回歸分析中異常值的診斷與處理

回歸分析中異常值的診斷與處理1引言對調(diào)查得到的大量原始數(shù)據(jù)進(jìn)行加工處理，提取其中有用的信息，即統(tǒng)計整理，是進(jìn)一步進(jìn)行統(tǒng)計分析的前提.但是通常的統(tǒng)計整理方法往往都對樣本數(shù)據(jù)有一個前提假設(shè)，即樣本數(shù)據(jù)是來自同一個總體，而這個假設(shè)有時卻不能成立.原因一是由客觀因素造成的，如總體條件的突然變化或人們未知的某個因素的突然出現(xiàn)等等；二是由主觀方面的因素造成的，即人為的差錯如調(diào)查人員讀錯或抄錯數(shù)據(jù)，不小心把另一些不同條件下的樣本數(shù)據(jù)混雜進(jìn)來.當(dāng)樣本中的個別數(shù)據(jù)明顯的偏離樣本中其余數(shù)據(jù)時，這些數(shù)據(jù)可能是來自不同的總體，我們稱這樣的數(shù)據(jù)為異常數(shù)據(jù).若對混有異常數(shù)據(jù)的樣本按常規(guī)進(jìn)行統(tǒng)計整理、分析、推斷，往往會得出不符合實(shí)際的結(jié)論.本文就樣本中的異常數(shù)據(jù)提出了診斷方法和處理方法，并結(jié)合實(shí)例說明了簡單回歸中上述方法的具體應(yīng)用.2異常值的概念所謂異常值就是在所獲統(tǒng)計數(shù)據(jù)中相對誤差較大的觀察數(shù)據(jù)，也稱奇異值(Outliers).狹義地定義異常值就是一批數(shù)據(jù)中有部分?jǐn)?shù)據(jù)與其余數(shù)據(jù)相比明顯不一致的數(shù)據(jù)，也稱離群值.社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計中一切失實(shí)數(shù)據(jù)統(tǒng)稱為異常值.由于人為或隨機(jī)因素的影響，失實(shí)的數(shù)據(jù)隨時都有可能出現(xiàn)，因而統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的任何一個都有可能成為異常值，而狹義界定的異常值是指離群值，如果把統(tǒng)計數(shù)據(jù)按由小到大排列，若有異常值，它必位于其數(shù)據(jù)的兩端，左端稱為異常小值，右端的稱為異常大值.殘差：考慮線性回歸模型yXe,yXe,Ee0,Covey11X11X1,p1其中yy2,X1X21X2,p1yn1Xn1Xn,p1分量形式為10eiie2,e.p1enyi0Xil1xyi0Xil1xi,pipie,i1,,n.X?為殘差向量，其中？X?稱為擬合值向量,勺在模型1下的最小二乘估計.如果用x1,xn表示X的n個行向量，則稱?yiX?,i1,,n,1XV1為第i次試驗或觀測的殘差.對簡單回歸，X1X2,yy21XnVn則？％Xi?,i1,,n,其中x1,x.于是，異常值就是在回歸分析中，一組數(shù)據(jù)X于是，異常值就是在回歸分析中，一組數(shù)據(jù)Xi,yi如果它的殘差？較其它組數(shù)據(jù)的殘差大的多，則稱此數(shù)據(jù)為異常值.異常值的出現(xiàn)有主客觀的原因.