《傳感器與測(cè)試技術(shù)》教學(xué)課件-第六章

傳感器與測(cè)試技術(shù)傳感器與測(cè)試技術(shù)第6章信號(hào)分析與處理6.1概述6.2周期信號(hào)及其頻譜6.3非周期信號(hào)及其頻譜6.4數(shù)字信號(hào)分析與處理6.5隨機(jī)信號(hào)分析與處理第6章信號(hào)分析與處理6.1概述6.2周期信號(hào)及其頻譜6.6.1概

述6.1.1信號(hào)的概念和分類1．電橋的工作原理信號(hào)是信息的載體，是信息的表現(xiàn)形式。信息與信號(hào)是互相聯(lián)系的兩個(gè)不同概念。信號(hào)不等于信息，但信息那么是信號(hào)所承載的內(nèi)容。測(cè)試系統(tǒng)是通過某種技術(shù)手段，從被測(cè)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中提取所需的信息。這個(gè)信息從物理的角度講，是以某種信號(hào)的形式反映出來的。在工程實(shí)際中，測(cè)試系統(tǒng)的測(cè)試過程包括信號(hào)的獲取、加工、處理、顯示、反響、計(jì)算等，因此測(cè)試系統(tǒng)對(duì)被測(cè)參量測(cè)試的整個(gè)過程都是信號(hào)的流程。6.1概述6.1.1信號(hào)的概念和分類1．電橋的工1．信號(hào)的根本概念信號(hào)一般可用單個(gè)或多個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)或圖形表示。信號(hào)可以描述極為廣泛的物理現(xiàn)象，可以計(jì)算、合成及分解。一般信號(hào)具有以下性質(zhì)：〔1〕信號(hào)具有特定的意義，即含有特定的信息；〔2〕信號(hào)具有一定的能量；〔3〕信號(hào)易于被測(cè)得或感知；〔4〕信號(hào)易于被傳輸。信息本身不具有能量及物質(zhì)，故信息的傳遞必須借助于某種中間媒介，而這個(gè)包含有特定信息的媒介即為信號(hào)。信號(hào)一般表現(xiàn)為聲、光、電、磁等物理量。1．信號(hào)的根本概念信號(hào)一般可用單個(gè)或多個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)或圖形2．信號(hào)的分類〔1〕按信號(hào)的規(guī)律分類確定性信號(hào)：可以用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述或可由實(shí)驗(yàn)屢次復(fù)現(xiàn)的信號(hào)。非確定性信號(hào)：不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述，而且其幅值、相位、頻率不可

預(yù)知。這類信號(hào)只能用概率統(tǒng)計(jì)的規(guī)律加以描述。2．信號(hào)的分類確定性信號(hào)：可以用明確的數(shù)學(xué)〔2〕按信號(hào)的函數(shù)性質(zhì)分類按函數(shù)性質(zhì)分類連續(xù)時(shí)間信號(hào)：是指在某一指定時(shí)間內(nèi)，除假設(shè)干個(gè)第一類間斷點(diǎn)外，該函數(shù)都可給出確定的函數(shù)值的信號(hào)。離散時(shí)間信號(hào)：離散時(shí)間信號(hào)：是指僅在某些不連續(xù)的時(shí)刻有定義的信號(hào)。信號(hào)除了在時(shí)間上有連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)之分外，還可依據(jù)幅值取值將信號(hào)分為連續(xù)幅值信號(hào)和離散幅值信號(hào)。時(shí)間和幅值均連續(xù)的信號(hào)稱為模擬信號(hào)。時(shí)間和幅值均離散且幅值被量化的信號(hào)稱為數(shù)字信號(hào)?！?〕按信號(hào)的函數(shù)性質(zhì)分類按函數(shù)性質(zhì)分類連續(xù)〔3〕按信號(hào)的能量分類按信號(hào)的能量分類能量信號(hào)功率信號(hào)在所分析的區(qū)間，能量為有限值的信號(hào)。功率信號(hào)是指具有有限平均功率的信號(hào)。一個(gè)能量信號(hào)具有零平均功率，而一個(gè)功率信號(hào)具有無限大能量?！?〕按信號(hào)的能量分類按信號(hào)的能量分類能量信6信號(hào)的時(shí)域分析和頻域分析將頻率作為自變量，把信號(hào)看作是頻率

的函數(shù)

。在相應(yīng)的圖形表示中，作為自變量出現(xiàn)在橫坐標(biāo)上的是頻率。信號(hào)的這種描述方法就是信號(hào)的頻域描述。信號(hào)在頻域中的圖形表示又稱作信號(hào)的頻譜，包括幅頻譜和相頻譜等。幅頻譜以頻率為橫坐標(biāo)并以幅度為縱坐標(biāo)，相頻譜以頻率為橫坐標(biāo)并以相位為縱坐標(biāo)?；诟道锶~變換理論，在頻域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析的方法稱為信號(hào)的頻域分析。通常，信號(hào)可以被看作是一個(gè)隨時(shí)間變化的量，是時(shí)間t的函數(shù)

。在相應(yīng)的圖形表示中，作為自變量出現(xiàn)在橫坐標(biāo)上的是時(shí)間t。信號(hào)的這種描述方法就是信號(hào)的時(shí)域描述?；谖⒎址匠毯筒罘址匠痰戎R(shí)，在時(shí)域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析的方法稱為信號(hào)的時(shí)域分析。6信號(hào)的時(shí)域分析和頻域分析將頻率作為自變信號(hào)分析的主要任務(wù)就是要從盡可能少的信號(hào)中取得盡可能多的有用信息。時(shí)域分析和頻域分析是從兩個(gè)不同角度去觀察同一現(xiàn)象。時(shí)域分析比較直觀，能一目了然地看出信號(hào)隨時(shí)間的變化過程，但看不出信號(hào)的頻率成分，而頻域分析正好與此相反。在工程實(shí)際中應(yīng)根據(jù)不同的要求和不同的信號(hào)特征選擇適宜的分析方法，或?qū)煞N分析方法結(jié)合起來，從同一測(cè)試信號(hào)中取得需要的信息。信號(hào)分析的主要任務(wù)就是要從盡可能少的信號(hào)中取6.2周期信號(hào)及其頻譜6.2.1周期信號(hào)的定義如果信號(hào)x(t)在所有時(shí)間t內(nèi)均能滿足則x(t)是周期信號(hào)，

T稱為周期。顯然，周期信號(hào)是幅值按一定周期不斷重復(fù)的信號(hào)。1．電橋的工作原理周期信號(hào)又分為正弦信號(hào)（包括余弦信號(hào)）和復(fù)雜的周期信號(hào)。正弦信號(hào)是最簡(jiǎn)單的周期信號(hào)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為可見，正弦信號(hào)的周期T=2π/ω

，ω

稱為角頻率或圓頻率，周期的倒數(shù)稱為頻率，即

f=1/T，

ω=2πf，

x0為常數(shù)。6.2周期信號(hào)及其頻譜6.2.1周期信號(hào)的定義復(fù)雜的非正弦周期信號(hào)又可稱之為非正弦周期函數(shù)，如下圖。非正弦周期信號(hào)復(fù)雜的非正弦周期信號(hào)又可稱之為非正弦周期函數(shù)6.2.2傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開式

周期函數(shù)的一個(gè)重要特征是可以表示成無窮個(gè)正弦及余弦函數(shù)之和的形式。這個(gè)正弦和余弦函數(shù)的系列稱為傅里葉級(jí)數(shù)。若周期函數(shù)x(t)

的周期為T，滿足狄里赫利條件，即：（1）在一個(gè)周期內(nèi)，只存在有限數(shù)目的極大值和極小值；（2）只存在有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)；（3）在不連續(xù)點(diǎn)取值有界，即函數(shù)絕對(duì)可積。

則此周期函數(shù)可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)形式

6.2.2傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開式周期在工程測(cè)試中常見的周期信號(hào)（即周期函數(shù)）一般都滿足狄里赫利條件。為了顯示出傅里葉級(jí)數(shù)在工程應(yīng)用中所具有的物理意義，可將傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)寫成只包含正弦項(xiàng)或只包含余弦項(xiàng)的形式。如果令傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)可簡(jiǎn)化為在工程測(cè)試中常見的周期信號(hào)（即周期函數(shù)）一般6周期信號(hào)的頻譜由可以看出，周期信號(hào)是由無限個(gè)不同頻率的諧波分量疊加而成的。各次諧波的幅值和初相位分別由An和φn決定。當(dāng)n=1時(shí)，A1cos(ω0t+φ1)稱為信號(hào)的一次諧波〔基波〕分量，φ0稱為基波角頻率。其余各次統(tǒng)稱為高次諧波。n=2，稱為二次諧波；n=3，稱為三次諧波，依此類推。由于幅值A(chǔ)n和初相位φn均為角頻率ω=nω0

的函數(shù)，以角頻率為橫坐標(biāo)，以幅值A(chǔ)n

或初相位

φn為縱坐標(biāo)所作的圖形統(tǒng)稱為頻譜，An－ω圖稱為幅頻譜，

φn－ω圖稱為相頻譜。An

表示信號(hào)所具有的諧波分量的幅值；

φn是各次諧波分量在時(shí)間原點(diǎn)處所具有的相位。幅值譜和相位譜結(jié)合起來便確定了信號(hào)各次諧波的波形。6周期信號(hào)的頻譜由以下圖所示是從一個(gè)裝有兩個(gè)偏心轉(zhuǎn)子的軸上測(cè)取的加速度信號(hào)x(t)。在其頻譜圖上清楚地顯示了每個(gè)轉(zhuǎn)子引起的振動(dòng)強(qiáng)度。（a）周期信號(hào)的時(shí)間歷程

