2023高考數(shù)學藝考生一輪復習講義（學生版）

一輪復習基礎講義下冊（適合藝考生）TOC\o"1-3"\h\u第25講平面向量的概念及線性運算 3【題型一向量的模】 4【題型二相等向量】 5【題型三平面向量加減法】 5【題型四平面向量共線定理】 7第26講平面向量基本定理及坐標表示坐標運算 8【題型一用基底表示向量】 8【題型二用坐標表示向量】 11【題型三平面向量線性運算的坐標表示】 11第27講平面向量的數(shù)量積 12【題型一平面向量數(shù)量積的定義】 12【題型二平面向量數(shù)量積的意義】 13【題型三?！?14【題型四平行與垂直關系】 15【題型五夾角】 15第28講等差數(shù)列 16【題型一等差數(shù)列通項公式】 17【題型二等差中項】 18【題型三等差數(shù)列性質(zhì)】 18【題型四等差數(shù)列前項和】 19【題型五等差數(shù)列前項和最大（?。﹩栴}】 20【題型六已知和關系】 21第29講等比數(shù)列 22【題型一等比數(shù)列通項公式】 23【題型二等比中項】 23【題型三等比數(shù)列的性質(zhì)及應用】 24【題型四等比數(shù)列前項和】 24第30講遞推公式求通項 25【題型一已知和關系求通項】 27【題型二累加法】 28【題型三累乘法】 29【題型四構造法】 29【題型五倒數(shù)法】 30第31講數(shù)列求和常用方法 30【題型一分組求和】 31【題型二倒序相加求和】 32【題型三裂項相消求和】 32【題型四錯位相減求和】 33第32講空間幾何體的體積及表面積 33【題型一柱錐臺表面積】 34【題型二柱錐臺體積】 36【題型三球的表面積和體積】 38第33講空間向量在空間幾何中的運用 40【題型一異面直線所成角】 40【題型二線面角】 43【題型三二面角】 45第34講空間向量在空間幾何中的運用二 47第35講直線方程 55【題型一直線的傾斜角和斜率】 56【題型二直線方程】 57【題型三直線的平行關系和垂直關系】 58第36講圓的方程 59【題型一圓的方程】 60【題型二點與圓的位置關系】 62【題型三直線與圓的位置關系】 62【題型四圓與圓的位置關系】 63第37講直線與圓的綜合問題 64第38講橢圓 67【題型一橢圓定義】 69【題型二橢圓標準方程】 70【題型三離心率】 71【題型四焦點三角形】 72第39講雙曲線 74【題型一雙曲線定義】 75【題型二雙曲線標準方程】 76【題型三離心率】 77【題型四焦點三角形】 78第40講拋物線 80【題型一拋物線的定義】 80【題型二拋物線標準方程】 81【題型三拋物線的弦長】 82第41講特征數(shù)及抽樣方法 83【題型一三種抽樣法】 85【題型二頻率分布直方圖】 86【題型三平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)】 90【題型四方差、標準差】 92第42講回歸直線方程 94【題型一相關關系】 94【題型二回歸直線方程（小題）】 96【題型三回歸直線方程】 98第43講獨立性檢驗 102第44講排列組合 113【題型一分類加分計數(shù)原理和分類乘法計數(shù)原理】 113【題型二全排列】 114【題型三相鄰問題】 115【題型四不相鄰問題】 116【題型五分配問題】 116第45講二項式定理 118【題型一二項式定理】 118【題型二二項式系數(shù)】 119【題型三項的系數(shù)】 120第46講超幾何分布與二項分布 121【題型一超幾何分布】 122【題型二二項分布】 123第47講離散型隨機變量的分布列、均值與方差 125【題型一離散型隨機變量分布列】 126【題型二離散型隨機變量的均值和方差】 128第48講正態(tài)分布 130第25講平面向量的概念及線性運算一．向量的基礎概念1.向量：既有大小又有方向的量向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：向量的大小即向量的模（長度），記作或向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。?.零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件．3.單位向量：模為1個單位長度的向量．向量為單位向量＝14.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作由于向量可以進行任意的平移，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的．兩個向量共線的證明方法：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=5.相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為6.向量的加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點設，則+==當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”．7.向量的減法①相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法③作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）8.向量的數(shù)乘運算(1)；(2)；(3).【題型一：向量的?！?．（全國）如圖，在平行六面體的棱中，與向量模相等的向量有（）A．0個 B．3個 C．7個 D．9個2．（北京東城·）若都是單位向量，則下列結論一定正確的是（）A． B． C． D．3．（全國）已知向量與的夾角為，且，，則等于（）A．3 B．3 C．3 D．24．（全國）如圖所示，點是正六邊形的中心，則以圖中點中的任意一點為起點，與起點不同的另一點為終點的所有向量中，除向量外，與向量共線且模相等的向量共有（）A．2個 B．3個C．6個 D．7個5．（全國高一課時練習）已知向量，滿足，，且在方向上的投影與在方向上的投影相等，則等于（）A． B． C． D．6．（湖南張家界·高一期末）已知正方形的邊長為1,則=A．2 B．3 C． D．【題型二：相等向量】1．（全國高一單元測試）設，向量，.若，則的值分別是（）A．1，-1 B．1，-3 C．1，-2 D．1，22．（全國高二課時練習）下列關于空間向量的命題中，正確命題的個數(shù)是（）①任一向量與它的相反向量都不相等；②長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則；⑤兩個向量相等，則它們的起點與終點相同.A．0 B．1 C．2 D．33．（全國高一課時練習）如圖，在四邊形ABCD中，若，則圖中相等的向量是（）A．與 B．與C．與 D．與【題型三：平面向量加減法】1．（全國高二專題練習）若，，均為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（）A． B．C． D．2．（全國高一課時練習）如圖，向量，，，則向量可以表示為（）A． B． C． D．3．（全國高一課時練習）向量化簡后等于（）A． B． C． D．4．（全國高一課時練習）如圖，在正六邊形中，等于（）A． B． C． D．5．（全國高一課時練習）在中，點D是邊的中點，則（）A． B．C． D．6．（全國高一課時練習）化簡的結果等于（）A． B． C． D．7．（山東高考真題）如下圖，是線段的中點，設向量，，那么能夠表示為（）A． B．C． D．8．（全國高二課時練習）已知，，，為空間中任意四個點，則等于（）A． B． C． D．9．（福建廈門一中高二開學考試）如圖，在平行四邊形中，，，，則（）（用，表示）A． B． C． D．10．（北京市陳經(jīng)綸中學）如圖，是的邊中點，則向量=（）A． B．C． D．【題型四：平面向量共線定理】1．（全國高一課時練習）已知向量，，，則（）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線2．（全國高二課時練習）已知向量，且=+，=+，=-，則一定共線的三點是（）A． B．C． D．3．（浙江省諸暨市第二高級中學高一期中）已知向量，，且與平行，則=（）A． B． C． D．4．（江蘇省蘇州實驗中學高一月考）已知向量，，若與共線，則實數(shù)=（）A． B． C． D．15．（銀川三沙源上游學校高一期末（理））已知平面向量，，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．6．（全國高三專題練習（文））已知向量共線，則實數(shù)的值是（）A．1 B． C．6 D．7．（南昌市八一中學（文））已知，是兩個不共線的非零向量，若，則實數(shù)（）A． B． C． D．8．（全國高一課時練習）已知向量，，若，則等于（）A．－2 B．2C．－ D．9．（山東）已知向量，若與共線，則的值為（）A． B．2 C． D．10．（全國高三專題練習）設，是兩個不共線的向量，若向量(k∈R)與向量共線，則（）A． B． C． D．第26講平面向量基本定理及坐標表示坐標運算1.平面向量的基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使.其中，不共線的向量，叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的坐標運算(1)平面向量的坐標運算(2)向量的坐標求法已知，，則

