電子測量第一、二章

電子測量

第一章緒論第一節(jié)測量與計量一測量及其意義測量定義：確定被測對象（物）的量值的實驗。用專門設(shè)備直接或間接與同類單位比較，取得數(shù)值和單位表示的測量結(jié)果。

測量——揭示客觀規(guī)律，用數(shù)字語言描述世界，科學(xué)實驗的結(jié)果靠測量，它驗證理論的客觀標(biāo)準(zhǔn)，沒有測量就沒有科學(xué)。

二計量

同一量，不同地方，不同的測量手段，測量結(jié)果一樣，形成公認的單位基準(zhǔn)、標(biāo)準(zhǔn)——計量。

計量和測量測量:是通過實驗手段對客觀事物取得定量信息的過程,也就是利用實驗手段把待測量直接或間接地與另一個同類已知量進行比較,從而得到待測量值的過程。測量過程中所使用的器具和儀器就直接或間接地體現(xiàn)了已知量，測量結(jié)果的準(zhǔn)確與否與所采用的測量方法、實際操作和作為比較標(biāo)準(zhǔn)的已知量的準(zhǔn)確程度都有著密切的關(guān)系體現(xiàn)已知量在測量過程中作為比較標(biāo)準(zhǔn)的各類量具、儀器儀表必須定期進行檢驗和校準(zhǔn)，以保證測量結(jié)果的準(zhǔn)確性、可靠性和統(tǒng)一性，這個過程稱為計量。單位制任何測量都要有一個統(tǒng)一的體現(xiàn)計量單位的量作為標(biāo)準(zhǔn)，這樣的量稱做計量標(biāo)準(zhǔn)。計量單位是有明確定義和名稱并令其數(shù)值為1的固定的量，例如長度單位1米(m)，時間單位1秒(s)等。計量單位必須以嚴(yán)格的科學(xué)理論為依據(jù)進行定義。法定計量單位是國家以法令形式規(guī)定使用的計量單位，是統(tǒng)一計量單位制和單位量值的依據(jù)和基礎(chǔ)，因而具有統(tǒng)一性、權(quán)威性和法制性。1984年2月27日國務(wù)院在發(fā)布《關(guān)于在我國統(tǒng)一實行法定計量單位的命令》時指出：我國的計量單位一律采用《中華人民共和國法定計量單位》。

我國法定計量單位以國際單位制(SI)為基礎(chǔ)，包括10個我國國家選定的非國際單位制單位，如時間(分、時、天)、平面角(秒、分、度)、長度(海里)、質(zhì)量(噸)和體積(升)等。在國際單位制中，分為基本單位、導(dǎo)出單位和輔助單位。基本單位是那些可以彼此獨立地加以規(guī)定的物理量單位，共7個，分別是長度單位米(m)、時間單位秒(s)、質(zhì)量單位千克(kg)、電流單位安培(A)、熱力學(xué)溫度單位開爾文(K)、發(fā)光強度單位坎德拉(cd)和物質(zhì)的量單位摩爾(mol)。由基本單位通過定義、定律及其他函數(shù)關(guān)系派生出來的單位稱為導(dǎo)出單位。

例如力的單位牛頓(N)的定義為“使質(zhì)量為1千克的物體產(chǎn)生加速度為1米每2次方秒的力”，即N=kg·m/s2；在電學(xué)量中，除電流外，其他物理量的單位都是導(dǎo)出單位，如頻率的單位為赫茲(Hz)，定義為“周期為1秒的周期現(xiàn)象的頻率”，即Hz=1/s；能量(功)的單位焦耳(J)的定義為“1牛頓的力使作用點在力的方向上移動1米所做的功”，即J=N·m；功率的單位瓦(W)的定義為“1秒內(nèi)產(chǎn)生1焦耳能量的功率”，即W=J/s。

國際上把既可作為基本單位又可作為導(dǎo)出單位的單位，單獨列為一類，稱做輔助單位。國際單位制中包括兩個輔助單位，分別是平面角的單位弧度(rad)和立體角的單位球面角(sr)。

由基本單位、輔助單位和導(dǎo)出單位構(gòu)成的完整體系稱為單位制。單位制隨基本單位的選擇而不同。例如，在確定厘米、克、秒為基本單位后，速度單位為厘米每秒(cm/s)，密度單位為克每立方厘米(g/cm3)，厘米、克、秒構(gòu)成一個體系，稱為厘米克秒制。國際單位制就是由前面列舉的7個基本單位、2個輔助單位及19個具有專門名稱的導(dǎo)出單位構(gòu)成的一種單位制，國際上規(guī)定以拉丁字母SI作為國際單位制的簡稱。計量特征：統(tǒng)一性，準(zhǔn)確性，法律性計量基準(zhǔn)1.主基準(zhǔn)—國家基準(zhǔn)(最高準(zhǔn)確度,國家鑒定)2.副基準(zhǔn)—與主基準(zhǔn)對比而確定的量值.

通過直接或間接與國家基準(zhǔn)比對，確定其量值并經(jīng)國家鑒定批準(zhǔn)的計量器具3.工作基準(zhǔn)—日常校準(zhǔn)或核查計量工具.器皿的標(biāo)準(zhǔn)(如:公稱)基準(zhǔn)本身并不一定剛好等于一個計量單位。例如銫-133原子的頻率基準(zhǔn)所復(fù)現(xiàn)的時間值不是1s,而是(9192631770)－1s；氪-86長度基準(zhǔn)復(fù)現(xiàn)的長度值不是1m,而是(1650763.73)－1m；標(biāo)準(zhǔn)電池復(fù)現(xiàn)的電壓值是1.0186V，而不是1V等。第二節(jié)電子測量的特點和應(yīng)用電子測量的范圍：電子測量滲透的學(xué)科越來越多，近年來如醫(yī)學(xué)，生命科學(xué)等領(lǐng)域.電量的測量——電流、電壓、電功率等信號的測量——波形、失真度、頻率、相位、脈沖參數(shù)、調(diào)制度、信號頻譜、信噪比等元件參數(shù)——電阻、電感、電容、電子器件（晶體管、場效應(yīng)管等）、電路頻率響應(yīng)、通帶寬度、品質(zhì)因數(shù)、相位移、延時、衰減和增益等特點：測量頻率范圍寬10HZ～10GHZ量程廣：歐姆表～M，電壓表地面上接收到的宇宙飛船自外太空發(fā)來的信號功率低至10-14W數(shù)量級，而遠程雷達發(fā)射的脈沖功率可高達108W，兩者之比為1∶1022。精確度高：對?和s誤差10～10量級，目前測量的最高精確度速度快易于遙測，不間斷測量易于利用計算機，通過A/D、D/A與計算機連接，實現(xiàn)智能測量-5-13-14例如阻抗的測量，在低頻段多采用電流電壓法，而在微波段則必須采用開槽測量線或反射計技術(shù)。上述兩種方法無論在原理上，還是在測量設(shè)備上都大不一樣。當(dāng)然，隨著技術(shù)的發(fā)展，能在相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)正常工作的儀器不斷地被研制出來。例如，現(xiàn)在一臺較為先進的頻率計，其頻率測量范圍可以低至10－6Hz,高至1011Hz。例如，直流電壓的準(zhǔn)確度當(dāng)前可達到10－6數(shù)量級，音頻電壓為10－4數(shù)量級，射頻電壓僅為10－3數(shù)量級，而品質(zhì)因數(shù)Q值和電場強度的測量準(zhǔn)確度只有10－1數(shù)量級。造成這種現(xiàn)象的主要原因在于電磁現(xiàn)象本身的性質(zhì)，使得測量結(jié)果極易受到外部環(huán)境的影響，尤其在較高頻率段，待測裝置和測量裝置之間、裝置內(nèi)部各元器件之間的電磁耦合、外界干擾及測量電路中的損耗等對測量結(jié)果的影響往往不能忽略卻又無法精確估計。