（b）周期信號(hào)的頻譜以下圖所示是從一個(gè)裝有兩個(gè)偏心轉(zhuǎn)子的軸上測(cè)取例6-1求下〔a〕圖所示的周期性矩形波的傅里葉級(jí)數(shù)表示，并畫出其幅頻譜。

解

：該波形在一個(gè)周期內(nèi)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為根據(jù)式可知，a0=0，an=0，bn=代入傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)可得傅里葉級(jí)數(shù)幅頻譜例6-1求下〔a〕圖所示的周期性矩形波的6.2.4復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉級(jí)數(shù)也可以表示成復(fù)指數(shù)形式的展開式。根據(jù)歐拉公式則傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)可轉(zhuǎn)換為

Cn表示周期信號(hào)的復(fù)振幅，稱為傅里葉系數(shù)。根據(jù)

，

φn－nφ0(n=0，±1，±2…)的函數(shù)關(guān)系，可畫出復(fù)數(shù)形式的傅里葉頻譜圖，不過它同三角形式的傅里葉頻譜圖在形式上有所不同，這是由于描述諧波分量的數(shù)學(xué)方法不同而造成的，沒有什么本質(zhì)差別。6.2.4復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)

例如，一個(gè)余弦信號(hào)它在三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)中僅有一項(xiàng)，即

n=1，故其譜線只有一條，如圖(a)所示，而用復(fù)數(shù)表示同一信號(hào)時(shí)，有故它有兩條譜線：n=±1，如(b)圖所示。（a）

（b）例如，一個(gè)余弦信號(hào)（a）

特別需要指出的是，將一個(gè)周期信號(hào)展開成復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)后，其頻譜圖上出現(xiàn)了負(fù)頻率。頻率表示每秒鐘的變化次數(shù)，它不可能是負(fù)值。由于用復(fù)數(shù)表示可以得到簡(jiǎn)練的復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，此時(shí)允許n取負(fù)整數(shù)，于是出現(xiàn)了所謂的負(fù)頻率。

在這種形式下，n單獨(dú)取正數(shù)或單獨(dú)取負(fù)數(shù)都不能構(gòu)成一個(gè)諧波分量，只有n=k

和n=－k兩項(xiàng)之和才能表示第

k項(xiàng)。由此可見，負(fù)頻率的引入僅僅是在將正余弦函數(shù)變成一對(duì)指數(shù)函數(shù)的過程中為縮短式子長(zhǎng)度而采取的一種數(shù)學(xué)手段。特別需要指出的是，將一個(gè)周期信號(hào)展開成復(fù)數(shù)形

復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)除了可用幅頻圖和相頻圖表示外，也可以分別以

的實(shí)部和虛部與頻率的關(guān)系作圖表示。（a）

（b）

由式可知，單邊譜線的高度為雙邊譜線的兩倍，在數(shù)據(jù)處理中常按此關(guān)系將它們相互轉(zhuǎn)化。(a)圖中的頻譜僅在

的一邊有譜線，稱作單邊譜。(b)圖中的頻譜兩邊都有譜線，稱作雙邊譜。由于

與

是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，其模相等，所以雙邊譜對(duì)稱于

軸。復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)除了可用幅頻圖和相頻圖表

例6-2求右圖所示的周期性三角波的幅頻譜。周期三角波

解

：x(t)在一個(gè)周期中可表達(dá)為因

x(-t)=x(t)，故

x(t)是偶函數(shù)，bn=0

。其幅頻譜（單邊譜）如圖(a)所示。（a）例6-2求右圖所示的周期性三角波的幅頻譜若用復(fù)數(shù)形式表示，則根據(jù)可求得如圖(b)所示的幅頻譜（雙邊譜）。（b）（a）若用復(fù)數(shù)形式表示，則根據(jù)（b）（a）通過以上例題可以看出，周期信號(hào)有以下幾個(gè)特點(diǎn)：〔1〕周期信號(hào)的頻譜是由無限多條離散譜線組成的，每一條譜線〔單邊譜〕代表一個(gè)諧波分量?！?〕各次諧波的頻率只能是基波頻率的整數(shù)倍?！?〕譜線的高度表示了相應(yīng)諧波分量的幅值大小。對(duì)于工程中常見的周期信號(hào)，其諧波幅值的總趨勢(shì)是隨著諧波次數(shù)的增高而減小。當(dāng)諧波次數(shù)無限增高時(shí)，其幅值就趨于零。以上三個(gè)特點(diǎn)分別稱為周期信號(hào)頻譜的離散性、諧波性和收斂性。進(jìn)一步分析還可發(fā)現(xiàn)，信號(hào)波形越接近于正弦波，其譜線越稀。信號(hào)波形與正弦波相差越大，特別是當(dāng)信號(hào)含有脈沖性突變時(shí)，其諧波成分就越豐富。另外，信號(hào)波形越接近于正弦波，幅值下降越快。例如，諧波幅值大于基波幅值的2%的諧波分量，矩形波有25個(gè)，全波整流信號(hào)有6個(gè)，三角波僅有4個(gè)。通過以上例題可以看出，周期信號(hào)有以下幾個(gè)特點(diǎn)由此可知，對(duì)于工程中遇到的大多數(shù)周期信號(hào)，可以忽略那些次數(shù)過高的諧波分量，用有限個(gè)諧波之和來代替傅里葉級(jí)數(shù)中的無限多項(xiàng)，而不會(huì)引起太大的誤差。從基波開始，到還需要考慮的最高諧波分量的頻率間的頻段，稱為信號(hào)的頻帶寬度，這在選用儀器時(shí)要格外注意。由此可知，對(duì)于工程中遇到的大多數(shù)周期信號(hào)，可6.3非周期信號(hào)及其頻譜6.3.1傅里葉積分非周期信號(hào)是指在時(shí)域上不按周期重復(fù)出現(xiàn)，但仍可用準(zhǔn)確的解析數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)的信號(hào)。非周期信號(hào)包括準(zhǔn)周期信號(hào)和瞬變非周期信號(hào)兩種。復(fù)雜周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開成多項(xiàng)以至無限項(xiàng)正〔余〕弦諧波信號(hào)之和，其頻譜具有離散性。反之，幾個(gè)正〔余〕弦信號(hào)疊加是否一定是周期函數(shù)，這主要取決于組成此信號(hào)的各正〔余〕弦信號(hào)的頻率之比。如果組成信號(hào)的各正〔余〕弦信號(hào)的頻率比是有理數(shù)，那么就可以找到它們之間的公共周期，這些正〔余〕弦信號(hào)合成后仍為周期信號(hào)，因?yàn)榻?jīng)過公共周期后又會(huì)重演原來信號(hào)。1．準(zhǔn)周期信號(hào)6.3非周期信號(hào)及其頻譜6.3.1傅里葉積分但假設(shè)各正〔余〕弦信號(hào)的頻率比不是有理數(shù)，例如x(t)=sinω0t+sin2πω0t，各正〔余〕弦信號(hào)間找不到公共的周期，它們?cè)诤铣珊蟛豢赡芙?jīng)過某一周期重復(fù)，所以合成后不可能是一個(gè)周期信號(hào)。但是這樣的一種信號(hào)在頻域表達(dá)上卻是離散頻譜，這種信號(hào)稱為準(zhǔn)周期信號(hào)。在工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，不同的相互獨(dú)立振源對(duì)某對(duì)象的激振而形成的振動(dòng)往往是屬于這一類的信號(hào)。2．瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜瞬變非周期信號(hào)是指除準(zhǔn)周期信號(hào)以外的非周期信號(hào)。通常所說的非周期信號(hào)就是指這種信號(hào)。常見的瞬變非周期信號(hào)如以下圖所示。但假設(shè)各正〔余〕弦信號(hào)的頻率比不是有理數(shù)，例根據(jù)定義，非周期信號(hào)不能按傅里葉級(jí)數(shù)分解成許多正〔余〕弦諧波之和。但為了了解其頻域描述，可以通過援引周期信號(hào)的方法加以解決，即將一非周期信號(hào)仍當(dāng)作周期信號(hào)處理，認(rèn)為其周期趨于無窮大。如設(shè)

x(t)為周期信號(hào)，其頻譜應(yīng)為離散的。當(dāng)認(rèn)為

x(t)的周期趨于無窮大時(shí)，則該信號(hào)即成為非周期信號(hào)。從頻譜圖可以看出，周期信號(hào)頻譜譜線的頻率間隔Δω=ω0=2π/T，當(dāng)周期

T趨于無窮大時(shí)，其頻率間隔趨于無窮小，所以非周期信號(hào)的頻譜應(yīng)該是連續(xù)的。如周期信號(hào)

x(t)在

(-

T/2，T/2)區(qū)間內(nèi)，傅里葉展開式為其中根據(jù)定義，非周期信號(hào)不能按傅里葉級(jí)數(shù)分解成許將

Cn

代入上式，得

式中，n取整數(shù)0，±1，±2，…，因而各諧波頻率

nω0只能取離散值；相鄰諧波譜線間的頻率增量

Δω=(n+1)ω0－nω0=ω0=2π/T，于是上式可寫成將Cn代入上式，得式中，當(dāng)信號(hào)的周期T不斷增大時(shí)，譜線間的頻率增量Δω不斷減小，即譜線變得愈來愈密。假設(shè)T→∞，那么Δω→0，原來只能取離散值的諧波頻率nω0變?yōu)榭蛇B續(xù)取值的連續(xù)變量ω0。不僅如此，而且原來在頻譜圖上代表諧波幅值的譜線高度的含義也發(fā)生了本質(zhì)的變化。在數(shù)學(xué)上，