3.平面向量共線的坐標表示設，，其中，則【題型一：用基底表示向量】1．（全國高三專題練習）如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（）．A． B． C．1 D．2．（三亞華僑學校高三月考）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（）A． B． C． D．3．（汕頭市潮南區(qū)陳店實驗學校）已知△ABC的邊BC上有一點D滿足，則可表示為（）A． B．C． D．4．（巍山彝族回族自治縣第二中學高一月考）已知為所在平面內(nèi)一點，，則（）A． B． C． D．5．（福建廈門一中高二開學考試）如圖，在平行四邊形中，，，，則（）（用，表示）A． B． C． D．6．（廣東普寧·高一期中）如圖，在平行四邊形中，E是的中點，若，，則等于（）A． B．C． D．7．（陜西富平·高一期末）如圖，在平行四邊形中，E是的中點．若，，則（）A． B． C． D．8．（福建省福州第八中學高一期中）在中，點為對角線上靠近點的三等分點，連結并延長交于，則（）A． B．C． D．9．（江西省萬載中學高一期末（理））如圖，已知，用，表示，則等于（）A． B．C． D．10．（正陽縣高級中學高三模擬預測（理））在中，點是線段上靠近的五等分點，，則（）A． B． C． D．【題型二：用坐標表示向量】1．（渾源縣第七中學校高一月考（文））已知A(3，1)，B(2，－1)，則的坐標是（）A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)2．（重慶實驗外國語學校高一期中）設、是平面直角坐標系內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個單位向量，為坐標原點，若，，則的坐標是（）A． B． C． D．3．（江蘇海陵·泰州中學高一期中）已知兩點，，則與向量同向的單位向量是（）A． B． C． D．4．（北京景山學校遠洋分校高一期中）已知平面直角坐標系內(nèi)一點，向量，向量，那么中點坐標為（）A． B． C． D．5．（博野縣實驗中學）設，是平面直角坐標系內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個單位向量，為坐標原點，若，，則的坐標是（）A． B． C． D．6．（浙江）已知，，則與向量共線的單位向量為（）A．或 B．或C．或 D．或7．（云南昆明八中高一期中）已知四邊形是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點，則的最小值為（）.A． B． C． D．【題型三：平面向量線性運算的坐標表示】1．（全國高一單元測試）如果點按向量平移后得到點，則點按向量平移后得到點N的坐標為（）A． B． C． D．2．（全國高一單元測試）設，向量，.若，則m，n的值分別是（）A．1，-1 B．1，-3 C．1，-2 D．1，23．（全國高一單元測試）在中，，的中點為，的重心，則B，C的坐標分別為（）A．， B．， C．， D．，4．（湖南高二學業(yè)考試）已知向量，，若，則（）A．-2 B． C． D．25．（全國高三專題練習）已知向量，則（）A． B．2C． D．506．（山東棗莊·高一期中）已知向量，，．若λ為實數(shù)，()∥，則λ＝（）.A． B． C．1 D．27．（四川巴中·高一期末（理））若三點、、共線，則實數(shù)（）A． B． C． D．8．（滄源佤族自治縣民族中學高二期末）向量，，，若與共線，則（）A．-3 B．-2 C．-1 D．19．（貴州貴陽一中高三月考（文））已知向量，若與共線，則實數(shù)（）A．0 B．1 C． D．210．（全國高三專題練習（文））已知向量，向量，若，則（）A． B．5 C． D．第27講平面向量的數(shù)量積1、向量的數(shù)量積(內(nèi)積)對于兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做和的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即。2、兩個向量內(nèi)積有如下重要性質(zhì)(1)如果是單位向量，則()．(2)(3)或(4)．(5)【題型一：平面向量數(shù)量積的定義】1．（江西景德鎮(zhèn)一中高一期中（理））在中，若，則此三角形為（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形2．（北京東城·）若都是單位向量，則下列結論一定正確的是（）A． B． C． D．3．（上海）下列等式正確的是（）A． B． C． D．4．（全國）下列命題正確的是（）A． B．C． D．5．（全國高一課時練習）下列命題正確的個數(shù)是①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．46．（浙江高一單元測試）設、、是非零向量，則下列說法中正確是A． B．C．若，則 D．若，則【題型二：平面向量數(shù)量積的意義】1．（江西九江一中高一期中）向量在向量上的射影為（）A． B． C． D．2．（四川成都外國語學校高一期中（理））已知，，向量在方向上投影是4，則為（）A．12 B．8 C．-8 D．23．（河北巨鹿中學高一月考）已知，向量與向量的夾角為，是與同向的單位向量，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．4．（浙江紹興·）已知向量，，則在方向上的投影是（）A．-1 B．0 C．1 D．35．（江蘇省太湖高級中學高一期中）已知向量=(2，1)，=(1，﹣1)，向量在方向上的投影向量為（）A．(2，﹣2) B．(，) C．(，) D．(，)6．（全國高二課時練習）若，，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長為（）A．2 B． C． D．47．（湖北）已知向量，，與同向的單位向量為，則向量在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．【題型三：模】1．（嘉峪關市第一中學高二期末（文））已知向量，的夾角為60°，，，則（）A．1 B． C． D．22．（全國）已知為單位向量，且，，則（）A．3 B．5 C．10 D．143．（梁河縣第一中學高二月考）已知＝4，＝8，與的夾角為120°，則＝（）A． B． C． D．4．（河西·天津?qū)嶒炛袑W）平面向量與的夾角為60°，，則等于（）A． B．2 C．4 D．125．（?？谥袑W高三月考）已知，則（）A． B．2 C． D．36．（遵義市第三中學高一期中）已知向量，，滿足，，．則（）A．4 B． C．6 D．87．（涇縣中學高一月考）設向量，均為單位向量，且滿足，則（）A． B．13 C．4 D．58．（湖南）已知向量，的夾角為，，，則（）A． B． C． D．9．（陜西漢中·高三月考（理））若單位向量滿足，則等于（）A． B． C． D．10．（酉陽土家族苗族自治縣第三中學校高三模擬預測）已知向量滿足，則（）A．3 B． C．7 D．11．（全國高三模擬預測（理））平面向量與的夾角為，，，則（）A． B． C． D．12．（西藏拉薩中學高三月考（文））已知平面向量與的夾角為，且為單位向量，則（）A．1 B． C． D．13．（全國高三月考）已知平面向量與的夾角為60°，，，則的值為（）A． B．2C．4 D．14．（威遠中學校高一月考（文））已知，滿足：，，，則（）A． B． C． D．【題型四：平行與垂直關系】1．（廣東惠州·高一期中）已知向量，，且，則（）A． B．2 C． D．12．（廈門市湖濱中學）已知向量，，，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．（沙坪壩·重慶八中高三月考）已知向量，，若，則（）A． B． C． D．4．（貴州凱里一中高二期末（文））若，則（）A． B．1 C． D．25．（全國高一課時練習）已知向量，，且，那么t等于（）A．-4 B．-1 C．1 D．46．