金融工程第章布萊克休爾斯莫頓期權(quán)定價模型

1973年，美國芝加哥大學(xué)教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定價模型，用于確定歐式股票期權(quán)價格，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈反響；同年，RobertC.Merton獨(dú)立地提出了一個更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。在本章中，我們將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價的一般方法。

第九章布萊克-休爾斯-莫頓期權(quán)定價模型我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價，必須先了解股票本身的走勢。因?yàn)楣善逼跈?quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價格變化的唯一來源就是股票價格的變化，股票價格是影響期權(quán)價格的最根本因素。因此，要研究期權(quán)的價格，首先必須研究股票價格的變化規(guī)律。在了解了股票價格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價。在下面幾節(jié)中我們會用數(shù)學(xué)的語言來描述這種定價的思想。29.1布萊克-休爾斯-莫頓期權(quán)定價模型基本思路9.1.1布朗運(yùn)動

布朗運(yùn)動（BrownianMotion）起源于英國植物學(xué)家布郎對水杯中的花粉粒子的運(yùn)動軌跡的描述。

標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動兩大特征：特征1

(正態(tài)分布)特征2：對于任何兩個不同時間間隔，的值相互獨(dú)立。(獨(dú)立增量）

3維納過程的性質(zhì)[z(T)–z(0)]也是正態(tài)分布均值等于0方差等于T標(biāo)準(zhǔn)差等于

方差可加性為何使用布朗運(yùn)動？4正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征1和特征2的維納過程是一個馬爾可夫隨機(jī)過程維納過程在數(shù)學(xué)上對時間處處不可導(dǎo)和二次變分（QuadraticVariation）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)等性質(zhì)也是相符的市場有效理論與隨機(jī)過程

1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為，證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價格能完全反應(yīng)全部信息。1、弱式效率市場假說2、半強(qiáng)式效率市場假說3、強(qiáng)式效率市場假說根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。一般認(rèn)為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機(jī)過程（MarkovStochasticProcess）是內(nèi)在一致的。因此我們可以用數(shù)學(xué)來刻畫股票的這種特征。有效市場三個層次59.2.1布朗運(yùn)動標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動的擴(kuò)展：普通布郎運(yùn)動，令漂移率為a，方差率為b2，：

or:x(t)=x0+at+bz(t)

遵循普通布朗運(yùn)動的變量x是關(guān)于時間和dz的動態(tài)過程：adt為確定項，意味著x的漂移率是每單位時間為a；bdz是隨機(jī)項，代表著對x的時間趨勢過程所添加的噪音，使變量x圍繞著確定趨勢上下隨機(jī)波動，且這種噪音是由維納過程的b倍給出的。6普通布朗運(yùn)動的離差形式為，顯然，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為1、在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為b2T。

2、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動為普通布朗運(yùn)動的特例。

伊藤過程與伊藤引理9.3

普通布朗運(yùn)動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，我們就可以得到

這就是伊藤過程（ItoProcess）。其中，dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。

7

在伊藤過程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進(jìn)一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：

