上海復旦大學第二附屬中學八年級上冊壓軸題數(shù)學模擬試卷及答案

上海復旦大學第二附屬中學八年級上冊壓軸題數(shù)學模擬試卷及答案一、壓軸題1.如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm,BC=8cm,點D為AB的中點.如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動.(1)若點Q的運動速度與點(2)(1)若點Q的運動速度與點(2)若點Q的運動速度與點請說明理由；(3)若點Q的運動速度與點△BPD與4CQP全等？P的運動速度相等，經(jīng)過P的運動速度相等，經(jīng)過P的運動速度不相等，當點1s后，BP=cm,CQ=cm1s后，△BPD與△CQP是否全等,Q的運動速度為多少時，能夠使(4)若點(4)若點Q以(3)中的運動速度從點C出發(fā),都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā),P與點Q第一次相遇？2.如圖，ABC2.如圖，ABC在平面直角坐標系中，BAC60，A0,4百，AB8,點B、C在X軸上且關于y在X軸上且關于y軸對稱.(2)動點P以每秒2個單位長度的速度從點B出發(fā)沿X軸正方向向終點C運動，設運動時間為t秒，點P到直線AC的距離PD的長為d,求d與t的關系式;(3)在(2)的條件下，當點P到AC的距離PD為3m時，連接AP,作ACB的平分線分另1J交PD、PA于點M、N,求MN的長.

.在Rt^ABC中，ACB90,A30,BD是^ABC的角平分線，DEAB于點E.ccccc(1)如圖1,連接EC,求證：、EBC是等邊三角形；(2)如圖2,點M是線段CD上的一點(不與點C,D重合)，以BM為一邊，在BM下方作BMG60,MG交DE延長線于點G.求證：ADDGMD；(3)如圖3,點N是線段AD上的點，以BN為一邊，在BN的下方作BNG60,NG交DE延長線于點G.直接寫出ND,DG與AD數(shù)量之間的關系..在^ABC中，ABAC,D是直線AB上一點，E在直線BC上，且DEDC.(1)如圖1,當D在AB上，E在CB延長線上時，求證：EDBACD;(2)如圖2,當AABC為等邊三角形時，D是BA的延長線上一點，E在BC上時，作EF//AC，求證：BEAD；(3)在(2)的條件下，ABC的平分線BF交CD于點F,連AF，過A點作AHCD于點H,當EDC30,CF6時，求DH的長度.圖1圉2圖3.問題情景：數(shù)學課上，老師布置了這樣一道題目，如圖1,9BC是等邊三角形，點D是BC的中點，且滿足/ADE=60°,DE交等邊三角形外角平分線于點E.試探究AD與DE的數(shù)量關系.操作發(fā)現(xiàn)：(1)小明同學過點D作DF//AC交AB于F,通過構造全等三角形經(jīng)過推理論證就可以解決問題，請您按照小明同學的方法確定AD與DE的數(shù)量關系，并進行證明.

圖1類比探究：（2）如圖2,當點D是線段BC上任意一點（除BC外），其他條件不變，試猜想AD與DE之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.更2拓展應用：（3）當點D在線段BC的延長線上，且滿足CD=BC,在圖3中補全圖形，直接判斷GADE的形狀（不要求證明）..閱讀下面材料，完成（1）-（3）題.數(shù)學課上，老師出示了這樣一道題：如圖1,已知等腰4ABC中，AB=AC,AD為BC邊上的中線，以AB為邊向AB左側作等邊△ABE,直線CE與直線AD交于點F.請?zhí)骄烤€段EF、AF、DF之間的數(shù)量關系，并證明.同學們經(jīng)過思考后，交流了自已的想法：小明：通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)/DFC的度數(shù)可以求出來.”小強：通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)線段DF和CF之間存在某種數(shù)量關系.”小偉：通過做輔助線構造全等三角形，就可以將問題解決.”老師：若以AB為邊向AB右側作等邊△ABE,其它條件均不改變，請在圖2中補全圖形探究線段EEAF、DF三者的數(shù)量關系，并證明你的結論.§D求/

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在圖圖1DFC的度數(shù)；1中探究線段EF、AF、2中補全圖形，探究線段DF之間的數(shù)量關系，并證明；EF、AF、DF之間的數(shù)量關系，并證明..(1)問題發(fā)現(xiàn).如圖1,ACB和DCE均為等邊三角形，點A、D、E均在同一直線上，連接BE.I)①求證：ADC?BEC.②求AEB的度數(shù).③線段AD、BE之間的數(shù)量關系為(2)拓展探究.如圖2,I)①求證：ADC?BEC.②求AEB的度數(shù).③線段AD、BE之間的數(shù)量關系為(2)拓展探究.如圖2,ACB和DCE均為等腰直角三角形，DCE中DE邊上的高,ACBDCE90，點A、D、E連接BE.①請判斷AEB的度數(shù)為.②線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關系為.(直接寫出結論，不需證明)8.在ABC中，若存在一個內(nèi)角角度，是另外一個內(nèi)角角度的數(shù))，則稱ABC為n倍角三角形.例如，在ABC中，An倍(n為大于1的正整80,B75,C25,可知B3C,所以ABC為3倍角三角形.(1)在⑵若ABC中，A55,B25,則ABC為.倍角三角形;DEF是3倍角三角形，且其中一個內(nèi)角的度數(shù)是另外一個內(nèi)角的余角的度數(shù)的DEF的最小內(nèi)角.