自主招生數(shù)學(xué)試題及答案

2021年自主招生數(shù)學(xué)試題（分值:100分 時(shí)間:90分鐘）一、選擇題〔本大題共6小題，每題5分，共30分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的〕1、假設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,關(guān)于X的方程x2-2ax-a+2b=°都有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)b的取值圍是〔 〕Ab<0 Bb<—1 cb<—1 db<-1282、 如圖，D、E分別是AABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE//AC,S:S=1:3,△BDE△CDE那么S:S的值為〔 〕△DOE△AOCA.1：3 B.1：4 C.1：9 D.1:163、 某校吳教師組織九（1）班同學(xué)開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，帶著同學(xué)們測(cè)量學(xué)校附近一電線桿的高（如下列圖）。電線桿直立于地面上，某天在太的照射下，電線桿的影子（折線BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為300,在C處測(cè)得電線桿頂端A得仰角為45o,斜坡與地面成6Oo角，CD=4m，那么電線桿的高@日）是〔〕A.（4+4、,；3）mB.（4.J3—4）mC.（6+2.J3）mD.12m4、 如圖，矩形ABCD中，AB=8,AD=3.點(diǎn)E從D向C以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，以AE為一邊在AE的右下方作正方形AEFG?同時(shí)垂直于CD的直線MN也從C向D以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)經(jīng)過(guò)〔 〕秒時(shí)，直線MN和正方形AEFG開(kāi)場(chǎng)有公共點(diǎn)。A.5B.1C.4D.3 2 3（第2題圖）（第2題圖）（第3題圖）（第4題圖）25、如圖，在反比例函數(shù)y€，—的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A,連接AO并延長(zhǎng)交圖象的另一支于xk點(diǎn)B,在第一象限有一點(diǎn)C，滿足AC=BC,當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=k的圖x象上運(yùn)動(dòng)，假設(shè)tan/CAB=2，那么k的值為0A.2B.4C.6D.86、如圖，O是等邊三角形ABC一點(diǎn)，且OA=3,OB=4,OC=5.將線段OB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6Oo得到線段O'B,那么以下結(jié)論：①△AO'B可以由△COB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600得到；?ZAOB=15Oo；③S €6+\.;3;④S+S=6+出遼。其中正確的TOC\o"1-5"\h\z四邊形AOBO' △AOB △AOC 4選項(xiàng)是〔 〕A.②③④ B.①②④ C.①④ D.①②③（第5題圖） （第6題圖）二、填空題〔本大題共6小題，每題5分，共30分〕7、方程組,X€y―處，且一1<x一y<0，那么k的取值圍是。?2x+y=2k+1448、一次函數(shù)y=x一b與y=x一1的圖象之間的距離等于3,那么b的值是。339、 如圖，AABC中，/ACB=9Oo,BC=6cm,AC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB移動(dòng)到B,那么點(diǎn)P出發(fā)s時(shí)，ABCP為等腰三角形。10、 關(guān)于x的方程2x€m=3的解為正數(shù)，那么m的取值圍。x一211、 如圖，AC丄BC于點(diǎn)C,BC=4,AB=5,OO與直線AB、BC、CA都相切，那么OO的半徑等于。12、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將AABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABO的位置，使點(diǎn)1A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A落在直線y=基x上，再將△ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABO的位置，13111112使點(diǎn)O1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O2落在直線y=3x上，依次進(jìn)展下去…，假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,1）,點(diǎn)1 2 3B的坐標(biāo)是（J3,1），那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是。8（第9題圖）（第11題圖） （第12題圖）三、解答題〔本大題共3小題,總分值40分〕13、（此題共12分）如圖，在△ABC中，/C=9Oo,以AB上一點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)D,分別交AC、AB于點(diǎn)E、F。⑴彳艮設(shè)AC=6,AB=10,求OO的半徑；⑵連接OE、ED、DF、EF,假設(shè)四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀,并說(shuō)明理由。