《垂直于弦的直徑》課件人教版初中數(shù)學(xué)1

24.1.2垂直于弦的直徑葫蘆島第六初級(jí)中學(xué)24.1.2垂直于弦的直徑葫蘆島第六初級(jí)中學(xué)1垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論2（1）CD⊥AB嗎？為什么？（1）連結(jié)AO，BO，則AO=BO.并且平分弦所對(duì)的兩條弧圓的兩條直徑是互相平分的.∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.∵CE⊥AB于D，求證：AC＝BD.“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.（1）連結(jié)AO，BO，則AO=BO.趙州橋（如圖）是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.⑤平分弦所對(duì)的劣弧.不是，因?yàn)镃D沒有過圓心由題設(shè)可知，AB=37m，CD=7.23）2,解得R≈27.（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.如圖，在⊙O中，AB，AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.在Rt△OAD中，由勾股定理，得解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為Rm.（1）CD⊥AB嗎？為什么？解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為Rm.⑤平分弦所對(duì)的劣弧.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，垂足為點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)C，連結(jié)OA，則D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？2cm或12cm★垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.∵

CD是直徑，CD⊥AB，∴

AE=BE，⌒⌒AC

=BC，⌒⌒AD=BD.★推導(dǎo)格式注意

垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理，三種語言要相互轉(zhuǎn)化，形成整體，才能運(yùn)用自如.（1）CD⊥AB嗎？為什么？★垂徑定理·OABCDE垂直于弦3注意解決有關(guān)弦的問題，常過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，它是一種常用輔助線的添法．注意垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理，三種語言要相互轉(zhuǎn)化，形成整體，才能運(yùn)用自如.如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=cm.趙州橋（如圖）是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.（1）CD⊥AB嗎？為什么？如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.（1）CD⊥AB嗎？為什么？★涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法垂直于弦的直徑平分弦,即趙州橋的主橋拱半徑約為27.不是，因?yàn)镃D沒有過圓心∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，★涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.（1）連結(jié)AO，BO，則AO=BO.垂徑定理的幾個(gè)基本圖形∴∠AEO=∠BEO=90°，如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=cm.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，并且平分弦所對(duì)的兩條弧舉例證明其中一種組合方法.已知：⊙O中弦AB∥CD，且MN=12cm，EF=16cm，則弦MN和EF之間的距離為____.⑤平分弦所對(duì)的劣弧.想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說明為什么？是不是，因?yàn)闆]有垂直是不是，因?yàn)镃D沒有過圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE注意解決有關(guān)弦的問題，常過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的4垂徑定理的幾個(gè)基本圖形ABOCDEABOEDABO

DCABOC垂徑定理的幾個(gè)基本圖形ABOCDEABOEDABODCAB5

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？思考探索如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？①過圓心；思考探索如果把垂徑定理（垂直于弦6

DOABEC舉例證明其中一種組合方法.已知:求證：①CD是直徑②CD⊥AB，垂足為E

③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒證明猜想DOABEC舉例證明其中一種組合方法.①C7如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD交AB于點(diǎn)E，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）·OABCDE⌒AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？⌒⌒⌒（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒證明舉例（1）連結(jié)AO，BO，則AO=BO.又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD交AB于點(diǎn)E，使AE=B8

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.★垂徑定理的推論⌒⌒CD⊥AB,AC=BC,⌒⌒AD=BDCD是直徑，

AE=BE★推導(dǎo)格式ＤＣＡＢＥＯ平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩9思考：“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.·OABCD特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.思考：·OABCD特別說明：10·OABE解析：連結(jié)OA.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16∴（cm）.

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.例1·OABE解析：連結(jié)OA.∴AB=2AE=16cm.16∴11·OABECD解：連結(jié)OA.

∵

CE⊥AB于D，∴設(shè)OC=xcm，則OD=（x-2）cm.根據(jù)勾股定理，得解得x=5.即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2，.

如圖，⊙O的弦AB＝8cm

，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.例2·OABECD解：連結(jié)OA.∴設(shè)OC=xcm，則OD=（x-12.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的?。?，∴

AM－CM＝BM－DM，∴AC＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

已知：⊙O中弦AB∥CD，求證：AC＝BD.⌒⌒例3.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒13

總結(jié)解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.總結(jié)解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直14實(shí)際應(yīng)用

趙州橋（如圖）是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長)為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.例4實(shí)際應(yīng)用趙州橋（如圖）是我國隋代建造的石拱橋，距15ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為Rm.

