構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式

構(gòu)造拉格朗日插值構(gòu)造拉格朗日插值一、問(wèn)題分析:首先從最簡(jiǎn)單的一次lagrange出發(fā)構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù)L1(x)，過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(x0,卜0)、(氣,y「做一條直線，用兩點(diǎn)式表示，則有L(x)=y+y土

10x一x1x一x0110分別記作:l(x)^^—^1-,l(x)=^一

0x-x1x-x0110則l(x)是x的一次插值基函數(shù)，l(x)是x的一次插值基函數(shù)。L(x)是這兩個(gè)差值00111基函數(shù)的線性組合：L(x)=y*l(x)+y*l(x)，10011這種形式的插值稱為拉格朗日線性插值。同樣地我們可以用三個(gè)點(diǎn)(x,y)、(x,y)、(x,x)來(lái)構(gòu)造y=f(x)過(guò)三個(gè)點(diǎn)的插值函

001122數(shù)，即二次插值。x0點(diǎn)的二次插值基函數(shù)為:l(x)=(x-x「(x-x2)

0(x-x)(x-x)氣點(diǎn)的二次插值基函數(shù)為:l(x)=(x-x0)(x-x2)1(x-x)(x-x)(x)=(x-x0)(x-氣)(x-x)(x-x)有了這3個(gè)二次插值基函數(shù)，可得到過(guò)(x,y)、(x,y)、(x,x)的二次拉格朗日插值001122x2點(diǎn)的二次插值基函數(shù)為:項(xiàng)式:L(x)=y*l(x)+y*l(x)+y*l(x)2001122有了上面的一次和二次差之多插值多項(xiàng)式L1(x)、L2(x)，我們可以推廣到n次插值TOC\o"1-5"\h\z多項(xiàng)式。下面構(gòu)造通過(guò)n+1各節(jié)點(diǎn)x<x???<x的n次插值多項(xiàng)式L(x)，是之滿足01nn(i=0,1,2…，n)首先構(gòu)造n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x,x,...,x上的n插值基函數(shù)，對(duì)任一點(diǎn)x所對(duì)應(yīng)的插值01ni基函數(shù)l(x)，由于在所有x.(j=0,1，…,i-1,i+1,…,n)取零值，因此l(x)有因子iJi(x-x).?.(x-x)(x-x)(x-x)。又因l(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式，所以0i-1i+1ni只可能相差一個(gè)常數(shù)因子，固l(x)可表示成：l(x)=A(x-x)?-(x-x)(x-x)?-(x-x)i0i-1i+1n利用l(x)=1得:iA—(x-x)(x-x)(x-x)…(x-x)i0ii-1ii+1in于是(x-x)...(x-x)(x-x)...(x-x)0i~ii+in—(i—0,1,2,.,,,n)(x-x)…(x-x)(x-x)…(x-x)i0ii-1ii+1in因此滿足Ln(x「=y(i=0,1,2-,n)的插值多項(xiàng)式可表示為:Ln"XUUj⑴j=0從而n次拉格朗日插值多項(xiàng)式為:(i=0,1,2,,n)l3)=Ty/3)

n(i=0,1,2,,n)j=0二、lagrange插值多項(xiàng)式在MATLAB中的實(shí)現(xiàn)：定義函數(shù)文件lagran：functiony=lagran(x0,y0,x)%x0,y0是已知的插值點(diǎn)坐標(biāo)%x是待求點(diǎn)組成的數(shù)組%y是拉格朗日差值多項(xiàng)式在x處的值%L是拉格朗日插值函數(shù)的權(quán)函數(shù)n=length(x0);m=length(x);L=zeros(1,n);y=zeros(1,m);fork=1:ms=0;fori=1:nL(i)=1;forj=1:nifj~=iL(i)=L(i)*(x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j));endends=s+y0(i)*L(i);endy(k)=s;endreturn;用下列命令文件調(diào)用函數(shù)文件lagran.m：x1=[1.12.33.95.1];y1=[3.8874.2764.6515.117];x=[2.1013.5234.2345.226];y=lagran(x1,y1,x)[P,S]=polyfit(x,y,3)plot(x,y,'r*');grid;holdonplot(x1,y1,'g')title=('lagran(x,y)');xlabel('x');ylabel('y');運(yùn)行結(jié)果:4.22574.55314.75265.1858P=0.0218-0.19090.77683.2345S=R:[4x4