2017版總復(fù)習(xí)第四章平面向量

第四章平面向量1.(2016·)設(shè)a，b是向量，則“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( C.充分必要條 D.既不充分也不必要條 3，B→C 1，則 ＝， ， 2 3.(2016·)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則·的值為

D. 5.(2016·山東)a＝(1，－1)，b＝(6，－4).a⊥(ta＋b)t的值 ，A·A＝4，F(xiàn)·F＝－1，·E 考點(diǎn) 平面向量的概念與線性運(yùn)1.(2015·新課 ，C＝3D， A.D

1→4

→1→4 C.D 4→1

→4→1 2.(2014·新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，＋＝( A.D

13.(2014·福建)MABCD對角線的交點(diǎn)，O所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則A＋B＋＋等于 A.M

4.(2014·浙江)θa，b的夾角.t，|b＋ta|值為 θ確定，則|a|θ確定，則|b|若|a|θ若|b|θ

5.(2014·浙江)記

a，b 6.(2014·新課

→＋C)與的夾角 考點(diǎn) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)7.(2015·新課 C＝(－4－3)等于 3

9.(2015·)設(shè)向量a＝(2，4)與向量b＝(x，6)共線，則實(shí)數(shù)x等于 10.(2014·福建)在下列向量組中，可以把向量a＝(3，2)表示出來的是( 11.(2014·)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，則2a－b＝( 角等于c與b的夾角，則 )a，b滿足|a|＝1，b＝(2，1)λa＋b＝0(λ∈R)，則 π14.(2014·陜西)0<θ2a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)則tan 考點(diǎn) 平面向量的數(shù)量15.(2015·山東)已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60°，則 3

3 3 3

16.(2015·陜西)對任意向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是 17.(2015·重慶)a，b滿足

2 ，且(a－b)⊥(3a＋2b)a的夾角為

＝3A. B. C. y3，y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為( A. B. C. 數(shù)k＝( D. 與b＝3e1－e2的夾角為β，則cos

1

(〈a，b〉 A.?aB.?aC.?aD.?a3.(2015·模擬)設(shè)x，y∈R，向量且a⊥c,b∥c，則 A.B.A.B.C.24.(2015·朝陽區(qū)模擬)設(shè)a，b是兩個(gè)非零的平面向量，下列說法正確的是 a·b＝0，則有λa＝λb，則 5.(2015·吉林長春模擬)a，b滿足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，則)B.C.4＋D.2π 模擬)ab3，且|b|＝1，|a＋2b|＝23 B. B.7.(2015·三門模擬)若非零向量a，b滿足|a＋b|＝|b|，則( 8.(2015·雅安模擬)已知向量a是與單位向量b夾角為60°的任意向量則 2 22C.2

π 安慶模擬)a、ba＋ba3πb

4，則333C.533

436D.64310.(2015·江南十校模擬)A(1，－1)，B(4，0)，C(2，2)DP＝λB＋μC(1≤λ≤a，1≤μ≤b)B.4的面積為8，則4a＋b的最小值為( B.4 D.5＋4B＝(2，1)D＝(5，5)， 12.(2015·江蘇啟東模擬)A、B、C、D滿足：(B－C)·(2D－D－D)＝0，則△ABC的形狀是 ＝1，OC為斜邊AB的高，點(diǎn)P在射線OC上，則·P的最 定點(diǎn) ，且對于AB上任一點(diǎn)P，恒有·≥·，則下列 論中正確的 PA，B不重合時(shí)，＋與B0P，使|D|＜|D|；00④C·B＝0；015.(2015·江蘇四市模擬)xOya＝(1，2sin sinθ＋3 a⊥b，求tanθ∈0，若a∥b，且 ∈0，2

θ的值 當(dāng)a∥b時(shí)， －π的值4 4

f(x)的值域

2(1)求|a|2＋|b|2的值a⊥bπ 2.(2016·山東)m，n4|m|＝3|n|，cos〈

n)，則實(shí)數(shù)t的值為 4 4

〉9 ABCD|ABABB＝CA＝－2|P|＝1M＝C|M|2 4437＋6

437＋24 |b·e|≤6，則a·b的最大值 a＝(m1)b＝(12) 考點(diǎn) 平面向量在平面幾何中的應(yīng) |B|＝6，|D|＝4足＝3，＝2C，則M )△ABC2a，b滿足C＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是 D.(4a＋b)⊥C

|C|＝t

＝t 點(diǎn)，且AP＝→＋→，則PB·PC的最大值等于 )ABCD2，∠BAD＝120E，F(xiàn)E

2266

373 )ABCD60° 段BC和DC上且＝λF＝

F 6.(2015·浙江)e1，e2

1

b

R)，則 7.(2014·)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在E·F＝1， 8.(2014·江蘇)ABCDAD＝5，P＝3，·＝2，· 考點(diǎn) 平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)B·C＝tan