(3)若MNP是2倍角三角形，且MNP90，請直接寫出MNP的最小內(nèi)角的取值范圍..在△ABC中，/BAO45°,CD±AB,垂足為點D,M為線段DB上一動點(不包括端點)，點N在直線AC左上方且/NCM=135°,CN=CM,如圖①.S1AC；S1AC；S2ABAC與線段DB滿足什么數(shù)量關系(2)記^ANC得面積為5,記^ABC得面積為5.求證：(3)延長線段AB到點P,使BP=BM,如圖②.探究線段時對于滿足條件的任意點M,AN=CP始終成立？(寫出探究過程).在等邊△ABC的頂點A、C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)，分別以每分鐘1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點時，另一只也停止運動，經(jīng)過t分鐘后，它們分別爬行到D、E處，請問：(1)如圖1,在爬行過程中，CD和BE始終相等嗎，請證明？(2)如果將原題中的“由A向B和由C向A爬行”，改為“沿著AB和CA的延長線爬行"，EB與CD交于點Q,其他條件不變，蝸牛爬行過程中/CQE的大小保持不變，請利用圖2說明：/CQE=60°；(3)如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長線爬行，連接DE交AC于11.對x、y定義一種新運算t,規(guī)定:Tx,ymxnyx11.對x、y定義一種新運算t,規(guī)定:Tx,ymxnyx2y(其中m、n均為非零常數(shù)).例如:1,13m3n.(1)已知T1,0,T0,2①求m>n的值;②若關于P的不等式組T2p,2T4p,3P2p4恰好有3個整數(shù)解，求②若關于P的不等式組T2p,2T4p,3P2p4恰好有3個整數(shù)解，求aa的取值范圍；(2)當x2y2時，Tx,yTy,x對任意有理數(shù)x,y都成立,請直接寫出m>n滿足的關系式.學習參考：①abac,即單項式乘以多項式就是用單項式去乘多項式的每項，再把所得的結果相加;2)a學習參考：①abac,即單項式乘以多項式就是用單項式去乘多項式的每項，再把所得的結果相加;2)abmnamanbmbn,即多項式乘以多項式就是用一個多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的結果相加..如圖，△ABC是等邊三角形，△ADC與4ABC關于直線AC對稱，AE與CD垂直交BC的延長線于點E,/EAF=45。，且AF與AB在AE的兩側，EF,AF.(1)依題意補全圖形.(2)①在AE上找一點P,使點P到點B,點C的距離和最短；②求證：點D至ijAF,EF的距離相等..已知口ABC,P是平面內(nèi)任意一點(A、B、CP中任意三點都不在同一直線上).連接PB、PC,設/PBA=s°,/PCA=t°,/BPC=x,ZBAC=y°.(1)如圖，當點P在&ABC內(nèi)時，①若y=70,s=10,t=20,貝Ux=;②探究s、t、x、y之間的數(shù)量關系，并證明你得到的結論.(2)當點P在△ABC外時，直接寫出s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關系，并畫出相應的圖形..如圖1.在△ABC中，/ACB=90°,AC=BC=10,直線DE經(jīng)過點C,過點A,B分另作AD±DE,BEXDE,垂足分別為點D和E,AD=8,BE=6.(1)①求證：△AD8ACEEJ;②求DE的長；(2)如圖2,點M以3個單位長度/秒的速度從點C出發(fā)沿著邊CA運動，到終點A,點N以8個單位長度/秒的速度從點B出發(fā)沿著線BC-CA運動，到終點A.M,N兩點同時出發(fā)，運動時間為t秒(t>0),當點N到達終點時，兩點同時停止運動，過點M作PMXDE于點P,過點N作QNLDE于點Q;①當點N在線段CA上時，用含有t的代數(shù)式表示線段CN的長度；②當t為何值時，點M與點N重合；③當4PCM與4QCN全等時，則t=..已知：如圖1,直線AB//CD,EF分別交AB,CD于E,F兩點，BEF,DFE的平分線相交于點K.(1)求K的度數(shù)；(2)如圖2,BEK,DFK的平分線相交于點K,問K1與K的度數(shù)是否存在某種特定的等量關系？寫出結論并證明；(3)在圖2中作BEK1,DFK1的平分線相交于點作BEK?,DFK2的平分線相交于點K3,依此類推，作BEKn,DFKn的平分線相交于點Kn1,請用含的n式子表示Kn1的度數(shù).(直接寫出答案，不必寫解答過程)

.如圖1,我們定義：在四邊形ABCD中，若AD=BC,且/ADB+/BCA=180,則把四邊形ABCD叫做互補等對邊四邊形.(1)如圖2,在等腰4ABE中，AE=BE四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，求證：,一―1，一ZABD=ZBAC=—/AEB.2(2)如圖3,在非等腰4ABE中，若四邊形ABCD仍是互補等對邊四邊形，試問-1/ABD=/BAC=—/AEB是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.217.(閱讀材料)(1)在ABC中，若90,由三角形內(nèi)角和為180。得17.(閱讀材料)(1)在ABC中，若90,由三角形內(nèi)角和為180。得AB180C1809090(2)在ABC中，若AB90,由主角形內(nèi)角和為1800得C180(AB)1809090(解決問題)如圖①，在平面直角坐標系中，點C是x軸負半軸上的一個動點.已知AB//X軸，交y軸于點E,連接CE,CF是/ECO的角平分線，交AB于點F,交y軸于點D.過E點作EM平分/CEB,交CF于點M.