第三節(jié)本課程的任務(wù)講授與自學(xué)結(jié)合第二章測量誤差與不確定度基礎(chǔ)

及測量數(shù)據(jù)處理第一節(jié)測量誤差的基本概念

被測量在一定時空條件下，真值為一確定數(shù)值，由于器具、手段、條件等引起誤差——測量誤差。一、測量誤差定義：

結(jié)果與真值的差別——測量誤差。（一）絕對誤差：其中△x——絕對誤差

x——給出值

x0——真值一般誤差忽略情況下x代替x0定義C-與絕對誤差大小相同，方向相反

C=x0-x作用：測量時對數(shù)據(jù)進行修正例：用某電流表測電流，電流表的示值為10mA，該表在檢定時10mA刻度處的修正值是+0.04mA，則被測電流的實際值即為10.04mA。

2224681012141618200.010（mA）I/（mA）0.020.030.040.05-0.01-0.02

C/（mA）（二）相對誤差：例?1=1000HZ,△?1=1HZ,?2=1000000HZ,△?2=10HZ,△?2＞△?1，但△?1/?1=0.1%,△?2/?2=0.001%(兩個相差比較大的量比較時，△?無意義，用△?/?表示)相對誤差：=100%沒有量綱示值相對誤差：=100%（誤差小時用）△xx0△xx例：某脈沖信號發(fā)生器輸出脈沖寬度為0.1～10μs共二十檔，誤差為±10%～±0.025μs。即脈沖的誤差由兩部分組成，第一部分為輸出脈寬的±10%，這是誤差中的相對部分；第二部分±0.025μs與輸出脈寬無關(guān)，可看成是誤差中的絕對部分。顯然當(dāng)輸出窄脈沖時，誤差的絕對部分起主要作用，當(dāng)輸出寬脈沖時，誤差的相對部分起主要作用。例我們測量一個有源或無源網(wǎng)絡(luò)，它的電壓或電流傳輸函數(shù)為，

則可以把這個傳輸函數(shù)用分貝表示為

當(dāng)測量中存在誤差，則測得的傳輸函數(shù)偏離一個數(shù)值，即

（1）

或

叫做分貝誤差

由可得:

與（1）式比較，可見分貝誤差為

（2-a）同理，當(dāng)A為功率傳輸函數(shù)時（2-b）由式（2）可見，是一個只與相對誤差有關(guān)的量。式中帶有正負符號，因而也是帶有符號的。（三）引用誤差

量程變化→變化→變化式中——引用誤差

——絕對誤差——量程例檢定一個1.5級100mA的電流表，發(fā)現(xiàn)在50mA處的誤差最大，為1.4mA，其他刻度處的誤差均小于1.4mA，問這塊電流表是否合格？

解該表的最大引用誤差為

可見，這塊電流表合格。

若某儀表的等級是級s%，它的滿刻度值為Xm，被測量的真值為Xo，那么測量的絕對誤差為

（1）

測量的相對誤差為

（2）由（1）可見，當(dāng)一個儀表的等級S選定后，測量中絕對誤差的最大值與儀器刻度的上限成正比。因此所選儀表的滿刻度值不應(yīng)比實測量x大得太多。同樣，在式（2）中，總是滿足，可見當(dāng)儀表等級S選定后，越接近時，測量中相對誤差的最大值越小，測量越準(zhǔn)確。因此，我們在選用這類儀表測量時，在一般情況下應(yīng)使被測量的數(shù)值盡可能在儀表滿刻度的三分之二以上。例若要測一個10V左右的電壓，手頭有兩塊電壓表，其中一塊量程為150V，±1.5級，另一塊是量程為15V，±2.5級，問選用哪一塊表合適？

解若使用量程為150V±1.5級電壓表，測量產(chǎn)生的絕對誤差

若表頭示值為10V時，則被測電壓的真值是在10V±2.5V的范圍內(nèi)，誤差的范圍是相當(dāng)大的。若使用量程為15V±2.5級電壓表，用同樣方法可以求得測量的絕對誤差

若表頭示值為10V時，則被測電壓的真值是在10V±0.375V的范圍內(nèi)，可見誤差的范圍小了很多，因此應(yīng)選用15V的2.5級電壓表。

結(jié)論：在測量中我們不能片面追求儀表的級別，而應(yīng)該根據(jù)被測量的大小，兼顧儀表的滿刻度值和級別，合理地選擇儀表。二、測量誤差的分類性質(zhì)分：系統(tǒng)誤差（ε）、隨機誤差（δ）、粗大誤差（）儀器分:固有誤差（基本誤差）、工作誤差、附加誤差(一)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差——在相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號保持恒定，或在條件改變時按某種確定規(guī)律而變化的誤差。恒值系統(tǒng)誤差——不隨某些測量條件而變化的系統(tǒng)誤差。常見誤差原因：設(shè)備缺陷、儀器不準(zhǔn)、使用不當(dāng)?shù)?a)測量R上的電流忽略了電壓表上的電流(b)測量R上的電壓忽略了電流表上的電壓電壓表電流表R（a）電壓表電流表R(b)

(二)隨機誤差1定義、根源和特點定義：在實際相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號以不可預(yù)定的方式變化著的誤差。根源：熱騷動、噪聲干擾、電磁場的微變、空氣擾動、大地微震。特點：一次測量無規(guī)律，大量測量具有統(tǒng)計規(guī)律；不會超過一定的界限，即隨即誤差具有有界性；絕對值相等的誤差出現(xiàn)的機會相同，具有對稱性；隨機誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)n的無限增加而趨于零，具有抵償性。(三)粗大誤差定義：超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差，明顯地偏離了真值。原因：讀數(shù)錯誤，方法錯誤，儀器缺陷等。測量上稱為壞結(jié)果，不用。三、測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望和方差(1)離散型的數(shù)學(xué)期望和方差