T→∞就意味著上式中

∑→∫，Δω→dω

，

，于是將

ω=2πf代入上式得當(dāng)信號(hào)的周期T不斷增大時(shí)，譜線間的頻率增這樣就防止了在傅里葉變換中出現(xiàn)的常數(shù)因子，使公式簡(jiǎn)化。式稱為傅里葉積分，其存在條件為：〔1〕在有限區(qū)間上滿足狄里赫條件；〔2〕積分收斂，即在無限區(qū)間上絕對(duì)可積。周期信號(hào)可以通過傅里葉級(jí)數(shù)分解成為無限多項(xiàng)諧波的代數(shù)和。與此類似，非周期信號(hào)那么可通過傅里葉積分“分解〞成“無限多項(xiàng)諧波〞的積分和。從所起的作用看，傅里葉積分與傅里葉級(jí)數(shù)類似。這樣就防止了在傅里葉變換中出現(xiàn)的常數(shù)因子，6.3.2傅里葉變換與非周期信號(hào)的頻譜在式

括號(hào)里的積分中，t是積分變量，因此積分的結(jié)果是一個(gè)以頻率f為自變量的函數(shù)，記作

此式稱為函數(shù)

x(t)的傅里葉變換（FT）。傅里葉變換是把時(shí)域函數(shù)

x(t)變換為頻域函數(shù)

X(f)的橋梁，其功能與式

類似，只是

中的自變量

只能跳變?nèi)‰x散值，而

中

可連續(xù)取值。

6.3.2傅里葉變換與非周期信號(hào)的頻譜在傅里葉級(jí)數(shù)是離散的疊加，其諧波中存在著一個(gè)根本頻率ω0，其余頻率是ω0的整數(shù)倍，所以疊加的結(jié)果是一個(gè)周期為T(T=2π/ω0)的信號(hào)。而傅里葉變換那么是“連續(xù)的疊加〞，雖然疊加的每一項(xiàng)X(f)ej2πftdf都可看作周期函數(shù)〔周期為1/f〕，但不存在什么根本頻率，因而疊加的結(jié)果必然是非周期信號(hào)。傅里葉反變換（IFT）公式為它把經(jīng)過傅里葉變換后得到的頻域

再變成時(shí)域函數(shù)。由此可知，傅里葉變換與傅里葉反變換構(gòu)成一對(duì)傅里葉變換對(duì)，即傅里葉級(jí)數(shù)是離散的疊加，其諧波中存在著一個(gè)根更為重要的是，

X(f)ej2πftdf是一個(gè)無窮小量，它表示非周期信號(hào)

x(t)在頻率等于f處的諧波分量的幅值趨近于零。只有在一定的頻帶內(nèi)，該諧波分量才具有一定的大小。由此可知，非周期信號(hào)

x(t)的傅里葉變換

X(f)本身并不能代表諧波分量的幅值，只有在一定頻帶內(nèi)對(duì)頻率f積分后才含有幅值意義。從量綱上看，

X(f)df具有幅值的量綱，而

那么具有幅值/頻率的量綱，或稱單位頻率上的幅值，即有分布密度的含義，故稱X(f)為信號(hào)x(t)的頻譜密度。由此看來，非周期信號(hào)的頻譜具有兩大特點(diǎn)：連續(xù)性和密度性。因此，非周期信號(hào)的頻譜應(yīng)叫頻譜密度，不過習(xí)慣上仍稱頻譜。更為重要的是，X(f)ej2πftdf是周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)。非周期信號(hào)

x(t)的傅里葉變換

X(f)是一個(gè)以實(shí)變量f為自變量的復(fù)變函數(shù)，它可表示為由于所以

X(f)與X(-f)是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，其模相等。因此

X(f)–f曲線對(duì)稱于縱軸，如圖(a)所示，并稱為雙邊譜。為了在工程上應(yīng)用方便，把負(fù)頻率半邊的譜圖折算到正頻率半邊而得到單邊譜，如圖(b)所示，此時(shí)的譜圖高度為雙邊譜的2倍。

（a）雙邊譜（b）單邊譜圖(b)中的陰影面積〔即幅值譜密度在Δf區(qū)間上的積分〕表示非周期信號(hào)的Δf頻帶上的諧波分量的幅值，而頻率恰好等于fn的諧波分量幅值為零。可見非周期信號(hào)的諧波分量是依一定密度分散在0~∞的連續(xù)頻帶內(nèi)的，而周期信號(hào)的諧波分量那么是依一定規(guī)律集中在一些離散的頻率上。周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)。非周期信號(hào)例6-3求以下圖所示的單個(gè)矩形脈沖的頻譜，其中單個(gè)矩形脈沖

解

：u(t)設(shè)

的傅里葉變換為U(f)

，由傅里葉變換的定義得相應(yīng)的頻譜如右圖所示。頻譜例6-3求以下圖所示的單個(gè)矩形脈沖的頻譜6.3.3傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換是信號(hào)分析及處理中進(jìn)行時(shí)間域和頻率域之間變換的一種根本數(shù)學(xué)工具。當(dāng)信號(hào)在時(shí)間域中的變化規(guī)律改變后，其在頻率域中的變化規(guī)律也會(huì)對(duì)應(yīng)改變；同樣，當(dāng)信號(hào)在頻率域中的變化規(guī)律改變后，其在時(shí)間域中的變化規(guī)律也會(huì)對(duì)應(yīng)改變。這種改變的對(duì)應(yīng)關(guān)系表達(dá)在傅里葉變換的性質(zhì)中。傅里葉變換的主要性質(zhì)有：奇偶虛實(shí)性、線性疊加性、對(duì)稱性、時(shí)移性、頻移性、尺度改變性、卷積定理、微分特性和積分特性等。6.3.3傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換是信性質(zhì)時(shí)域頻域奇偶虛實(shí)性實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)實(shí)奇函數(shù)虛實(shí)函數(shù)虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)虛奇函數(shù)實(shí)奇函數(shù)線性疊加對(duì)稱尺度改變時(shí)移頻移翻轉(zhuǎn)共軛時(shí)域卷積頻域卷積時(shí)域微分頻域微分積分傅里葉變換的主要性質(zhì)性質(zhì)時(shí)域頻域奇偶虛實(shí)性實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)實(shí)奇函數(shù)虛實(shí)函數(shù)虛偶函6.3.4幾種特殊信號(hào)的頻譜1．矩形窗函數(shù)及頻譜一個(gè)在時(shí)域有限區(qū)間有值的信號(hào)，其頻譜卻延伸至無限頻率。在時(shí)域中，假設(shè)截取信號(hào)的一段記錄長(zhǎng)度，那么相當(dāng)于原信號(hào)和矩形窗函數(shù)乘積，根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積特性，所得信號(hào)的頻譜將是原信號(hào)頻譜函數(shù)和函數(shù)的卷積，它將是連續(xù)的且頻率無限延伸的頻譜。6.3.4幾種特殊信號(hào)的頻譜1．矩形窗函數(shù)及頻譜2．單位脈沖函數(shù)〔δ函數(shù)〕及頻譜〔1〕δ函數(shù)的定義在數(shù)學(xué)上，如果函數(shù)sε(t)僅在區(qū)間[0，ε]上具有脈沖樣圖形〔矩形脈沖、三角形脈沖等〕，并且此圖形與t軸圍成的面積為1，如右圖所示，那么當(dāng)脈沖寬度ε→0時(shí)，函數(shù)sε(t)的極限稱為δ函數(shù)。根據(jù)函數(shù)的定義不難看出

δ函數(shù)有如下特點(diǎn)：2．單位脈沖函數(shù)〔δ函數(shù)〕及頻譜在數(shù)學(xué)上在工程上，常將δ函數(shù)用一個(gè)高度等于1的有向線段來表示，如以下圖所示，這個(gè)線段的高度表示δ函數(shù)的積分，亦稱δ函數(shù)的強(qiáng)度〔并非幅度值〕。用這種方法表示的δ函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。在工程上，常將δ函數(shù)用一個(gè)高度等于1的有〔2〕δ函數(shù)的采樣性質(zhì)若

x(t)為一時(shí)域連續(xù)信號(hào)，則乘積

δ(t)x(t)僅在

t=0處得到

δ(t)x(0)，其余均為零，于是可見

δ(t)與

x(t)相乘后積分，其作用就是取出了信號(hào)

x(t)在t=0時(shí)刻的一個(gè)值，

x(0)為一個(gè)采樣點(diǎn)。同樣，對(duì)有延時(shí)的

δ函數(shù)δ(t-t0)

，其值僅在

t=t0時(shí)刻才不為零，于是此時(shí)，得到了

x(t)在

t=t0時(shí)刻的一個(gè)采樣點(diǎn)

x(t0)。在工程上，利用單位脈沖函數(shù)的概念，可將采樣過程看成是信號(hào)與單位脈沖函數(shù)的簡(jiǎn)單乘積。〔2〕δ函數(shù)的采樣性質(zhì)若x(t)為一〔3〕δ函數(shù)的頻譜可見，時(shí)域的脈沖信號(hào)具有無限寬廣的頻譜，而且各頻率上的信號(hào)強(qiáng)度都相等。在信號(hào)的檢測(cè)中，一般爆發(fā)電火花的地方〔如雷電、火花塞等〕都會(huì)對(duì)測(cè)試系統(tǒng)產(chǎn)生嚴(yán)重干擾，這是因?yàn)榧饷}沖〔類似函數(shù)，能量均勻地分布在的頻帶內(nèi)〕的高頻局部以射頻形式發(fā)射出來，對(duì)測(cè)試系統(tǒng)形成干擾的緣故。但凡頻譜為常數(shù)的信號(hào)俗稱白噪聲。“白〞是由白色光引申而來，意即白色的光譜頻率豐富。脈沖就是一種理想的白噪聲。將