如圖①，在平面直角坐標系中，點(1)試判斷EM與CF的位置關系，并說明理由；(2)如圖②，過E點作PE±CE,交CF于點P.求證：/EPC2EDP(3)在(2)的基礎上，作EN平分/AEP,交OC于點N,如圖③.請問隨著C點的運動，/NEM的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其值：若變化，請說明理由.圖①圖②圖③.已知：MN//PQ,點A,B分別在MN,PQ上，點C為MN,PQ之間的一點，連接CA,CB.(1)如圖1,求證：/C=ZMAC+/PBC;(2)如圖2,AD,BD,AE,BE分別為/MAC,/PBC,/CAN,/CBQ的角平分線，求證：/D+ZE=180°;(3)在(2)的條件下，如圖3,過點D作DA的垂線交PQ于點G,點F在PQ上，/FDA=2/FDB,FD的延長線交EA的延長線于點H,若3/C=4/E,猜想/H與/GDB的倍數(shù)關系并證明..如圖，在^ABC中，D為AB的中點，ABAC10cm,BC8Gm.動點P從點B出發(fā)，沿BC方向以3cm/s的速度向點C運動；同時動點Q從點C出發(fā)，沿CA方向以3cm/s的速度向點A運動，運動時間是ts.(1)在運動過程中，當點C位于線段PQ的垂直平分線上時，求出t的值；(2)在運動過程中，當[bpd^Acqp時，求出t的值；(3)是否存在某一時刻t,使AbPDW^CPQ?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由..如圖(1),AB=4cm,AC±AB,BD±AB,AC=BD=3cm.點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動.它們運動的時間為t(s).(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t=1時，4ACP與4BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；(2)如圖(2),將圖(1)中的“AC，AB,BD±AB'為改"/CAB=/DBA=60°；其他條件不變.設點Q的運動速度為Xcm/s,是否存在實數(shù)X,使得4ACP與4BPQ全等？若存在，求出相應的X、t的值；若不存在，請說明理由.【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、壓軸題1.(1)BP=3cm,CQ=3cm；(2)全等，理由詳見解析；(3)竺；(4)經(jīng)過80s點P43與點Q第一次相遇.【解析】【分析】(1)速度和時間相乘可得BP、CQ的長；(2)利用SAS可證三角形全等；(3)三角形全等，則可得出BP=PCCQ=BD從而求出t的值；(4)第一次相遇，即點Q第一次追上點P,即點Q的運動的路程比點P運動的路程多10+10=20cm的長度.【詳解】解：(1)BP=3X1=3cm,CQ=3X1=Sm■「t=1s,點Q的運動速度與點P的運動速度相等BP=CQ=3X1=3cm.AB=10cm,點D為AB的中點,BD=5cm.又,.PC=BOBP,BC=8cm,.PC=8-3=5cm,.?.PC=BD又「AB=AC,/B=/C,在^BPD和ACQP中，PCBDBCBPCQ..△BP必△CQP(SAS)(3)二?點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,?.BP與CQ不是對應邊，即BP^CQ??若△BPD^CPQ且/B=/C,貝UBP=PC=4cmCQ=BD=5cm,BP4，點P,點Q運動的時間t=-3--si,CQ15?Vq-cm/s;Qt4(4)設經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇.由題意，得一x=3x+2X104解得x=803…，80,,,一一.，經(jīng)過——s點P與點Q第一次相遇.3【點睛】本題考查動點問題，解題關鍵還是全等的證明和利用，將動點問題視為定點問題來分析可簡化思考過程.2.(1)C(4,0)；(2)d4^/3辰,(3)MN^37【分析】(1)根據(jù)對稱的性質知ABC為等邊三角形，利用直角三角形中30度角的性質即可求得答案；(2)利用面積法可求得ACPDPCOA,再利用坐標系中點的特征即可求得答案；(3)利用(2)的結論求得BP2,利用角平分線的性質證得ABOWCBQ,求得廠CQAO4，3,利用面積法求得QN史3,再利用直角三角形中30度角的性質即7可求得答案.【詳解】(1)???點b、C關于y軸對稱，ABAC,BAC60,ABC為等邊三角形，ABBCAC8,~1-.OC-BC4,2???點C的坐標為：C4,0；(2)連接AP,c1八1?SAPC-ACPD—PCOA,APC22ACPDPCOA,??A0,4.3,OA4、3，??BP2t,??PC82t,??AC8,.PDPC0A433t,AC即：d4石瓦(3)?點P到AC的距離為3向,d433t33，t1,BP2,延長CN交AB于點Q,過點N作NEx軸于點E,連接PQ、BN,???CQ???CQ為ACB的角平分線，ABC為等邊三角形,一1一1八”…BCQ—ACB30,CQAB,2八1八BAOBAC30,ABBC,2ABO0CBQ,CQAO43,設QN2a,在RtCNE中，QCB30,NE1CN1(4、32a)2.3a,22S°S°ABPS一AABN1cleBPOAABQN221cleBPOAABQN22-1??—24.3-82a22、3?a，7，QNG7??ACB60,PDCBPNE,212(273a),DPC30,BCQ30,??.PMCM,在??.PMCM,在RtCDM中,MDC90,MCD30,1八?.MD1MC2，1??MD-PM,PD3、,3，PMCM2.3，MNCQQNCM4.3±32.3吆！.77【點睛】本題是三角形綜合題，涉及的知識有：含30度直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，外角性質，角平分線的性質，等邊三角形的判定和性質，坐標與圖形性質，熟練掌握性質及定理、靈活運用面積法求線段的長是解本題的關鍵.