《線性代數(shù)》第5章線性空間與線性變換課件

線性空間與線性變換05線性空間與線性變換05目錄/Contents5.15.25.3維數(shù)、基與坐標(biāo)線性變換線性空間的定義與性質(zhì)目錄/Contents5.15.25.3維數(shù)、基與坐標(biāo)線性變目錄/Contents5.1線性空間的定義與性質(zhì)一、線性空間的定義二、線性空間的性質(zhì)三、線性空間的子空間目錄/Contents5.1線性空間的定義與性質(zhì)一、線性空間對(duì)于任意兩個(gè)元素

，稱為

與

的數(shù)量乘積，如果這兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律(設(shè)

):定義1稱為

與

的和，在

中總有唯一確定的一個(gè)元素

與之對(duì)應(yīng)，記作

.一元素

，在

中總有唯一確定的一個(gè)元素

與之對(duì)應(yīng)，記作

設(shè)

是一個(gè)非空集合，

為實(shí)數(shù)域.對(duì)于

中任一數(shù)

與

中任一、線性空間的定義對(duì)于任意兩個(gè)元素，稱為與(v)(vi)(vii)(viii)(i)加法交換律：(ii)加法結(jié)合律：(iii)在

中存在零元素

0；對(duì)于任何

，都有是

；(iv)負(fù)元素：對(duì)于任何

，都有是

的負(fù)元素

，使一、線性空間的定義(v)(vi)(vii)(viii)(i)加法交換律：(i

線性空間有時(shí)也被稱為向量空間，例1次數(shù)不超過(guò)

的多項(xiàng)式的全體，記作

，這是因?yàn)椋和ǔ５亩囗?xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算顯然滿足線性運(yùn)算規(guī)律，線性空間中的元素不論其本來(lái)的性質(zhì)如何，統(tǒng)稱為向量.線性空間中滿足上述八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運(yùn)算，統(tǒng)稱為線性運(yùn)算.即對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法構(gòu)成線性空間.故只要驗(yàn)證

對(duì)運(yùn)算封閉.

那么，

就稱為實(shí)數(shù)域

上的線性空間.一、線性空間的定義線性空間有時(shí)也被稱為向量空間，例1次數(shù)不超過(guò)

對(duì)

中任意兩個(gè)多項(xiàng)式

，

，及任意的實(shí)數(shù)

，有

所以

是一個(gè)線性空間.一、線性空間的定義對(duì)中任意兩個(gè)多項(xiàng)式一、線性空間的定義例2一、線性空間的定義例2例3是實(shí)數(shù)域上的矩陣全體所成的集合.設(shè)加法和數(shù)乘構(gòu)成線性空間.顯然

是非空的，

對(duì)通常的矩陣這是因?yàn)椋和ǔ５木仃嚰臃ê蛿?shù)乘運(yùn)算顯然滿足線性運(yùn)算規(guī)律，并且

對(duì)通常的矩陣加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉.一、線性空間的定義例3是實(shí)數(shù)域上的矩陣全體所成的集合.設(shè)加法和數(shù)乘構(gòu)成線也是實(shí)數(shù)域上的線性空間.特別地，當(dāng)

時(shí)，

階方陣的全體所成的集合一、線性空間的定義也是實(shí)數(shù)域上的線性空間.特別地，當(dāng)例4對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法和乘數(shù)運(yùn)算不構(gòu)成線性空間.

次多項(xiàng)式的全體即

對(duì)運(yùn)算不封閉.這是因?yàn)橐弧⒕€性空間的定義例4對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法和乘數(shù)運(yùn)算不構(gòu)成線性空間.例5對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法

個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體可以驗(yàn)證

對(duì)運(yùn)算封閉，但是

，不滿足第五條運(yùn)算規(guī)律，即所定義的運(yùn)算不構(gòu)成線性空間.不是線性運(yùn)算，所以不是線性空間.一、線性空間的定義例5對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法正實(shí)數(shù)的全體，記作

，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)證對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間.首先驗(yàn)證對(duì)定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉.對(duì)加法封閉：對(duì)任意的，有；對(duì)數(shù)乘封閉：對(duì)任意的

，有

.例6證明一、線性空間的定義正實(shí)數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)下面驗(yàn)證定義的運(yùn)算是線性運(yùn)算.01OPTION02OPTION在