主觀上抽樣調(diào)查技術(shù)有問題，疏忽大意記錯，或人為的虛報，謊報數(shù)據(jù)等都可能導(dǎo)致異常數(shù)據(jù)，這直接影響了統(tǒng)計數(shù)據(jù)的質(zhì)量；客觀上某些樣品由于特定原因在某些變量上的確表現(xiàn)突出，明顯超出平均水平，這也可能產(chǎn)生異常值.異常值的存在必將導(dǎo)致相應(yīng)統(tǒng)計分析誤差增大，會對分析結(jié)果（平均值與標(biāo)準(zhǔn)差）產(chǎn)生重要影響，會降低測量的精度.如果不預(yù)先處理它們，用通常的統(tǒng)計整理方法所得出的結(jié)論可靠性差.而異常值的診斷與處理是保證原始數(shù)據(jù)可靠性，平均值與標(biāo)準(zhǔn)差計算準(zhǔn)確性的前提.3異常值的診斷方法在討論異常值診斷問題時，通常要假設(shè)所得樣本觀測值在某中意義下遵從一定的分布規(guī)律.拿到一批數(shù)據(jù)，若能從其實(shí)際背景中明確看出它服從某中分布形式時，一般的做法是在這種分布假設(shè)下，導(dǎo)出能較好反映異常值與正常值差異的統(tǒng)計量，在沒有異常值的原假設(shè)下作假設(shè)檢驗.以下給出兩種檢驗方法.F分布檢驗法學(xué)生化殘差：考慮線性回歸模型1,記？X?,稱？為擬合值向量，稱其第i個分量?Xi?為第i個擬合值，則?XXX1XyHy,1這里HXXXX.文獻(xiàn)中通常稱H為帽子矩陣.前面已經(jīng)定義了?yXi?,i1,,n,為第i次試驗或觀測的殘差.將其標(biāo)準(zhǔn)化為?,再用？代替,得到所謂學(xué)生化殘差JhH§Lf,i1,,n,?、,1hHn?2這里hii為H的第i個對角元，？2口一.np把正態(tài)線性回歸模型1改寫成分量形式2yxe,e?N0,,i1,,n,這里e「（i1,,n）相互獨(dú)立.如果第j組數(shù)據(jù)x「yj是一個異常點(diǎn)，那么它的殘差就很大.它的殘差之所以很大是因為它的均值Eyj發(fā)生了非隨機(jī)性漂移.從而EyjXj.這產(chǎn)生了一個新的模型TOC\o"1-5"\h\zyixieiij23yjXjej。?N0,,記dj0,…，0,1,0,…，0.將模型3改寫成矩陣的形式2yXdje,e-N0,I,4模型3和4稱為均值漂移線性回歸模型.要判定xj,yj不是異常點(diǎn)，等價于檢驗假設(shè)H:0.引理1用yj,Xj和ej分別表示從Y、X和e剔除第i行所得到的向量或矩.從線性回歸模型1剔除第i組數(shù)據(jù)后，剩余的n1組數(shù)據(jù)的線性回歸模型為2|n1.yiXiei,Eei2|n1.將從這個模型求到的的最小二乘估計記為？i,則i?qXX1x1hii證明：因為？iX1XiXiyi.設(shè)A為nn可逆陣，u和v均為n1向量.用恒等式11AuvA1AuvAAAuv1uAv111XiXiXXxix111XXxixiXXXX1hii這里xi為X的第i行.將上式兩邊右乘Xy,并利用XyXiyiyix以及6式，有1i1iyixixixiXX1xixi?將7式右乘xi,可以得到如下關(guān)系式111XiXixiXXxi.1hii將其代入8式，得到-e-XX1xi.1hii引理2對均值漂移線性回歸模型4,和的最小二乘估計分別為—h