（四川射洪中學高三月考（文））已知，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．7．（湖南高二月考）向量，若，則（）A．3 B． C．12 D．【題型五：夾角】1．（全國）為平面向量，已知，則夾角的余弦值等于（）A． B． C． D．2．（云南省南澗縣第一中學高一月考）設向量，，則（）A． B． C． D．3．（山西臨汾·）設，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．（浙江鄞州·寧波咸祥中學高一期中）已知，則夾角的余弦值等于（）A． B． C． D．5．（江蘇江都·高一期中）已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．（山東菏澤·高一期末）設向量，，若，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°7．（全國高三專題練習（文））已知非零向量，若，則與的夾角為（）A． B．C． D．8．（全國高三專題練習（理））設向量，，向量與的夾角為銳角，則的取值范圍為（）A． B．C． D．9．（嫩江市第一中學校高一期末）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．10．（河南南陽·高二期末（理））已知向量，，則“”是“為鈍角”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件第28講等差數(shù)列1、等差數(shù)列的概念一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示．2、等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法（或者）(是常數(shù))是等差數(shù)列．(2)等差中項法：()是等差數(shù)列．(3)通項公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．(4)前項和公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．3、若等差數(shù)列的公差為d,則時遞增；時遞減；時是常數(shù)數(shù)列.4、對于任意數(shù)列，為遞增數(shù)列；（時，數(shù)列嚴格遞增）為遞減數(shù)列；（時，數(shù)列嚴格遞減）5、等差數(shù)列前項和公式：；6、等差數(shù)列的前n項和Sn的性質(zhì)（1）等差數(shù)列中依次項之和，，，,…組成公差為的等差數(shù)列(2)在等差數(shù)列，中，它們的前項和分別記為則7、等差數(shù)列前項和的最值在等差數(shù)列中，（1）若有最大值,可由不等式組來確定；（2）若有最小值,可由不等式組來確定（3）求等差數(shù)列前項和的最值也可以把前項和化為關于的二次函數(shù),通過配方求最值【題型一：等差數(shù)列通項公式】1．（寧德市第九中學高二月考）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（）A．4 B．3 C．2 D．12．（全國高二單元測試）在數(shù)列中，，，若，則（）A．671 B．672 C．673 D．6743．（江西南昌·高三開學考試（理））設為數(shù)列的前n項和，若，，則（）A． B． C．10 D．4．（北京牛欄山一中）已知數(shù)列中，，，則等于（）A．-12 B．12 C．-16 D．165．（慶陽第六中學高一期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則的公差為（）A．4 B．3 C．2 D．1【題型二：等差中項】1．（全國高二單元測試）在等差數(shù)列中，，則（）A．8 B．12 C．16 D．202．（北京房山·）8，2的等差中項是（）A．±5 B．±4 C．5 D．43．（全國）等差數(shù)列，，，…的第四項等于()A．10 B．6 C．8 D．124．（江西省銅鼓中學（文））已知是等差數(shù)列，且是和的等差中項，則的公差為（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【題型三：等差數(shù)列性質(zhì)】1．（四川省資中縣第二中學（理））在等差數(shù)列中，則=（）A． B． C． D．2．（西藏昌都市第一高級中學高二月考）在等差數(shù)列中，若，則（）A．20 B．24 C．27 D．293．（全國高二課時練習）設是等差數(shù)列，且，則（）A．5 B．6 C．16 D．324．（貴州大學附屬中學高一月考）等差數(shù)列的前項和為30，前項和為100，則前項和為（）A．130 B．170 C．210 D．2605．（寧德市第九中學高二月考）已知等差數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，則使取最大值的自然數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．76．（新蔡縣第一高級中學高二月考（文））已知等差數(shù)列，的前項和分別為，若，則（）A． B． C． D．7．（江西九江一中高一期末）已知兩個等差數(shù)到和的前項和分別為和，且，則=（）A．3 B．4 C．5 D．68．（江西省蓮花中學高一月考）是等差數(shù)列的前項和，且．則時，的最大值為（）A．197 B．198 C．199 D．2009．（青銅峽市高級中學高一期中）若等差數(shù)列滿足，，當則當前項和取得最大值時的值是（）A．5 B．6 C．7 D．810．（安徽（文））在等差數(shù)列中，已知，，則使數(shù)列的前項和成立時n的最小值為（）A．6 B．7 C．9 D．1011．（賽罕·內(nèi)蒙古師大附中）等差數(shù)列中，，，則數(shù)列各項中取值為正數(shù)的有（）A．8項或9項 B．7項或8項 C．17項或18項 D．16項或17項【題型四：等差數(shù)列前項和】1．（全國高二課時練習）在等差數(shù)列中，若，則的值是（）A．12 B．24C．36 D．482．（全國高二課時練習）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，則的值為（）A． B． C．2 D．33．（全國高二專題練習）已知為等差數(shù)列且，，為其前項的和，則（）A．176 B．182 C．188 D．1924．（全國高二課時練習）已知等差數(shù)列滿足：，，的前項和為．求及；5．（廣西南寧·高一月考）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.求公差及的通項公式；6．（全國高二課時練習）已知等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.7．（全國高二單元測試）已知是等差數(shù)列，其中，公差，（1）求的通項公式.（2）求數(shù)列前項和.【題型五：等差數(shù)列前項和最大（?。﹩栴}】1．（全國高二課時練習）設等差數(shù)列的前項和為，若，，則使的最小正整數(shù)的值是（）A．8 B．9 C．10 D．112．（貴州貴陽一中高三月考（文））已知等差數(shù)列的前項和為，且有，，則的最小值為（）A．-40 B．-39 C．-38 D．-143．（雙峰縣第一中學高三開學考試）已知等差數(shù)列的通項公式為，則其前項和的最大值為（）A．15 B．16 C．17 D．184．（河南高二月考（文））在等差數(shù)列中，.（1）求的通項公式;（2）求的前項和及的最小值.5．（全國）設等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和及使得最大的自然數(shù)的值.6．（皮山縣高級中學高一期中）已知等差數(shù)列中，，，求（1）求的通項公式；（2）的前項和.【題型六：已知和關系】1．（廣西平果二中高一期中）已知是等差數(shù)列的前項和，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）為何值時，取得最大值并求其最大值．2．（全國高二專題練習）設數(shù)列的前項和為，已知，，.求數(shù)列的通項公式；3．（南昌市豫章中學高三開學考試（理））已知數(shù)列的前項和為.求數(shù)列的通項公式；4．（渾源縣第七中學校高三模擬預測（理））已知數(shù)列的前項和為，且滿足.求數(shù)列的通項公式；5．（山東高三專題練習）已知正項數(shù)列的前項和為，且和滿足：.