ABC＝6

n＝(sin＝2，－2 cos ∈0，2 m⊥n，求tanxπmn3x的值n＝(cosA，sinB)平行a＝7，b＝2，求△ABC的面積考點(diǎn) 平面向量在解析幾何中的應(yīng)

12.(2015·新課 Ⅰ)已知M(x0，y0)是雙曲線C：2－y＝1上的一點(diǎn)F1·F2<0， 3

3

－3，3 B.－6，6 2

2

2

2－3，3

3，3＋＋ 14.(2015·山東)過點(diǎn)P(1，3)作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則 15.(2014·)已知兩個(gè)不相等的非零向量a，b，兩組向量＋x4·y4＋x5·y5，SminS所有可能取值中的最小值. (寫出所有正確命題的編號①S5a⊥bSmin與|a|a∥bSmin與|b|⑤若

＝8|a|2ab的夾角為4P＝mB＋nC(m，n∈R).4(1)若 |P|；＝3(2)x，ym－nm－n的最大值(a＋kb)∥c，則實(shí)數(shù)k的值為 2 244

D.－－b)，則(a＋b)與b的夾角 3.(2016·模擬)設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則A＋B＋＋等于( A.M.

B.2M.4.(2016·陜西西安一模)△ABC2a，b滿足＝2a，C＝2a＋b， D.(4a＋b)⊥C5.(2016·天一大聯(lián)考)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B、Dx軸正半軸，yB＋D＝xB＋yPBOPπ＝3，則 B.B. D.4－36.(2016·河北唐山一中模擬)已知△ABCM滿足＋＋＝0，若＝λ成立，則實(shí)數(shù)λ的值為 2 2且

＝

AP使得|PB|、|BC|、|PC|差數(shù)列，則→的最大值是 3A.23

B.2

C.

D.33448.(2015·山東濟(jì)寧模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若·＝2，則·的值是 3449.(2016·河北唐山一中模擬)ab的夾角為鈍角，|b|＝2A.B.221時(shí)，|b－ta|(t∈R)取最小值3，向量c滿足(c－b)⊥(c－a)，則當(dāng)(a＋b)取最大A.B.22C.22C.2210.(2016·湖南雅禮中學(xué)模擬)abθa×bab的a×b是一個(gè)向量，它的長度|a×b|＝|a||b|sinθu＝(2，0)，3)，則)A.4B.D.211.(2016·山西臨汾模擬)xOyA、Bx、y上運(yùn)動(dòng)，且|AB|＝2，若 1→2→，則|m|的取值范圍是

20，312.(2015·宜昌模擬)△ABC的三個(gè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向m＝(2，－1)，n＝(sinBsinC，3＋2cosBcosC)m⊥n.A現(xiàn)給出以下三個(gè)條件：①B＝45°；②2sinC－(3－1)sinB＝0；③a＝2試從中再選擇兩個(gè)條件以確定△ABC，并求出所確定的△ABC的面積. ＝a·b＋3sinf(x)f(x)x的集合第四 【三年高考演練[2016年高考 [若|a|＝|b|a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形為菱形，a＋b，a－b表示反之，若|a＋b|＝|a－b|a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形為矩形，而矩形的 3 →＝2 1

－a)F 3

3(b－a)F＝D＋

∴·C＝－5

3

a

＋4b＝－8＋4＝82 [ [∵a⊥(ta＋b)，∴ta2＋a·b＝0，又 [設(shè)AB＝a，AC＝b，則又∵DBC中點(diǎn)，E，F(xiàn)AD則 1 2→ 1→ 1

2＋1 FA

1 2 →

1 2則－2

2

9a－9b＋9a·b＝－9(a＋b22又 EA

1 5 →

1 5則＝－5

＝－

36×2[兩年經(jīng)典高考 [＝3，∴－＝3(－)

1→4 1→＋B)

1→＋C)

→＋C)＝D

[MACBD的中點(diǎn)，所以A＝2M，B＋＝2M，所以A＋＋B＋＝4M [|b＋ta|2＝|a|2t2＋2a·＝|a|2t2＋2|a||b|cosf(t)＝|a|2t2＋2|a||b|cosθ·t＋|b|2，f(t)1， ＝1，化簡得∵|b|＞0，0≤θ≤π，∴|b|sin [由三角形法則知min{|a＋b|，|a－b|}與min{|a|，|b|}的大小不確定，由平行四邊形法則知，max{|a＋b|，|a－b|}90°，由余弦定理知max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2D.] →＋C) [＝(31)＝(－4－3)＝－＝(－4－3)－(31)＝(－7，