ijh

ijei，其中？j為從非均值漂移線性回歸模型1剔除第j組數(shù)據(jù)后得到的的最小二乘估a為從模型2導(dǎo)出的第j個殘差.計.HhjjXXX1X,hjja為從模型2導(dǎo)出的第j個殘差.xn.則Xdjxj.證明：顯然，djyyj,djdj1.記Xxn.則Xdjxj.于是，根據(jù)定義X

dj1XXdjjdjXXxjxj1Xyyj根據(jù)分塊矩陣的逆矩陣公式（見附錄1）,以及XX1

rhj于是，根據(jù)定義X

dj1XXdjjdjXXxjxj1Xyyj根據(jù)分塊矩陣的逆矩陣公式（見附錄1）,以及XX1

rhj11h%xjXX1XXxjxjXX-xj,jj1XX1XXhjj11hjj1xjXyV」11hjj1XXxjxj1XX1hjj1xjyj-xj1h

jjXX1v」hjjxjejjjj再由引理1知命題得證.現(xiàn)在應(yīng)用引理來求檢驗H:0的檢驗統(tǒng)計量.注意到,現(xiàn)在應(yīng)用引理來求檢驗H:0的檢驗統(tǒng)計量.注意到,對現(xiàn)在的情形,在約束條件0下，模型4就化為模型1RSSh模型RSSh模型無約束情形下的殘差平方和yy?xy.而模型4的無約束殘差平方和RSSyy利用引理2得RSSHRSSejXjh1■Xydjyjjej21hjj1hjj這里？jyjXj?為第j組數(shù)據(jù)的殘差.利用和的具體表達(dá)式將9式作進(jìn)一步化簡:RSSyy?Xy?j?j1hjj?jyj1hjj其中?2np?RSSyy?Xy?j?j1hjj?jyj1hjj其中?2np?2?j21h?jjna2口一.根據(jù)引理2,所求的檢驗統(tǒng)計量為np?22FRS&RSS1hjjnp1口RSSnp?2?j2nprj2np1np1np11hjj于是，我們證明了如下事實(shí)：定理2對于均值漂移線性回歸模型4,如果假設(shè)H:0成立，則2np1rjFj?F1,np1.nprj據(jù)此，我們得到如下檢驗：對給定的01,若Fj?2np1rj2nprjF1,np1，則判定第j組數(shù)據(jù)xj,yj為異常點(diǎn).當(dāng)然，這種檢驗會犯“判無為有”的錯誤，也就是xj,yj可能不是異常點(diǎn)，而被誤判為異常點(diǎn).但我們犯這種錯誤的概率只有，事先我們可以把它控制的很小.顯然，根據(jù)t分布與F分布的關(guān)系，我們也可以用t檢驗法完成上面的檢驗.若定義對給定的，當(dāng)tjFj2對給定的，當(dāng)tjFj2rjtjtnp1萬時，我們拒絕假設(shè)H:0.即判定第j組數(shù)據(jù)xj,yj為異常點(diǎn).殘差及殘差圖檢驗異常值i1,…，n,稱為前面定義了eyX?,i1,…，n,稱為第i次試驗或觀測的殘差.特別地，對簡單回歸，Xi1,Xiy-1XXiyiXiyinxyi1V\n22Xinxi1殘差是最重要的一種回歸診斷量，它蘊(yùn)涵了有關(guān)模型基本假設(shè)的許多重要信息.殘差分析就是對殘差進(jìn)行統(tǒng)計處理，從中提煉出這些信息的方法.而殘差圖就是殘差分析中使用的基本工具.所謂殘差圖就是殘差？對因變量y或自變量X1,X2,,Xn,或其它導(dǎo)出統(tǒng)計量（如擬合值%）的點(diǎn)子圖，有時候也用殘差對時間或?qū)?shù)據(jù)序數(shù)的點(diǎn)子圖.最簡單的圖，尤其在簡單回歸中，為殘差？對擬合值年的圖.所謂異常數(shù)據(jù)就是相對于其它觀測值來說，具有大的殘差的數(shù)據(jù)點(diǎn).利用殘差及殘差圖檢驗異常值的方法是用所給數(shù)據(jù)計算出殘差？，與其余觀測值的殘差進(jìn)行比較，具有大的殘差的數(shù)據(jù)點(diǎn)被懷疑為異常值.然后作出自變量與因變量的散點(diǎn)圖，殘差？對擬合值？i的殘差圖以及殘差?對自變量入的殘差圖，從圖中觀察，那些遠(yuǎn)離大多數(shù)觀測點(diǎn)的孤立的點(diǎn)有理由被認(rèn)為是異常點(diǎn).然后從數(shù)據(jù)中刪除這些點(diǎn)，再次估計回歸方程，作出X與Y的散點(diǎn)