數(shù)學(xué)期望：取平均值方差：偏離平均值的程度

（當(dāng)）其中n為總測量次數(shù)，為第i次的取值數(shù)，為可能取值的概率，為取值的次數(shù)。每次測量沒有相同情況時：=1結(jié)論：當(dāng)時，是各次的算術(shù)平均值，即。是第i次測量的取值減去算術(shù)平均值的平方，平方的目的是防止互抵性。若每次獨立，沒有相同情況

——標(biāo)準(zhǔn)偏差結(jié)論：越小，測量值越集中，離散程度越小。(2)連續(xù)型的數(shù)學(xué)期望和方差取值在某個區(qū)間連續(xù)，可能的取值為無窮多個，對應(yīng)于某個取值的概率趨近于零，用到概率密度來描述。設(shè)測量值X落在區(qū)間內(nèi)的概率為,當(dāng)趨近于零時，若與之比的極限存在，就把它稱為測量值X在x點的概率密度，記為

則

結(jié)論：在測量值由離散值變?yōu)檫B續(xù)值時，只不過將多項求和變成積分，并將每種取值的概率換成，計算方法的實質(zhì)并沒有改變。四、測量誤差對測量結(jié)果的影響及測量的正確度、精密度和準(zhǔn)確度

一般，第i次測量的誤差：（為系統(tǒng)誤差，為隨機誤差）上式中系統(tǒng)誤差在測量條件相同時是不變的，當(dāng)測量次數(shù)n時，若對n次測量的絕對誤差取平均值，則由于隨機誤差的抵償性，當(dāng)時的平均值等于零，由此可得

（當(dāng)）

將代入上式，則

（當(dāng)）結(jié)論：（1）對于同時存在隨機誤差和系統(tǒng)誤差的測量數(shù)據(jù)，只要測量次數(shù)足夠多（理論上），各次測量絕對誤差的算術(shù)平均值就等于測量的系統(tǒng)誤差。（2）當(dāng)不存在系統(tǒng)誤差時，測量值的數(shù)學(xué)期望就等于被測量的真值，即

例用一數(shù)字電壓表在相同條件下測同一電源的電壓，得到12個數(shù)據(jù)如下表，經(jīng)計量單位檢定該電源電壓的實際值為6.189V,求測量的系統(tǒng)誤差的估計值。解：求以上12次測量結(jié)果的算術(shù)平均值

電源電壓的真值可用計量部門檢定的該電源電壓的實際值來近似代替，即

由于測量次數(shù)，為有限次而不為無窮大，因此我們只能求得系統(tǒng)誤差的估計值，為區(qū)別估計值和真實值，我們在某量上方加一個尖括號來表示它是估計值。這里用來表示系統(tǒng)誤差的估計值，由可得系統(tǒng)誤差的估計值為測量儀器的主要性能指標(biāo)

從獲得的測量結(jié)果角度評價測量儀器的性能——

精度精度是指測量儀器的讀數(shù)(或測量結(jié)果)與被測量真值相一致的程度。對精度目前還沒有一個公認的定量的數(shù)學(xué)表達式，因此常作為一個籠統(tǒng)的概念來使用，其含義是：精度高，表明誤差?。痪鹊?，表明誤差大。因此，精度不僅用來評價測量儀器的性能，也是評定測量結(jié)果最主要、最基本的指標(biāo)。精度又可用精密度、正確度和準(zhǔn)確度三個指標(biāo)加以表征。

1)精密度精密度說明儀表指示值的分散性，表示在同一測量條件下對同一被測量進行多次測量時，得到的測量結(jié)果的分散程度。它反映了隨機誤差的影響。精密度高，意味著隨機誤差小，測量結(jié)果的重復(fù)性好。比如某電壓表的精密度為0.1V，即表示用它對同一電壓進行測量時，得到的各次測量值的分散程度不大于0.1V。

2)正確度

正確度說明儀表指示值與真值的接近程度。所謂真值，是指待測量在待定狀態(tài)下所具有的真實值大小。正確度反映了系統(tǒng)誤差(例如儀器中放大器的零點漂移、接觸電位差等)的影響。正確度高，則說明系統(tǒng)誤差小，比如某電壓表的正確度是0.1V，則表明用該電壓表測量電壓時的指示值與真值之差不大于0.1V。我國電工儀表的分級就是按正確度來確定的。

3)準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度是精密度和正確度的綜合反映。準(zhǔn)確度高，說明精密度和正確度都高，也就意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小，因而最終測量結(jié)果的可信度也高。在具體的測量實踐中，可能會有這樣的情況：正確度較高而精密度較低，或者情況相反，相當(dāng)精密但欠正確。當(dāng)然，理想的情況是既正確，又精密，即測量結(jié)果準(zhǔn)確度高。要獲得理想的結(jié)果，應(yīng)滿足三個方面的條件，即性能優(yōu)良的測量儀器、正確的測量方法和正確細心的測量操作。以射擊打靶為例加以說明。以靶心比作被測量真值，以靶上的彈著點表示測量結(jié)果。其中，圖(a)彈著點分散而偏斜，屬于既不精密，也不正確，即準(zhǔn)確度很低；圖(b)彈著點仍較分散，但總體而言大致都圍繞靶心，屬于正確而欠精密；圖(c)彈著點密集但明顯偏向一方，屬于精密度高而正確度差；圖(d)彈著點相互接近且都圍繞靶心，屬于既精密又正確，即準(zhǔn)確度很高。用射擊打靶說明測量正確度——表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度精密度——表示測量結(jié)果中隨機誤差大小的程度正確度相等，精密度不一定相等ε

Xxi

(a)隨機誤差較小M(X)δi

x0

Xxi

(b)隨機誤差較大M(X)δi

ε

x0

準(zhǔn)確度——表示測量結(jié)果與真值的一致程度

三者的含義：

（a）正確度高而精密度低（b）精密度高而正確度低（c）準(zhǔn)確度高——正確度、精密度均高X(b)x0

(a)x0

(c)x0

五、測量誤差的估計和處理（一）隨機誤差的影響及統(tǒng)計處理隨機誤差使測量數(shù)據(jù)產(chǎn)生分散，即偏離它的數(shù)學(xué)期望。對某一次測量來說，隨機誤差使測量數(shù)據(jù)偏離數(shù)學(xué)期望的大小和方向是沒有規(guī)律的，但多次測量就會發(fā)現(xiàn)隨機誤差使測量數(shù)據(jù)的分布服從一定的統(tǒng)計規(guī)律。我們的任務(wù)就是要研究隨機誤差使測量數(shù)據(jù)按什么規(guī)律分布，估計被測量的數(shù)學(xué)期望和方差以及被測量真值出現(xiàn)在某一區(qū)間的概率等等。.................................................................................