求的通項公式；第29講等比數(shù)列1、等比數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示()符號語言（或者）(為常數(shù)，，)2、等比數(shù)列的通項公式一般地，對于等比數(shù)列的第項有公式.這就是等比數(shù)列的通項公式，其中為首項，為公比．3、等比中項(1)前提：三個數(shù)，，成等比數(shù)列．(2)結論：叫做，的等比中項．(3)滿足的關系式：.4、等比數(shù)列項的運算性質(zhì)在等比數(shù)列中，若，則.①特別地，當時，5、等比數(shù)列前項和6、等比數(shù)列中依次項之和，，，,…組成公比為（）的等比數(shù)列【題型一：等比數(shù)列通項公式】1．（云南師大附中高三月考（文））已知等比數(shù)列滿足，，則（）A．12 B．16C．32 D．642．（全國高二課時練習）在等比數(shù)列中，，，則等于（）A．16 B．16或-16C．32 D．32或-323．（新和縣實驗中學高一期末）在數(shù)列中，若，，則（）A．24 B．48 C．96 D．1924．（陸良縣中樞鎮(zhèn)第二中學高二月考）公比為2的等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，則等于（）A．1 B．2 C．4 D．85．（寧夏銀川一中（文））已知等比數(shù)滿足，則數(shù)列的公比（）A．2 B． C．3 D．6．（全國）在等比數(shù)列中，，則項數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【題型二：等比中項】1．（鎮(zhèn)遠縣文德民族中學校高一月考）在等比數(shù)列中，若，，那么等于（）A． B．5 C． D．252．（贛州市贛縣第三中學高二開學考試（理））在遞增的正項等比數(shù)列中，和是方程的兩個根，則（）.A．4 B． C． D．23．（全國高三專題練習（理））已知成等比數(shù)列，且，則（）A．1 B．2 C．3 D．44．（全國高二專題練習）已知遞增等差數(shù)列，且為與的等比中項，則公差（）A． B．或 C．或 D．5．（廣西浦北中學高一月考）與的等比中項是（）A．1 B． C．2 D．或1【題型三：等比數(shù)列的性質(zhì)及應用】1．（全國）在等比數(shù)列|中，，，則的值為（）A．48 B．72 C．144 D．1922．（南昌市豫章中學高二開學考試（文））設是等比數(shù)列，且，，則（）A．12 B．2 C．30 D．323．（建平縣實驗中學高二期中）在等比數(shù)列中，，，則（）A．12 B． C． D．154．（青海海東·平安一中）在等比數(shù)列中，，則等于（）A．16 B．32 C．4 D．85．（廣西浦北中學高二期中（文））已知等比數(shù)列中，，則的值等于（）A．4 B．8 C．±4 D．±86．（全國高二單元測試）一個等比數(shù)列前項的和為48，前項的和為60，則前項的和為（）．A．83 B．108 C．75 D．637．（廣西平果二中高一期中）記等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A．24 B．28 C．48 D．848．（運城市新康國際實驗學校）設等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．31 B．32 C．63 D．649．（全國高二專題練習）在等比數(shù)列中，如果，，那么＝（）A．135 B．100C．95 D．8010．（三亞華僑學校）已知等比數(shù)列中，，則前9項之和等于A．50 B．70 C．80 D．90【題型四：等比數(shù)列前項和】1．（廣西桂林·（理））首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前6項和為（）A．62 B．63 C．66 D．682．（新蔡縣第一高級中學高二月考）已知等比數(shù)列中，若，，則等于（）A． B． C． D．3．（全國）等比數(shù)列中，，，為的前項和．若，則的值是（）A．6 B．7 C．8 D．不存在4．（威寧民族中學高一期中）若遞增的等比數(shù)列的前項和為，，則等于（）A．63 B．64 C．65 D．665．（西藏昌都市第一高級中學高二月考）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，，求：（1）與公比的值；（2）數(shù)列前6項的和.6．（金昌市第一中學高一期中（文））（1）在等差數(shù)列中，已知，，求；（2）在數(shù)列中，，，為的前項和.若，求.7．（全國高二單元測試）在等比數(shù)列中，，公比，前項和，求首項和項數(shù).第30講遞推公式求通項1、法（項與和互化求通項）注意：絕大部分題目當時，用替換了，有時候解題需逆向，把題目中的用替換進題目中。2、累加法累加法（疊加法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項時，利用恒等式求通項公式的方法稱為累加法。具體步驟：將上述個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=整理得：=3、累乘法累乘法（疊乘法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法。具體步驟：將上述個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：整理得：4、構造法類型1：用“待定系數(shù)法”構造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數(shù)列，先求出的通項，從而求出數(shù)列的通項公式。類型2：用“同除法”構造等差數(shù)列（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項，便可求得的通項公式。（2）形如，的數(shù)列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構造出新的等差數(shù)列，先求出的通項，便可求得的通項公式5、倒數(shù)法用“倒數(shù)變換法”構造等差數(shù)列類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構造出新的等差數(shù)列，先求出的通項，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符合專題四類型1：用“待定系數(shù)法”構造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數(shù)列，先求出的通項，從而求出數(shù)列的通項公式。）【題型一：已知和關系求通項】1．（阜康市第一中學）已知數(shù)列的前項和為()．求數(shù)列的通項公式；2．（全國高二專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求.3．（浙江高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為（1）當取最小值時，求的值；（2）求出的通項公式.【題型二：累加法】1．（浙江高三專題練習）（1）已知數(shù)列滿足，，求通項公式；（2）設數(shù)列中，，，求通項公式.2．（哈爾濱市第三十二中學校高一期中）已知數(shù)列中，，且時，，求.3．（安徽高三月考（理））已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．【題型三：累乘法】1．（全國高二課時練習）已知數(shù)列中，，前項和.（1）求，；（2）求的通項公式．2．（全國高二專題練習）設是首項為1的正項數(shù)列，且，求通項公式.【題型四：構造法】1．（全國高二專題練習）數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式．2．（全國高三專題練習）在數(shù)列中，，求.3．（銅山啟星中學）數(shù)列滿足，，求其通項公式【題型五：倒數(shù)法】1．（全國）已知數(shù)列中，，，求的通項公式.第31講數(shù)列求和常用方法1、裂項相消法裂項相消法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每一項（通項）分解，然后再重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此規(guī)律拆成兩項之差，在求和時一些正負相消，適用于類似這種形式，用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法，是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用，高考中常見以下幾種類型。