圖以及？對%的殘差圖，計算標(biāo)準(zhǔn)差，與刪除前進(jìn)行比較.4提出兩種處理方法4。1采用虛擬變量消除異常值的影響(1)虛擬變量某類變量(如性別、種族、顏色、宗教、國家、戰(zhàn)爭、地震等)常常表示某屬性是否存在，如男或女，黑種人或白種人，教徒或非教徒，對于這類變量可用“數(shù)量化”方法設(shè)計人為變量來表示，如用"0”或"1","0”表示不存在某種屬性，“1”表示存在該屬性.例如:用“1”表示男性，“0”表示女性，或用“1”表示大學(xué)畢業(yè)，“0”表示沒有大學(xué)畢業(yè),等等.這樣假設(shè)的變量，如“0”或“1”稱為虛擬變量，也稱為類型變量或?qū)傩宰兞?，?”和0”和“1”分別表示，即屬于某一類型的變量用“1”表示，不屬于這一類型的變量用“0”表示.這里用D表示虛(2)處理異常值的方法在這里，我們用虛擬變量(0或1)把試驗數(shù)據(jù)劃分為兩類，屬于異常值一類用“1”表示，屬于正常值一類用D,建立回歸方程:Y1其中YY2,X表示，屬于正常值一類用D,建立回歸方程:Y1其中YY2,XYnY?0?X1NX24?p2Xp2?p1X11X1,p1d1?0d1X21X2,p1d2,??J，Dd2Xn1Xn,p1dn?p1dn0"表示.引入虛擬變量aD,1.特別地，對簡單回歸,11建立回歸方程:1X$D,Y1其中，YY2X1X21X$D,Y1其中，YY2X1X2d1d2ZZ1Zy?YnXndn利用所給數(shù)據(jù)，作出回歸估計.這樣,異常值的影響被虛擬變量D的系數(shù)吸收從而估計更接近于現(xiàn)實(shí).4.2剔除異常值的方法對于測定中的異常值的剔除，我們必須持慎重態(tài)度，不能貿(mào)然從事.否則會出現(xiàn)誤刪有效數(shù)據(jù)或保留異常數(shù)據(jù)的錯誤.通常處理步驟大致如下:(1)初分析：首先利用所給數(shù)據(jù)作出回歸估計：？X其中xx11其中xx11x21…x1,…x2,XX"y.特別地，對簡單回歸，？？02x,xn1xn1xn,p1其中？0nxy其中？0nxyi??i1y-1x，1——2xii1nxy——，并計算標(biāo)準(zhǔn)差：s-2nx2X,以及擬合值?、殘差a,并列入表.然后作出為與yi的散點(diǎn)圖，擬合值y?與殘差？的殘差圖，分析判別出異常值.(2)判別出異常值后，從測量數(shù)據(jù)中刪除異常值，然后利用余下的觀測值再次作回歸估計，同第一步，計算標(biāo)準(zhǔn)差、擬合值以及殘差，作出刪除異常數(shù)據(jù)后的散點(diǎn)圖與殘差圖.(3)對比刪除異常值前后的標(biāo)準(zhǔn)差以及殘差圖.對于單一可疑異常數(shù)據(jù)，直接按上述步驟進(jìn)行剔除異常值.對于多個可疑異常值的情況，上述剔除步驟反復(fù)逐次進(jìn)行至無可剔除為止.通?？刹捎脙煞N方法：向前逐一剔除法(從極大值依次向次大值逐一剔除)和向后逐一剔除法(從可疑的j個最大值依次從小到大逐一剔除).5實(shí)例分析5.1實(shí)例一假定某調(diào)查數(shù)據(jù)X和Y由表1中給出.

表1數(shù)據(jù)X和Y廳PXYD11.100.90022.001。80032。302。00043。102。70053。002.50062。807。50173.203。00083.803.50094。003。500104.204。000114。804。500125.004.800135.105。000146。005。500155.505。500根據(jù)表中數(shù)據(jù)作回歸估計，得回歸方程：?0.6610.837x,并算得V\?iR210.457.1R210.457.-2yyi1X圖1i1X圖1散點(diǎn)圖表2各組數(shù)據(jù)的診斷統(tǒng)計量廳Pxi小?ariti11.100.901.5815一00-0.516—0。50122.001.802.334868150.405-0039232.302。002。5859-0.5348-0。443-0.42943。102.703。2555-0.5859—0.420—0.40653.002.503.1718一-0.508-0.49362。807。503.00440.55553。4019.84173.203。003。3392-0。6718—0o257-0.24883。803.503。84144.4956—0.258-0024994.003.504。0088-0.3392—0.385—0.372104。204.004。1762-0。3414—0.133—0。128114。804。504。6784一00—00135-0.130125。004。804。84585088—00035-00033135.105。004。9295一0.0530.051146。005。505.68280.1762—00138—0。133155。505。505.2643一0.1784一000458000705-0018280.23570017800117t120.053.65.從表2最后一列可以看出只有t69.841超過這個值，于是我們診斷出第六號數(shù)據(jù)為異常值.然后引入虛擬變量D,建立回歸方程：Y01xND,作回歸估計.令1x1d1ZZ1Zy.1x2dZZ1Zy.X15d150.3031.007x4.985D.并00.303,？1.007,14.985.所以，回歸模型為：0.3031.007x4.985D.并且算得R20.993.從R2的值來看，這個回歸方程［見圖2中2］要比未采用虛擬變量所估計的回歸方程［見圖2中1］其擬合程度好多了.這是因為異常值的影響被虛擬變量D的系數(shù)吸收,所以比處理前求得的估計值更接近于現(xiàn)實(shí).因此虛擬變量是消除異常值的影響，探求變量