小球在伽爾頓板中的分布規(guī)律.統(tǒng)計規(guī)律性大量偶然事件從整體上反映出來的一種規(guī)律性。某一事件i發(fā)生的概率為Pi

Ni--事件i發(fā)生的次數(shù)

N--各種事件發(fā)生的總次數(shù)統(tǒng)計規(guī)律當(dāng)小球數(shù)N

足夠大時小球的分布具有統(tǒng)計規(guī)律.實際問題中，經(jīng)常遇到很多隨機變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。例如，工業(yè)生產(chǎn)中各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（如零件的尺寸、材料的強度……），生物學(xué)中同一群體的特征（如：動物的身長、體重、植物的株高、單位面積產(chǎn)量……），測量誤差，等等。服從正態(tài)分布的隨機變量廣泛地存在概率論中關(guān)于論證“大量獨立隨機變量的和的極限分布是正態(tài)分布”的一系列定理統(tǒng)稱為中心極限定理。

1、測量數(shù)據(jù)的正態(tài)分布

在概率論中，我們研究過中心極限定理，這個定理說明：假設(shè)被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小的作用，則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布，又叫作高斯分布。

隨機誤差正是由多種因素組成，每種因素影響較小，則隨機誤差及在其影響下的測量數(shù)據(jù)應(yīng)服從正態(tài)分布。隨機誤差分布的概率密度：測量數(shù)據(jù)分布的概率密度：

式中為隨機誤差，X為測量值，及為隨機誤差及測量分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差，是X的數(shù)學(xué)期望。（a）隨機誤差的正態(tài)分布（b）在隨機誤差影響下測量數(shù)據(jù)X的正態(tài)分布0δφ（X）‖XM(X)標(biāo)準(zhǔn)偏差意義標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。2、用有限次測量數(shù)據(jù)估計測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差

n次測量不能直接求出，只能估計（1）有限次測量值的算術(shù)平均值及其分布n次測量平均值的性質(zhì)：

——第i次一系列測量概率論知：（1）幾個隨機變量之和的數(shù)學(xué)期望等于各隨機變量的數(shù)學(xué)期望之和（2）幾個相互獨立的隨機變量之和的方差等于各隨機變量方差之和即：則，說明有限次測量值的算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)期望等于被測量的數(shù)學(xué)期望。則，說明n次測量值平均值的方差比總體或單次測量值的方差小n倍，或者說比標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。n越大，越小，當(dāng)時，。物理意義：n次測量取平均后，分布在附近，由于抵償性，的分布相對集中了，即比小。（2）用有限次測量的數(shù)據(jù)來估計測量值的數(shù)學(xué)期望設(shè)是x的估計值原則一致性：依概率收斂于x無偏性：的數(shù)學(xué)期望等于x當(dāng)時，

——

一致性

——

無偏性（3）用有限次測量數(shù)據(jù)估計測量值的方差——貝塞爾公式

或式中，稱為殘差或剩余誤差【例1】用溫度計重復(fù)測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：①平均值

②用公式計算各測量值殘差列于上表中③實驗偏差④標(biāo)準(zhǔn)偏差例：需要一個160.3KHz的振蕩源，考慮可以采用兩種形式的LC振蕩電路。按同樣工藝條件組裝好電路，并使它們工作在相同的固定工作條件下，接通電源一小時后每隔一定時間分別記錄一次兩種電路的振蕩頻率如下表：

頻率單位：KHz

問從測量數(shù)據(jù)看選用哪種電路更好些？解由測量數(shù)據(jù)看，小數(shù)點前面及小數(shù)點后面第一位數(shù)字在測量過程中沒有變化，因此我們只須分析小數(shù)點后面第二、三位數(shù)據(jù)，即在實際計算時，對第一種方案只需求82、83……等數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差估計值，對第一種方案只需求51、68……等數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差估計值，然后再考慮前面不變的部分及位數(shù)關(guān)系，給出所求數(shù)值。

則第一種方案振蕩頻率的數(shù)學(xué)期望的估計值為

則第一種方案振蕩頻率的標(biāo)準(zhǔn)偏差估計值為

用同樣方法可以求得第二種方案振蕩頻率的數(shù)學(xué)期望及標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值為由上面的計算結(jié)果可以看出，兩種方案，頻率的平均值均偏離要求值160.3KHz，偏離情況基本相同，只要略微調(diào)整一下L或C元件，這個問題就可以解決。由于第二種方案的標(biāo)準(zhǔn)偏差明顯小于第一種方案，即頻率穩(wěn)定度優(yōu)于第一種方案，所以采用第二種方案比較適合。2、測量誤差的非正態(tài)分布在構(gòu)成誤差的各種影響因素中，有一種因素的影響是主要的，而這種誤差的分布不服從正態(tài)分布這時誤差總的分布就可能是非正態(tài)的。在測量實踐中，除正態(tài)分布外，均勻分布也是常遇到的一種重要分布。均勻分布的特點是，在其分布范圍內(nèi)，測量值或測量誤差出現(xiàn)的概率密度相等?；?/p>

φ（X）XabK=1/(b-a)測量誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入”的截尾誤差；當(dāng)只能估計誤差在某一范圍內(nèi)，而不知其分布時，一般可假定均勻分布。概率密度:均值:當(dāng)時,標(biāo)準(zhǔn)偏差:

當(dāng)

時，例：已知某電壓表能分辨的最小電壓間隔為5mV，求由于儀器分辨力限制造成的隨機誤差的數(shù)學(xué)期望和均方差。解電壓表能分辨的最小電壓間隔為5mV，這就意味著對所有電壓實際數(shù)值為間的電壓，電壓表的指示都是，所以讀數(shù)的隨機誤差均勻地分布于之間。在此區(qū)間外由于分辨力造成的誤差為零。因此誤差的概率密度如圖所示。

φ（δ）δ0-2.5mV2.5mV

誤差的數(shù)學(xué)期望為

可見由于分辨力限制造成的誤差的數(shù)學(xué)期望為零，這是因為這些誤差雖然均勻地出現(xiàn)在至之間，每次出現(xiàn)的大小和方向都沒有規(guī)律，但是足夠多次誤差的影響是能夠相互抵消的。誤差的方差為

這個誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差可以用來描述由于電壓分辨力限制，造成的隨機誤差的分散程度。六、用統(tǒng)計學(xué)方法剔除異常數(shù)據(jù)

在無系統(tǒng)誤差的情況下，測量數(shù)據(jù)分布在被測量真值附近。在正態(tài)分布情況下，誤差絕對值超過的概率僅占1%，誤差絕對值超過的概率僅占0.27%，可見出現(xiàn)大誤差的概率是非常小的。對于誤差絕對值較大的測量數(shù)據(jù)，可以列為可疑數(shù)據(jù)。決定可疑數(shù)據(jù)的取舍：觀察物理原因不能決定時，用統(tǒng)計方法。基本思想：給定一個置信概率，找出相應(yīng)的置信區(qū)間，凡在這個置信區(qū)間以外的數(shù)據(jù)，就定為異常數(shù)據(jù)并予以剔除。測量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：c——置信系數(shù)（或置信因子）