常見的裂項技巧類型=1\*GB3①類型=2\*GB3②類型③2、錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前項和即可用此法來求.倍錯位相減法：若數(shù)列的通項公式，其中、中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯位相減法．溫馨提示：1.兩個特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.2.關注相減的項數(shù)及沒有參與相減的項的保留.3、倒序相加法，即如果一個數(shù)列的前項中，距首末兩項“等距離”的兩項之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項和.4、分組求和法，如果一個數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.【題型一：分組求和】1．（河南）已知等比數(shù)列不是常數(shù)列，，且是和的等差中項.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.2．（江蘇姑蘇·蘇州中學高二月考）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．3．（全國高二專題練習）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和【題型二：倒序相加求和】1．（全國高二期末）對任意都有.數(shù)列滿足：，則__________.2．（全國）已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項公式.【題型三：裂項相消求和】1．（沙坪壩·重慶八中高三月考）已知是等差數(shù)列的前項和，若，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.2．（曲靖市關工委麒麟希望學校高二期中）已知數(shù)列（）是公差不為0的等差數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.3．（西藏昌都市第三高級中學高二期末）在等差數(shù)列中，為其前n項和．若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和．【題型四：錯位相減求和】1．（陜西長安一中高二月考（理））設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記為的前n項和，求.2．（河北·天津五十七中高三月考）等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項和為，求證；（3）設，求數(shù)列的前n項和．3．（山東）已知數(shù)列的前項和，，且滿足．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項和．第32講空間幾何體的體積及表面積空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)錐體(棱錐和圓錐)臺體(棱臺和圓臺)球【題型一：柱錐臺表面積】1．（全國高一課時練習）正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則它的表面積為（）A． B．C． D．2．（全國高二單元測試）已知一個圓臺的軸截面面積為6，軸截面的一個底角為30°，則這個圓臺的側(cè)面積是（）A． B． C． D．3．（全國）若六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，側(cè)面為矩形，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積等于（）A．12 B．48 C．64 D．724．（全國高一課時練習）若圓錐的底面直徑為6，高是4，則它的側(cè)面積為（）A． B． C． D．5．（廣東海豐·高一月考）若一個圓柱的側(cè)面積和它的兩個底面積之和相等，則該圓柱的母線長與底面圓的半徑的關系是（）A． B． C． D．以上答案都有可能6．（重慶實驗外國語學校高二期中）已知圓錐的高為，底面半徑為4．若一球的表面積與此圓錐的側(cè)面積相等，則該球的半徑為（）A． B． C． D．27．（河北大名·）已知圓臺的上底面面積是下底面面積的倍，母線長為4，若圓臺的側(cè)面積為，則圓臺的高為（）A．2 B． C．5 D．8．（運城市新康國際實驗學校高二月考（理））如圖，圓柱的底面半徑為1，平面為圓柱的軸截面，從點開始，沿著圓柱的側(cè)面拉一條繩子到點，若繩子的最短長度為，則該圓柱的側(cè)面積為（）A． B． C． D．9．（天津市軍糧城中學高一期中）正四棱臺的上、下底面邊長分別為，，側(cè)棱長為，則棱臺的側(cè)面積為（）A． B．C． D．10．（福建南平·高一期末）如圖，圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為5，若一個平行于底面的平面沿著該圓臺母線的中點將此圓臺分為上下兩個圓臺，設該平面上方的圓臺側(cè)面積為，下方的圓臺側(cè)面積為，則（）A． B． C． D．11．（山西呂梁·高一期末）圓錐的母線長是2，側(cè)面積是，則該圓錐的高為（）A． B． C． D．212．（全國）已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．13．（云南昆明八中高一期中）棱長都是3的正四面體的表面積為（）A． B． C． D．54【題型二：柱錐臺體積】1．（全國高一課時練習）若一個四棱錐的底面的面積為3，體積為9，則其高為（）A． B．1 C．3 D．92．（全國高一課時練習）如圖所示，正方體的棱長為1，則三棱錐的體積是（）A． B． C． D．13．（全國高一課時練習）設四棱錐的底面是對角線長分別為2和4的菱形，四棱錐的高為3，則該四棱錐的體積為（）A．12 B．24 C．4 D．304．（全國高一課時練習）棱臺的上、下底面面積分別是2，4，高為3，則棱臺的體積等于（）A． B． C． D．65．（全國高一課時練習）已知等腰直角三角形的直角邊長為2，將該三角形繞其中一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．（廣東羅湖·高三月考）若將面積為2的等腰直角三角形，以其一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成一個圓錐，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．7．（貴州師大附中高一月考）已知圓臺上?下底面的半徑分別為1和2，高為1，則該圓臺的體積為（）A． B． C． D．8．（肥城市教學研究中心高三模擬預測）《九章算術》中，將兩底面為直角三角形的正柱體，亦即長方體的斜截平分體，稱為塹堵.今有如圖所示的塹堵形狀容器裝滿水，當水量使用了一半時，水面高度占的（）A． B．C． D．9．（山西高平·高一期中）已知一個圓錐的母線長為，其母線與底面所成的角為，則這個圓錐的體積為（）A． B． C． D．10．（長沙鐵路第一中學高二開學考試）已知圓錐的表面積為3π，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．11．（江蘇灌云·高二期中）若用半徑為2的半圓紙片卷成一個圓錐筒，則這個圓錐的體積為（）A．1 B． C． D．12．（江蘇鼓樓·南京市第二十九中學高一月考）如圖，棱錐體積與長方體體積的比值為（）A． B． C． D．13．（浙江高三專題練習）已知為等腰直角三角形，，其面積為1．以為軸，則將旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為（）A． B．C． D．14．（高郵市臨澤中學高一期末）一個長、寬、高分別為80cm、60cm、100cm的長方體形狀的水槽裝有適量的水，現(xiàn)放入一個直徑為40cm的木球（水沒有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（）A．cm B．cmC．cm D．cm15．（北京市延慶區(qū)教育科學研究中心高一期末）如圖，正方體的棱長為，那么三棱錐的體積是（）A． B． C． D．16．（江蘇揚州·高一期末）已知正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則該正四棱錐的體積等于（）A． B． C． D．4【題型三：球的表面積和體積】1．