北師大版八年級上《第1章勾股定理》單元測試含答案解析

《第1章勾股定理》一、選擇題1．若素來角三角形兩邊長分別為12和5，則第三邊長為（）A．13B．13或C．13或15D．152．以下各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，73．若是一個直角三角形的兩條直角邊分別為n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜邊長是（）A．2nB．n+1C．n2﹣1D．n2+14．以以下各組數(shù)為邊的三角形中，是直角三角形的有（）（1）3，4，5；（2），，；（3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05．A．1個B．2個C．3個D．4個5．等腰三角形的腰長為10，底長為12，則其底邊上的高為（）A．13B．8C．25D．646．五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖，其中正確的是（）A．B．C．D．7．如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是（）A．25B．12.5C．9D．8.58．三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個三角形是（）A．等邊三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．銳角三角形第1頁（共19頁）9．△ABC是某市在拆掉違章建筑后的一塊三角形空地．已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，若是要在這塊空地上種植草皮，按每平方米草皮a元計算，那么共需要資本（）A．50a元B．600a元C．1200a元D．1500a元10．如圖，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若是CD=17，BE=5，那么AC的長為（）A．12B．7C．5D．13二、填空題11．如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度最少需要米．222．12．在直角三角形ABC中，斜邊AB=2，則AB+AC+BC=13．直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則其周長為cm．14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．以斜邊AB為直徑作半圓，則這個半圓的面積是．15．如圖，在校園內(nèi)有兩棵樹，相距12m，一棵樹高13m，另一棵樹高8m，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥最少要飛m．第2頁（共19頁）16．如圖，△ABC中，∠C=90°，AB垂直均分線交BC于D．若BC=8，AD=5，則AC等于．17．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，陰影部分的面積是．18．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為cm2．三、解答題19．如圖，所示，四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求該四邊形的面積．20．如圖，已知一等腰三角形的周長是16，底邊上的高是4．求這個三角形各邊的長．第3頁（共19頁）21．以以下列圖的一塊地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積．22．如圖，一架2.5米長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的距離為0.7米，若是梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？23．如圖，某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D搬動，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？若是在距臺風(fēng)中心30km的圓形地域內(nèi)都將有碰到臺風(fēng)的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離才可走開危險？第4頁（共19頁）《第1章勾股定理》參照答案與試題剖析一、選擇題1．若素來角三角形兩邊長分別為12和5，則第三邊長為（）A．13B．13或C．13或15D．15【考點】勾股定理．【剖析】此題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊12既可以是直角邊，也可以是斜邊，因此求第三邊的長必定分類議論，即12是斜邊或直角邊的兩種情況，今后利用勾股定理求解．【解答】解：當(dāng)12是斜邊時，第三邊是=；當(dāng)12是直角邊時，第三邊是=13．應(yīng)選B．【議論】若是給的數(shù)據(jù)沒有明確，此類題必定要分情況求解．2．以下各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7【考點】勾股定理的逆定理．【專題】計算題．【剖析】判斷可否為直角三角形，只要考據(jù)兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解答】解：A、22+32=13≠42，故A選項構(gòu)成不是直角三角形；B、32+42=25≠62，故B選項構(gòu)成不是直角三角形；C、52+122=169=132，故C選項構(gòu)成是直角三角形；D、42+62=52≠72，故D選項構(gòu)成不是直角三角形．