置信概率是圖中陰影部分面積正態(tài)分布的置信概率—萊特準(zhǔn)則

正態(tài)分布,當(dāng)c=3時置信因子c置信概率φ10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大七、處理系統(tǒng)誤差的一般方法

系統(tǒng)誤差有規(guī)律但不容易掌握，處理上比隨機誤差更為困難。一般處理上：（1）檢查系統(tǒng)誤差是否存在（2）分析原因，盡力消除（3）采取措施，減弱影響（4）利用修正辦法，有些無法修正的，估計范圍（一）測量前盡力消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源（1）原理和方法上盡力做到正確，嚴(yán)格（2）儀器定期檢查，校準(zhǔn)，正確使用（3）注意周圍環(huán)境的影響，尤其是溫度，必要時注意恒溫、散熱措施，屏蔽、防振等。（4）提高測量人員業(yè)務(wù)素質(zhì)，減少人為因素（5）盡量用數(shù)字式代替讀數(shù)式（二）系統(tǒng)誤差的判別恒值系差的判別：條件不變變值系差的判別：（1）找出誤差與某個測量條件間的解析關(guān)系式（2）實際測量當(dāng)變值系差明顯地大于隨機誤差時，改變某一條件θ,記錄，求和，觀察和θ的關(guān)系。當(dāng)隨機誤差較大時：（1）馬利科夫判據(jù)

θ改變，n次測量當(dāng)n為偶數(shù)時：當(dāng)n為奇數(shù)時：當(dāng)，時，系統(tǒng)誤差為累進式。（2）阿卑—赫梅特判據(jù)累進式、周期性誤差同時可用，測量有變值系差（三）消除或減弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù)1．零示法

優(yōu)點：只需觀察檢流計有無電流，不需讀數(shù)，減少人為因素，平衡電橋也是零示法的一種。要求：（1）檢流計靈敏度要求（2）臂電阻值要精確ER1

VR2

VVx

2．代替法（置換法）

做法：被測接入電橋，使G=0，用可調(diào)標(biāo)準(zhǔn)電阻代替，調(diào)整可調(diào)標(biāo)準(zhǔn)電阻的阻值使G=0，此時標(biāo)準(zhǔn)電阻的阻值即為。

優(yōu)點：儀器誤差、系統(tǒng)誤差對無影響3.交換法（對照法）做法：兩次測量，使誤差源作用相反，兩次取平均值。例：電橋測電阻，分別取兩個臂，后取平均值。4．微差法是零示法，的情況。設(shè)被測量為x，和它相近的標(biāo)準(zhǔn)量為B，被測量與標(biāo)準(zhǔn)量之微差為A，A的數(shù)值可由指示儀表讀出。則

由于x和B的微差A(yù)遠小于B，所以，可得測量誤差為

為標(biāo)準(zhǔn)量的相對誤差

系數(shù)為相對微差

為指示儀表的相對誤差。例：圖2-17是一個用微差法測量未知電壓的電路，圖中標(biāo)準(zhǔn)電壓V維持不變，電壓表V用來測量被測電壓與標(biāo)準(zhǔn)電壓V之微差。設(shè)標(biāo)準(zhǔn)電壓的相對誤差不大于萬分之五，電壓表的相對誤差不大于百分之一，相對微差為五十分之一，求測量的相對誤差是多少？解：測量的相對誤差為ER1

VR2

VVx

（四）系統(tǒng)誤差的修正和系差范圍的估計治標(biāo)辦法：用修正曲線或修正公式，對數(shù)據(jù)進行修正。范圍：上限，下限恒值部分的數(shù)值為，可以進行修正。變化部分的變化幅度為，與隨機誤差的變化范圍進行合成。

第二節(jié)測量不確定度及測量

結(jié)果的表征一、測量不確定度及其分類評定（一）測量不確定度－測量值的可疑程度（誤差的最大范圍）取正值。標(biāo)準(zhǔn)偏差表示－標(biāo)準(zhǔn)不確定度置信區(qū)間表示－擴展不確定度（范圍不確定度、延伸不確定度）多值合成不確定度－合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度（誤差合成）（二）測量不確定度的分類評定1、A類評定－標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定(由標(biāo)準(zhǔn)偏差確定)2、B類評定－基于經(jīng)驗、其他信息，概率分布復(fù)雜。二、測量結(jié)果的置信問題及擴展不確定度（一）置信概率與置信區(qū)間不能確切地知道尚未進行的某一次測量的結(jié)果，但希望知道M(x)可能處于區(qū)間內(nèi)的概率。（置信概率）若知道，想知道的區(qū)間

‖XM(X)cσ(X)cσ(X)X1±cσ(X)X1

X2

X3

X2±cσ(X)X3±cσ(X)（二）服從正態(tài)分布的測量結(jié)果的

置信問題和擴展不確定度

1、若某測量值服從正態(tài)分布，它的概率密度為則測量值處于對稱區(qū)間內(nèi)的置信概率為令則且當(dāng)時當(dāng)時于是可以把積分變量換為Z，即根據(jù)系數(shù)C或者說根據(jù)置信區(qū)間，就可從表中查得相應(yīng)的置信概率。例：已知某被測量的測量值服從正態(tài)分布，測量中系統(tǒng)誤差可以忽略。分別求出置信區(qū)間為真值附近的三個區(qū)間，，時的置信概率。

解由于測量的系統(tǒng)誤差可以忽略，則被測量的真值就等于數(shù)學(xué)期望，置信區(qū)間分別為，，，則系數(shù)分別為1、2、3。由附錄表I表A可以查出置信概率分別為

由計算結(jié)果可見，對于正態(tài)分布的誤差或測量值，不超過的置信概率為99.73%，因而可以認為實際測量值均處于附近的范圍內(nèi)。

例：已知對某電壓的測量中不存在系統(tǒng)誤差，測量值屬于正態(tài)分布，電壓的真值，測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，求測量值出現(xiàn)在9.7~10.3V之間的置信概率。

解由于測量中不存在系統(tǒng)誤差，真值等于數(shù)學(xué)期望。由題可直置信區(qū)間在附近的范圍。

則系數(shù)

由附錄表I表A可得

例：某測量值X屬于正態(tài)分布，已知它的數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)偏差為，若要求置信概率為99%，求置信區(qū)間。解已知置信概率為由附錄表I表B查得相應(yīng)的，則置信區(qū)間為2.有限次測量情況下的置信問題——由正態(tài)分布到t分布有限次測量：未知，只能求或仿照前面的方法設(shè)隨機變量

當(dāng)測量值X服從正態(tài)分布時，也服從正態(tài)分布。由于不服從正態(tài)分布，使t不再服從正態(tài)分布，而服從于t分布。t分布的概率密度為式中，稱為伽馬函數(shù)。，成為自由度。分布的圖形附錄Ⅱ給出了t分布的在對稱區(qū)間的積分。