δ函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換，即可得到其頻譜函數(shù)，即

根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱性、時(shí)移性和頻移性等，可得到下列傅里葉變換對(duì):〔3〕δ函數(shù)的頻譜可見，時(shí)域的脈沖信號(hào)〔4〕δ函數(shù)與其他函數(shù)的卷積在函數(shù)卷積運(yùn)算中，若其中有一個(gè)函數(shù)是δ

函數(shù)，則運(yùn)算極為簡(jiǎn)便。例如，若U(f)

為右圖所示矩形函數(shù)，(f)=

△(f-fs)+△(f+fs)為在頻率軸上的兩個(gè)單位脈沖函數(shù)，則其卷積根據(jù)

δ函數(shù)的采樣性質(zhì):所以由此得出一個(gè)重要結(jié)論：任意函數(shù)和

δ函數(shù)的卷積，就是簡(jiǎn)單地將該函數(shù)在自己的橫軸上平移到

δ函數(shù)所對(duì)應(yīng)的位置。此結(jié)論對(duì)時(shí)域函數(shù)同樣適用。〔4〕δ函數(shù)與其他函數(shù)的卷積在函數(shù)卷積3．周期性單位脈沖序列及頻譜等間隔周期性單位脈沖序列的周期為

Ts，如右圖所示。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

周期單位脈沖序列若用傅里葉級(jí)數(shù)表示，則所以3．周期性單位脈沖序列及頻譜等間隔周期性單位由以下圖所示的頻譜圖可以看出，時(shí)域中周期為Ts的脈沖序列在頻域中仍是周期為1/Ts的脈沖序列，其幅值為時(shí)域中脈沖幅值的1/Ts倍。

根據(jù)傅里葉變換對(duì)并對(duì)兩端取傅里葉變換，即得

δn(t)的頻譜頻譜由以下圖所示的頻譜圖可以看出，時(shí)域中周期為用計(jì)算機(jī)進(jìn)行信號(hào)分析時(shí)，首先要將連續(xù)的模擬信號(hào)x(t)

變?yōu)橐贿B串離散的時(shí)間序列。以數(shù)字量的形式存入到一個(gè)個(gè)內(nèi)存單元中，然后進(jìn)行各種計(jì)算。為了實(shí)現(xiàn)這一過程，可先用

δn(t)與連續(xù)信號(hào)

x(t)相乘。根據(jù)

δ函數(shù)的采樣性質(zhì)可知，相乘后便得到一離散的時(shí)間序列。由此看來，周期性單位脈沖序列δn(t)

在數(shù)學(xué)上具有采樣功能，因此又稱采樣函數(shù)。相應(yīng)地，

Ts

稱采樣間隔，也稱采樣周期，其倒數(shù)1/Ts=fs

稱采樣頻率。用計(jì)算機(jī)進(jìn)行信號(hào)分析時(shí)，首先要將連續(xù)的模擬4．正〔余〕弦函數(shù)及頻譜由于正〔余〕弦函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，因此不能直接應(yīng)用傅里葉積分變換式，而需在傅里葉變換時(shí)引入δ函數(shù)。根據(jù)歐拉公式，正（余）弦函數(shù)可寫成4．正〔余〕弦函數(shù)及頻譜由于正〔余〕弦函數(shù)不由傅里葉變換對(duì)即可求得正、余弦函數(shù)的傅里葉變換，如下圖所示。由傅里葉變換對(duì)即可求得正、余弦函數(shù)的傅里葉變6.4數(shù)字信號(hào)分析與處理6.2.1信號(hào)的數(shù)字化數(shù)字處理的特點(diǎn)是處理離散數(shù)據(jù)，因此首先要把連續(xù)信號(hào)采樣成離散的時(shí)間序列。由于傳感器所測(cè)試的大多數(shù)物理過程本質(zhì)上仍是連續(xù)的，所以總是有一個(gè)采樣過程。這一過程把連續(xù)信號(hào)改變成等間隔的離散時(shí)間序列，其幅值也經(jīng)過量化。

此外，數(shù)字計(jì)算機(jī)不管怎樣快速，其容量和計(jì)算速度畢竟有限，因而處理的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度是有限的，信號(hào)必須要經(jīng)過截?cái)啵@樣數(shù)字信號(hào)處理就必然引入一些誤差。大局部傳感器的輸出信號(hào)都是隨時(shí)間連續(xù)變化的模擬電量，假設(shè)要采用數(shù)字式處理，那么需要將連續(xù)模擬量轉(zhuǎn)換成離散數(shù)字量，這可利用模/數(shù)轉(zhuǎn)換裝置〔A/D轉(zhuǎn)換器〕來實(shí)現(xiàn)。6.4數(shù)字信號(hào)分析與處理6.2.1信號(hào)的數(shù)字化數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的簡(jiǎn)單框圖，如以下圖所示。

A/D轉(zhuǎn)換器的輸入量為模擬信號(hào)A和模擬參考信號(hào)R，而輸出量是數(shù)字編碼信號(hào)D（一般是按二進(jìn)制編碼）。A、R和D之間的關(guān)系可表示為式中的恒等式和中括號(hào)的含義是：在數(shù)字能夠表示的最精確的范圍內(nèi)，D是最接近A/R的值。A/D轉(zhuǎn)換的實(shí)現(xiàn)要經(jīng)過采樣、量化和編碼三個(gè)過程。數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的簡(jiǎn)單框圖，如以下圖所示。1．采樣采樣就是將連續(xù)變化的模擬信號(hào)離散化的過程。若將一個(gè)模擬信號(hào)x(t)和一個(gè)等間隔的脈沖序列

（

Ts是采樣間隔）相乘，由于

δ

函數(shù)的采樣性質(zhì)，相乘以后只有在

t=nTs

處有值。因此，采樣后得到如圖（c）所示的一系列在時(shí)間上離散的信號(hào)序列

x(nTs

)，

n=0，1，2…模擬信號(hào)采樣脈沖離散信號(hào)信號(hào)的量化信號(hào)的編碼采樣定理指出：一個(gè)連續(xù)的摸擬波形，假設(shè)它的最高頻率分量為fm，那么當(dāng)采樣頻率fs≥2fm時(shí)，采樣后的信號(hào)可以無失真地恢復(fù)成原來的連續(xù)信號(hào)。1．采樣采樣就是將連續(xù)變化的模擬信號(hào)離散化的2．量化量化過程就是把采樣取得的各點(diǎn)上的幅值與一組離散電平值比較，以最接近于采樣幅值的電平值代替該幅值，并使每一個(gè)離散電平值對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)字量，如圖〔d〕所示。假設(shè)兩相鄰量化電平之間的增量為，那么量化誤差最大為，由此可見，在量化過程中相鄰量化電平之間的增量越小〔供比較的離散電平值的數(shù)量越多〕，誤差越小。數(shù)字信號(hào)只能以有限的字長(zhǎng)表示其幅值，對(duì)于小于末位數(shù)字所代表的幅值局部只能采取“舍〞或“入〞的方法。模擬信號(hào)采樣脈沖離散信號(hào)信號(hào)的量化信號(hào)的編碼2．量化量化過程就是把采樣取得的各點(diǎn)上的幅值3．編碼編碼過程是把已量化的數(shù)字量用一定的代碼表示并輸出，通常采用二進(jìn)制代碼。經(jīng)過編碼之后，信號(hào)的每個(gè)采樣值對(duì)應(yīng)一組代碼，如圖〔e〕所示。模擬信號(hào)采樣脈沖離散信號(hào)信號(hào)的量化信號(hào)的編碼3．編碼編碼過程是把已量化的數(shù)字量用一定的代6.4.2離散傅里葉變換〔DFT〕數(shù)字計(jì)算機(jī)不能對(duì)一個(gè)連續(xù)的模擬信號(hào)進(jìn)行處理。其原因是：第一，數(shù)字計(jì)算機(jī)僅能處理離散數(shù)據(jù)；第二，計(jì)算機(jī)的內(nèi)存容量總是有限的，它不能存放無限多的采樣數(shù)據(jù)。因此“數(shù)值離散〞和“點(diǎn)數(shù)有限〞是使用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換的兩大特點(diǎn)，為了區(qū)別常見的傅里葉變換，我們稱之為離散傅里葉變換。6.4.2離散傅里葉變換〔DFT〕數(shù)字計(jì)圖〔a〕所示的是某一連續(xù)信號(hào)x(t)及其傅里葉變換X(f)。將x(t)乘以圖〔b〕所示的采樣函數(shù)δn(t)，得到一無限的離散函數(shù)x1(t)=x(t)δn(t)〔見〔c〕圖〕。根據(jù)卷積定理〔時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)于頻域的卷積〕可知，x1(t)的傅里葉變換X1(f)=X(f)*△n(f)。而函數(shù)與δ函數(shù)的卷積就是把該函數(shù)簡(jiǎn)單地平移到δ函數(shù)所對(duì)應(yīng)的位置，于是得到圖〔c〕，比較X1(f)與X(f)可知，時(shí)域函數(shù)的離散導(dǎo)致頻域圖形的周期化。這是離散傅里葉變換引入的第一次誤差。（a）模擬信號(hào)及其傅里葉變換（b）采樣信號(hào)及其傅里葉變換