應(yīng)選：C．【議論】此題觀察勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形可否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．第5頁（共19頁）3．若是一個直角三角形的兩條直角邊分別為n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜邊長是（）A．2nB．n+1C．n2﹣1D．n2+1【考點】勾股定理．【剖析】依照勾股定理直接解答即可．【解答】解：兩條直角邊與斜邊滿足勾股定理，則斜邊長是：===n2+1．應(yīng)選D．【議論】此題主要觀察了勾股定理，解決此題的要點是正確對（n2﹣1）2+（2n）2進行分解因式．4．以以下各組數(shù)為邊的三角形中，是直角三角形的有（）（1）3，4，5；（2），，；（3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05．A．1個B．2個C．3個D．4個【考點】勾股定理的逆定理．【剖析】切合勾股定理的逆定理是直角三角形．【解答】解：（1）∵32+42=52，∴是直角三角形，故（1）正確；（2）∵，∴不是直角三角形，故（2）錯誤；（3）∵，∴不是直角三角形，故（3）錯誤；（4）∵0.032+0.042=0.052，∴是直角三角形，故（4）正確．依照勾股定理的逆定理，只有（1）和（4）正確．應(yīng)選：B．【議論】此題觀察了直角三角形的判斷：當(dāng)三角形的三邊之間有a2+b2=c2時，則它是直角三角形．5．等腰三角形的腰長為10，底長為12，則其底邊上的高為（）A．13B．8C．25D．64【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】計算題．【剖析】先作底邊上的高，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出此高的長度．【解答】解：作底邊上的高并設(shè)此高的長度為x，依照勾股定理得：62+x2=102，第6頁（共19頁）解得：x=8．應(yīng)選B．【議論】此題考點：等腰三角形底邊上高的性質(zhì)和勾股定理，等腰三角形底邊上的高所在直線為底邊的中垂線．今后依照勾股定理即可求出底邊上高的長度．6．五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖，其中正確的是（）A．B．C．D．【考點】勾股定理的逆定理．【剖析】欲求證可否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要考據(jù)兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解答】解：A、72+242=252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正確；B、72+242=252，152+202≠242，故B不正確；C、72+242=252，152+202=252，故C正確；D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正確．應(yīng)選：C．【議論】此題觀察勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形可否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．7．如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是（）第7頁（共19頁）A．25B．12.5C．9D．8.5【考點】三角形的面積．【專題】網(wǎng)格型．【剖析】依照求差法，讓大正方形面積減去周圍四個直角三角形的面積即可解答．【解答】解：如圖：小方格都是邊長為1的正方形，∴四邊形EFGH是正方形，S□EFGH=EF?FG=5×5=25△?×1×2=1，SAED=DEAE=S=?CH?DH=×2×4=4，△DCHS=BG?GC=×2×3=3，△BCGS△AFB=FB?AF=×3×3=4.5．S四邊形=S□﹣S△﹣S△﹣S△﹣S△=25﹣1﹣4﹣3﹣4.5=12.5．ABCDEFGHAEDDCHBCGAFB應(yīng)選：B．【議論】此題觀察的是勾股定理的運用，依照圖形可以求出此大正方形的面積和三角形的面積，再用大正方形的面積減去小正方形的面積即可，此題的解法很多，需同學(xué)們仔細解答．8．三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個三角形是（）A．等邊三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．銳角三角形【考點】勾股定理的逆定理．【剖析】同樣式進行整理，再判斷其形狀．第8頁（共19頁）【解答】解：化簡（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2因此三角形是直角三角形，應(yīng)選：C．【議論】此題觀察了直角三角形的判斷：可用勾股定理的逆定理判斷．9．△ABC是某市在拆掉違章建筑后的一塊三角形空地．已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，若是要在這塊空地上種植草皮，按每平方米草皮a元計算，那么共需要資本（）A．50a元B．600a元C．1200a元D．1500a元【考點】勾股定理的應(yīng)用．