(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)結論：ADDGND,證明見解析.【解析】【分析】(1)先根據(jù)直角三角形的性質得出ABC60,再根據(jù)角平分線的性質可得CDED,然后根據(jù)三角形的判定定理與性質可得BCBE,最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；(2)如圖(見解析)，延長ED使得DFMD，連接MF,先根據(jù)直角三角形的性質、等邊三角形的判定得出MDF是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質、角的和差得出FMDB,MFMD,FMGDMB,然后根據(jù)三角形全等的判定與性質、等量代換即可得證；(3)如圖(見解析)，參照題(2),先證HDN是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質、角的和差得出HNDG,NHND,HNBDNG,然后根據(jù)三角形全等的判定與性質、等量代換即可得證.【詳解】：ACB90,A30ABC90A60I卜,BD是ABC的角平分線，DEABCDED在BCD和在BCD和BED中,CDBDEDBDBCDBED(HL)BCBEEBC是等邊三角形;(2)如圖,延長ED使得DFMD,連接MFACBADEBDE30,BD是ABC60,ADBD的角平分線,DEABMDFADE60,MDB180ADEBDE60MDF是等邊三角形MFDM,FDMF60BMG60DMFDMGBMGDMG即FMGDMBMDB60在FMG和DMB中,MFMDFMGDMBFMGDMB(ASA)GFBD,即DFDGBDAD即ADDFDGMDDGMD；DG(3)結論:如圖，延長ADDGBD使得DHND,證明過程如下:ND,連接NH由(2)可知，ADEHDN180ADEBDE60,ADBDHDN是等邊三角形NHND,HHND60BNG60HNDBNDBNGBND,即HNBDNG在HNB和DNG中,HNBDNG(ASA)NHNDG60NDHNBDNGHBDG,即DHBDDGNDADDG即ADDGND.【點睛】G本題考查了直角三角形的性質、等邊三角形的判定與性質、三角形全等的判定定理與性質等知識點，較難的是題(2)和(3),通過作輔助線，構造一個等邊三角形是解題關鍵.(1)見解析；(2)見解析；(3)3【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質和外角的性質即可得到結論；BEF是(2)過E作EF//AC交AB于F,根據(jù)已知條件得到△ABC是等邊三角形，推出BEF是等邊三角形，得到BE=EF,/BFE=60°,根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論；(3)連接AF,證明△ABF^ACBF,得AF=CF,再證明DH=AH=1CF=32,【詳解】解：(1).?AB=AC,/ABC=/ACB,??DE=DC,.E=/DCE,???/ABC-ZE=ZACB-/DCB,即/EDB=ZACD;(2).「△ABC是等邊三角形，./B=60°,?.△BEF是等邊三角形，.BE=EF,ZBFE=60°,./DFE=120°,?./DFE=/CAD,在△DEF與ACAD中，EDFDCADFECAD,DECDDEFCAD(AAS),EF=AD,.-.AD=BE；圖2(3)連接AF,如圖3所示:DE=DC,/EDC=30°,./DEC=ZDCE=75°,?./ACF=75-60=15°,?.BF平分/ABC,ABF=/CBF,在△ABF和^CBF中，ABBCABFCBF,BFBF△ABFCBF(SAS),.AF=CF,./FAC=ZACF=15°,?./AFH=15+15=30°,?.AH±CD,.?.AH=1AF=1CF=322'./DEC=ZABC+ZBDE,?./BDE=75-60=15°,?./ADH=15+30=45°,?./DAH=/ADH=45°,DH=AH=3.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形和直角三角形的性質，三角形的外角的性質，等邊三角形的判定和性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵.5.(1)AD=DE,見解析；(2)AD=DE,見解析；(3)見解析，AADE是等邊三角形,【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，通過平行線的性質及等邊三角形的性質證明ADF?EDC即可得解;(2)根據(jù)題意，通過平行線的性質及等邊三角形的性質證明AFD?DCE即可得解;(3)根據(jù)垂直平分線的性質及等邊三角形的判定定理進行證明即可^【詳解】(1)如下圖，數(shù)量關系：AD=DESQC證明：???ABC是等邊三角形?.AB=BC,B=BAC=BCA=60DF//ACBFD=BAC,/BDF=/BCAB=BFD=BDF=60BDF是等邊三角形，AFD=120.?.DF=BD??點D是BC的中點.?.BD=CD.?.DF=CDCE是等邊ABC的外角平分線DCE=120=AFD??ABC是等邊三角形，點D是BC的中點??ADXBCADC=90BDF=ADE=60ADF=EDC=30在ADF與EDC中AFD=ECDDF=CDADF=EDC?.ADF?EDC(ASA).?.AD=DE;(2)結論：AD=DE證明：如下圖，過點D作DF//AC,交AB于F??ABC是等邊三角形.?.AB=BC,B=BAC=BCA=60DF//ACBFD=BAC,BDF=BCAB=BFD=BDF=60BDF是等邊三角形，AFD=120.?.BF=BD.?.AF=DC??CE是等邊ABC的外角平分線DCE=120=AFD??