之間真正關(guān)系的一種有效方法.5.2實(shí)例二表3給出了Forbes數(shù)據(jù).表3Forbes數(shù)據(jù)序號沸點(diǎn)氣壓（英寸汞柱）Log（氣壓）100XLog（氣壓）1194.520。791。3179131。792194.320。791.3179131。793197.922.401.3502135。024198。422。671.3555135.555199.423.151.3646136.466199.923。351。3683136.837200。923.891.3782137。828201.123.991.3800138.009201.424.021。3806138。0610201。324.011。3805138。0511203.625.141。400414000412204.626.571。4244142。4413209.528。491。4547145.4714208。627。761.4434144.3415210.729。041。4630146.3016211.929.881.4754147.5417212.230。061。4780147.80

150YX圖150YX圖3散點(diǎn)圖根據(jù)表中數(shù)據(jù)，（氣壓用10010g的數(shù)據(jù)），估計回歸方程，算得夕42.1310.895x.計算出Forbes數(shù)據(jù)的擬合值及殘差，如表4,進(jìn)一步作出散點(diǎn)圖（圖3）、殘差？對擬合值年的殘差圖（圖4）.表4Forbes數(shù)據(jù)的擬合值及殘差廳PXiyi??1194.50131.79132。04—00252194。30131.79131。86-00073197。90135。02135。08-0.064198.40135。55135.530.025199。40136.46136。4200046199。90136。83136。87-0.047200.90137.82137。770.058201。10138.00137。950.059201。40138.06138。22-0.1610201.30138。05138.13—0.0811203。60140.04140019-0.1512204。60142。44141。081。3613209.50145。47145.470.0014208.60144。34144.66-003215210.70146。30146。54-002416211.90147。54147。62—0.0817212.20147。80147。89—00091.61.41.211.61.41.210.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6圖4Forbes數(shù)據(jù)的殘差圖比較表中所列的殘差，并觀察殘差圖，我們發(fā)現(xiàn)序號12的殘差比其它的殘差大的多.其它殘差的絕對值都小于0.35,而第12號數(shù)據(jù)的殘差為1.36.并且從殘差圖（圖4）中觀察到第12號數(shù)據(jù)的跳躍度比較大，遠(yuǎn)離其它點(diǎn).由殘差及殘差圖法診斷出第12號數(shù)據(jù)為異常數(shù)據(jù).然后剔除第12號數(shù)據(jù).再估計回歸方程，重新擬合數(shù)據(jù)，檢查參數(shù)估計，擬合值，殘差方差的變化.刪除第12號數(shù)據(jù)后，得到回歸方程：?41.3020.891x.表5Forbes數(shù)據(jù)中刪除12號數(shù)據(jù)后的擬合值及殘差廳PXiYi夕^1194。50131。79131.99—0.202194.30131.79131.81一0。023197。90135.02135。020。004198。40135。55135。460.095199。40136.46136.350。116199.90136.83136。800。037200。90137。82137。690.138201。10138。00137。870.139201.40138。06138。14—0.0810201.30138。05138.050.0011203.60140。04140。10-0.0613209.50145。47145.350。1214208。60144。34144。55一0。2115210。70146.30146.42—0.1216211.90147.54147。500。0517212。20147.80147。760。04

146.-1.5-2-2.5圖5Forbes數(shù)據(jù)中刪除12號數(shù)據(jù)后的殘差圖146.-1.5-2-2.5圖5Forbes數(shù)據(jù)中刪除12號數(shù)據(jù)后的殘差圖150圖6刪除異常值后的散點(diǎn)圖比較量使用所有數(shù)據(jù)的值刪除異常值后的值?0-42。131-41。302?10089500891?0037900113表6刪除異常值前后的比較量對刪除異常值前后的結(jié)果進(jìn)行對比，我們得到對于刪除前后獲得的參數(shù)估計基本是相同的，所以第12號數(shù)據(jù)是無關(guān)的.但是，第12號數(shù)據(jù)在標(biāo)準(zhǔn)誤差上的影響要顯著些.刪除后標(biāo)準(zhǔn)誤差減小約3.1倍，方差減小約10倍.并且，從刪除異常值獲得的殘差圖圖5和散點(diǎn)圖（圖6）顯示出，對余下的16個數(shù)據(jù)無明顯的擬合失敗.6結(jié)束語異常值的診斷與處理問題是一個很有實(shí)際意義的問題，是一個逐步研究逐步實(shí)踐的問題.但迄今為止，還沒有一種廣泛適用的方法，本文所介紹的方法也是一種嘗試，對于異常值的診斷與處理問題的研究還有待于進(jìn)一步完善.致謝本文在撰寫過程中得到了李惠東老師的悉心指導(dǎo)和大力支持.在論文撰寫過程中遇到的難點(diǎn)和疑點(diǎn)李老師都給我作了詳細(xì)的講解，并提供了許多有參考價值的資料和專業(yè)軟件，使我學(xué)到了很多知識和方法.在此表示深深的敬意與感謝.參考文獻(xiàn)［1］魏立力。概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］。銀川：寧夏人民出版社,1999.［2］王松桂等。線性模型引論［M］。北京：科學(xué)出版社，2004。［3］何平.剔除測量數(shù)據(jù)中異常值的若干方法［J］.數(shù)理統(tǒng)計與管理，1995,(1):19—22.［4］王靜龍，梁小筠，等譯應(yīng)用線性回歸［M］.北京：中國統(tǒng)計出版社，1998。［5］劉宗鶴，趙明強(qiáng)譯.計量經(jīng)濟(jì)學(xué)概論［M北京：農(nóng)業(yè)出版社，1988。

