大二課程-上復(fù)變函數(shù)

第二節(jié)柯西積分定理3.2.1Cauchy積分定理3.2.2Cauchy定理的推廣3.2.3復(fù)閉線情形的Cauchy定理3.2.4不定積分轉(zhuǎn)換為若復(fù)積分與路徑無關(guān)。做過兩點(diǎn)a(起點(diǎn)),abb(終點(diǎn))的任意曲線，則可定義一條CC2C1閉曲線C，記為因?yàn)榉e分與路徑無關(guān),有研究復(fù)積分與路徑的無關(guān)性研究函數(shù)沿著閉曲線的積分為零3結(jié)論1:若函數(shù)f(z)的積分與路徑無關(guān),若對任意閉曲線C,f(z)沿著C的積分為零。則對任意兩條以a為起點(diǎn),b為終點(diǎn)的曲線C1,C2,令C2C1ab則C是閉曲線，從而：結(jié)論2:函數(shù)f(z)的積分與路徑無關(guān),4觀察上節(jié)例1.1觀察上節(jié)例1.2目的研究函數(shù)沿著閉曲線的積分為零的條件？猜測!沿閉曲線的積分值為零的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的單連通有關(guān)。先將條件加強(qiáng)些，作初步的探討觀察上節(jié)例1.31825年Cauchy給出的條件1851年Riemann給出了這個簡單證明7BC(3)定理中曲線C不必是簡單的！如下圖。幾點(diǎn)說明：B9上面的兩個定理的一般性證明，參見《復(fù)變函數(shù)》.Morera[意大利，1856-1909]定理102.多連通區(qū)域上的Cauchy積分定理觀察者定理2.3.閉路變形原理（以2連通區(qū)域?yàn)槔│唳喽噙B通分割成單連通

︵︵︵︵︵︵︵︵13得︵︵︵︵說明:在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點(diǎn).14解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理

15把2-連通區(qū)域推廣到(n+1)-連通區(qū)域上的積分這個定理是計算閉曲線內(nèi)部有奇點(diǎn)的積分的有利武器!!!(圖見下頁)16打洞!解依題意知,例2.1根據(jù)復(fù)合閉路推論2.1,18Cauchy定理重要公式Cauchy定理重要公式19例2.2解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,20例2.3解C由復(fù)合閉路定理,

此結(jié)論非常重要,用起來很方便!因?yàn)镃不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線C內(nèi)即可.重要積分公式CCauchy積分定理222.3原函數(shù)與不定積分定理2.21.帶變動上限的積分:23定理2.424證利用導(dǎo)數(shù)的定義來證.25(1)積分與路線無關(guān)27由積分的估值性質(zhì),28此定理與微積分學(xué)中的帶變動上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.[證畢]29(1)積分與路線無關(guān),定理2.4可以改寫為:定理2.4’(1)f(z)在D內(nèi)的積分與路線無關(guān),由于在證明過程中只用到了兩個結(jié)論:30定義2.2.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:證31則它就有無窮多個原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]32定義2.3不定積分的定義:定理3.8(復(fù)積分的Newton-Leibnitz公式)33證明：根據(jù)Cauchy積分定理,[證畢]說明:

有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計算.34例2.2’解由牛頓-萊布尼茲公式知,例2.2”解使用“湊微分”35例2.2解由牛頓-萊布尼茲公式知,36例2.2另解使用:“分部積分法”37小結(jié)與思考1.求積分的方法(4)Cauchy積分定理(6)復(fù)積分的Newton-Leibniz公式(5)復(fù)合閉路定理382.本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理,掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點(diǎn).常用結(jié)論:3.本課介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓—萊布尼茲公式.在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與《高等數(shù)學(xué)》中相關(guān)內(nèi)容相結(jié)合,更好的