/ADC是ABD的外角ADC=B+FAD=60+FAD??ADC=ADE+CDE=60+CDE./FAD=/CDE在AFD與DCE中AFD=DCEAF=CDFAD=EDCAFD?DCE(ASA).?.AD=DE;(3)如下圖，ADE是等邊三角形.證明：??.BCCDACCD.CE平分ACD??CE垂直平分AD，AE=DE???ADE60ADE是等邊三角形.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質及判定，三角形全等的判定及性質，平行線的性質，垂直平分線的性質等相關內(nèi)容，熟練掌握三角形綜合解決方法是解決本題的關鍵^6.(1)60°;(2)EF=AF+FC證明見解析；(3)AF=EF+2DF證明見解析.【解析】【分析】(1)可設/BAD=/CAD=a,/AEC=ZACE=3,在GACE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得2a+60+23=180°,從而有a+3=60°,即可得出/DFC的度數(shù)；(2)在EC上截取EG=CF,連接AG,證明^AE8△ACF,然后再證明△AFG為等邊三角形，從而可得出EF=EG+GF=AF+FC；(3)在AF上截取AG=EF,連接BG,BF,證明方法類似(2),先證明△AB8△EBF再證明△BFG為等邊三角形，最后可得出結論.【詳解】解：(1)AB=AC,AD為BC邊上的中線，，可設ZBAD=ZCAD=a,又4ABE為等邊三角形，?.AE=AB=AC/EAB=60°,?.可設ZAEC=ZACE=3,在AACE中，2a+60°+23=180°,a+3=60,?/DFC池+3=60°；(2)EF=AF+FC證明如下:.AB=AC,AD為BC邊上的中線，??.AD,BC,?./FDC=90,./CFD=60°,貝U/DCF=30,.?.CF=2DF,在EC上截取EG=CF,連接AG,又AE=AC./AEG=ZACF,?.△AE8△ACF(SAS,./EAG=/CAF,AG=AF,又/CAF=ZBAD,??/EAG之BAD,/GA曰/BAD+ZBAG=ZEAG+/BAG=Z60°,?.△AFG為等邊三角形，EF=EG+GF=AF+FC,即EF=AF+FC(3)補全圖形如圖所示，結論：AF=EF+2DF證明如下：同(1)可設/BAD=/CAD=a,/ACE=/AEC=3,./CAE=180-23,，/BAE=2a+180°-23=60°,3-a=60°,?/AFC書—a=60°,又△ABE為等邊三角形，，/ABE=ZAFC=60°,，由8字圖可得：/BAD=/BEF,在AF上截取AG=EF,連接BG,BF,又AB=BE,?.△ABG0△EBF(SA§,BG=BF,又AF垂直平分BC,.BF=CF?./BFA=ZAFC=60,?.△BFG為等邊三角形，BG=BF又BC±FG,FG=BF=2DF?.AF=AG+GF=BF+EF=2DF+EF.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質等知識，解決問題的關鍵是常用輔助線構造全等三角形，屬于中考?？碱}型.(1)①詳見解析；②60。；③ADBE;(2)①90°;②AEBE2CM【解析】【分析】(1)易證/ACD=/BCE即可求證△AC*△BCE^根據(jù)全等三角形對應邊相等可求得AD=BE,根據(jù)全等三角形對應角相等即可求得/AEB的大小；(2)易證△AC*△BCE^可彳導/ADC=/BEC進而可以求得/AEB=90°,即可求得DM=ME=CM,即可解題.【詳解】解：(1)①證明：???ACB和DCE均為等邊三角形，ACCB,CDCE,又.ACDDCBECBDCB60,??ACDECB,??ADgBECSAS.②???CDE為等邊三角形，??CDE60.??點A、D、E在同一直線上，??ADC180CDE120,又?ADC?BEC,??ADCBEC120,??AEB1206060.③ADBEADC?BEC,ADBE.故填：ADBE;(2)①:ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACCB,CDCE,又..ACBDCE90,??ACDDCBECBDCB,ACDECB,在ACD和BCE中，ACCBACDECB，CDCE??ACD?BCE,ADCBEC.丁點A、D、E在同一直線上，??ADCBEC180CDE18045135,??AEB135CED1354590.②???CDA幻CEB,BEAD..CDCE,CMDE,DMME.又.?DCE90,

??DE2CM,??AEADDEBE2CM.故填：①90；②AEBE2CM.【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質，本題中求證△AC*△BCE是解題的關鍵.(1)4;(2)DEF的最小內(nèi)角為15或9或(——)；(3)30°Vxv45°.11【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/C的度數(shù)，再根據(jù)n倍角三角形的定義判斷即可得到答案；(2)根據(jù)△DEF是3倍角三角形，必定有一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個角之間的關系，分情況進行解答即可得到答案；(3)可設未知數(shù)表示2倍角三角形的各個內(nèi)角，然后列不等式組確定最小內(nèi)角的取值范圍.