其中，dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。這就是著名的伊藤引理。

泰勒展開式8忽略比

Dt高階的項在常微分中，我們得到在隨機(jī)微分中我們得到：因?yàn)樽詈笠豁椀碾A數(shù)為Dt將Dx代入9e2Dt取極限10伊藤引理的運(yùn)用

如果我們知道x遵循的隨機(jī)過程，通過伊藤引理

可以推導(dǎo)出G(x,t)遵循的隨機(jī)過程。由于衍生產(chǎn)品價格是標(biāo)的資產(chǎn)價格和時間的函數(shù)，因此隨機(jī)過程在衍生產(chǎn)品分析中扮演重要的角色。股票價格的變化過程：幾何布朗運(yùn)動9.2.4一般來來說，，金融融研究究者認(rèn)認(rèn)為證證券價價格的的變化化過程程可以以用漂漂移率率為μS、方差差率為為S2的伊藤藤過程程（即即幾何何布朗朗運(yùn)動動）來來表示示：之所以以采用用幾何何布朗朗運(yùn)動動其主主要原原因有有兩個個：一是可可以避避免股股票價價格為為負(fù)從從而與與有限限責(zé)任任相矛矛盾的的問題題，二二是幾幾何布布朗運(yùn)運(yùn)動意意味著著股票票連續(xù)續(xù)復(fù)利利收益益率服服從正正態(tài)分分布，，這與與實(shí)際際較為為吻合合。11**隨隨機(jī)微微積分分與非非隨機(jī)機(jī)微積積分的的差別別伊藤過程與伊藤引理11.3案例11.1運(yùn)用伊伊藤引引理推推導(dǎo)lnS所遵循循的隨隨機(jī)過過程假設(shè)變變量S服從其中μ和σ都為常常數(shù)，，則lnS遵循怎怎樣的的隨機(jī)機(jī)過程程？由于μ和σ是常數(shù)數(shù)，S顯然服服從，，的的伊伊藤過過程，，我們們可以以運(yùn)用用伊藤藤引理理推導(dǎo)導(dǎo)lnS所遵循循的隨隨機(jī)過過程。。令，，則代入式式我我們們就可可得到到所所遵循的的隨機(jī)機(jī)過程程為由于dlnS是股票票的連連續(xù)復(fù)復(fù)利收收益率率，得得出的的公式式說明明股票票的連連續(xù)復(fù)利收收益率率服從從期望望值，，方方差為為的的正態(tài)態(tài)分布布。12股票價格的變化過程：幾何布朗運(yùn)動11.2.4從案例例11.1我們已已經(jīng)知知道，，如果果股票票價格格服從從幾何何布朗朗運(yùn)動動，則則有1.從自然然對數(shù)數(shù)的定定義域域可知知，S不能為為負(fù)數(shù)數(shù)。2.股票價價格的的對數(shù)數(shù)服從從普通通布朗朗運(yùn)動動，股股票價價格和和連續(xù)續(xù)復(fù)利利收益益率服服從對對數(shù)正正態(tài)分分布133.T－t期間年年化的的連續(xù)續(xù)復(fù)利利收益益率可可以表表示為為，，可知知隨機(jī)機(jī)變量量服服從正正態(tài)分分布是股票票連續(xù)續(xù)復(fù)利利收益益率的的年化化標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差，，它也也被稱稱為股股票價價格的的波動動率（（Volatility）4.百分比比收益益率與與連續(xù)續(xù)復(fù)利利收益益率。。預(yù)期收益率與波動率9.2.5:1、幾何布布朗運(yùn)運(yùn)動中中的期期望收收益率率。2、根據(jù)資資本資資產(chǎn)定定價原原理，，取取決于于該證證券的的系統(tǒng)統(tǒng)性風(fēng)風(fēng)險、、無風(fēng)風(fēng)險利利率水水平、、以及及市場場的風(fēng)風(fēng)險收收益偏偏好。。由于于后者者涉及及主觀觀因素素，因因此其其決定定本身身就較較復(fù)雜雜。然然而幸幸運(yùn)的的是，，我們們將在在下文文證明明，衍衍生證證券的的定價價與標(biāo)標(biāo)的資資產(chǎn)的的預(yù)期期收益益率是是無關(guān)關(guān)的。。3、較長時時間段段后的的連續(xù)續(xù)復(fù)利利收益益率的的期望望值等等于<，這是是因?yàn)闉檩^長長時間間段后后的連連續(xù)復(fù)復(fù)利收收益率率的期期望值值是較較短時時間內(nèi)內(nèi)收益益率幾幾何平平均的的結(jié)果果，而而較短短時間間內(nèi)的的收益益率則則是算算術(shù)平平均的的結(jié)果果。