附錄1:分塊矩陣的逆矩陣:設(shè)A0,將其分塊為：AA11A12A21A22,則它的逆矩陣11111A11A11A12A221A21A11A△1…1A221A21A1111A11A12A221A221A112A22A21A112A112Al2A22A22A22A21A112A12A22這里A221A22..1.A21A11A12,A112A11AA1AA12A22A21-附錄2:SPSSft理實(shí)例1數(shù)據(jù)：.未用虛擬變量的數(shù)據(jù)處理：RegressionModelSummary(b)ModelRRSquareAdjustedRSquareStd。ErroroftheEstimate1o676(a).457o4151o32181aPredictors:(Constant),XbDependentVariable:丫Coefficients(a)ModelUnstandardizedCoefficientsStandardizedCoefficientstSig.BStd.ErrorBeta1(Constant)o6611o003o658.522Xo837o253o6763.306o006aDependentVariable:YCasewiseDiagnostics(a)CaseNumberStdoResidualYPredictedValueResidual1-o516.901.5815-.68152。4051。802.3348。53483-o4432。002o5859-.58594。4202.703.2555-.55555-.5082。503.1718-.671863.4017.503.00444.49567.2573.003o3392.33928-.2583.503o8414.34149-.3853.504o0088-.508810-.1334.004.1762.176211.1354。504.6784-.178412-o0354.804o8458.045813.0535。004.9295.070514-o1385。505.6828.182815o1785.505o2643o2357aDependentVariable:Y.引進(jìn)虛擬變量后的數(shù)據(jù)處理：ModelSummary(b)ModelRRSquareAdjustedRSquareStd。ErroroftheEstimate1o996(a)o993.992o15876aPredictors:(Constant),D,XbDependentVariable:YCoefficients(a)ModelUnstandardizedCoefficientsStandardizedCoefficientsBetatSig。BStd.Error1(Constan)-o303.1252。431o032X1.007o031o81332。532o000D4o985.167o74529。819o000aDependentVariable:YCasewiseDiagnostics(a)CaseNumberStd.ResidualYPredictedValueResidual1.606.90.8038.09622.5691.801.7097o09033-o0732.002o0117-.01174.7362。702.8169-o11695-1o3622.502.7162-.21626.0007。507.5000.00007o5193.002.9176o08248.1353。503.5215。02159-1.4033.503o7228。222810.4784.003.9241。075911.1764。504o5280-。028012.4454。804.7293.0707131.0715。004o8300.170014-1.4865.505.7359。2359151.6845。505o2326。2674aDependentVariable:Y

附錄3:SPSS&理實(shí)例2的數(shù)據(jù):.刪除前的數(shù)據(jù)處理：Coefficients(a)ModelUnstandCoefficBardized:ientsStd。ErrorStandardizedCoefficientsBetatSig.1(Constan)X-42o131o8953.339.016o997-12。61854。450.000o000aDependentVariable:YModelSummary(b)ModelRRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimateChangeStatisticsRSquareChangeFChangedf1df2Sig。FChange1.997(a).995o995o37889o9952964.792115.000aPredictors:(Constant),XbDependentVariable:YCasewiseDiagnostics(a)CaseNumberStdoResidualYPredictedValueResidual1.651131.79132o0366-o24662.178131o79131o8575-.06753.161135o02135.0812-.06124.056135o55135o5289o02115.094136.46136.4244o03566-.111136o83136o8721。04217o138137o82137o7676o05248.141138.00137