14、（此題共14分）（1）:△ABC是等腰三角形，其底邊是BC,點(diǎn)D在線段AB上,E是直線BC上一點(diǎn)，且ZDEC=ZDCE，假設(shè)ZA=6Oo（如圖①），求證：EB=AD;⑵假設(shè)將⑴中的"點(diǎn)D在線段AB上"改為"點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上〃，其它條件不變（如圖②），⑴的結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由；⑶假設(shè)將⑴中的"假設(shè)ZA=6Oo”改為"假設(shè)/A=9Oo”，其它條件不變，那么空的值是AD多少.（直接寫(xiě)出結(jié)論,不要求寫(xiě)解答過(guò)程）15、（此題共14分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2-x+3（aM0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,且對(duì)稱軸為直線x=-2。（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；⑵假設(shè)點(diǎn)P（0,t）是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)進(jìn)展如下探究：探究一：如圖1,設(shè)APAD的面積為S,令W=t?S,當(dāng)0VtV4時(shí)，W是否有最大值.如果有，求出W的最大值和此時(shí)t的值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由；探究二：如圖2,是否存在以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與RtAAOC相似?如果存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2021年自主招生數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題〔本大題共6小題,每題5分,共30分,在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的〕

1、C 2、D3、A4、A5、D 6、B二、填空題〔本大題共6小題，每題5分，共30分〕7、1VkV1;28、-4或6;9、2或2.5或1.4;10、m>-6且m工-4;11、2;12、6^3€6。三、解答題〔本大題共3小題，總分值40分〕13、解：〔1〕連接OD,設(shè)OO的半徑為r,TBC切OO于點(diǎn)D,.\OD±BC,\'ZC=90°,???OD//AC,."OBDsAABC,?OD???OD//AC,."OBDsAABC,?ODAC3,即“二解得c「°O的半圖\圖\徑為二；〔2〕四邊形OFDE是菱形，???四邊形BDEF是平行四邊形,.ZDEF=ZB,?/ZDEF=￡DOB,；.^B=■/DOB,A\o7fb\'ZODB=90°,???/DOB+/B=90°,?/DOB=60°,TDE//AB,?/ODE=60°,\'OD=OE,?△ODE是等邊三角形，???OD=DE,?/OD=OF/WDE=OF,?四邊形OFDE是平行四邊形，TOE=OF,「.平行四邊形OFDE是菱形。14、⑴證明：作DF//BC交AC于F,如圖1所示：那么zadf=zabc,zafd=zacb,zfdc=zdce,???△ABC是等腰三角形，/A=60°,△ABC是等邊三角形，.?./ABC=/ACB=600,/./DBE=1200,ZADF=ZAFD=600=ZA,??△ADF是等邊三角形，/DFC=120°,/.AD=DF,?/ZDEC=ZDCE,./FDC=ZDEC,ed=cd,在厶DBE和ACFD中，由/DEC=/FDC,/DBE=/DFC=1200,ED=CD,/.△DBE^^CFD(AAS),???EB=DF,.?.EB=AD;⑵eb=ad成立；理由如下：作DF//BC交AC的延長(zhǎng)線于F,如圖2所示：同⑴得：ad=df,/fdc=/ecd,zfdc=zdec,又\'ZDBE=ZDFC=600,?在厶DBE和ACFD中，由ZDEC=ZFDC,ZDBE=/DFC,ED=CD,△DBE幻△CFD(AAS),.EB=DF,?EB=AD;⑶ =J2;理由如下：AD作DF//BC交AC于F,如圖3所示：同⑴得：ADBE幻△CFD(AAS),.EB=DF,△ABC是等腰直角三角形,DF//BC,?df=J2ad,?匹=42?df=J2ad,?匹=42,?空=屈.ADAD15、解：〔1〕T拋物線：二二1(；：=[■)的對(duì)稱軸為直線：-：=—；,?W-；〔2〕探究一：當(dāng)匸，：：「：：-時(shí)，W有最大值，T拋物線、.二一二工-一上一交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,?- ，:nc<-=_-當(dāng)?：：「,：：-時(shí)，作二丄;軸于M,那么SJ./=2,C-U二-,22=-(2+6)x斗一丄況各汎才一2?<2><(4-^)-12—2f222???：*?二一二二一—:一二???當(dāng)「二[時(shí)，w有最大值，「云廠三=二,探究二：存在，分三種情況：二三二一，=9C°，當(dāng)_三二上二兀'時(shí)，作二三丄二軸于E,那么&三=爲(wèi).二三二一，=9C°，??—二???_玷m丄：軸，g丄「，軸，?m“。上,?-，?_二厲三=_:&三一_三二三=9羅一一嚴(yán)=一嚴(yán)?Cmp=TIs.1/=i4i，，此時(shí) ，又因?yàn)開(kāi)上口「二_匸：二上二工』，AD4?、4umsw4比匸，：?◎三=0二一三二二—?1=二，?；；心-,?當(dāng)—一時(shí)，存在點(diǎn)氣，使?、二△上二二sr[△上匚叮,此時(shí)P*、的坐標(biāo)為〔0,2〕；當(dāng)一―卅時(shí)，那么_王山=_§°