＝－2 [e1＝(0，0)，e2＝(1，2)e1∥e2ae1，e2表示，排除e＝(－1，2)，e

2

e

5 5a＝(3，2) 7) c·a c·b ＝4(m＋4)＋2(2m＋2)13. [∵|a|＝1a＝(cosθ，sinλcos λsin

即

1

λ2＝5 [∵a∥b，∴sin2θ＝cosθ，∴2sinθcosθ＝cosθ，∵θ∈(0，2∴2sinθ＝cosθ，tan [

3a.∴D·D＝|D||D|cos 32＝2a (a－)(3a＋2)＝3a2－a·2 2

＝0

－3cosθ－2＝0，cosθ＝2，θ＝4 [∵|a＋b|＝10，∴(a＋b)2＝10，即∵|a－b|＝6，∴(a－b)2＝6，a2＋b2－2a·b＝6.②由①②a·b＝1. S＝a2＋b2＋2a·S4a·bS＝4a·bS3.又|b|＝2|a|＞0S3＜S2＜S1Smin＝S3＝4a·ba，bθ8|a|2cosθ＝4|a|2，即cos

＝2

＝3 [由已知(2a－3b)⊥c，可得即(2k－3，－6)·(2，1)＝04k－12＝0，k＝3C.] 222.

α＋4＝9|a|＝3b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2＝9e2－9e·e 2＝8，所以cosβ＝a·b ＝2＝

3×2

32

a·

[a＝a·b，而cos〈a，b〉

2＝2，所以〈a，b〉

[ [a⊥c，b∥cx＝2，y＝－2，a＋b＝(3，1)，所以|a＋b|＝10，B.] 故|a＋b|＝|a－b|；②a，b同向時(shí)才成立；④|a＋b|＝|a|－|b|a，b反向，故正確，故選B.] [|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝7 [|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝12，所以a2＋2|a|－8＝0，所以|a|＝2，故選 [因?yàn)閨a＋b|＝|b|，則|a＋b|2＝|b|2，即a2＋2a·b＝0，所以a·b＜0，因?yàn)?b|2－|2b|2＝a2＋4a·b＜0，故選

3

π |a||b|π3

63＝63CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥ANABEC，ANGM，EHGFP(x，y)D為圖中的陰影部分，EHGF.∵B＝(3，1)C＝(1，3)，C＝(－2，2)，∴|B|＝10，|C|＝10，|C|＝2則

2×2×EHGF的面積為(a－1)10×(b－1)

a· a·

當(dāng)且僅當(dāng)a＝ba＝2，b＝34a＋b3

3

5|D5

＝212.

→ PAPP2AP 2

22 —42 —4＝當(dāng) 2＝

→ 4時(shí)取等號 ＋＝2C＝(D＋B)·(D＋C)＝D2－B2 ·≥·D2≥D2，|D|≥|D| 0以故③P0，DP0DD與直線上各點(diǎn)距離的最小D·B＝0DBCCOAB△ABC是等腰三角形，AC＝BC，所以⑤正確.綜上可知，①②⑤正確.]03 (1)因?yàn)閍⊥b，所以3所以2sin

θ＋3

，即

5因?yàn)閏osθ≠0，所以tanθ＝－5(2)由a∥b，得2sin θ＋3 即 2sinθcosθsin＋即 3

3 2(1－cos2θ)2sin2θ＝1，整理得，sin2θ6又

∈022θ6∈6，6 π 2θ6＝6θ＝6 ＋sinx＝0，∴tan ，∴4cos3

tan

∴tanx－4

3 tan

(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝

2222

4

∈024≤2x4≤4，所以－≤sin2x4 ∵|a|＝cos2λθ＋cos2（10－λ）θ，|b|＝(2) ∵a⊥b，∴cosλθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin∴sin10θ＝0，∴10θ＝kπ，k∈Z，∴θ＝10π(3)證 ∵θ＝20，cosλθ·sin

20·sin20－cos2－20·sin2－20

20 20 20 20【三年高考演練[2016年高考 [a＋b＝(4，m－2)，因?yàn)?a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，4×3＋(－2)×(m－2)＝0m＝8D.] [∵n⊥(tm＋n)，∴(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n＋|n|2＝0，由已知得

|n|2＝0，解得t＝－4，故選 |A|＝|B|＝|C|ABBAABBBAB＝0∴△ABC的外心與垂心重合，因此△ABC是正三角形，D是△ABC的中心.→ →

→ ABC2A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，B，C，DB(3，－3)，C(3，|P|＝1MPC3＋cosθ3＋sin可以寫出M的坐標(biāo)為 → cos