（c）離散信號(hào)及其傅里葉變換圖〔a〕所示的是某一連續(xù)信號(hào)x(t)及其傅至此，采樣后的函數(shù)x1(t)仍有無限個(gè)離散點(diǎn)，而計(jì)算機(jī)只能接受有限個(gè)點(diǎn)，因此要對(duì)x1(t)進(jìn)行時(shí)域截?cái)?，取出N個(gè)有限點(diǎn)。這在數(shù)學(xué)上可理解為用一高度為1的矩形函數(shù)u(t)〔見〔d〕圖〕乘以x1(t)，由于u(t)的作用相當(dāng)于一個(gè)窗戶，故稱窗函數(shù)。T為截?cái)嚅L(zhǎng)度，即采樣時(shí)間。截?cái)嗪蟮男盘?hào)為x2(t)=x1(t)*u(t)〔見〔e〕圖〕，其傅里葉變換X2(f)仍利用頻域的卷積X1(f)*U(f)進(jìn)行計(jì)算。卷積的結(jié)果使得在X1(f)的根底上出現(xiàn)許多皺波〔Ripple〕，即與截?cái)嗲靶盘?hào)的頻譜不同了，這說明信號(hào)所包含的能量也發(fā)生了變化，我們稱此種現(xiàn)象為泄漏。（d）矩形函數(shù)及其傅里葉變換（e）矩形函數(shù)采樣信號(hào)及其傅里葉變換泄漏是由于窗函數(shù)u(t)的頻譜U(f)有許多旁瓣而引起的〔見圖(d)〕，中間的主峰叫做主瓣，在主峰兩側(cè)出現(xiàn)的一系列小峰叫旁瓣，所以把窗函數(shù)的頻譜出現(xiàn)旁瓣的現(xiàn)象稱為泄漏。如果增加采樣時(shí)間T，那么U(f)將變窄變高，泄漏就隨之減小。當(dāng)T→∞〔即不施行時(shí)域截?cái)唷硶r(shí)，U(f)變?yōu)棣暮瘮?shù)，皺波便完全消失?？梢姇r(shí)域函數(shù)的截?cái)嗫蓪?dǎo)致頻域函數(shù)出現(xiàn)皺波，這是離散傅里葉變換引入的第二次誤差。至此，采樣后的函數(shù)x1(t)仍有無限個(gè)離圖〔e〕中的傅里葉變換對(duì)、頻域函數(shù)X2(f)仍不是計(jì)算機(jī)能接受的離散函數(shù)，因此還須乘以頻域采樣函數(shù)△k(f)〔見圖〔f〕〕，得到X3(f)=X2(f)△k(f)〔見圖〔g〕〕。根據(jù)卷積定理，X3(f)的傅里葉逆變換為x3(t)=x2(t)*δk(t)。至此，得到了如圖〔g〕所示的離散傅里葉變換對(duì)，它在時(shí)域和頻域都是用離散值表示的。（e）矩形函數(shù)采樣信號(hào)及其傅里葉變換

（f）頻域采樣函數(shù)及其傅里葉逆變換

（g）離散信號(hào)傅里葉變換圖〔e〕中的傅里葉變換對(duì)、頻域函數(shù)X2(在理解離散傅里葉變換時(shí)，特別要注意的是，時(shí)域上采樣的結(jié)果將得到頻率的周期函數(shù)；而頻域上采樣的結(jié)果將得到時(shí)間的周期函數(shù)。由此可知，離散傅里葉變換需要將原時(shí)間函數(shù)和頻率函數(shù)都修改成周期函數(shù)。不過在計(jì)算機(jī)中僅存儲(chǔ)了N個(gè)時(shí)域采樣值和N個(gè)頻域采樣值，它們分別表示時(shí)域波形和頻域波形的一個(gè)周期，并且近似于原來的連續(xù)傅里葉變換對(duì)。按照上述推演離散傅里葉變換的思路，可從理論上導(dǎo)出離散傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式在理解離散傅里葉變換時(shí)，特別要注意的是，時(shí)域

例6-3求序列x(n)

={1，2，1，0}當(dāng)N=4

時(shí)的離散傅里葉變換X(k)。

解：由式

知因此可得

x(t)的4點(diǎn)DFT：X(k)={4，-j2，0，j2}

。例6-3求序列x(n)={1，2，16.4.3數(shù)字化分析處理中的假設(shè)干問題1．頻率混淆時(shí)域的采樣引起了頻域的周期化。這時(shí)如果采樣頻率fs選得足夠高，那么頻域各周期的圖形不會(huì)發(fā)生重疊。與此同時(shí)，在應(yīng)用中僅取[-fs/2，fs/2]〔雙邊譜〕或僅取[0，fs/2]〔單邊譜〕進(jìn)行分析，其余各周期不予理會(huì)，那么頻域周期化所帶來的誤差就可能完全防止。在工程上，稱采樣頻率的一半fn=fs/2為奈奎斯特頻率或截止頻率。如果由于原信號(hào)頻帶很寬或采樣頻率fs選得太低，那么頻域中相鄰周期的波形就會(huì)發(fā)生重疊，從而引起誤差，如以下圖所示。這種現(xiàn)象稱頻率混淆，簡(jiǎn)稱頻混?；殳B現(xiàn)象6.4.3數(shù)字化分析處理中的假設(shè)干問題1．頻率混淆2．采樣頻率及頻率分辨力

由采樣定理可知：對(duì)于一個(gè)頻率為

0~fm的有限帶寬連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，只有當(dāng)采樣頻率fs

≥2fm

時(shí)，其離散傅里葉變換才不發(fā)生頻率混淆，因而只有用這樣采樣的點(diǎn)才能得到離散信號(hào)的頻譜，同時(shí)也只有用這樣采樣的點(diǎn)才能夠完全恢復(fù)原時(shí)域信號(hào)的連續(xù)波形

x(t)，不過此時(shí)要借助插值公式來求出采樣點(diǎn)以外的其他點(diǎn)。2．采樣頻率及頻率分辨力由采樣定理可知：對(duì)于采樣定理要求

fs

≥2fm

，但采樣頻率

fs并非選得越高越好。由N個(gè)時(shí)域采樣點(diǎn)進(jìn)行離散傅里葉變換，得到N個(gè)頻域點(diǎn)，通常稱為N條譜線，對(duì)應(yīng)的頻率范圍為[-fs/2，fs/2]，因此相鄰譜線的頻率增量為可見當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N

一定時(shí)，采樣頻率

fs

越高，頻率增量越大，頻率分辨力越低。因此，在滿足采樣定理的前提下，采樣頻率不應(yīng)選得過高，一般取

fs=(2~3)fm就夠了。由上式可以看出，采樣頻率fs選定后，要想提高頻率分辨力，就要增加采樣點(diǎn)數(shù)N，這就意味著要增加采樣時(shí)間，多占計(jì)算機(jī)內(nèi)存容量和延長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間。為解決此矛盾，可采用小波變換等現(xiàn)代信號(hào)分析處理方法。小波變換具有多分辨率的特點(diǎn)，可以按粗細(xì)不同的尺度觀察信號(hào)，對(duì)頻率信號(hào)的分析采用不同的分辨率，彌補(bǔ)了常規(guī)分析方法的缺乏。采樣定理要求fs≥2fm，但采樣頻3．頻率混淆FFT算法要求采樣點(diǎn)數(shù)N必須是2的正整數(shù)次冪，因此采樣點(diǎn)數(shù)N必須選用為N=2P〔P為正整數(shù)〕，還常取P=9~11，采樣點(diǎn)數(shù)取得過多那么計(jì)算時(shí)間太長(zhǎng)。

FFT算法將DFT算法的計(jì)算速度提高到原來的

N/log2N

倍，使傅里葉變換可以在很短的時(shí)間內(nèi)完成。目前已有很多關(guān)于離散傅里葉變換的硬件、軟件及專用機(jī)可供使用。3．頻率混淆FFT算法要求采樣點(diǎn)數(shù)N必4．窗函數(shù)、截?cái)嗪托孤┙財(cái)嗑褪菍o限長(zhǎng)的信號(hào)乘以有限寬的窗函數(shù)?！按皑暤囊馑际侵竿高^窗口能夠“看到‘外景〔信號(hào)〕’〞的一局部。最簡(jiǎn)單的窗是矩形窗，如以下圖所示，其函數(shù)為函數(shù)式矩形窗4．窗函數(shù)、截?cái)嗪托孤┙財(cái)嗑褪菍o限長(zhǎng)的信號(hào)矩形窗的頻譜函數(shù)為

對(duì)信號(hào)截取一段(-T，T)，就相當(dāng)于在時(shí)域中

x(t)乘以矩形窗函數(shù)

ω(t)，于是有由于ω(t)是一個(gè)頻帶無限的函數(shù)，所以即使x(t)是限帶信號(hào)，而在截?cái)嘁院笠脖仨毘蔀闊o限帶寬的函數(shù)，這說明信號(hào)的能量分布擴(kuò)展了。又從上面的討論可知，無論采樣頻率多高，只要信號(hào)一經(jīng)截?cái)嗑筒豢煞乐沟貙?dǎo)致一些誤差，這一現(xiàn)象稱為泄漏。矩形窗的頻譜函數(shù)為由于ω如果增大截?cái)嚅L(zhǎng)度，那么W(f)圖形將壓縮變窄，雖然在理論上其頻譜范圍仍為無窮寬，但實(shí)際上中心頻率以外的頻率分量衰減較快，因而泄漏誤差將減小。當(dāng)T趨于無限大時(shí)，那么W(f)將變?yōu)椤?f)函數(shù)，而△(f)函數(shù)與X(f)的卷積仍為X(f)。這就說明如果不截?cái)?，就沒有泄漏誤差。一個(gè)時(shí)域信號(hào)愈是變化劇烈〔即愈含有脈沖性突變或階躍性突變〕，其頻率成分越豐富。泄漏與窗函數(shù)頻譜的旁瓣有關(guān)。矩形窗函數(shù)頻域中的旁瓣就是由于窗兩端的階躍性突變所致。因此，只要選擇兩端比較平滑的窗函數(shù)，便能減少泄漏誤差。根據(jù)這一原理，人們提出了許多實(shí)用的窗函數(shù)，如漢寧窗、哈明窗、高斯窗、三角窗等，如以下圖所示。如果增大截?cái)嚅L(zhǎng)度，那么W(f)圖形將壓縮變（a）漢寧窗

