫文檔分享定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬VP定理2：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線（逆）的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXO

牛牛文庫文檔分享定理2：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線acacacnnmfdbdbfm例6

平面由

BDF給定，試過定點(diǎn)M作平面的垂線。

牛牛文庫文檔分享acacnnmfdbdbfm例6平面由hhhhhhkkSVkkPVkkQH例7

試過定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線。

牛牛文庫文檔分享hhhhhhkkSVkkPVkkQH例7試過efemnmncaadbcdbfXO例8

平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN

是否垂直于定平面。

牛牛文庫文檔分享efemnmncaadbcdbfXO例8例9

試過點(diǎn)N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，與H面的夾角為45°。nnXO

牛牛文庫文檔分享例9試過點(diǎn)N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，n平面的法線與平面的最大斜度線對(duì)同一投影面的夾角互為補(bǔ)角。HPAKFDCBEf分析

牛牛文庫文檔分享平面的法線與平面的最大斜度線對(duì)同一投影面的夾角互為補(bǔ)角。HP直徑任取NM|yM-yN||zM-zN|mhmnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnmnkhnnXO作圖過程

牛牛文庫文檔分享直徑任取NM|yM-yN||zM-zN|mhmnmk|幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。PAB5.3.2兩平面垂直

牛牛文庫文檔分享幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所PAB5

反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。ABⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠAB

牛牛文庫文檔分享反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向ghacachkkfdbdbfgXO例10

平面由

BDF給定，試過定點(diǎn)K作已知平面的垂面

牛牛文庫文檔分享ghacachkkfdbdbfgXO例10ghachackkbbgffdd結(jié)論：兩平面不平行XO例11

試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面

是否垂直。

牛牛文庫文檔分享ghachackkbbgffdd結(jié)論：兩平面

5.4.1空間幾何元素定位問題

5.4.2空間幾何元素度量問題綜合問題分析及解法

5.4.3綜合問題解題舉例

牛牛文庫文檔分享5.4.1空間幾何元素定位問題5.4.2空間幾何求解綜合問題主要包括：

平行、相交、及垂直等問題側(cè)重于探求每一個(gè)單個(gè)問題的投影特性、作圖原理與方法。而實(shí)際問題是綜合性的，涉及多項(xiàng)內(nèi)容，需要多種作圖方法才能解決。綜合問題解題的一般步驟：

1.分析題意

2.明確所求結(jié)果，找出解題方法

3.擬定解題步驟空間幾何元素的定位問題（交點(diǎn)、交線）空間幾何元素的度量問題（如距離、角度）。

牛牛文庫文檔分享求解綜合問題主要包括：平行、相交、及垂直等問空間幾何元素定位問題cghefdcefghdXO例12

已知三條直線CD、EF和GH，求作一直線AB與

CD平行，并且與EF、GH均相交。

牛牛文庫文檔分享空間幾何元素定位問題cghefdcefghdXO分析

所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，并且與交叉直線EF、GH相交。ABCDHGEF

牛牛文庫文檔分享分析所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，作圖過程kkcghefdcefghdXOPV1122aabb

牛牛文庫文檔分享作圖過程kkcghefdcefghdXOPV1例13

試過定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。

牛牛文庫文檔分享例13試過定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。www.niEQ分析FAK

過已知點(diǎn)A作平面垂直于已知直線EF，并交于點(diǎn)K，連接AK，AK即為所求。

牛牛文庫文檔分享EQ分析FAK過已知點(diǎn)A作平面垂直于已知直線E作圖211221aefafe12PVkk

牛牛文庫文檔分享作圖211221aefafe12PVkkww5.4.2空間幾何元素度量問題度量問題—是解決距離和角度的度量問題，主要基礎(chǔ)是根據(jù)直角投影定理作平面的垂線或直線的垂面，并求其實(shí)長或?qū)嵭巍?/p>

1.距離的度量點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離.

求二