0

t

φ（t,k）k→∞k值小k值大例：有一個固定頻率f的信號源，對其輸出頻率進行六次測量（可認為是獨立、等精密度，無系統(tǒng)誤差的測量），所得數(shù)據(jù)如下表：若要求置信概率為95%，估計信號頻率的真值約在什么范圍內(nèi)？

解（1）求頻率f的平均值

（2）求的標(biāo)準(zhǔn)偏差估計值,由貝塞爾公式（3）求平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差估計值（4）由自由度及置信概率，可從附錄Ⅱ查得相應(yīng)的。（5）估計f的真值所處區(qū)間：由于無系統(tǒng)誤差，真值即等于數(shù)學(xué)期望，則置信區(qū)間為，代入求得的數(shù)據(jù)可得對于95%的置信概率，估計f真值范圍應(yīng)為的范圍內(nèi)。例：對正態(tài)分布的測量值，給定置信概率為99%或99.73%等，由附錄Ⅰ正態(tài)分布在對稱區(qū)間的積分表查得對應(yīng)的系數(shù)c=2.576或c=3等等。在實際測量中常用算術(shù)平均值代替真值，用標(biāo)準(zhǔn)偏差估計值代替標(biāo)準(zhǔn)偏差，凡測量值在區(qū)間以外的，即時，就將數(shù)據(jù)剔除不用。結(jié)論：（1）過小，部分正常值被剔除。（2）過大，異常數(shù)據(jù)不能檢查出來（3）減少，有利于異常數(shù)據(jù)的剔除(a)置信概率過?。╞）置信概率過大（c）減少有利于異常數(shù)據(jù)的剔除萊特準(zhǔn)則：在測量數(shù)據(jù)為正態(tài)分布的情況下，如果測量次數(shù)足夠多，習(xí)慣上取3倍作為判別異常數(shù)據(jù)的界限。萊特準(zhǔn)則不適用測量次數(shù)較少，例如樣本容量n=10，

（當(dāng)n=10）顯然，對任何一個都將不大于標(biāo)準(zhǔn)偏差大于數(shù)據(jù)，則有異常數(shù)據(jù)，這個準(zhǔn)則失去判斷力。（三）非正態(tài)分布，正常數(shù)據(jù)的邊界大多在例：均勻分布的邊界為，萊特準(zhǔn)則不能用。應(yīng)用上：根據(jù)實際情況而確定方法。剔除異常數(shù)據(jù)后，重新計算和，直至最后。對于n很大的情況，數(shù)據(jù)多，計算煩，用現(xiàn)代手段——微機三、測量誤差和測量不確定度的合成總誤差與分項誤差的關(guān)系：（1）用分項誤差確定總誤差——合成（2）總誤差確定，求分項誤差的數(shù)值——分配（一）測量誤差的合成

1、誤差傳遞公式

設(shè)某量y由兩個分項,合成若在附近各階偏導(dǎo)數(shù)存在，則可把y展為臺勞級數(shù)

若用及分別表示及分項的誤差，由于，，則臺勞級數(shù)中的高階小量可以略去，則總合的誤差

同理，當(dāng)總和y由m個分項合成時，可得即（2-38）例12：用間接測量法測電阻消耗的功率，若電阻、電壓和電流的測量相對誤差分別為、、，問所求功率的相對誤差為多少？解方案1：用公式由式（2-38）則算得功率的相對誤差為方案2：用公式由式（2-38）

則

方案3：用公式由式（2-38）

則

上例是絕對誤差的合成公式，有時不方便。將（2-38）兩端同除以，同時考慮為，時的函數(shù)值f則：由于則可求出相對誤差

（2-39）例13

用式（2-39）重新計算例[12]。

解由式（2-39）可以求出

方案1：

方案2：方案3：

例14：已知下列各函數(shù)中各x的絕對誤差及相對誤差，求y的絕對誤差或相對誤差。解（1）由式（2-38）

（2）由式（2-39）（3）由式（2-39）結(jié)論：（1）若為和、差關(guān)系時，先求總合的絕對誤差。（2）若為積、商、乘方、開方關(guān)系時，先求總合的相對誤差。2、系統(tǒng)誤差的合成一般：若忽略δ：3、隨機誤差的合成ε=0則：兩邊平方當(dāng)進行了n次測量，對上式由i=1~n求和，則若為相互獨立的量，則與也互不相關(guān)，與的大小和符號都是隨機變化的，它們的積也是隨機變化的，當(dāng)時，各乘積項相互抵消的結(jié)果使上式第二項趨近于零。當(dāng)不考慮第二項以后，將上式兩端同除以n，則得

最后得到（二）不確定度的合成不確定度的概念不確定度是說明測量結(jié)果可能的分散程度的參數(shù)?？捎脴?biāo)準(zhǔn)偏差表示，也可用標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)或置信區(qū)間的半寬度表示。（1）標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用概率分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的不確定度

①A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用統(tǒng)計方法得到的不確定度。②B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用非統(tǒng)計方法得到的不確定度（二）不確定度的合成

（2）合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度由各不確定度分量合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。因為測量結(jié)果是受若干因素聯(lián)合影響。（3）擴展不確定度合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)表示的測量不確定度，即用包含因子乘以合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度得到一個區(qū)間半寬度。包含因子的取值決定了擴展不確定度的置信水平。通常測量結(jié)果的不確定度都用擴展不確定度表示（二）不確定度的合成

不確定度的分類

（二）不確定度的合成

不確定度的來源①被測量定義的不完善，實現(xiàn)被測量定義的方法不理想，被測量樣本不能代表所定義的被測量。②測量裝置或儀器的分辨力、抗干擾能力、控制部分穩(wěn)定性等影響。③測量環(huán)境的不完善對測量過程的影響以及測量人員技術(shù)水平等影響。④計量標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡化算法中使用的常數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在測量過程中引入的近似值的影響。⑤在相同條件下，由隨機因素所引起的被測量本身的不穩(wěn)定性。誤差與不確定度的區(qū)別測量誤差測量不確定度客觀存在的，但不能準(zhǔn)確得到，是一個定性的概念表示測量結(jié)果的分散程度，可根據(jù)試驗、資料等信息定量評定。誤差是不以人的認識程度而改變與人們對被測量和影響量及測量過程的認識有關(guān)。隨機誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同性質(zhì)的誤差A(yù)類或B類不確定度是兩種不同的評定方法，與隨機誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡單的對應(yīng)關(guān)系。須進行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。剔除異常數(shù)據(jù)后再評定不確定度在最后測量結(jié)果中應(yīng)修正確定的系統(tǒng)誤差。在測量不確定度中不包括已確定的修正值，但應(yīng)考慮修正不完善引入的不確定度分量?！罢`差傳播定律”可用于間接測量時對誤差進行定性分析。不確定度傳播律更科學(xué)，用于定量評定測量結(jié)果的合成不確定度（二）不確定度的合成系統(tǒng)不確定度——不能確切掌握系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度（Ф）隨機不確定度——