經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，垂足為點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)C，連結(jié)OA，則D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.由題設(shè)可知，AB=37m，CD=7.23m，即趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.⌒⌒⌒⌒在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O16練一練：如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為＿＿＿_(dá)___＿.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm練一練：如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的17總結(jié)解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.并且平分弦所對(duì)的兩條弧d+h=r垂徑定理的幾個(gè)基本圖形∵AB∥CD，∴MN⊥CD，證明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，在Rt△OAD中，由勾股定理，得23）2,解得R≈27.一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.已知：⊙O中弦AB∥CD，（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF，在圓中有關(guān)弦長a，半徑r，弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.∴AB=2AE=16cm.想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說明為什么？弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：∴AD=AB=18.如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=cm.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，垂直于弦的直徑平分弦,由題設(shè)可知，AB=37m，CD=7.（1）CD⊥AB嗎？為什么？弦的直徑平分弦所對(duì)的?。?，如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8，P為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP長的取值范圍.上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？求證：四邊形ADOE是正方形．

在圓中有關(guān)弦長a，半徑r，弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.★涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：★弓形中重要數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BCDOhrd

d+h=r

OABC·總結(jié)解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直于181.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為

.5cm2.⊙O的直徑AB=20cm,∠BAC=30°，則弦AC=___.

103cm3.（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，則弦MN和EF之間的距離為

____

.14cm或2cm1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則194.如圖，在⊙O中，AB，AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求證：四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴四邊形ADOE為矩形.又∵AC=AB，∴AE=AD，∴四邊形ADOE為正方形.∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，4.如圖，在⊙O中，AB，AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD20

5.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn).你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？.ACDBOE注意

解決有關(guān)弦的問題，常過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，它是一種常用輔助線的添法．解：AC＝BD.理由如下：過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，則AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.5.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB21弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：垂直于弦的直徑平分弦,（1）CD⊥AB嗎？為什么？注意垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理，三種語言要相互轉(zhuǎn)化，形成整體，才能運(yùn)用自如.∴AM－CM＝BM－DM，弦的直徑平分弦所對(duì)的?。?，（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.垂直于弦的直徑平分弦,如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD交AB于點(diǎn)E，使AE=BE.AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？圓的兩條直徑是互相平分的.即趙州橋的主橋拱半徑約為27.∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，23）2,解得R≈27.注意垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理，三種語言要相互轉(zhuǎn)化，形成整體，才能運(yùn)用自如.如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.（1）連結(jié)AO，BO，則AO=BO.一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.在圓中有關(guān)弦長a，半徑r，弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.∴AE－CE＝BE－DE，平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.舉例證明其中一種組合方法.如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8，P為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP長的取值范圍

.3cm≤OP≤5cmBAOP弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：3cm≤OP22垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.滿足其中兩個(gè)條件就可以推出其他三個(gè)結(jié)論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧兩條輔助線：連半徑，作弦心距構(gòu)造Rt△利用勾股定理計(jì)算或建立方程基本圖形及變式圖形課堂總結(jié)垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;23《垂直于弦的直徑》課件人教版初中數(shù)學(xué)12424.1.2垂直于弦的直徑葫蘆島第六初級(jí)中學(xué)24.1.2垂直于弦的直徑葫蘆島第六初級(jí)中學(xué)25垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論26（1）CD⊥AB嗎？為什么？（1）連結(jié)AO，BO，則AO=BO.并且平分弦所對(duì)的兩條弧圓的兩條直徑是互相平分的.∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.∵CE⊥AB于D，求證：AC＝BD.“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.（1）連結(jié)AO，BO，則AO=BO.趙州橋（如圖）是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.⑤平分弦所對(duì)的劣弧.不是，因?yàn)镃D沒有過圓心由題設(shè)可知，AB=37m，CD=7.23）2,解得R≈27.（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.如圖，在⊙O中，AB，AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.在Rt△OAD中，由勾股定理，得解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為Rm.（1）CD⊥AB嗎？為什么？解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為Rm.⑤平分弦所對(duì)的劣弧.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，垂足為點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)C，連結(jié)OA，則D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？2cm或12cm★垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.∵