【剖析】此題第一由已知△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米，依照勾股定理求出另一條直角邊BC，再求出頭積，進而得出答案．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米，∴BC==40米，共需要資本為：×40×30?a=600a元．應(yīng)選：B．【議論】此題觀察的知識點是勾股定理的應(yīng)用，解題的要點是先由已知結(jié)合勾股定理求出另一條直角邊，再求出頭積即得答案．10．如圖，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若是CD=17，BE=5，那么AC的長為（）A．12B．7C．5D．13【考點】等腰直角三角形；全等三角形的判斷與性質(zhì)；勾股定理．【專題】研究型．【剖析】先依照△BCE等腰直角三角形得出BC的長，進而可得出BD的長，依照△ABD是等腰直角三角形可知AB=BD，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AC的長．【解答】解：∵△BCE等腰直角三角形，BE=5，BC=5，第9頁（共19頁）CD=17，DB=CD﹣BE=17﹣5=12，∵△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=12，在Rt△ABC中，∵AB=12，BC=5，∴AC===13．應(yīng)選D．【議論】此題觀察的是等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟知等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)是解答此題的要點．二、填空題11．如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度最少需要米．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【剖析】當(dāng)?shù)靥轰仢M樓梯時其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，依照勾股定理求得水平寬度，今后求得地毯的長度即可．【解答】解：由勾股定理得：樓梯的水平寬度==4，∵地毯鋪滿樓梯是其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，地毯的長度最少是3+4=7米．故答案為7．【議論】此題觀察了勾股定理的知識，與實質(zhì)生活相聯(lián)系，加深了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性．22212．在直角三角形ABC中，斜邊AB=2，則AB+AC+BC=8．第10頁（共19頁）【考點】勾股定理．【專題】計算題．【剖析】由三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理依照斜邊AB的長，可得出AB的平方及兩直角邊的平方和，今后將所求式子的后兩項結(jié)合，將各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵△ABC為直角三角形，AB為斜邊，222∴AC+BC=AB，又AB=2，222∴AC+BC=AB=4，222222則AB+BC+CA=AB+（BC+CA）=4+4=8．故答案為：8【議論】此題觀察了勾股定理的運用，勾股定理為：直角三角形中，斜邊的平方等于兩直角邊的平方和，熟練掌握勾股定理是解此題的要點．13．直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則其周長為24cm．【考點】勾股定理．【剖析】設(shè)直角三角形的三邊邊長分別為2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，據(jù)此列出關(guān)于n的方程，求出切合題意n的值，即求出了直角三角形的三邊長，之后求出周長即可．【解答】解：設(shè)直角三角形的三邊邊長分別為2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，解得：n1=4，n2=0（不合題意舍去），即：該直角三角形的三邊邊長分別為6cm，8cm，10cm．因此，其周長為6+8+10=24cm．【議論】此題主要觀察了運用直角三角形的性質(zhì)的能力，要點在于運用勾股定理得出三邊之間的關(guān)系，依照題意求出三邊的邊長．周長=三邊之和，求出周長．14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．以斜邊AB為直徑作半圓，則這個半圓的面積是．第11頁（共19頁）【考點】勾股定理．【剖析】依照勾股定理求出斜邊，即可求出半圓的半徑，求出頭積即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴由勾股定理得：AB=5，即半圓的半徑為，因此半圓的面積為×π×（）2=π，故答案為：π．【議論】此題觀察了勾股定理的應(yīng)用，解此題的要點是求出半圓的半徑，注意：直角三角形的外接圓的半徑等于斜邊的一半，在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．15．如圖，在校園內(nèi)有兩棵樹，相距12m，一棵樹高13m，另一棵樹高8m，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥最少要飛13m．