隨機變化的最大幅度總誤差不確定度——1．系統(tǒng)不確定度的合成

（1）絕對值合成法

m個分項中各分項的不確定度相同，同時取正或取負

則總合的不確定度為：例:已知DYC-5超高頻電子管電壓表在測量交流電壓時的技術(shù)指標(biāo)如下：

1)測量電壓范圍：0.1—100V，分五檔，各檔滿度電壓為1，3，10，30，100V；頻率范圍20Hz—300MHz；在環(huán)境溫度（20±5）℃及頻率50Hz時各檔的滿度測量基本誤差為±2.5%。

2）在0—15℃及25—40℃附加誤差為±2.5%；

3）頻率附加誤差為

20Hz—300MHz±3%100—200MHz±5%200—300MHz±10%

現(xiàn)欲測5V、150MHz的高頻電壓，環(huán)境溫度為32℃，求測量誤差的不確定度

解上述誤差中既包含了系統(tǒng)誤差，也包含了隨機誤差，但在這種一般的工程測量中主要是系統(tǒng)誤差。從最不利的情況出發(fā)，用絕對值合成法，將基本誤差與兩個附加誤差合成。因給出的基本誤差為滿度相對誤差，在測5V電壓時電壓表的滿度電壓為10V，因此測量的基本相對誤差的最大值為又知頻率附加誤差為±5%，溫度附加誤差為±2.5%，從最不利的情況出發(fā)，認為各誤差是同方向相加的，則由可求出總的不確定度為

上例求出的總合的不確定度是很大的。由于每一分項取正號（或負號）的概率為1/2，所以m個相互獨立的不確定度都取正號（或負號）的概率為，只適用于m小的情況。

（2）均方根合成法已知誤差分布和不確定度用多項取平均減少，而多項平均不能減少∵各分項的分布規(guī)律難確定∴難求估計方法：

（2）設(shè)各分項均勻分布，即取總合介于正態(tài)與均勻間取范圍例16

同上例，用均方根合成法求總合的

不確定度解用第一種估計方法，由

用第二種方法估計，在中因分項數(shù)目較少，各分項的影響相差不懸殊，取，各分項的分布形狀不掌握，按均勻分布取，則2．同時含有系統(tǒng)誤差和隨機誤差時不確定度的合成若系統(tǒng)有q項確定性系統(tǒng)誤差

一般：分布情況不清時，（按均勻分布）分項較多時，（按正態(tài)分布）例

用QS18A電橋測量某電容10次，結(jié)果如下：已知該電橋測量的系統(tǒng)誤差不大于±1%，求被測電容值及其不確定度。解用平均值作為測量值的估計值

求不確定度：首先求系統(tǒng)不確定度及表征項，由題可知由于不知道系統(tǒng)誤差的分布形狀，按均勻分布取系數(shù)，則表征項又根據(jù)貝塞爾公式求得測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差估計值為

由上面數(shù)據(jù)可見，則測量值的不確定度可以認為等于系統(tǒng)不確定度。最后電容值可以表示為

（三）微小誤差準(zhǔn)則

誤差合成時，考慮主要誤差項，次要項小到什么程度可略去的問題。1．代數(shù)合成中的微小誤差若其中第k項為微小誤差，可以將其略去，∵誤差值一般保留1~2位設(shè)保留最后一位（即個位），則0.5以下的誤差舍掉則：舍掉的部分占誤差值的百分比為

即舍掉部分不≥5%

只要略去微小項的誤差量≤5%，對結(jié)果無影響。若保留兩位有效數(shù)字，則：

2．幾何合成中的微小誤差

適用：隨機誤差或多項誤差

對于隨機誤差：設(shè)略去第k項：

誤差代數(shù)合成準(zhǔn)則：

兩邊平方：

則第k項誤差可以略去的條件為：取兩位有效數(shù)字：

對于某幾項微小誤差，亦可以按準(zhǔn)則略去。微小誤差取舍準(zhǔn)則

對于隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍去準(zhǔn)則是:被舍去的誤差必須小于或等于測量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差的1/3~1/10

微小誤差取舍準(zhǔn)則在總誤差計算和選擇高一級準(zhǔn)量等方面都有實際意義。計算總誤差或誤差分配時，若發(fā)現(xiàn)有微小誤差，可不考慮該誤差對總誤差的影響。選擇高一級精度的標(biāo)準(zhǔn)器具時，其誤差一般應(yīng)為被檢器具允許總誤差的1/3~1/10二、測量誤差的分配

誤差分配應(yīng)考慮測量過程中所有誤差組成項的分配問題。對于函數(shù)的已定系統(tǒng)誤差，可用修正方法來消除，不必考慮各個測量值已定系統(tǒng)誤差的影響，而只需研究隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差的分配問題。這兩種誤差在誤差合成時可同等看待，因此在誤差分配時也可同等看待，其誤差分配方法完全相同．二、測量誤差的分配

（一）等準(zhǔn)確度分配等準(zhǔn)確度分配是指分配給各分項的誤差彼此相同，即∵（系統(tǒng)誤差）∴（j=1~m）（2-50）

（j=1~m）（隨機誤差）（2-51）適用于各分項性質(zhì)相同，大小相近。例：有一電源變壓器如圖，已知原圈與兩個副圈的圈數(shù)比1:2，用最大量程為500V的交流電壓表量副圈總電壓，要求相對誤差小于±2%，問應(yīng)選哪個級別的電壓表？解由于副圈及的電壓均為440V，副圈總電壓為V為880V，而電壓表最大量程只有500V，因此應(yīng)分別測量副圈及的電壓，然后相加得副圈總電壓，即

3

V1V2

V

2

1

5

4

220V50Hz

測量允許的最大總誤差為可以認為測量誤差主要是由于電壓表誤差造成的，而且由于兩次測量的電壓基本相同，可根據(jù)式（2-50）等準(zhǔn)確度分配原則分配誤差，則

用引用相對誤差為的電壓表測量電壓時，若電表的滿刻度值為，則可能產(chǎn)生的最大絕對誤差為，這個數(shù)值應(yīng)不大于每個副圈分配到的測量誤差，即要求

可見選用1.5V級的電壓表能滿足測量要求。(二)等作用分配等作用分配是指分配給各分項的誤差在數(shù)值上雖然不一定相等，但它們對測量誤差總合的作用或者說對總合的影響是相同的，即應(yīng)分配給各分項的誤差為（2-52）

（2-53）例

通過測電阻上的電壓、電流值間接測電阻上消耗的功率。已測出電流為100mA，電壓為3V，算出功率為300mW。若要求功率測量的系統(tǒng)誤差不大于5%，隨機誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差不大于5mW，問電壓和電流的測量誤差多大時才能保證上述功率誤差的要求。