141、證券價價格的的年波波動率率，又又是股股票價價格對對數(shù)收收益率率的年年標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差2、一般從從歷史史的證證券價價格數(shù)數(shù)據(jù)中中計算算出樣樣本對對數(shù)收收益率率的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差，再再對時時間標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化化，得得到年年標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差，，即為為波動動率的的估計計值。。在計計算中中，一一般來來說時時間距距離計計算時時越近近越好好；時時間窗窗口太太短也也不好好；一一般來來說采采用交交易天天數(shù)計計算波波動率率而不不采用用日歷歷天數(shù)數(shù)。衍生品價格所服從的隨機(jī)過程9.2.６當(dāng)股票票價格格服從從幾何何布朗朗運(yùn)動動時時，由由于衍衍生證證券價價格G是標(biāo)的的證券券價格格S和時間間t的函數(shù)數(shù)G(S,t)，根據(jù)據(jù)伊藤藤引理理，衍衍生證證券的的價格格G應(yīng)遵循循如下下過程程：比較（（9.1）和（（9.11）可看看出，，衍生生證券券價格格G和股票票價格格S都受同同一個個不確確定性性來源源dz的影響響，這這點(diǎn)對對于以以后推推導(dǎo)衍衍生證證券的的定價價公式式很重重要。。15布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價模型9.3.1假設(shè)：：1、證券券價格格遵循循幾何何布朗朗運(yùn)動動，即即和和為為常數(shù)數(shù)；2、允許許賣空空標(biāo)的的證券券；3、沒有有交易易費(fèi)用用和稅稅收，，所有有證券券都是是完全全可分分的；；4、衍生生證券券有效效期內(nèi)內(nèi)標(biāo)的的證券券沒有有現(xiàn)金金收益益支付付；5、存在無無風(fēng)險套套利機(jī)會會；6、證券交交易是連連續(xù)的，，價格變變動也是是連續(xù)的的；7、衍衍生生證證券券有有效效期期內(nèi)內(nèi)，，無無風(fēng)風(fēng)險險利利率率r為常常數(shù)數(shù)。。布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價模型9.3.1由于于證證券券價價格格S遵循循幾幾何何布布朗朗運(yùn)運(yùn)動動，，因因此此有有：：其在在一一個個小小的的時時間間間間隔隔中中，，S的變變化化值值為為：：在一一個個小小的的時時間間間間隔隔中中，，f的變變化化值值為為：：設(shè)f是依依賴賴于于S的衍衍生生證證券券的的價價格格，，則則f一定定是是S和t的函函數(shù)數(shù)，，根根據(jù)據(jù)伊伊藤藤引引理理可可得得：：16為了了消消除除風(fēng)風(fēng)險險源源，可可以以構(gòu)構(gòu)建建一一個個包包括括一一單單位位衍衍生生證證券券空空頭頭和和單單位位標(biāo)標(biāo)的的證證券券多多頭頭的的組組合合。。令代代表表該該投投資資組組合合的的價價值值，，則則：：在時時間間后后，，該該投投資資組組合合的的價價值值變變化化為為：：代入入和和可可得得布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價模型9.3.1中不含任何風(fēng)險源，因此組合必須獲得無風(fēng)險收益，即代入上式可得化簡為**這就是著名的布萊克——舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券的定價。17觀察察布布萊萊克克－－舒舒爾爾斯斯微微分分方方程程，，我我們們可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，，受受制制于于主主觀觀的的風(fēng)風(fēng)險險收收益益偏偏好好的的標(biāo)標(biāo)的的證證券券預(yù)預(yù)期期收收益益率率并并未未包包括括在在衍衍生生證證券券的的價價值值決決定定公公式式中中。。