（b）哈明窗

（c）高斯窗

（d）三角窗①如果要分析信號(hào)中那些幅值很小的頻率成分〔即次要的頻率成分〕，那么不能用矩形窗，應(yīng)該用泄漏最小的高斯窗。②如果僅僅分析信號(hào)的主要頻率成份，而不考查頻譜的細(xì)微結(jié)構(gòu)，那么可用計(jì)算最為簡(jiǎn)單的矩形窗。③如果要兩者兼顧，那么可用漢寧窗或哈明窗，而哈明窗的應(yīng)用最為廣泛。比較這五種窗，矩形窗旁瓣最高但主瓣最窄，高斯窗旁瓣最低但主瓣卻最寬，最理想的窗函數(shù)應(yīng)該是主瓣窗窄而旁瓣低。因此在處理數(shù)據(jù)時(shí)，要根據(jù)具體要求來選擇窗函數(shù)。一般來說應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

注意：一需要指出的是，除了矩形窗外，其他窗在對(duì)時(shí)域函數(shù)截?cái)嗟耐瑫r(shí)，還對(duì)時(shí)域函數(shù)的幅值有影響，導(dǎo)致頻域函數(shù)幅值下降，因而要乘以一個(gè)修正系數(shù)進(jìn)行修正，這點(diǎn)在計(jì)算時(shí)要特別注意。（a）漢寧窗（b）哈明窗5．平均化處理離散傅里葉變換是連續(xù)傅里葉變換的一種近似。對(duì)信號(hào)進(jìn)行截?cái)喾治觯脭?shù)學(xué)的語(yǔ)言來說就是抽出總體信號(hào)的一個(gè)樣本進(jìn)行分析。如果多抽出一些樣本進(jìn)行離散傅里葉變換，最后取其平均值，必然會(huì)抵消一些隨機(jī)誤差而獲得較高精度，這種方法稱為平均化。平均化處理在數(shù)據(jù)處理中得到了廣泛的應(yīng)用，具體做法是先把足夠多的點(diǎn)數(shù)采入計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)器，然后一段接一段地進(jìn)行分析，最后取平均。假設(shè)總點(diǎn)數(shù)不夠，取用時(shí)可在各段之間交叉，使同一數(shù)據(jù)能夠多段重復(fù)使用。5．平均化處理離散傅里葉變換是連續(xù)傅里葉變換6.4.4快速傅里葉變換〔FFT〕快速傅里葉變換〔FFT〕是離散傅里葉變換〔DFT〕的快速算法，它在確定DFT的系數(shù)時(shí)使所要求的乘法及加法次數(shù)減少。FFT的算法有很多種，其中大多數(shù)已編制了程序，從而使應(yīng)用于數(shù)字頻譜分析、濾波器模擬及相關(guān)領(lǐng)域的計(jì)算技術(shù)產(chǎn)生了較大的開展。FFT算法的實(shí)質(zhì)就是把一個(gè)長(zhǎng)數(shù)據(jù)序列x(n)經(jīng)屢次分選抽取，最終分割成n/2個(gè)，每個(gè)有兩個(gè)數(shù)據(jù)的序列作DFT計(jì)算，分別算出分割后比較短的子序列的頻譜，然后按一定的規(guī)那么組合，即可得到整個(gè)序列x(n)的頻譜。6.4.4快速傅里葉變換〔FFT〕快速例如，有一數(shù)據(jù)序列

｛x(n)｝，n=0，1，2，…，N-1

，如下圖所示（N=8）。將序列｛x(n)｝按偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)經(jīng)一次抽取，組合成兩個(gè)較短的半序列｛y(n)｝和｛z(n)｝，

其中（a）原始序列

｛x(n)｝

（b）半序列｛y(n)｝

（c）半序列｛z(n)｝

如果原序列｛x(n)｝的總項(xiàng)數(shù)N=2P，那么可以把它分割成兩個(gè)半序列，半序列｛y(n)｝和｛z(n)｝又可以分成4個(gè)1/4序列，然后再分成8個(gè)1/8序列，直到最后每個(gè)序列只剩下兩項(xiàng)為止。這樣，只需對(duì)只有兩項(xiàng)的“序列〞求DFT，然后應(yīng)用上式逐步“合并〞，最終可求得原序列的DFT。按FFT算法邏輯步驟，編好程序用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。例如，有一數(shù)據(jù)序列｛x(n)｝，n=0，16.5

隨機(jī)信號(hào)分析與處理6.5.1根本概念隨機(jī)信號(hào)的描述必須用概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法。對(duì)隨機(jī)信號(hào)按時(shí)間歷程所作的各次長(zhǎng)時(shí)間觀測(cè)記錄稱為樣本函數(shù)，記作

x(t)，如右圖所示。

隨機(jī)信號(hào)是非確定性信號(hào)，它不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述，不能預(yù)測(cè)它未來任何瞬時(shí)的精確值，任一次觀測(cè)值只代表在其變動(dòng)范圍內(nèi)可能產(chǎn)生的結(jié)果之一，但其值的變動(dòng)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。1．隨機(jī)過程6.5隨機(jī)信號(hào)分析與處理6.5.1根本概念在有限時(shí)間區(qū)間上的樣本函數(shù)稱為樣本記錄。在同一試驗(yàn)條件下，全部樣本函數(shù)的集合（總體）就是隨機(jī)過程，以

x(t)表示，即隨機(jī)過程的根本特性可以從幅值域、時(shí)差域和頻率域進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，主要的統(tǒng)計(jì)參數(shù)有均值、方差、均方值、概率密度函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)、功率譜密度函數(shù)和互譜密度函數(shù)等。其中有些統(tǒng)計(jì)參數(shù)用于描述單個(gè)隨機(jī)信號(hào)的數(shù)據(jù)特性，有些統(tǒng)計(jì)參數(shù)用于描述兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)信號(hào)的聯(lián)合特性。在有限時(shí)間區(qū)間上的樣本函數(shù)稱為樣本記錄。在同隨機(jī)過程的各種平均值〔均值、方差、均方值和均方根值等〕是按集合平均來計(jì)算的。集合平均的計(jì)算不是沿某單個(gè)樣本的時(shí)間軸進(jìn)行，而是在集合中的某時(shí)刻對(duì)所有樣本函數(shù)的觀測(cè)值取平均。為了與集合平均相區(qū)別，稱按單個(gè)樣本的時(shí)間歷程進(jìn)行平均的計(jì)算為時(shí)間平均。平穩(wěn)隨機(jī)過程非平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程隨機(jī)過程的各種平均值〔均值、方差、均方值和2．平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程就是統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)不隨時(shí)間變化而改變的隨機(jī)過程。例如，對(duì)某一隨機(jī)過程的全部樣本函數(shù)的集合選取不同的時(shí)間t進(jìn)行計(jì)算，得出的統(tǒng)計(jì)參數(shù)都相同，那么稱這樣的隨機(jī)過程為平穩(wěn)隨機(jī)過程，否那么就是非平穩(wěn)隨機(jī)過程。3．平穩(wěn)隨機(jī)過程假設(shè)從平穩(wěn)隨機(jī)過程中任取一樣本函數(shù)，如果該單一樣本在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的平均統(tǒng)計(jì)參數(shù)〔時(shí)間平均〕和所有樣本函數(shù)在某一時(shí)刻的平均統(tǒng)計(jì)參數(shù)〔集合平均〕是一致的，那么稱這樣的平穩(wěn)隨機(jī)過程為各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程。顯然，各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程，但是平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。2．平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程就是統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)大量事實(shí)證明，一般工程上遇到的平穩(wěn)隨機(jī)過程大多數(shù)是各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程。雖然有的不一定是嚴(yán)格的各態(tài)歷經(jīng)過程，但在精度許可的范圍內(nèi)，也可以當(dāng)作各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程來處理。事實(shí)上，一般的隨機(jī)過程需要足夠多的樣本〔理論上應(yīng)為無限多〕才能描述它，而要進(jìn)行大量的觀測(cè)來獲取足夠多的樣本函數(shù)是非常困難或做不到的。在測(cè)試工作中常以一個(gè)或幾個(gè)有限長(zhǎng)度的樣本記錄來推斷整個(gè)隨機(jī)過程，以其時(shí)間平均來估計(jì)集合平均。各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程是隨機(jī)過程中比較重要的一種，因?yàn)楦鶕?jù)單個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均可以描述整個(gè)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，從而簡(jiǎn)化了信號(hào)的分析和處理，但是要判斷隨機(jī)過程是否各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程是相當(dāng)困難的。一般的做法是，先假定平穩(wěn)隨機(jī)過程是各態(tài)歷經(jīng)的，然后再根據(jù)測(cè)定的特性返回到實(shí)際中分析和檢驗(yàn)原假定是否合理。大量事實(shí)證明，一般工程上遇到的平穩(wěn)隨機(jī)過程大6.5.2各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)參數(shù)1．均值、方差、均方值在實(shí)際的測(cè)試工作中，要獲取觀測(cè)時(shí)間T為無限長(zhǎng)的樣本函數(shù)是不可能的，常用有限的長(zhǎng)度樣本記錄來代替，這樣計(jì)算的均值稱為估計(jì)值，以加注“∧〞來區(qū)分。

（1）均值。均值是樣本記錄所有值的簡(jiǎn)單平均，反映了隨機(jī)信號(hào)的靜態(tài)分量（直流分量），即6.5.2各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)參數(shù)1．均值、方差、均方