【詳解】解：(1)」?在ABC中，A55,B25,/C=180-55-25=100°,/C=4/B,故ABC為4倍角三角形；(2)設其中一個內(nèi)角為x,3倍角為3x,則另外一個內(nèi)角為：1804x1,①當小的內(nèi)角的度數(shù)是3倍內(nèi)角的余角的度數(shù)的一時,3_1即：x=—(90-3x),解得：x=15°,②3倍內(nèi)角的度數(shù)是小內(nèi)角的余角的度數(shù)的②3倍內(nèi)角的度數(shù)是小內(nèi)角的余角的度數(shù)的11—時,3rr1即rr1即：3x=一3(90°-x),解得:③當1804x時,解得:45011此時:1804x18045011/180③當1804x時,解得:45011此時:1804x18045011/180、……右=(彳1),因此為最小內(nèi)角,因此,△DEF的最小內(nèi)角是9?；?5或(詈)?11⑶設最小內(nèi)角為x,則2倍內(nèi)角為2x,第三個內(nèi)角為(180°-3x),由題意得:2x<90°且180°-3x<90°,?.30。<x<45,答：△MNP的最小內(nèi)角的取值范圍是30°<x<45.(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)當AC=2BD時，對于滿足條件的任意點N,AN=CP始終成立，證明見解析.【解析】【分析】(1)由三角形的內(nèi)角和定理可求/ACN=ZAMC=135°-/ACM;(2)過點N作NE^AC于E,由“AAS'可證^NEC^△CDM,可得NE=CD,由三角形面積公式可求解；(3)過點N作NELAC于E,由“SAS可證ANEA^△CDP,可得AN=CP.【詳解】(1),./BAC=45,/AMC=180-45-ZACM=135-/ACM.??/NCM=135；ZACN=135-ZACM,?./ACN=/AMC;(2)過點N作NEXACTE,區(qū)ADVB圉①??/CEN=ZCDM=90°,/ACN=ZAMC,CM=CN,?.△NEC^ACDM(AAS),NE=CD,CE=DM;.S11AC?NE,S21AB7CD,22SAC;S2AB(3)當AC=2BD時，對于滿足條件的任意點N,AN=CP始終成立，理由如下：過點N作NE±AC于E,口冥BP圄②由(2)可得NE=CRCE=DM..AC=2BD,BP=BM,CE=DMI,?.AC-CE=BD+BDDM,.AE=BD+BP=DP??NE=CD,/NEA=ZCDP=90；AE=DP,??.△NEA0^CDP(SAS),?.AN=PC.【點睛】本題三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵.(1)相等，證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】【分析】(1)先證明△AC*△CBE^再由全等三角形的性質即可證得CD=BE(2)先證明△BCD^AABE,得到/BCD=ZABE,求出/DQB=/BCQ+ZCBQ=ZABE+ZCBQ=180°-/ABC,/CQE=180°-/DQB,即可角軍答;(3)如圖3,過點D作DG//BC交AC于點G,根據(jù)等邊三角形的三邊相等，可以證得AD=DG=CE進而證明△DGF和4ECF全等，最后根據(jù)全等三角形的性質即可證明.【詳解】(1)解：CD和BE始終相等，理由如下：如圖1,AB=BC=CA兩只蝸牛速度相同，且同時出發(fā)，.?.CE=AD,/A=/BCE=60°在△ACD^ACBE中，AC=CB/A=zBCE,AD=CE..△AC*△CBE(SAS,??.CD=BE即CD和BE始終相等；(2)證明：根據(jù)題意得：CE=AD.AB=AC,.?.AE=BD,?.△ABC是等邊三角形，.?.AB=BC,/BAC=/ACB=60°,./EAB+/ABC=180°,/DBC+ZABC=180°,?./EAB=ZDBC,在△BCD和△ABE中，BC=AB/DBC=ZEAB,BD=AE.BC*△ABE(SAS,./BCD=ZABE./DQB=/BCQ+/CBQ=/ABE+/CBQ=180°-/ABC=180°-60°=120°,??./CQE=180°-ZDQB=60°,即CQE=60°;

(3)解：爬行過程中，DF始終等于EF是正確的，理由如下:如圖，過點D作DG//BC交AC于點G,，/ADG=/B=/AGD=60°,ZGDF=ZE,?.△ADG為等邊三角形，.?.AD=DG=CE在△口65和4ECF中，/GFD=ZCFE/GDF=ZE,DG=EC?.△DGF^△EDF(AAS),.?.DF=EF.BCE【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質和等邊三角形的性質；題弄懂題中所給的信息,再根據(jù)所提供的思路尋找證明條件是解答本題的關鍵._m1_(1)①；②42Wa<54;(2)m=2nn1【解析】【分析】(1)①構建方程組即可解決問題；②根據(jù)不等式即可解決問題；(2)利用恒等式的性質，根據(jù)關系式即可解決問題.【詳解】解：(1)①由題意得解：(1)①由題意得8n--，rm解得n②由題意得2p4PP2p2p②由題意得2p4PP2p2p42p44p64pa解不等式①得p>-1.解不等式②得a18

解不等式②得a18