這這意意味味著著，，無無論論風(fēng)風(fēng)險險收收益益偏偏好好狀狀態(tài)態(tài)如如何何，，都都不不會會對對f的值值產(chǎn)產(chǎn)生生影影響響。。因因此此我我們們可可以以作作出出一一個個可可以以大大大大簡簡化化我我們們工工作作的的假假設(shè)設(shè)：：在對對衍衍生生證證券券定定價價時時，，所所有有投投資資者者對對于于dz所蘊(yùn)蘊(yùn)涵涵的的風(fēng)風(fēng)險險都都是是風(fēng)風(fēng)險險中中性性的的。。在所所有有投投資資者者對對dz都是是風(fēng)風(fēng)險險中中性性的的條條件件下下（（有有時時我我們們稱稱之之為為進(jìn)進(jìn)入入了了一一個個關(guān)關(guān)于于dz的““風(fēng)風(fēng)險險中中性性世世界界””）），，所所有有風(fēng)風(fēng)險險源源為為dz的證證券券的的預(yù)預(yù)期期收收益益率率都都等等于于無無風(fēng)風(fēng)險險利利率率r，因因?yàn)闉轱L(fēng)風(fēng)險險中中性性的的投投資資者者并并不不需需要要額額外外的的收收益益來來吸吸引引他他們們承承擔(dān)擔(dān)風(fēng)風(fēng)險險。。同同樣樣，，在在風(fēng)風(fēng)險險中中性性條條件件下下，，所所有有風(fēng)風(fēng)險險源源為為dz的現(xiàn)現(xiàn)金金流流都都應(yīng)應(yīng)該該使使用用無無風(fēng)風(fēng)險險利利率率進(jìn)進(jìn)行行貼貼現(xiàn)現(xiàn)求求得得現(xiàn)現(xiàn)值值。。這這就就是是風(fēng)風(fēng)險險中中性性定定價價原原理理。。布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價模型9.3.1假設(shè)設(shè)一一種種不不支支付付紅紅利利股股票票目目前前的的市市價價為為10元，，我我們們知知道道在在3個月月后后，，該該股股票票價價格格要要么么是是11元，，要要么么是是9元。?，F(xiàn)現(xiàn)在在我我們們要要找找出出一一份份3個月月期期協(xié)協(xié)議議價價格格為為10.5元的的該該股股票票歐歐式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)的的價價值值。。由于于歐歐式式期期權(quán)權(quán)不不會會提提前前執(zhí)執(zhí)行行，，其其價價值值取取決決于于3個月月后后股股票票的的市市價價。。若若3個月月后后該該股股票票價價格格等等于于11元，，則則該該期期權(quán)權(quán)價價值值為為0.5元；；若若3個月月后后該該股股票票價價格格等等于于9元，，則則該該期期權(quán)權(quán)價價值值為為0。風(fēng)險險中中性性定定價價原原理理的的應(yīng)應(yīng)用用18為了了找找出出該該期期權(quán)權(quán)的的價價值值，，我我們們可可構(gòu)構(gòu)建建一一個個由由一一單單位位看看漲漲期期權(quán)權(quán)空空頭頭和和單單位位的的標(biāo)標(biāo)的的股股票票多多頭頭組組成成的的組組合合。。若若3個月月后后該該股股票票價價格格等等于于11元時時，，該該組組合合價價值值等等于于(11－0.5)元；；若若3個月月后后該該股股票票價價格格等等于于9元時時，，該該組組合合價價值值等等于于9元。。為為了了使使該該組組合合價價值值處處于于無無風(fēng)風(fēng)險險狀狀態(tài)態(tài)，，我我們們應(yīng)應(yīng)選選擇擇適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡闹抵担?，使?個月月后后該該組組合合的的價價值值不不變變，，這這意意味味著著：：11－0.5=9=0.25因此此，，一一個個無無風(fēng)風(fēng)險險組組合合應(yīng)應(yīng)包包括括一一份份看看漲漲期期權(quán)權(quán)空空頭頭和和0.25股標(biāo)標(biāo)的的股股票票。。無無論論3個月月后后股股票票價價格格等等于于11元還還是是9元，，該該組組合合價價值值都都將將等等于于2.25元。。