（西藏拉薩中學高三月考（理））矩形中，，，沿將矩形折起，使面面，則四面體的外接球的體積為（）A． B． C． D．2．（全國高一課時練習）一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個平面的距離是，則該球的體積是（）A． B． C． D．3．（昭通市昭陽區(qū)第一中學高二月考（理））半徑為2cm的小金屬球共有125個，熔化后鑄成一個大金屬球，如果不計損耗，可鑄成的大金屬球的表面積為（）A．100 B．400 C．100 D．4004．（天津河東·高二學業(yè)考試）一個球的表面積為，則這個球的半徑為（）A．6 B．12 C． D．5．（湖北武漢·高三開學考試）某圓柱體的底面直徑和高均與某球體的直徑相等，則該圓柱體表面積與球體表面積的比值為（）A．2 B． C． D．6．（浙江鄞州·寧波咸祥中學高一期中）一個球的體積為，則此球的半徑是（）A． B． C． D．7．（廣東東莞·高一期末）已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則該圓柱的外接球的體積為（）A． B． C． D．8．（浙江臺州·高一期末）半徑為1的球的體積為（）A． B． C． D．9．（貴州高二學業(yè)考試）棱長為2的正方體內(nèi)切球的表面積為（）A． B． C． D．10．（廣西七星·桂林十八中高二開學考試（理））若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）．A． B． C． D．11．（綏化市第二中學）設正方體的棱長為，則它的外接球的表面積為（）A． B． C． D．12．（上海浦東新·華師大二附中）如果一個圓錐和一個半球有公共底面，圓錐的體積恰好等于半球的體積，那么這個圓錐的軸截面的頂角的余弦值是（）A． B． C． D．13．（北京人大附中）已知正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A． B．3 C．6 D．914．（廣西來賓·高三模擬預測（文））已知在高為2的正四棱錐中，，則正四棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．15．（重慶市江津中學校高一開學考試）一個球的外切正方體的表面積為，則此球的體積為（）A． B． C． D．第33講空間向量在空間幾何中的運用1求異面直線所成的角已知為兩異面直線，與分別是上的任意兩點，所成的角為第一步：第二步：2求直線和平面所成的角求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補角的余角第一步：第二步：3求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.如圖：求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角根據(jù)具體圖形（或題目給定）確定是銳角或是鈍角：第一步：第二步：根據(jù)題目給定的二面角是銳角還是鈍角（或者根據(jù)題目圖形考生判斷銳角還是鈍角）①若判斷二面角平面角為銳角則；②若判斷二面角平面角為鈍角則【題型一：異面直線所成角】1．（全國高二課時練習）已知直線的方向向量與直線的方向向量，則直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．（梅河口市第五中學）如圖，在三棱柱中，，則直線與直線所成角的余弦值為（）A． B．C． D．3．（深州長江中學）如圖，已知棱長為的正方體，分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．4．（全國高二課時練習）在直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值是（）．A． B． C． D．5．（河南洛陽·（理））已知正方體的棱長為2，為側(cè)面的中心，為側(cè)面的中心，則直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．（閩侯縣第一中學高二月考）如圖，在四棱錐中，底面，，底面為邊長為2的正方形，為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．7．（山東曲阜一中高二月考）如圖，在空間四邊形中，，，，，則與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．8．（全國高二課時練習）如圖，長方體中，，，、、分別是、、的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A．0 B． C． D．9．（全國高二課時練習）如圖所示，垂直于正方形所在平面，，為的中點，，若以，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則點的坐標為（）A． B．C． D．10．（江西景德鎮(zhèn)一中）如圖，在四棱錐中，，平面，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【題型二：線面角】1．（全國高二課時練習）已知向量，分別是直線的方向向量和平面的法向量，若，則直線與平面所成的角為（）A． B． C． D．2．（全國高二課時練習）已知在長方體中，，，是側(cè)棱的中點，則直線與平面所成角的大小為（）A．60° B．90°C．45° D．以上都不對3．（全國高二課時練習）正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為A． B． C． D．4．（云南）在正方體中，為棱的中點，為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．5．（全國高二專題練習）若平面α的一個法向量為，直線l的一個方向向量為，則l與α所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．（河南商丘·（理））在如圖所示的四棱錐中，，，，，，且，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．（浙江高三專題練習）在正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．（玉林市育才中學（理））在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．9．（全國高二專題練習）如圖，在直三棱柱的底面中，，，，則直線與平面所成角的正弦為（）A．B．C．D．10．（安徽滁州·高二期末（理））在直三棱柱中，底面是腰長為2的等腰直角三角形，，，若點為的中點，則直線與平面所成的角為（）A． B． C． D．11．（河南高二期末（理））在直棱柱中，，，，，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．12．（福建省泰寧第一中學高一期中）如圖，在長方體中，，，與平面所成的正弦值為（）A． B． C． D．【題型三：二面角】1．（武漢市吳家山中學高二月考）已知兩平面的法向量分別為，則兩平面所成的二面角為（）A．45° B．135°C．45°或135° D．90°2．（福建省長樂第一中學高二月考）已知向量分別是平面和平面的法向量，若，則平面與所成的角為（）A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°3．（全國）在正方體中，二面角的余弦值是（）A． B． C． D．4．（全國高二單元測試）已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的二面角為（）A． B． C．或 D．5．（全國高二課時練習）平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則平面與平面夾角的余弦值為()A． B．C． D．以上都不對6．（上海）如圖，點??分別在空間直角坐標系的三條坐標軸上，，，，設二面角的大小為，則（）A． B． C． D．7．（石家莊市第十七中學）如圖，三棱錐中，底面與側(cè)面都是以為斜邊的等腰直角三角形，且側(cè)面垂直底面，設為線段的中點，為直線上的動點，若平面與平面所成銳二面角的平面角為，則的最大值是（）A． B． C． D．8．（大連市第二十三中學高二月考）如圖，在直三棱柱中，，則與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．9．（浙江奉化·高二期末）正方體中，二面角的大小是（）A． B． C． D．10．（全國高二單元測試）過正方形的頂點作線段平面，若，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（）A． B． C． D．