P^——，12一a18--1vp<,12???恰好有3個整數(shù)解,.-.2<1812<3..-.2<1812<3.??-42<a<54;(2)由題意：(mx+ny)(x+2y)=(my+nx)(y+2x),mx2+(2m+n)xy+2ny2=2nx2+(2m+n)xy+my2,???對任意有理數(shù)x,y都成立，m=2n.【點睛】本題考查一元一次不等式、二元一次方程組、恒等式等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型.(1)詳見解析；(2)①詳見解析；②詳見解析.【解析】【分析】(1)本題考查理解題意能力，按照題目所述依次作圖即可.(2)①本題考查線段和最短問題，需要通過垂直平分線的性質將所求線段轉化為其他等量線段之和，以達到求解目的.②本題考查垂直平分線的判定以及全等三角形的證明，繼而利用角的平分線性質即可得出結論.【詳解】(1)補全圖形，如圖1所示(2)①如圖2,連接BD,P為BD與AE的交點??等邊4ACD,AE±CDPC=PD,PC+PB1短等價于PB+PD最短故B,D之間直線最短，點P即為所求.②證明：連接DE,DF.如圖3所示.「△ABC,△ADC是等邊三角形.?.AC=AD,/AC-/CAD=60°?.AEXCD，一1。?./CAE=—/CAD=302/CEA=/ACB-/CAE=30°./CAE=/CEA.?.CA=CE??CD垂直平分AE.?.DA=DE?./DAE=/DEA.EFLAF,/EAF=45°?./FEA=45°./FEA=/EAFFA=FE,/FAD=/FED.FA必△FED(SA§./AFD=/EFD??點D到AF,EF的距離相等.【點睛】本題第一問作圖極為重要，要求對題意有較深的理解，同時對于垂直平分線以及角平分線的定義要清楚，能通過題目文字所述轉化為考點，信息轉化能力需要多做題目加以提升.13.(1)①100;②x=y+s+t;(2)見詳解.【解析】【分析】(1)①利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題；②結論：x=y+s+t.利用三角形內(nèi)角和定理即可證明；(2)分6種情形分別求解即可解決問題.【詳解】解：(1)①.一/BAC=70,./ABC+ZACB=110,./PBA=10,/PCA=20,??/PBC叱PCB=80,?./BPC=100,

?.x=100,故答案為：100.②結論：x=y+s+t.理由：A+ZABC+ZACB=ZA+ZPBA+ZPCA+ZPBC+ZPCB=180,/PBC+/PCB叱BPC=180,??/A+ZPBA+ZPCA=/BPC,..x=y+s+t.(2)s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關系:如圖1:s+x=t+y;如圖3：y=x+s+t；如圖4:x+y+s+t=360°;如圖5:t=s+x+y;

本題考查三角形的內(nèi)角和定理,論的思想思考問題.三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討本題考查三角形的內(nèi)角和定理,論的思想思考問題.14.(1)①證明見解析；②DE=14;(2)①8t—10;②t=2;③14.(1)①證明見解析；②11【解析】【分析】(1)①先證明/DAC=/ECB,由AAS即可得出^ADU△CEB②由全等三角形的性質得出AD=CE=8,CD=BE=6,即可得出DE=CD+CE=14;(2)①當點N在線段CA上時，根據(jù)CN=CN-BC即可得出答案；②點M與點N重合時，CM=CN,即3t=8t-10,解得t=2即可；③分兩種情況：當點N在線段BC上時，△PCM0△QNC,則CM=CN,彳導3t=10-8t,解得t=1011;當點N在線段CA上時，△PCM0△QCN,則3t=8t-10,解得t=2;即可得出答案.【詳解】(1)①證明：---AD±DE,BE!DE,./ADC=/CEB=90°,./ACB=90°,??/DAC+/DCA=/DCA+/BCE=90°,/DAC=/ECBADC=CEB在△ADC^ACEB中DAC=ECB,AC=CB?.△AD8△CEB(AAS);

②由①得：△AD8△CER.-.AD=CE=8,CD=BE=6,?.DE=CD+C曰6+8=14;(2)解：①當點(2)解：①當點N在線段CA上時，如圖3所示:圖3CNI=CN-BC=8t-10；②點M與點N重合時，CM=CN,即3t=8t-10,解得：t=2,???當t為2秒時，點M與點N重合；③分兩種情況：當點N在線段BC上時，△PCM^AQNC,.?.CM=CN,.?-3t=10-8t,?110解得：t=V；11當點N在線段CA上時，△PCM^^QCN,點M與N重合，CM=CN,則3t=8t-10,解得：t=2;綜上所述，當^PCM綜上所述，當^PCM與4QCN全等時，則t等于—s或2s,11……10故答案為：一s或2s.11【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、直角三角形的性質、分類討論等知識；本題綜合性強，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.115.(1)90；(2)K2K1，證明見解析；(3)Kn1廣90【解析】【分析】(1)過K作KG//AB,交EF于G,證出AB//CD//KG,得到BEKGKFKFD,根據(jù)角平分線的性質及平行線的性質得到