33＋sin則|BM|

—6

≤ ＝4當(dāng) → ＝3π時(shí)，|BM|4.π4. [abθ，則cos

a·＝ 1×3＋1× 2 3＝

π12＋（ 12＋（ 1 [

＝2θ＝6e都成立∴6≥|a＋b|成立即 [由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2a⊥bm×1＋1×2＝0m＝－2.] 3→M

1→＋1

→＋→

→－3D) (16B2－9D2)＝ (B＋C)·(B－C)＝0＋C)·B＝0，∴(4a＋b)⊥B → C＝(0，t)， →

t·4t＝13→ ＋ 1＋

1＋＋

×B·1＋λ＋λ·1 1×

＋λ×1×cos9λ·λ 9λ·λ＋λ

·×cos

＋

，當(dāng)且僅 即

9λ

9λ＝3時(shí)，取得最小值為 2 [∵e·e＝|e|·|e|cos〈e

e，e〉 不妨設(shè) 3

3 ， 3 3 由題意知 解得n＝，m＝ 3 ＝， — —

1－y，

x— x—

3

＋t＝x＋xy＋y－4x－5y＋t

2＋2 x＋2＋4(2＋2

2－2)＋t取到最小值.t＝1，故

＝2 2BAD＝120C＝DC＝由題意得

1→ 1 →→

1→ 1

1 →

—33

AB·AD＋ λ

2

1 ∴

[

1→，P 3→ 3→， →→ 1→ →3→ → 1 3→所以 AD－2AD·AB－16AB

·BB·D＝22.] → |· 3

2

·|C|·sin

2＝3

(1)因?yàn)?/p>

2，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.＝2，－2 所以 2 － 2sin 2cos所以sinx＝cosx，所以tanπ(2)因?yàn)閨m|＝|n|＝1，所以cos3即 2

2sinx2cosx＝2，所以sinx4 π π 0<x24<x4<4x4＝6x＝12 (1)因?yàn)閙∥n，所以asinB－3bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－3sinBcosA＝0，又sinB≠0，從而tanA＝0＜A＜π，A＝3(2)法 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosa＝

c＞0c＝3，故△ABC的面積為

3＝2bcsinA＝ 7 2由正弦定理， ＝7從而sin＝7

sin

sin＝7又由a＞b，知A＞B，所以cos ＝7故sin B＋3 33＝sin ＋cos 3 所以△ABC的面積為 ＝32absin 2 F1，F(xiàn)2a＝2，b＝1，c＝3，∴F1(－3，0)，F(xiàn)2(∴F1＝(－00)F0∵F1·F2<0，∴(－0 M(x0，y0)0－y2＝1 ∴2＋2y2－3＋y2<0，∴－ 3A.] 3<y0<3 C＝2O＝(－4，0)A＋B＋C＝(x－6，y).＝－12x＋37，∴x＝－1時(shí)有最大值49＝7B.] [O(0，0)1.∵P(1，3)，∴PA⊥x軸，PA＝PB＝∴△POAOA＝1，AP＝3∴A·B＝|A||B|·cos∠APB＝

[對于①a，b0S1＝2a2＋3b2a，b2組對應(yīng)乘積，則S2＝a2＋2b2＋2a·b，若a，b有4組對應(yīng)乘積，則S3＝b2＋4a·b，S3a，bS1－S3＝2a2S3<S2<S1Smin＝S3＝b2＋4a·b，對于②a⊥b時(shí)，Smin＝b2與|a|2Smin＝b2＋4a·b>16|a|2＋16|a|2cosθ＝16|a|2(1＋cosθ)≥0Smin>0，④正確；對于⑤，|b|＝2|a|，Smin＝4|a|2＋8|a|2cosθ＝8|a|2，所以cosθ＝12πθ＝3，⑤錯(cuò)誤

B＝(1，2)，C＝(1，2)，

∴|P|＝ y－x＝ty＝x＋tB(2，3)時(shí)，t1

[設(shè)(a＋b)b＝2|b|，∴cos

|a＋b|·|b|＝ [MABCDACBDAB＋＝2M，所以A＋B＋＋＝4M C＝C－B＝(2a＋b)－2a＝bB·C＝2a·(2a＋b)＝4|a|2＋ab＝2×2cosa·b＝－1，故B，C錯(cuò)誤.

P1，3，則B＝(1，3Pcos33

2 2，)BBP?()()(，

3

22x＋2y，－x＋22

?x＋y＝32