CD是直徑，CD⊥AB，∴

AE=BE，⌒⌒AC

=BC，⌒⌒AD=BD.★推導(dǎo)格式注意

垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理，三種語言要相互轉(zhuǎn)化，形成整體，才能運(yùn)用自如.（1）CD⊥AB嗎？為什么？★垂徑定理·OABCDE垂直于弦27注意解決有關(guān)弦的問題，常過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，它是一種常用輔助線的添法．注意垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理，三種語言要相互轉(zhuǎn)化，形成整體，才能運(yùn)用自如.如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=cm.趙州橋（如圖）是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.（1）CD⊥AB嗎？為什么？如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.（1）CD⊥AB嗎？為什么？★涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法垂直于弦的直徑平分弦,即趙州橋的主橋拱半徑約為27.不是，因?yàn)镃D沒有過圓心∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，★涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.（1）連結(jié)AO，BO，則AO=BO.垂徑定理的幾個(gè)基本圖形∴∠AEO=∠BEO=90°，如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=cm.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，并且平分弦所對(duì)的兩條弧舉例證明其中一種組合方法.已知：⊙O中弦AB∥CD，且MN=12cm，EF=16cm，則弦MN和EF之間的距離為____.⑤平分弦所對(duì)的劣弧.想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說明為什么？是不是，因?yàn)闆]有垂直是不是，因?yàn)镃D沒有過圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE注意解決有關(guān)弦的問題，常過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的28垂徑定理的幾個(gè)基本圖形ABOCDEABOEDABO

DCABOC垂徑定理的幾個(gè)基本圖形ABOCDEABOEDABODCAB29

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧.上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？思考探索如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？①過圓心；思考探索如果把垂徑定理（垂直于弦30

DOABEC舉例證明其中一種組合方法.已知:求證：①CD是直徑②CD⊥AB，垂足為E

③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒證明猜想DOABEC舉例證明其中一種組合方法.①C31如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD交AB于點(diǎn)E，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）·OABCDE⌒AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？⌒⌒⌒（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒證明舉例（1）連結(jié)AO，BO，則AO=BO.又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD交AB于點(diǎn)E，使AE=B32

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.★垂徑定理的推論⌒⌒CD⊥AB,AC=BC,⌒⌒AD=BDCD是直徑，

AE=BE★推導(dǎo)格式ＤＣＡＢＥＯ平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩33思考：“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.·OABCD特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.思考：·OABCD特別說明：34·OABE解析：連結(jié)OA.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16∴（cm）.

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.例1·OABE解析：連結(jié)OA.∴AB=2AE=16cm.16∴35·OABECD解：連結(jié)OA.

∵

CE⊥AB于D，∴設(shè)OC=xcm，則OD=（x-2）cm.根據(jù)勾股定理，得解得x=5.即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2，.

如圖，⊙O的弦AB＝8cm

，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.例2·OABECD解：連結(jié)OA.∴設(shè)OC=xcm，則OD=（x-36.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的?。?，∴

AM－CM＝BM－DM，∴AC＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

已知：⊙O中弦AB∥CD，求證：AC＝BD.⌒⌒例3.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒37

總結(jié)解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.總結(jié)解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直38實(shí)際應(yīng)用

趙州橋（如圖）是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長)為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.例4實(shí)際應(yīng)用趙州橋（如圖）是我國隋代建造的石拱橋，距39ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為Rm.

經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，垂足為點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)C，連結(jié)OA，則D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.由題設(shè)可知，AB=37m，CD=7.23m，即趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.⌒⌒⌒⌒在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O40練一練：如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為＿＿＿_(dá)___＿.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm練一練：如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的41總結(jié)解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.并且平分弦所對(duì)的兩條弧d+h=r垂徑定理的幾個(gè)基本圖形∵AB∥CD，∴MN⊥CD，證明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，在Rt△OAD中，由勾股定理，得23）2,解得R≈27.一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.已知：⊙O中弦AB∥CD，（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF，在圓中有關(guān)弦長a，半徑r，弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.∴AB=2AE=16cm.想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說明為什么？弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：∴AD=AB=18.如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=cm.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，垂直于弦的直徑平分弦,由題設(shè)可知，AB=37m，CD=7.（1）CD⊥AB嗎？為什么？弦的直徑平分弦所對(duì)的?。鐖D，⊙O的直徑為10，弦AB=8，P為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP長的取值范圍.上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？求證：四邊形ADOE是正方形．

在圓中有關(guān)弦長a，半徑r，弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.★涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：★弓形中重要數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BCDOhrd

d+h=r

OABC·總結(jié)解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直于421.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為

.5cm2.⊙O的直徑AB=20cm,∠BAC=30°，則弦AC=___.

103cm3.（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，則弦MN和EF之間的距離為

____

.14cm或2cm1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則434.如圖，在⊙O中，AB，AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求證：四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴四邊形ADOE為矩形.又∵AC=AB，∴AE=AD，∴四邊形ADOE為正方形.∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°