假設(shè)設(shè)現(xiàn)現(xiàn)在在的的無無風(fēng)風(fēng)險險年年利利率率等等于于10%，則則該該組組合合的的現(xiàn)現(xiàn)值值應(yīng)應(yīng)為為：：由于于該該組組合合中中有有一一單單位位看看漲漲期期權(quán)權(quán)空空頭頭和和0.25單位位股股票票多多頭頭，，而而目目前前股股票票市市場場為為10元，，因因此此：：這就是說，該該看漲期權(quán)的的價值應(yīng)為0.31元，否則就會會存在無風(fēng)險險套利機(jī)會。。從該例子可以以看出，在確確定期權(quán)價值值時，我們并并不需要知道道股票價格上上漲到11元的概率和下下降到9元的概率。但但這并不意味味著概率可以以隨心所欲地地給定。事實(shí)實(shí)上，只要股股票的預(yù)期收收益率給定，，股票上升和和下降的概率率也就確定了了。例如，在在風(fēng)險中性世世界中，無風(fēng)風(fēng)險利率為10%，則股票上升升的概率P可以通過下式式來求：19P=62.66%。布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價模型9.3.120又如，如果在在現(xiàn)實(shí)世界中中股票的預(yù)期期收益率為15%，則股票的上上升概率可以以通過下式來來求：P=69.11%?？梢?，投資者者厭惡風(fēng)險程程度決定了股股票的預(yù)期收收益率，而股股票的預(yù)期收收益率決定了了股票升跌的的概率。然而而，無論投資資者厭惡風(fēng)險險程度如何，，從而無論該該股票上升或或下降的概率率如何，該期期權(quán)的價值都都等于0.31元。布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價公式9.3.221在風(fēng)險中性的的條件下，無無收益資產(chǎn)歐歐式看漲期權(quán)權(quán)到期時（T時刻）的期望望值為：其中，表示風(fēng)險中性性條件下的期期望值。根據(jù)據(jù)風(fēng)險中性定定價原理，歐式看漲期權(quán)的的價格c等于將此期望望值按無風(fēng)險險利率進(jìn)行貼貼現(xiàn)后的現(xiàn)值值，即：N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布變量的的累計概率分分布函數(shù)(即這個變量小小于x的概率)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布函數(shù)數(shù)特性，我們們有。。這就是無收益益資產(chǎn)歐式看看漲期權(quán)的定定價公式。2223布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價公式9.3.224布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價公式9.3.225無收益資產(chǎn)的的歐式看跌期期權(quán)的定價公公式根據(jù)歐式看漲漲期權(quán)和看跌跌期權(quán)之間存存在平價關(guān)系系，可以得到到無收益資產(chǎn)產(chǎn)歐式看跌期期權(quán)的定價公公式：無收益資產(chǎn)美美式看漲期權(quán)權(quán)的定價公式式在標(biāo)的資產(chǎn)無無收益情況下下，美式看漲漲期權(quán)提前執(zhí)執(zhí)行是不合理理的，因此C=c，無收益資產(chǎn)產(chǎn)美式看漲期期權(quán)的定價公公式同樣是：：布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價公式9.3.3有收益資產(chǎn)的的歐式期權(quán)的的定價公式對于有收益標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)的歐歐式期權(quán)，在在收益已知情情況下，我們們可以把標(biāo)的的證券價格分分解成兩部分分：期權(quán)有效效期內(nèi)已知現(xiàn)現(xiàn)金收益的現(xiàn)現(xiàn)值部分和一一個有風(fēng)險部部分。當(dāng)期權(quán)權(quán)到期時，這這部分現(xiàn)值將將由于標(biāo)的資資產(chǎn)支付現(xiàn)金金收益而消失失。