中存在零元素

1，對(duì)于任何

，都有是

03OPTION對(duì)于任何

，都有是

的負(fù)元素

，使04OPTION一、線性空間的定義下面驗(yàn)證定義的運(yùn)算是線性運(yùn)算.01OPTION02OPTIO因此，

對(duì)于所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間.05OPTION08OPTION07OPTION06OPTION一、線性空間的定義因此，對(duì)于所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間.05O二、線性空間的性質(zhì)二、線性空間的性質(zhì)二、線性空間的性質(zhì)二、線性空間的性質(zhì)三、線性空間的子空間定義2三、線性空間的子空間定義2三、線性空間的子空間例7三、線性空間的子空間例7目錄/Contents5.15.25.3線性變換線性空間的定義與性質(zhì)維數(shù)、基與坐標(biāo)目錄/Contents5.15.25.3線性變換線性空間的定目錄/Contents5.2維數(shù)、基與坐標(biāo)一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)二、基變換與坐標(biāo)變換目錄/Contents5.2維數(shù)、基與坐標(biāo)一、線性空間的基、一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)定義2一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)定義2例1一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)例1一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)例2一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)例2二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換目錄/Contents5.15.25.3線性空間的定義與性質(zhì)維數(shù)、基與坐標(biāo)線性變換目錄/Contents5.15.25.3線性空間的定義與性質(zhì)目錄/Contents5.3線性變換一、線性變換的定義二、線性變換的性質(zhì)三、線性變換的矩陣表示式目錄/Contents5.3線性變換一、線性變換的定義二、線一、線性變換的定義定義1一、線性變換的定義定義1一、線性變換的定義一、線性變換的定義一、線性變換的定義一、線性變換的定義一、線性變換的定義例2一、線性變換的定義例2一、線性變換的定義一、線性變換的定義一、線性變換的定義例3一、線性變換的定義例3一、線性變換的定義一、線性變換的定義二、線性變換的性質(zhì)二、線性變換的性質(zhì)二、線性變換的性質(zhì)性質(zhì)4證明二、線性變換的性質(zhì)性質(zhì)4證明二、線性變換的性質(zhì)二、線性變換的性質(zhì)

線性變換是一個(gè)很抽象的概念，如何將它具體化呢？我們發(fā)現(xiàn)，如果給定線性空間

的一個(gè)基

，則對(duì)

中任意向量

，有

由線性變換的性質(zhì)得：三、線性變換的矩陣表示式線性變換是一個(gè)很抽象的概念，如何將它具體化所以

也可由基

來(lái)線性表示，

于是

在

下的像就由基的像

所唯一確定.而

，即有三、線性變換的矩陣表示式所以由上式得：

，

矩陣

稱為線性變換

在基

下的矩陣.顯然，矩陣

由基的像

唯一確定.反之，如果給定一個(gè)矩陣

作為某個(gè)線性變換

在基

下的矩陣，根據(jù)變換

保持線性關(guān)系的特性，我們來(lái)推導(dǎo)變換

必須滿足的關(guān)系式.其中也就是給出了這個(gè)基在變換下的像，三、線性變換的矩陣表示式由上式得：中的任意向量記為，有即三、線性變換的矩陣表示式中的任意向量記為三、線性變換的矩陣表示式三、線性變換的矩陣表示式例5在

中取基求微分運(yùn)算D

的矩陣.解所以

在這組基下的矩陣為三、線性變換的矩陣表示式例5在中取基求微分運(yùn)算D的例6設(shè)

上線性變換

定義為分別求

在基下的矩陣.與基三、線性變換的矩陣表示式例6設(shè)上線性變換定義為分別求由,,三、線性變換的矩陣表示式由,,三、線性變換的矩陣表示式可得

在基

下的矩陣為三、線性變換的矩陣表示式可得在基下的三、線性變換的矩陣表示式定理1三、線性變換的矩陣表示式定理1三、線性變換的矩陣表示式三、線性變換的矩陣表示式三、線性變換的矩陣表示式三、線性變換的矩陣表示式三、線性變換的矩陣表示式定義2三、線性變換的矩陣表示式定義2謝謝觀看謝謝觀看線性空間與線性變換05線性空間與線性變換05目錄/Contents5.15.25.3維數(shù)、基與坐標(biāo)線性變換線性空間的定義與性質(zhì)目錄/Contents5.15.25.3維數(shù)、基與坐標(biāo)線性變目錄/Contents5.1線性空間的定義與性質(zhì)一、線性空間的定義二、線性空間的性質(zhì)三、線性空間的子空間目錄/Contents5.1線性空間的定義與性質(zhì)一、線性空間對(duì)于任意兩個(gè)元素

，稱為

與

的數(shù)量乘積，如果這兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律(設(shè)

):定義1稱為

與

的和，在

中總有唯一確定的一個(gè)元素

與之對(duì)應(yīng)，記作

.一元素

，在

中總有唯一確定的一個(gè)元素

與之對(duì)應(yīng)，記作

設(shè)

是一個(gè)非空集合，

為實(shí)數(shù)域.對(duì)于

中任一數(shù)

與

中任一、線性空間的定義對(duì)于任意兩個(gè)元素，稱為與(v)(vi)(vii)(viii)(i)加法交換律：(ii)加法結(jié)合律：(iii)在

中存在零元素

0；對(duì)于任何

，都有是

；(iv)負(fù)元素：對(duì)于任何

，都有是

的負(fù)元素

，使一、線性空間的定義(v)(vi)(vii)(viii)(i)加法交換律：(i

線性空間有時(shí)也被稱為向量空間，例1次數(shù)不超過(guò)

的多項(xiàng)式的全體，記作

，這是因?yàn)椋和ǔ５亩囗?xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算顯然滿足線性運(yùn)算規(guī)律，線性空間中的元素不論其本來(lái)的性質(zhì)如何，統(tǒng)稱為向量.線性空間中滿足上述八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運(yùn)算，統(tǒng)稱為線性運(yùn)算.即對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法構(gòu)成線性空間.故只要驗(yàn)證

對(duì)運(yùn)算封閉.