第34講空間向量在空間幾何中的運用二1．（全國高二課時練習）如圖,三棱柱中,平面平面,且,,求異面直線與所成角的余弦值.2．（浙江高二單元測試）在正三棱柱中，若，求與所成角的大小.3．（惠來縣華僑中學高二月考）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為棱的中點．（1）求直線與直線所成角的余弦值.（2）求證：平面；4．（全國高二單元測試）如圖，正方體中，是的中點，求與平面所成角的正弦值.5．（浙江高三專題練習）如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是菱形，點是的中點.（I）求證：//平面；（II）若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值.6．（吉林白城一中）如圖，四棱錐中，為正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.7．（莆田錦江中學高二期末）在直三棱柱中，，，，點是的中點；（I）求異面直線，所成角的余弦值；（II）求直線與平面所成角的正弦值．8．（黔西南州同源中學（理））如圖所示，平面，四邊形為矩形，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．9．（浙江高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，平面，且，．（）求與平面所成角的正弦．（）求二面角的余弦值．10．（江西九江一中高二月考（理））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點．（1）求證：；（2）求平面與平面所成的角的余弦值．11．（西城·北京四中）如圖，在四棱柱，底面，，，且，點在棱上，平面與棱相交于點.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）棱上是否存在點，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.（Ⅲ）求三棱錐的體積的最大值.12．（武漢市育才高級中學高二月考）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，垂直于和，為棱上的點，，．（1）當時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）在第（1）問條件下，設點是線段上的動點，與平面所成的角為，求當取最大值時點的位置．13．（北京市陳經(jīng)綸中學高二月考）在四棱錐中，底面ABCD為長方形，底面ABCD，，；的可能取值為：①；②；③；④；⑤．已知線段CD上存在點E，滿足．（1）求t的所有可能取值，并說明理由；（2）當t為所有可能取值的最大值時，線段上滿足的點有兩個，分別記為，，求二面角的大?。?4．（東城·北京二中高二月考）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側(cè)面底面.若.（1）求證：平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值；（3）點是側(cè)棱上一點，且直線和平面所成角的大小為30°，求的值.15．（大埔縣虎山中學）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，求線段的長.16．（天津市第七中學高三月考）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點.（1）證明：：（2）求直線與平面所成角的正弦值：（3）若為棱上一點，且滿足，求二面角的余弦值.第35講直線方程1、直線的傾斜角①直線的傾斜角：②直線的斜率：③已知兩點求斜率：2、兩直線的平行與垂直①平行：，則或不存在②垂直：，則或且不存在3、直線的五種方程①點斜式：②斜截式：③兩點式：④截距式：⑤一般式：（不能同時為零）4、兩直線的交點坐標①聯(lián)立兩直線方程，求交點坐標5、距離公式①兩點間距離：②點到直線距離【題型一：直線的傾斜角和斜率】1．（北京八十中高二期中）直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．（全國高二課時練習）已知直線經(jīng)過第二、四象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（）.A． B． C． D．3．（全國高二課時練習）直線的傾斜角為（）.A． B． C． D．4．（重慶市第七中學校高二月考）經(jīng)過兩點和的直線的傾斜角是（）A． B． C． D．5．（全國高二課時練習）圖中的直線、、的斜率分別為、、，則（）A． B．C． D．6．（南昌市第八中學（文））若直線經(jīng)過兩點，且傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．7．（江蘇）已知點A（2，0），，則直線的傾斜角為（）A．30° B．45° C．120° D．135°8．（全國高二課時練習）“”是“直線的斜率不存在”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（全國（文））點在曲線上移動，設點處切線的傾斜角為，則的取值范圍是（）A． B．∪C． D．10．（江蘇）若直線過點，，則直線的傾斜角取值范圍是（）A． B． C． D．【題型二：直線方程】1．（全國高二課時練習）已知直線，當變化時，所有直線都恒過點（）A．B．C．D．2．（江北·重慶十八中高二月考）下列直線方程縱截距為的選項為（）A． B． C． D．3．（江蘇蘇州·星海實驗中學高二月考）已知直線在軸和軸上的截距相等，則實數(shù)的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或14．（安徽高二月考）不論為何值，直線恒過定點（）A． B．C． D．5．（大埔縣虎山中學）經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程是（）A． B．C． D．6．（濟寧市兗州區(qū)第一中學高二月考）過點且平行于的直線方程為（）A． B．C． D．7．（深州長江中學高二月考）直線與直線之間的位置關系是（）A．平行 B．重合 C．相交不垂直 D．相交且垂直8．（深州長江中學高二月考）直線在軸上的截距是－2，傾斜角為0°，則直線方程是（）A． B． C． D．9．（全國高二課時練習）無論取何實數(shù)，直線一定過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（蘇州大學附屬中學高二月考）直線和在同一平面坐標系中的圖象可以是（）A． B．C． D．11．（全國高二課時練習）若直線過第一?三?四象限，則（）A． B． C． D．12．（全國高二課時練習）直線，當變動時，所有直線都通過定點（）A．(3，1) B．(0，1)C．(0，0) D．(2，1)13．（四川閬中中學高二月考（文））若直線不過第三象限，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【題型三：直線的平行關系和垂直關系】1．（江蘇省蘇州第十中學校高二月考）直線與直線平行，那么的值是（）A． B． C．或 D．或2．（全國高二課時練習）若直線：與直線：垂直，則（）.A． B． C．或 D．或3．（武漢市育才高級中學高二月考）已知過點和點的直線為，直線為，直線為，若，，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．（廣東龍華·厚德書院高二月考）已知直線，若，則的值為（）A．8 B．2 C． D．-25．（江蘇南京·高二月考）若直線與直線垂直，則實數(shù)的值為（）A．1或3 B．1或3 C．1或3 D．1或36．（深州長江中學高二月考）直線與直線垂直，則=（）A．2 B．－2 C． D．－7．（全國）已知直線，，若，則的值是（）A． B． C．2 D．8．（天津紅橋·高一學業(yè)考試）若直線與直線互相垂直，則的值為（）A． B．1C． D．29．（全國高二專題練習）為兩條直線，則下列說法正確的是（）A．若直線與直線的斜率相等，則 B．若直線，則兩直線的斜率相等C．若直線，的斜率均不存在，則 D．若兩直線的斜率都存在且不相等，則兩直線不平行10．（全國高二專題練習）下列各組直線中，互相垂直的一組是（）A．與 B．與C．與 D．與11．（全國高二課時練習）已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過點、，則直線、的位置關系是（）A．平行或重合 B．平行C．垂直 D．重合12．