2BEK2BEKDFK180s即可得到答案;1(2)根據(jù)角平分線的性質得到BEK1KEK1—KEB,121KFK1DFK1—DFK,根據(jù)BEKKFD90%求出12KEK1KFK145,根據(jù)K1180；)KEFEFKKEK〔KFK1求出答案;(3)根據(jù)(2)得到規(guī)律解答即可【詳解】(1)過K作KG//AB,交EF于G,???AB//CD,aAB//CD//KG,BEKEKG,GKFKFD,:EK,FK分別為BEF與EFD的平分線，BEKFEK,EFKDFK,???AB//CD,BEKFEKEFKDFK180：,2BEKDFK180,GKF90：;BEKDFK90：,則EKFEKG(2)K2K1,GKF90：;理由為：11TOC\o"1-5"\h\z彳BEK,DFK的平分線相交于點K1,11BEK1KEK1-KEB,KFK1DFK1-DFK,180,,BBEKFEKEFKDFK180；,即2BEKKFD180,,BEKKFD90」,KEK1KFK145,K1180」KEFEFKKEK1KFK145：(3)由(2)知K90：；TOC\o"1-5"\h\z11K1K90.12211.同理可得K2K1=K90.,2144■,1ccKn1/9。.【點睛】此題考查平行線的性質：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行公理的推論：平行于同一直線的兩直線平行；角平分線的性質；(3)是難點，注意總結前兩問的做題思路得到規(guī)律進行解答16.(1)見解析；(2)仍然成立，見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質和互補等對邊四邊形的定義可利用SAS證明△AB4△BAC,可得/ADB=ZBCA,從而可推出/ADB=/BCA=90,然后在△ABE中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和直角三角形的性質可得/ABD=L/AEB,進一步可得結論；2(2)如圖3所示：過點A、B分別作BD的延長線與AC的垂線，垂足分別為G,F,根據(jù)互補等對邊四邊形的定義可利用AAS證明△AGD^△BFC可得AG=BF,進一步即可根據(jù)HL證明RtAABGZRtABAF,可彳導/ABD=ZBAC,由互補等對邊四邊形的定義、平角的定義和四邊形的內(nèi)角和可得/AEB+-ZDHC=180,進而可得/AEB=ZBHC,再根據(jù)三角形的外角性質即可推出結論.【詳解】(1)證明：..AE=BE.EAB=ZEBA,???四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，.-.AD=BC,在△人8口和4BAC中，AD=BQ/DAB=ZCBAAB=BA,ABD^ABAC(SAS)/ADB=ZBCA,又??/ADB+ZBCA=180,/ADB=ZBCA=90,在△ABE中,?./EAB=ZEBA=1(180°幺在△ABE中,/ABD=90-ZEAB=90-(90同理：/BAC=t/AEB,2,一―1，一/ABD=ZBAC=-/AEB;2

一一一1一一，一E一一一1一一，一E,,一/ABD=ZBAC=—/AEB仍然成立；理由如下：2如圖3所示：過點A、B分別作BD的延長線與AC的垂線，垂足分別為??四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，.AD=BC,ZADB+ZBCA=180,又/ADB+ZADG=180,/BCA=ZADG,又「AG，BD,BF,AC,?./AGD=ZBFC=90,在△人仃口和^BFC中，ZAGD=ZBFG/ADG=/BCA,AD=BC.△AGg△BFC(AAS),.?.AG=BF,G,F,國3」在RtAABG和RtABAF中，ABBAAGBF??RtAABG^RtABAF(HL.),ABD=ZBAC,./ADB+ZBCA=180,./EDB+ZECA=180,./AEB+ZDHC=180,./DHC+ZBHC=180,/AEB=ZBHC.??/BHC=ZBAC+ZABD,/ABD=ZBAC,八1?./ABD=ZBAC=—/AEB.2【點睛】等腰三角本題以新定義互補等對邊四邊形為載體，主要考查了全等三角形的判定與性質、形的性質、三角形的內(nèi)角和定理與三角形的外角性質以及四邊形的內(nèi)角和等知識，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識是解題的關鍵.等腰三角17.(1)EMLCF,理由見解析；(2)證明見解析；(3)不變，且/NEM=45,理由見解析.【解析】【分析】(1)EMLCF,分別利用角平分線的性質、平行線的性質、三角形的內(nèi)角和定理進行求證即可；(2)根據(jù)垂直定義和三角形的內(nèi)角和定理證得/DCO+/CDO=90,/ECP+/EPC=90,再利用等角的余角相等和對頂角相等即可證得結論；(3)不變，且/NEM=45,先利用平行線的性質得到/AEC=ZECO=2ZECP進而有/AEP=/CEP吆AEC=90+2/ECP再由角平分線的定義/NEP=/AEN=45+/ECP再根據(jù)同角的余角相等得到/ECPNMEP,然后等量代換證得/NEM=45,是定值.【詳解】解：(1)EM，CF,理由如下：.CF平分/ECO,EM平分/FECTOC\o"1-5"\h\z11???/ECF2FCO—ECO/FEM=ZCEM=-CEF22.AB//x軸--1-1_1-—1ECFCEM—ECO—CEF-(ECOCEF)—180902222./ECO+ZCEF=180，/EMC=180-(/CEM+/ECF)=180-90=90°??EMXCF(2)由題得，/EOC=90??/DCO+ZCDO=180-/EOC=180-90=90°.PE±CE?./CEP=90??/ECP吆EPC=180-ZCEP=180-90°=90°??/DCO=ZECP/CDO=ZEPC又?./CDO=ZEDP??/EPCNEDPCQx圖②⑶不變，且/NEM=45,理由如下：AB//x軸/AEC=ZECO=2ZECP??./AEP=ZCEP乜AEC=90+2/ECP,?EN平分/AEP1-?./NEP=/AEN=_AEP=—(902ECP)=45+/ECP2??/CEP=90??/ECP+/EPC=90又?./EMC=90??/MEP+ZEPC=90./ECP=/MEP?./NEP=ZNEM+ZMEP=ZNEM+ZECP又?./NEP=45+/ECP/NEM=45.【點睛】本題是一道綜合探究題，涉及有平行線的性質、角平分線的定義、三角形