那么，

就稱為實(shí)數(shù)域

上的線性空間.一、線性空間的定義線性空間有時(shí)也被稱為向量空間，例1次數(shù)不超過(guò)

對(duì)

中任意兩個(gè)多項(xiàng)式

，

，及任意的實(shí)數(shù)

，有

所以

是一個(gè)線性空間.一、線性空間的定義對(duì)中任意兩個(gè)多項(xiàng)式一、線性空間的定義例2一、線性空間的定義例2例3是實(shí)數(shù)域上的矩陣全體所成的集合.設(shè)加法和數(shù)乘構(gòu)成線性空間.顯然

是非空的，

對(duì)通常的矩陣這是因?yàn)椋和ǔ５木仃嚰臃ê蛿?shù)乘運(yùn)算顯然滿足線性運(yùn)算規(guī)律，并且

對(duì)通常的矩陣加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉.一、線性空間的定義例3是實(shí)數(shù)域上的矩陣全體所成的集合.設(shè)加法和數(shù)乘構(gòu)成線也是實(shí)數(shù)域上的線性空間.特別地，當(dāng)

時(shí)，

階方陣的全體所成的集合一、線性空間的定義也是實(shí)數(shù)域上的線性空間.特別地，當(dāng)例4對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法和乘數(shù)運(yùn)算不構(gòu)成線性空間.

次多項(xiàng)式的全體即

對(duì)運(yùn)算不封閉.這是因?yàn)橐?、線性空間的定義例4對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法和乘數(shù)運(yùn)算不構(gòu)成線性空間.例5對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法

個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體可以驗(yàn)證

對(duì)運(yùn)算封閉，但是

，不滿足第五條運(yùn)算規(guī)律，即所定義的運(yùn)算不構(gòu)成線性空間.不是線性運(yùn)算，所以不是線性空間.一、線性空間的定義例5對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法正實(shí)數(shù)的全體，記作

，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)證對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間.首先驗(yàn)證對(duì)定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉.對(duì)加法封閉：對(duì)任意的，有；對(duì)數(shù)乘封閉：對(duì)任意的

，有

.例6證明一、線性空間的定義正實(shí)數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)下面驗(yàn)證定義的運(yùn)算是線性運(yùn)算.01OPTION02OPTION在

中存在零元素

1，對(duì)于任何

，都有是

03OPTION對(duì)于任何

，都有是

的負(fù)元素

，使04OPTION一、線性空間的定義下面驗(yàn)證定義的運(yùn)算是線性運(yùn)算.01OPTION02OPTIO因此，

對(duì)于所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間.05OPTION08OPTION07OPTION06OPTION一、線性空間的定義因此，對(duì)于所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間.05O二、線性空間的性質(zhì)二、線性空間的性質(zhì)二、線性空間的性質(zhì)二、線性空間的性質(zhì)三、線性空間的子空間定義2三、線性空間的子空間定義2三、線性空間的子空間例7三、線性空間的子空間例7目錄/Contents5.15.25.3線性變換線性空間的定義與性質(zhì)維數(shù)、基與坐標(biāo)目錄/Contents5.15.25.3線性變換線性空間的定目錄/Contents5.2維數(shù)、基與坐標(biāo)一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)二、基變換與坐標(biāo)變換目錄/Contents5.2維數(shù)、基與坐標(biāo)一、線性空間的基、一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)定義2一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)定義2例1一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)例1一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)例2一、線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)例2二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換二、基變換與坐標(biāo)變換目錄/Contents5.15.25.3線性空間的定義與性質(zhì)維數(shù)、基與坐標(biāo)線性變換目錄/Contents5.15.25.3線性空間的定義與性質(zhì)目錄/Contents5.3線性變換一、線性變換的定義二、線性變換的性質(zhì)三、線性變換的矩陣表示式目錄/Contents5.3線性變換一、線性變換的定義二、線一、線性變換的定義定義1一、線性變換的定義定義1一、線性變換的定義一、線性變換的定義一、線性變換的定義一、線性變換的定義一、線性變換的定義例2一、線性變換的定義例2一、線性變換的定義一、線性變換的定義一、線性變換的定義例3一、線性變換的定義例3一、線性變換的定義一、線性變換的定義二、線性變換的性質(zhì)二、線性變換的性質(zhì)二、線性變換的性質(zhì)性質(zhì)4證明二、線性變換的性質(zhì)性質(zhì)4證明二、線性變換的性質(zhì)二、線性變換的性質(zhì)

線性變換是一個(gè)很抽象的概念，如何將它具體化呢？我們發(fā)現(xiàn)，如果給定線性空間

的一個(gè)基

，則對(duì)

中任意向量

，有

由線性變換的性質(zhì)得：三、線性變換的矩陣表示式線性變換是一個(gè)很抽象的概念，如何將它具體化所以

也可由基

來(lái)線性表示，

于是

在

下的像就由基的像

所唯一確定.而

，即有三、線性變換的矩陣表示式所以由上式得：