解按題意功率測量允許的系統(tǒng)誤差為按等作用分配原則，分配給電流測量的系統(tǒng)誤差可由式（2-52）求出：

下面分配隨機誤差。由式（2-53）

（三）抓住主要誤差項進行分配

當(dāng)各分項誤差中第K項誤差特別大時可以只考慮主要項的影響，即

主要誤差項也可以是若干項，這時可把誤差在這幾個主要誤差項中分配。

三、最佳測量方案的選擇

對于實際測量，我們通常希望測量的準(zhǔn)確度越高即誤差的總合越小越好。所謂測量的最佳方案，從誤差的角度看就是要做到

例

測量電阻R消耗的功率時，可間接測量電阻值R、電阻上的電壓V、流過電阻的電流I，然后采用不同的方案來計算功率。設(shè)電阻、電壓、電流測量的相對誤差分別為、、，問采用哪種測量方案較好？解間接測量電阻消耗的功率可采用三種方案，各種方案功率的相對誤差如下：方案1：

方案2：

方案3：可見，在題中給定的各分項誤差條件下，選擇第一種方案，用測量電壓和電流來計算功率比較合適。四、測量數(shù)據(jù)的處理

去粗取精、去偽存真（圖表、曲線）（一）有效數(shù)字及數(shù)字的舍入規(guī)則1、有效數(shù)字數(shù)據(jù)計算時，對、e、等無理數(shù)取近似，規(guī)定誤差不超過末位數(shù)字的一半。從左邊第一個不為零的數(shù)字起，直到后面最后一個數(shù)字止，都叫作有效數(shù)字。例如375，123.8，3.10等等左邊為零不是有效數(shù)字，306，3.860的0都是有效數(shù)

——兩位有效數(shù)字。2、數(shù)字的舍入規(guī)則（1）當(dāng)保留n位有效數(shù)字，若后面的數(shù)字小于第n為單位數(shù)字的0.5就舍掉；（2）當(dāng)保留n位有效數(shù)字，若后面的數(shù)字大于第n位單位數(shù)字的0.5，則第n位數(shù)字進1；（3）當(dāng)保留n位有效數(shù)字，若后面的數(shù)字恰為第n位單位數(shù)字的0.5，則第n位為偶數(shù)或零時舍掉，奇數(shù)時進1。

原因：第n位數(shù)字的偶、奇概率相等舍入誤差互相抵消。

結(jié)論：小于5舍，大于5進，等于5時取偶數(shù)。例

將下列數(shù)字保留3位有效數(shù)字：

45.77，36.251，43.035，38050，47.15解將各數(shù)字列于箭頭左面，保留的有效數(shù)字列于右面：45.77→45.8（因0.07＞0.05，所以末位進1）36.251→36.3（因0.051＞0.05，所以末位進1）43.035→43.0（因0.035＜0.05，，所以舍掉）38050→380×102（因第四位為5，第三位為零，所以舍掉）47.15→47.2（因第四位為5，第三位為奇數(shù)，因此第三位進1）3、測量結(jié)果的表示法一般測量的誤差值只需取一位到兩位數(shù)字測量值最低位與誤差值最低位對齊例

已知某電阻的測量中沒有確定性系統(tǒng)誤差，系統(tǒng)不確定度為測量值的±1%，隨機誤差的影響可以忽略不計。若該電阻的30次測量值之和為1220Ω，寫出該電阻的測量結(jié)果。

解求該電阻測量值的平均值由于隨機誤差的影響可以忽略不計，因此電阻的不確定度近似等于系統(tǒng)不確定度，求出它的數(shù)值并取兩位數(shù)字用電阻平均值作為測量值，并且與誤差的位數(shù)對齊，后面的數(shù)字進行舍入處理

最后給出測量結(jié)果第三節(jié)加權(quán)平均與回歸分析

一、非等權(quán)測量與加權(quán)平均等精度——測量條件相同、精度相同非等精度——測量條件不同、精度不同例在相同條件下測量某一電壓值，一組測了100次取平均值，另一組測了2次取平均值，雖然這102次測量條件都相同，相同，但非等精度（一）測量結(jié)果的權(quán)

設(shè)，非等精度，精度高的結(jié)果更可靠，給予更大重視用表示第j個結(jié)果受到的重視程度則：—第j次測量值的“權(quán)”

定義：為任意常數(shù)結(jié)論：精度越高，越小，越大，重視程度越高。

當(dāng)=1即為單位權(quán)時，是單位權(quán)的方差。在非等精度測量時（n為整數(shù)）

無影響

（二）加權(quán)平均對x進行m次非等精度測量有：

不適用，原因：非等精度方法：第j次測量值（非等精度）、權(quán)為把看成次等精度測量的平均值例的權(quán)為看成：—3次等精度測量平均值—5次等精度測量平均值—2次等精度測量平均值每次：則三組：

等精度為：

結(jié)論：

m次非等精度測量等效為次等精度測量，等效為次等精度測量的平均值，等效于n次等精度測量值之和即：（2-59）

等效于次等精度測量值的和，等效于全部等精度測量值的和，

等效于全部等精度測量的次數(shù)。例23

已知X的三個非等精度測量值分別為，它們的權(quán)分別為3、5、2，求X的估計值解

結(jié)論

（1）

（2）

（三）加權(quán)平均值的方差∵——權(quán)的次數(shù)（等精度次數(shù)），即（j=1~n）單位權(quán)方差（等精度方差）

或結(jié)論：已知非等精度方差，可以求出非等精度加權(quán)平均值的方差。例：用兩種方法測量某電壓。第一種方法測得，測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差；第二種方法測得，測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。求該電壓的估計值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。

解取λ=1，則兩種測量值的權(quán)為

則電壓的估計值可由式求出由可求出電壓估計值的方差則

二、最小二乘法與回歸分析（一）最大似然估計設(shè)被測量X的概率分布密度為，其中為需要估計的參數(shù)。若對X有n個獨立測量數(shù)據(jù)，其中的概率分布密度為，則n次測量值恰為的概率分布密度，為若L最大，則n次測量值恰為最可能發(fā)生這種估計——最大似然估計

L——最大似然函數(shù)（二）最小二乘原理

——常數(shù)由測量數(shù)據(jù)確定例

兩次測量：解出

y的實測值與理論值有誤差隨機誤差，此時不能用聯(lián)立方程解出等n個未知參數(shù)

——實測值——理論值設(shè)第j次測量的服從正態(tài)分布m次測量值的隨機誤差恰好等于的概率密度為

j=1~m的集合交或積

集合交（積）變成求和根據(jù)最大似然估計原理，要求lnL最大，即全式同乘2λ后，亦要求：

最大似然估計中所用的殘差實際上：殘差

結(jié)論：殘差服從正態(tài)分布的情況下，殘差平方的加權(quán)和為最小時，滿足最大似然估計條件。同時應(yīng)把滿足這個條件的各參數(shù)值作為該參數(shù)的估計值。yj

xyyvj

yj

例

對