（2）方差。方差用以描述隨機(jī)信號(hào)的動(dòng)態(tài)分量，其定義為

方差的大小反映了隨機(jī)變量對(duì)均值的離散程度，即代表了信號(hào)的動(dòng)態(tài)分量（交流分量），其正平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差。

（3）均方值。均方值描述了隨機(jī)信號(hào)的強(qiáng)度或平均功率，其正平方根稱為均方根值（或稱有效值）。均方值估計(jì)值為均值、方差和均方值之間有如下關(guān)系：（2）方差。方差用以描述隨機(jī)信號(hào)的動(dòng)態(tài)分量，其定義2．概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)是表示信號(hào)瞬時(shí)值落在某指定區(qū)間內(nèi)的概率。如下圖所示信號(hào)x(t)，其值落在區(qū)間(x，x＋△x)內(nèi)的時(shí)間為

（a）隨機(jī)信號(hào)

x(t)的時(shí)域波形（b）有隨機(jī)信號(hào)x(t)的概

率密度函數(shù)圖形2．概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)是表示信號(hào)瞬時(shí)值

當(dāng)樣本記錄時(shí)間T趨于無限大時(shí)，

Tx/T的比值就是幅值落在區(qū)間(x，x＋△x)內(nèi)的概率，即而概率密度函數(shù)定義為其估計(jì)值為當(dāng)樣本記錄時(shí)間T趨于無限大時(shí)，Tx/T概率密度函數(shù)反映了隨機(jī)信號(hào)幅值分布的規(guī)律。由于不同的隨機(jī)信號(hào)具有不同的概率密度函數(shù)圖形，故可根據(jù)它識(shí)別信號(hào)。以下圖所示為4種典型信號(hào)〔均值為零〕及其概率密度函數(shù)圖形。概率密度函數(shù)反映了隨機(jī)信號(hào)幅值分布的規(guī)律。由6.5.3相關(guān)分析1．相關(guān)所謂“相關(guān)〞是指變量之間的線性關(guān)系。對(duì)于確定性的信號(hào)來說，兩個(gè)變量之間可用函數(shù)關(guān)系來描述，兩者一一對(duì)應(yīng)并為確定的數(shù)值。兩個(gè)隨機(jī)變量之間就不具有這樣確定的關(guān)系，但如果這兩個(gè)變量之間具有某種內(nèi)涵的物理聯(lián)系，那么通過大量統(tǒng)計(jì)就能發(fā)現(xiàn)它們之間還是存在著某種雖不精確但卻具有相應(yīng)的表征其特征的近似關(guān)系。例如，樹高與直徑之間不能用確定性函數(shù)表述，但是通過大量的統(tǒng)計(jì)可以發(fā)現(xiàn)，同種樹木樹高的直徑也常常大些，這兩個(gè)變量之間有一定的線性關(guān)系。6.5.3相關(guān)分析1．相關(guān)所謂“相關(guān)〞是又例如，機(jī)器上某個(gè)回轉(zhuǎn)部件的動(dòng)不平衡會(huì)引起該機(jī)器的振動(dòng)，但是從所測(cè)得的機(jī)座振動(dòng)卻是各種振源的綜合。對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，由于回轉(zhuǎn)部件動(dòng)不平衡引起的強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率總是和其轉(zhuǎn)速相對(duì)應(yīng)的，此頻率和其他振動(dòng)源引起的強(qiáng)迫振動(dòng)頻率不一樣。因此，可以認(rèn)為和該部件轉(zhuǎn)速不一致的振動(dòng)與其動(dòng)不平衡無關(guān)。圖(a)中各點(diǎn)分布很散，可以說變量x和變量y之間是無關(guān)的。

圖(b)中x和y雖無確定關(guān)系，但從統(tǒng)計(jì)結(jié)果、總體上看，具有某種程度的線性關(guān)系，因此說它們之間有一定的相關(guān)關(guān)系。

（a）

（b）隨機(jī)變量x和y組成的數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布情況又例如，機(jī)器上某個(gè)回轉(zhuǎn)部件的動(dòng)不平衡會(huì)引起對(duì)于能量型變量

x(t)和

y(t)之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)

ρxy表示:通常，

≤1。當(dāng)=1時(shí)，說明

x(t)和

y(t)兩變量是理想的線性相關(guān)。表示

x(t)和

y(t)兩變量之間完全無關(guān)。對(duì)于能量型變量x(t)和y(t)之間的2．自相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)

Rx(τ)定義為乘積

x(t)x(t+τ)的平均值，即自相關(guān)函數(shù)描述了信號(hào)的某時(shí)刻值與延時(shí)一定時(shí)間后的值之間的相互關(guān)系，它定量地描述了一個(gè)信號(hào)在時(shí)間軸上平移

τ后所得波形與原波形相似的程度。若

x(t)

是各態(tài)歷經(jīng)過程的樣本記錄，則自相關(guān)函數(shù)

Rx(τ)的估計(jì)值2．自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)定義為乘自相關(guān)函數(shù)具有以下主要性質(zhì)：（1）自相關(guān)函數(shù)為實(shí)偶函數(shù)。（2）在

τ=0時(shí)，Rx(0)=ψ2x

，取極大值即

（3）均值為零的隨機(jī)信號(hào)，隨著時(shí)移量

τ的增加，自相關(guān)函數(shù)趨近于零，即（4）周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍是與信號(hào)的時(shí)域周期相同的周期函數(shù)。（a）正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)

（b）正弦函數(shù)加隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)（c）窄帶隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)（d）寬帶隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)具有以下主要性質(zhì)：（3．互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)圖

若有兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)

x(t)和y(t)，它們之間的互相關(guān)函數(shù)定義為其估計(jì)值為此互相關(guān)函數(shù)描述了兩信號(hào)之間一般的依賴關(guān)系?；ハ嚓P(guān)函數(shù)既非偶函數(shù)，也非奇函數(shù)，是可正可負(fù)的實(shí)函數(shù)?；ハ嚓P(guān)函數(shù)在τ=0處不一定具有最大值，但可能在τ=τ0到達(dá)最大值。右圖表示兩信號(hào)在τ0處相關(guān)程度最高。3．互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)圖若有兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)如果兩隨機(jī)信號(hào)中具有頻率相同的周期成分，那么其互相關(guān)函數(shù)即使

τ→∞也會(huì)出現(xiàn)該頻率的周期成分?；ハ嚓P(guān)函數(shù)中還包含有相位信息。如果兩個(gè)周期信號(hào)的頻率不相同，那么其互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)=0即兩個(gè)頻率不同的周期信號(hào)是不相關(guān)的。如果x(t)和y(t)是兩個(gè)完全獨(dú)立無關(guān)的信號(hào)〔即所謂統(tǒng)計(jì)獨(dú)立〕，且其均值μx和μy中至少有一個(gè)為零，那么對(duì)所有時(shí)移量τ，互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)=0都成立。如果兩隨機(jī)信號(hào)中具有頻率相同的周期成分，那么①測(cè)量運(yùn)動(dòng)速度?；ハ嚓P(guān)函數(shù)可用來測(cè)定汽車、炮彈、軋制鋼帶的速度，以及導(dǎo)管內(nèi)和風(fēng)洞內(nèi)氣流的速度等。例如，要測(cè)定炮彈的速度，可在相距l(xiāng)m的兩處設(shè)置兩個(gè)光電式傳感器，如右圖所示，炮彈通過時(shí)拾取反射光的信號(hào)做出互相關(guān)函數(shù)圖，根據(jù)峰值出現(xiàn)的時(shí)間

，即可求得速度v=1/τ0。（1）滯后時(shí)間的測(cè)量

互相關(guān)函數(shù)在工程中的應(yīng)用主要有以下幾方面。運(yùn)動(dòng)速度的測(cè)量①測(cè)量運(yùn)動(dòng)速度?；ハ嚓P(guān)函數(shù)可用來測(cè)定汽車②確定深埋在地下的輸油管裂損的位置。如下圖所示，漏損處K視為傳播聲源，兩側(cè)管道分別放置傳感器，因?yàn)榉胖脗鞲衅鞯膬牲c(diǎn)距漏損處的距離不相等，放漏油的音響傳至兩傳感器就有時(shí)差。在互相關(guān)圖上

τ=τ0處Rxy(τ)有最大值，這個(gè)

τ0就是時(shí)差。根據(jù)

τ0便可確定漏損處的位置。（1）滯后時(shí)間的測(cè)量

互相關(guān)函數(shù)在工程中的應(yīng)用主要有以下幾方面。輸油管裂損位置的檢測(cè)②確定深埋在地下的輸油管裂損的位置。如下圖所利用互相關(guān)函數(shù)分析法可以檢查引起汽車司機(jī)座振動(dòng)的振源。測(cè)試時(shí)在發(fā)動(dòng)機(jī)、司機(jī)座和后輪軸上布置加速度計(jì)。根據(jù)獲得的相關(guān)圖，發(fā)現(xiàn)發(fā)動(dòng)機(jī)與司機(jī)座之間的相關(guān)性較差，而司機(jī)座與后輪之間的互相關(guān)函數(shù)出現(xiàn)明顯的相關(guān)。因此，可以認(rèn)為，司機(jī)座的振動(dòng)主要是由于后輪的振動(dòng)引起的（2）傳遞通道的確定

互相關(guān)函數(shù)在工程中的應(yīng)用主要有以下幾方面。設(shè)想建立一個(gè)無噪聲參考信號(hào)

y(t)=y0sin(ω0t+ψy)，并用該信號(hào)與拾取到的信號(hào)[x(t)+n(t)]作互相關(guān)處理，則由于n(t)與

y(t)的頻率無關(guān)，因而兩者的互相關(guān)函數(shù)恒為零，只有

x(t)與

y(t)