（四川巴中·高一期末（理））若直線與直線互相平行，則實數(shù)（）A． B． C． D．13．（鄒城市第二中學高二月考）“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．（浙江）已知直線：與直線：相互垂直，則實數(shù)m的值是（）A．0 B．1 C．-1 D．第36講圓的方程1．圓的定義及方程:平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)叫做圓標準方程圓心：，半徑：一般方程()圓心：半徑：2．點與圓的位置關系點與圓的位置關系：(1)若在圓外，則(2)若在圓上，則(3)若在圓內(nèi)，則.3、圓的方程綜合應用①圓的標準方程為：②圓的一般方程．：（）.③點到直線的距離：.4、直線與圓相切①直線與圓相切：直線與圓有且只有一個公共點；②幾何法：圓心到直線的距離等于半徑，即；③代數(shù)法：，方程組有一組不同的解.5、直線與圓相交及弦長①直線與圓相交：直線與圓有兩個公共點；②幾何法：圓心到直線的距離小于半徑，即；③代數(shù)法：，方程組有兩組不同的解.6、圓與圓的位置關系設兩圓的圓心分別為、，圓心距為，半徑分別為().(1)兩圓相離：無公共點；，方程組無解.(2)兩圓外切：有一個公共點；，方程組有一組不同的解.(3)兩圓相交：有兩個公共點；，方程組有兩組不同的解.(4)兩圓內(nèi)切：有一公共點；，方程組有一組不同的解.(5)兩圓內(nèi)含：無公共點；，方程組無解.特別地，時，為兩個同心圓.【題型一：圓的方程】1．（全國高二課時練習）若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（）．A． B．C． D．2．（全國高二課時練習）若某圓的標準方程為，則此圓的圓心和半徑長分別為（）．A．，B．，C．，D．，3．（四平市第一高級中學高二月考）若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．（四川成都·高二月考（文））圓的圓心坐標為（）A． B． C． D．5．（孟津縣第一高級中學（理））設為坐標原點，，是拋物線與圓關于軸對稱的兩個交點，若，則（）A．4 B．2C． D．6．（深州長江中學高二月考）圓心在（－1，0），半徑為5的圓的方程是（）A． B．C． D．7．（全國高二課時練習）方程表示的曲線關于直線成軸對稱圖形，則（）A． B．C． D．8．（全國高二課時練習）若方程表示的曲線是圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．9．（全國高二課時練習）若圓的一條直徑的兩個端點分別是和，則此圓的方程是（）A． B．C． D．10．（湖南高二學業(yè)考試）圓的圓心坐標及半徑分別為（）A．與 B．與C．與2 D．與211．（江西南昌·洪都中學高二月考）若方程表示一個圓，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型二：點與圓的位置關系】1．（南昌市八一中學高二月考）過點且與圓，相切的直線有幾條（）A．0條 B．1條 C．2條 D．不確定2．（河北南和實驗中學高二月考）若點在圓上，則圓的半徑（）A．1 B．13 C． D．3．（全國）已知圓，則原點在（）A．圓內(nèi) B．圓外 C．圓上 D．圓上或圓外4．（江蘇高二專題練習）若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（橫峰中學高一月考（文））點在圓上，點，則的最大值為（）A． B． C． D．6．（全國）兩個點、與圓的位置關系是（）A．點在圓外，點在圓外B．點在圓內(nèi)，點在圓內(nèi)C．點在圓外，點在圓內(nèi)D．點在圓內(nèi)，點在圓外7．（平羅中學高二月考（文））已知直線是圓在點處的切線﹐則直線的方程為（）A． B． C． D．8．（橫峰中學高一月考（理））若點在圓外，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．（全國高二課時練習）已知點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（）A．（﹣1，1） B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}10．（全國高一課時練習）點與圓的位置關系為（）A．點在圓外 B．點在圓內(nèi) C．點在圓上 D．與的值有關【題型三：直線與圓的位置關系】1．（全國）過點的直線將圓分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率為（）A． B． C． D．2．（遼寧沈河·沈陽二中高二月考）過點作圓的切線，則切線方程為（）A． B．或C． D．或3．（四川省眉山第一中學高二月考（理））已知圓，則過圓上一點的切線方程為（）A． B．或 C． D．4．（全國高二專題練習）直線與圓相切，則的值為（）A．0或2 B．2C． D．無解5．（全國高二課時練習）已知圓與直線切于點，則直線的方程為（）A． B．C． D．6．（全國高一課時練習）已知直線被圓所截得的弦長為4，則為（）A． B． C．0 D．27．（全國高一課時練習）直線被圓截得的弦長為（）A． B． C． D．8．（全國高二課時練習）若直線平分圓的面積，則的值為（）A． B．C．1 D．29．（全國高三模擬預測）已知直線，圓，則直線與圓的位置關系是（）A．相交 B．相切C．相離 D．無法確定10．（銀川三沙源上游學校（文））直線與圓相切，則的值是（）A． B． C．2 D．【題型四：圓與圓的位置關系】1．（山西省長治市第二中學校高二月考）圓和圓的位置關系是（）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切2．（四川省綿陽南山中學高二月考）圓與圓的公共弦長等于（）A． B． C． D．3．（南昌市八一中學高二月考）已知圓，圓，則這兩個圓的位置關系為（）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)含4．（河北張家口·高二期末）圓與圓的位置關系是（）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離5．（銀川三沙源上游學校（文））圓與圓的公切線的條數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．36．（江蘇高二專題練習）兩圓：與：的公切線條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．47．（石家莊實驗中學高三開學考試）圓：與圓：（，）的位置關系為（）A．相交 B．相離C．相切 D．無法確定8．（全國高二單元測試）過圓上一點作圓的兩條切線，切點分別為，若，則（）A．1 B． C． D．9．（江西贛州·）已知圓(，為常數(shù))與.若圓心與關于直線對稱，則圓與的位置關系為（）A．內(nèi)含 B．相交 C．相切 D．相離10．（河南高三月考（文））設圓：和圓：交于，兩點，則線段所在直線的方程為（）A． B．C． D．第37講直線與圓的綜合問題1．（全國高一課時練習）求過點，圓心在直線上，且與直線相切的圓的方程．2．（江蘇高二專題練習）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點.（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若圓與直線：交于，兩點，_____________，求的值.從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.3．（陜西新城·）已知圓經(jīng)過，兩點，且與軸的正半軸相切.（1）求圓的標準方程；（2）若直線與圓交于，求.4．（全國高二課時練習）求直線被圓截得的弦的長．5．（江蘇廣陵·揚州中學高二月考）已知圓經(jīng)過坐標原點和點，且圓心在軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于兩點，求所得弦長的值.6．（平羅中學高二月考（文））已知直線：，圓：.（1）討論直線與圓的位置關系；（2）若是圓上任意一點，求點到直線距離的最小值.7．（全國高二單元測試）（1）求圓的切線方程，使得它經(jīng)過點（2）圓的切線在軸上截距相等，求切線方程8．（浙江奉化·高二期末）已知直線過點，圓．（Ⅰ）求圓的圓心坐標及直線截圓弦長最長時直線的方程；（Ⅱ）若過點直線與圓恒有公共點，求實數(shù)的取值范圍．9．（全國高二期中）已知點在圓：上．（Ⅰ）求該圓的圓心坐標及半徑長；（Ⅱ）過點,斜率為的直線與圓相交于兩點，求弦的長．10．（浙江高二單元測試）直線被圓截得的弦長為8，求的值．11．（新