因此，我我們只要用S表示有風(fēng)險部部分的證券價價格。σ表示風(fēng)險部分分遵循隨機(jī)過過程的波動率率，就可直接接套用公式:分別計算出有有收益資產(chǎn)的的歐式看漲期期權(quán)和看跌期期權(quán)的價值。。因此，當(dāng)標(biāo)的的證券已知收收益的現(xiàn)值為為I時，我們只要要用（S－I）代替S即可求出固定定收益證券歐歐式看漲和看看跌期權(quán)的價價格。當(dāng)標(biāo)的證券的的收益為按連連續(xù)復(fù)利計算算的固定收益益率q（單位為年））時，我們只只要將代代替S就可求出支付付連續(xù)復(fù)利收收益率證券的的歐式看漲和和看跌期權(quán)的的價格。一般來說，期期貨期權(quán)、股股指期權(quán)和外外匯期權(quán)都可可以看作標(biāo)的的資產(chǎn)支付連連續(xù)復(fù)利收益益率的期權(quán)。。其中，歐式式期貨期權(quán)可可以看作一個個支付連續(xù)紅紅利率為r的資產(chǎn)的歐式式期權(quán)；股指指期權(quán)則是以以市場平均股股利支付率為為收益率，外外匯期權(quán)標(biāo)的的資產(chǎn)的連續(xù)續(xù)紅利率為該該外匯在所在在國的無風(fēng)險險利率。26有收益資產(chǎn)的的美式看漲期期權(quán)的定價當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有有收益時，美美式看漲期權(quán)權(quán)就有提前執(zhí)執(zhí)行的可能，，因此有收益益資產(chǎn)美式期期權(quán)的定價較較為復(fù)雜，布布萊克提出了了一種近似似處理方法法。該方法是是先確定提前前執(zhí)行美式看看漲期權(quán)是否否合理，若不不合理，則按按歐式期權(quán)處處理；若在提提前執(zhí)行行可能是合理理的，則要分分別計算在T時刻和時刻到期的歐歐式看漲期權(quán)權(quán)的價格，然然后將二者之之中的較大者者作為美式期期權(quán)的價格。。在大多數(shù)情況況下，這種近近似效果都不不錯。27美式看跌期權(quán)權(quán)的定價美式看跌期權(quán)權(quán)無論標(biāo)的資資產(chǎn)有無收益益都有提前執(zhí)執(zhí)行的可能，，而且與其對對應(yīng)的看漲期期權(quán)也不存在在精確的平價價關(guān)系，因此此我們一般通通過數(shù)值方法法來求美式看看跌期權(quán)的價價值。我們已經(jīng)知道道，B-S-M期權(quán)定價公式式中的期權(quán)價價格取決于下下列五個參數(shù)數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)市場價格、、執(zhí)行價格、、到期期限、、無風(fēng)險利率率和標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)價格波動率率（即標(biāo)的資資產(chǎn)收益率的的標(biāo)準(zhǔn)差）。。在這些參數(shù)數(shù)當(dāng)中，前三三個都是很容容易獲得的確確定數(shù)值。但但是無風(fēng)險利利率和標(biāo)的資資產(chǎn)價格波動動率則需要通通過一定的計計算求得估計計值。B-S-M期權(quán)定價公式的參數(shù)估計9.3.４（一）估計無無風(fēng)險利率在發(fā)達(dá)的金融融市場上，很很容易獲得無無風(fēng)險利率的的估計值，但但在實(shí)際應(yīng)用用時仍然需要要注意幾個問問題。首先，，要選擇正確確的利率。要要注意選擇無無風(fēng)險的即期期利率（即零零息票債券的的到期收益率率），而不能能選擇附息票票債券的到期期收益率，并并且要轉(zhuǎn)化為為連續(xù)復(fù)利的的形式，才可可以在B-S-M公式中應(yīng)用。。一般來說，，在美國人們們大多選擇美美國國庫券利利率作為無風(fēng)風(fēng)險利率的估估計值，在中中國過去通常常使用銀行存存款利率，現(xiàn)現(xiàn)在則可以從從銀行間債券券市場的價格格中確定國債債即期利率作作為無風(fēng)險利利率。其次，，要注意選擇擇利率期限。。如果利率期期限