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【剖析】依照“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的頂端進行直線游覽，所行的行程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【解答】解：兩棵樹高度相差為AE=13﹣8=5m，之間的距離為BD=CE=12m，即直角三角形的兩直角邊，故斜邊長AC==13m，即小鳥最少要飛13m．第12頁（共19頁）【議論】此題主若是將小鳥的游覽路線轉(zhuǎn)變成求直角三角形的斜邊，利用勾股定理解答即可．16．如圖，△ABC中，∠C=90°，AB垂直均分線交BC于D．若BC=8，AD=5，則AC等于4．【考點】線段垂直均分線的性質(zhì)；勾股定理．【剖析】依照線段垂直均分線的性質(zhì)可求得BD的長，進而求得CD的長，再依照勾股定理即可求得AC的長．【解答】解：∵AB垂直均分線交BC于D，AD=5，BD=AD=5，∵BC=8，CD=BC﹣BD=3，∴AC==4，故答案是：4．【議論】此題觀察了線段垂直均分線定理以及勾股定理．求得AD=BD是解題的要點．17．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，陰影部分的面積是19．【考點】勾股定理；正方形的性質(zhì)．【專題】計算題．第13頁（共19頁）【剖析】在直角三角形ABE中，由AE與BE的長，利用勾股定理求出AB的長，由正方形面積減去直角三角形面積求出陰影部分面積即可．【解答】解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，依照勾股定理得：AB==5，則S陰影=S正方形﹣S△=52﹣×3×4=25﹣6=19，ABE故答案為：19．【議論】此題觀察了勾股定理，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解此題的要點．18．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為27cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為49cm．【考點】勾股定理．【剖析】依照正方形的面積公式，連續(xù)運用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積．【解答】解：由圖形可知四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積，故正方形A，B，C，D的面積之和=49cm2．故答案為：49cm2．【議論】熟練運用勾股定理進行面積的變換．三、解答題19．如圖，所示，四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求該四邊形的面積．【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理．第14頁（共19頁）【剖析】由AB=4，BC=3，∠B=90°可得AC=5．可求得S△ABC；再由AC=5，AD=13，CD=12，可得△ACD為直角三角形，進而求得S，可求S=S+S．△ACD四邊形ABCD△ABC△ACD【解答】解：在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，則有AC==5．S△ABC=AB?BC=×4×3=6．在△ACD中，AC=5，AD=13，CD=12．222222．∵AC+CD=5+12=169，AD=13=169222∴AC+CD=AD，∴△ACD為直角三角形，∴S△=AC?CD=×5×12=30．ACD∴S四邊形=S△+S△=6+30=36．ABCDABCACD【議論】此題主要觀察勾股定理和逆定理的應(yīng)用，還涉及了三角形的面積計算．20．如圖，已知一等腰三角形的周長是16，底邊上的高是4．求這個三角形各邊的長．【考點】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【剖析】由于等腰三角形中底邊上的高均分底邊，故周長的一半為AB與BD的和，可設(shè)出未知數(shù)，利用勾股定理建立方程求解．【解答】解：設(shè)BD=x，則AB=8﹣x由勾股定理，可以獲取222222，AB=BD+AD，也就是（8﹣x）=x+4x=3，AB=AC=5，BC=6．【議論】此題利用了等腰三角形的性質(zhì)：底邊上的高均分底邊，及勾股定理求解．21．以以下列圖的一塊地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積．第15頁（共19頁）【考點】勾股定理的應(yīng)用；三角形的面積．【專題】計算題．【剖析】連接AC，依照直角△ACD可以求得斜邊AC的長度，依照AC，BC，AB可以判斷△ABC為直角三角形，要求這塊地的面積，求△ABC與△ACD的面積之差即可．【解答】解：連接AC，已知，在直角△ACD中，CD=9m，AD=12m，222依照AD+CD=AC，可以求得AC=15m，在△ABC中，AB=39m，BC=36m，AC=15m，222∴存在AC+CB=AB，∴△ABC為直角三角形，要求這塊地的面積，求△ABC和△ACD的面積之差即可，S=S△﹣S△=AC?BC﹣CD?AD，ABCACD=×15×36﹣×9×12，=270﹣54，2=216m，2答：這塊地的面積為216m．【議論】此題觀察了勾股定理在實質(zhì)生活中的運用，觀察了直角三角形面積的計算，此題中正確的判斷△ABC是直角三角形是解題的要點．22．如圖，一架2.5米長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的距離為0.7米，若是梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？第16頁（共19頁）