的互相關(guān)函數(shù)

Rxy(τ)存在。

Rxy(τ)的幅值反映了動(dòng)不平衡量的大小，峰值的偏移量

τ0反映了相位差ψy-ψx

，若參考信號(hào)與y(t)

的

ψy已知，就測(cè)出了不平衡的方位（3）檢測(cè)混淆在噪聲中的信號(hào)利用互相關(guān)函數(shù)分析法可以檢查引起汽車司機(jī)座6.5.4功率譜分析1．功率譜密度函數(shù)若自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)的傅里葉變換存在，則

Rx(τ)的傅里葉變換定義為

x(t)的自功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱功率譜密度函數(shù)、功率譜或自譜。根據(jù)傅里葉逆變換，有當(dāng)τ=0時(shí)，上式可變?yōu)橐驗(yàn)?/p>

Rx(0)=ψx2，所以6.5.4功率譜分析1．功率譜密度函數(shù)若由此可知，

Sx(f)曲線和頻率軸所包圍的面積就是信號(hào)的平均功率。而

Sx(f)就表示了信號(hào)的功率按頻率分布的規(guī)律。把各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的樣本記錄

x(t)送入中心頻率為f、帶寬為B的帶通濾波器，其輸出記為[x(t)]

B，則功率譜密度的估計(jì)值即對(duì)帶通濾波器的輸出[x(t)]B進(jìn)行平方、平均等運(yùn)算后，便可得到對(duì)應(yīng)于f

的功率譜密度。若改變帶通濾波器的中心頻率，則可得到功率譜密度與頻率的關(guān)系圖。由此可知，Sx(f)曲線和頻率軸所包圍通常把在(-∞，∞)頻率范圍內(nèi)定義的功率譜

Sx(f)稱為雙邊功率譜，而把只在(0，∞)頻率范圍內(nèi)定義的功率譜

Gx(f)稱為單邊功率譜，二者之間的關(guān)系為≤≤另外一種常用的表示方法是取功率譜的對(duì)數(shù)，即其單位是分貝（dB），稱為對(duì)數(shù)功率譜。因?yàn)?/p>

是實(shí)偶函數(shù)，根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)可知，

亦為實(shí)偶函數(shù)。單邊和雙邊功率譜通常把在(-∞，∞)頻率范圍內(nèi)定義的功分析振動(dòng)信號(hào)的頻率成分和結(jié)構(gòu)。例如，內(nèi)燃機(jī)車諧振頻率的測(cè)定；橋梁和各種結(jié)構(gòu)自振頻率和振型的測(cè)定等1.故障的判斷和分析。例如，對(duì)于一些重要設(shè)備，如火箭、飛機(jī)、汽輪機(jī)、發(fā)動(dòng)機(jī)、齒輪箱等，均可根據(jù)功率譜的變化來判斷故障發(fā)生的原因2.功率譜能反映出載荷在各頻率成分上的振動(dòng)能量與振幅，因而為確定載荷譜提供了條件3.在醫(yī)學(xué)上，可根據(jù)檢測(cè)的腦電波、心電波進(jìn)行功率譜分析來研究病癥及病理4.通過功率譜分析還可判別周期信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)5.

功率譜的應(yīng)用范圍很廣，大致可歸納為以下6方面：對(duì)于線性系統(tǒng)，當(dāng)其輸入為

，輸出為

，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為

時(shí)，其輸入、輸出的功率譜與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)有如下關(guān)系可見，通過輸入、輸出功率譜的分析，就能得出系統(tǒng)的幅頻特性。但是在功率譜分析中會(huì)丟失相位信息，因而不能得出系統(tǒng)的相頻特性6.分析振動(dòng)信號(hào)的頻率成分和結(jié)構(gòu)。例如，內(nèi)燃機(jī)2．互譜密度函數(shù)如果互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)

滿足傅里葉變換的條件，則定義

Rxy(τ)的傅里葉變換為信號(hào)

和

的互譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱互譜。像功率密度函數(shù)一樣，把在在(-∞，∞)

頻率范圍內(nèi)定義的互譜密度函數(shù)

Sxy(f)稱為雙邊互譜，而在

(0，∞)頻率范圍內(nèi)定義的互譜稱為單邊互譜，并記為

Gxy(f)，兩者關(guān)系為≤≤互譜和互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成一對(duì)傅里葉變換對(duì)，所以二者包含有相同的信息，都可用來描述信號(hào)之間的相關(guān)性，不同點(diǎn)是互相關(guān)函數(shù)在時(shí)差域上，而互譜密度函數(shù)是在頻率域上。2．互譜密度函數(shù)如果互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)互譜密度函數(shù)在信號(hào)處理中很重要。利用互譜密度函數(shù)可以測(cè)定滯后時(shí)間，通過互譜和自譜之間的關(guān)系可以測(cè)量求得線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。由此可得到的

不僅含有幅頻特性，而且含有相頻特性，這是因?yàn)榛プV中包含有相位差信息?；プV密度函數(shù)在信號(hào)處理中很重要。利用互譜密傳感器與測(cè)試技術(shù)傳感器與測(cè)試技術(shù)第6章信號(hào)分析與處理6.1概述6.2周期信號(hào)及其頻譜6.3非周期信號(hào)及其頻譜6.4數(shù)字信號(hào)分析與處理6.5隨機(jī)信號(hào)分析與處理第6章信號(hào)分析與處理6.1概述6.2周期信號(hào)及其頻譜6.6.1概

述6.1.1信號(hào)的概念和分類1．電橋的工作原理信號(hào)是信息的載體，是信息的表現(xiàn)形式。信息與信號(hào)是互相聯(lián)系的兩個(gè)不同概念。信號(hào)不等于信息，但信息那么是信號(hào)所承載的內(nèi)容。測(cè)試系統(tǒng)是通過某種技術(shù)手段，從被測(cè)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中提取所需的信息。這個(gè)信息從物理的角度講，是以某種信號(hào)的形式反映出來的。在工程實(shí)際中，測(cè)試系統(tǒng)的測(cè)試過程包括信號(hào)的獲取、加工、處理、顯示、反響、計(jì)算等，因此測(cè)試系統(tǒng)對(duì)被測(cè)參量測(cè)試的整個(gè)過程都是信號(hào)的流程。6.1概述6.1.1信號(hào)的概念和分類1．電橋的工1．信號(hào)的根本概念信號(hào)一般可用單個(gè)或多個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)或圖形表示。信號(hào)可以描述極為廣泛的物理現(xiàn)象，可以計(jì)算、合成及分解。一般信號(hào)具有以下性質(zhì)：〔1〕信號(hào)具有特定的意義，即含有特定的信息；〔2〕信號(hào)具有一定的能量；〔3〕信號(hào)易于被測(cè)得或感知；〔4〕信號(hào)易于被傳輸。信息本身不具有能量及物質(zhì)，故信息的傳遞必須借助于某種中間媒介，而這個(gè)包含有特定信息的媒介即為信號(hào)。信號(hào)一般表現(xiàn)為聲、光、電、磁等物理量。1．信號(hào)的根本概念信號(hào)一般可用單個(gè)或多個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)或圖形2．信號(hào)的分類〔1〕按信號(hào)的規(guī)律分類確定性信號(hào)：可以用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述或可由實(shí)驗(yàn)屢次復(fù)現(xiàn)的信號(hào)。非確定性信號(hào)：不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述，而且其幅值、相位、頻率不可

預(yù)知。這類信號(hào)只能用概率統(tǒng)計(jì)的規(guī)律加以描述。2．信號(hào)的分類確定性信號(hào)：可以用明確的數(shù)學(xué)〔2〕按信號(hào)的函數(shù)性質(zhì)分類按函數(shù)性質(zhì)分類連續(xù)時(shí)間信號(hào)：是指在某一指定時(shí)間內(nèi)，除假設(shè)干個(gè)第一類間斷點(diǎn)外，該函數(shù)都可給出確定的函數(shù)值的信號(hào)。離散時(shí)間信號(hào)：離散時(shí)間信號(hào)：是指僅在某些不連續(xù)的時(shí)刻有定義的信號(hào)。信號(hào)除了在時(shí)間上有連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)之分外，還可依據(jù)幅值取值將信號(hào)分為連續(xù)幅值信號(hào)和離散幅值信號(hào)。時(shí)間和幅值均連續(xù)的信號(hào)稱為模擬信號(hào)。時(shí)間和幅值均離散且幅值被量化的信號(hào)稱為數(shù)字信號(hào)?！?〕按信號(hào)的函數(shù)性質(zhì)分類按函數(shù)性質(zhì)分類連續(xù)〔3〕按信號(hào)的能量分類按信號(hào)的能量分類能量信號(hào)功率信號(hào)在所分析的區(qū)間，能量為有限值的信號(hào)。功率信號(hào)是指具有有限平均功率的信號(hào)。一個(gè)能量信號(hào)具有零平均功率，而一個(gè)功率信號(hào)具有無限大能量。〔3〕按信號(hào)的能量分類按信號(hào)的能量分類能量信6信號(hào)的時(shí)域分析和頻域分析將頻率作為自變量，把信號(hào)看作是頻率

的函數(shù)

。在相應(yīng)的圖形表示中，作為自變量出現(xiàn)在橫坐標(biāo)上的是頻率。信號(hào)的這種描述方法就是信號(hào)的頻域描述。信號(hào)在頻域中的圖形表示又稱作信號(hào)的頻譜，包括幅頻譜和相頻譜等。幅頻譜以頻率為橫坐標(biāo)并以幅度為縱坐標(biāo)，相頻譜以頻率為橫坐標(biāo)并以相位為縱坐標(biāo)?；诟道锶~變換理論，在頻域