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專題3.4嘉函數(shù)【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.了解幕函數(shù)的概念.掌握幕函數(shù)y=x,y=Y1 1y=x-y=xT,y=—,y=X2的圖象和性質(zhì).x.了解基函數(shù)的變化特征..培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)..高考預(yù)測:(1)與二次函數(shù)相關(guān)的單調(diào)性、最值問題.除單獨考查外,多在題目中應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì);(2)基函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用.(3)在分段函數(shù)中考查事函數(shù)的圖象和性質(zhì)..備考重點:“三個二次”的結(jié)合問題;(2)基函數(shù)圖象和性質(zhì).【知識清單】.幕函數(shù)(1)哥函數(shù)的定義一般地,形如y=f的函數(shù)稱為幕函數(shù),其中x是自變量,a為常數(shù).(2)常見的5種密函數(shù)的圖象
征性質(zhì)定義域RRR[0,+oo){x|x£R,且燈0}值域R[0,+oo)R[0,+oo){y|ye/?,且)孫奇偶性奇偶奇非奇非偶奇.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式:一般式:")=加+法+(?(存0).頂點式:/(x)=a(x-in)2+n(a^O),頂點坐標(biāo)為(zn,〃).零點式:fix)=a(x—x\)(x—X2)(a#O).x\,X2為4r)的零點.(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式fix)=ar2+bx+c(a>0)J(x)=or+bx+c(6f<0)圖象\Lz127^Jbv/^|1V定義域(-8,4-00)(-00,+oo)值域4ac—b2L4a,+8)( 4ac~~b2L,4a單調(diào)性在j,T在15+,上單調(diào)遞減;上單調(diào)遞增在(一一葛在卜盤+£上單調(diào)遞增;上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于戶一削稱【典例剖析】高頻考點一:幕函數(shù)的概念【典例1】1.已知函數(shù)/(x)=(/+2m)*e,m為何值時,〃力是:(1)正比例函數(shù);(2)反比例函數(shù);(3)二次函數(shù);(4)’幕函數(shù).【答案】(1)6=1;(2)/n=-l;(3)m=T士底;(4)機=一1土血.2【解析】【分析】直接根據(jù)基本初等函數(shù)的概念求解即可.【詳解】解:(1)為正比例函數(shù),.JMm-1=1[62+2加00,,〃?=1;(2)???〃x)為反比例函數(shù),.ItrT+771—1=—1[in2+2mw0/.m=—1;(3)?.?/(x)為二次函數(shù),.Jnr+〃z-1=2[m2+2inw0. -1±V13??"i= ;2(4),?"(X)為幕函數(shù),trr+2m=1,??m=-l±6?【點睛】本題主要考查基本初等函數(shù)的概念及其應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.【總結(jié)提升】形如y=犬的函數(shù)叫幕函數(shù),這里需有:(1)系數(shù)為1,(2)指數(shù)為一常數(shù),(3)后面不加任何項.例如y=3x、y=xx+\y=f+l均不是幕函數(shù),再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別,例如:是幕函數(shù),y=2*是指數(shù)函數(shù).【變式探究】.有下列函數(shù):①y=3f;②y=f+l;@y=——;@y=—;X X_ 2⑤,=戶;?y=2x.其中,是幕函數(shù)的有一(只填序號).【答案】④⑤【解析】【分析】直接根據(jù)幕函數(shù)的定義即可求解【詳解】①中,幺的系數(shù)為3,故不是幕函數(shù);②中,y=f+l不是犬的形式,故不是幕函數(shù);③中,y=--=~(x-i),系數(shù)是一1,故不是幕函數(shù);④中,是幕函數(shù);X⑤中,v=)是幕函數(shù);⑥中,y=2*是指數(shù)函數(shù).故答案為:④⑤【點睛】本題考查了幕函數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.高頻考點二:幕函數(shù)的圖象【典例2】(2020?四川省高一期末).若四個基函數(shù)y=尤",y二丁產(chǎn)二無,,)*一,在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖,則a,4c,d的大小關(guān)系正確的是( )
B.a>\>bA.B.a>\>bC.0>b>c D.0>d>c【答案】B【解析】【分析】利用幕函數(shù)在第一象限內(nèi),x=l的右側(cè)部分的圖象的特點,確定出的大小關(guān)系.【詳解】由幕函數(shù)的圖象與性質(zhì),在第一象限內(nèi),在尤=1的右側(cè)部分的圖象,圖象由下至上,幕指數(shù)依次增大,可得a>l>8>0>c>d故選:B【點睛】本題考查‘幕函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力,屬于基礎(chǔ)題.【典例3]【2018屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟高三上期中】A.-l<m<O<n<l4.若事函數(shù)丁=k|0=/與丫=/在第一象限的圖象如圖所示,則加與〃的取值情況為A.-l<m<O<n<lB.-\<n<Q<mC.-l<m<O<nD.—1<n<0</?<1【答案】D【解析】【詳解】在第一象限作出塞函數(shù)【詳解】在第一象限作出塞函數(shù)y=xm,y=x",y=x,y=y=xm,y=x",作直線X=X。,與各圖象有交點,則由“指大圖高”,可知如圖,(X/n<l,-l<z7<0,故選D.【典例4】(2019?江西高三期中(文))5.幕函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(27,;),則/(》=( )A.1 B,2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)‘幕函數(shù)為〃力=產(chǎn),根據(jù)點(27,手在函數(shù)y=/(x)的圖象上,求得/(x)=x4,進(jìn)而求得/(》的值,得到答案.【詳解】設(shè)基函數(shù)的解析式為f(x)=V,aeR,因為點(27,g)在函數(shù)y=/(x)的圖象上,111可得27"=§,即33a=3-1解得。=一 所以/(%)=.,則《)=《)§=8彳則《)=《)故選:B.【點睛】本題主要考查了累函數(shù)的定義及其應(yīng)用,其中解答中根據(jù)題意求得事函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵,著重考查推理與運算能力.【總結(jié)提升】.函數(shù)y=Y的形式的圖象都過點(1,1).它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征:當(dāng)a>0時,第一象限圖象是上坡遞增;當(dāng)aVO時,第一象限圖象是下坡遞減.然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可..幕函數(shù)的形式特點是“幕指數(shù)坐在x的肩膀上“,往往利用待定系數(shù)法,求幕指數(shù),得到函數(shù)解析式,進(jìn)一步解題.【變式探究】(202。.廣西壯族自治區(qū)南寧三中高二月考(文))46.函數(shù)/(力=戶的圖像大致是( )【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域,排除C項,根據(jù)函數(shù)的奇偶性,排除D項,根據(jù)基函數(shù)的單調(diào)性和變化趨勢,排除B項,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù)/(力=?=#7,可得函數(shù)的定義域為R,所以排除C;又由/(r)=yG=^=/(x),所以函數(shù)為偶函數(shù),所以排除。;4 4又因為§〉1,所以函數(shù)/(力=/在第一象限單調(diào)遞增,且增長趨勢越來越快,排除及故選:A.【點睛】本題主要考查了尋函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用,其中解答中熟記幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.(2020?上海高一課時練習(xí))7.如圖是鬲函數(shù)y=x"的部分圖像,已知“取;,2,-2,-g這四個值,則于曲線0,。2,。3,。4相對應(yīng)的〃依次為(【答案】A【解析】【分析】利用特值法將x=2,分別代入x=1,%=/,%=x",得到相應(yīng)的函數(shù)值,再結(jié)合圖象即可得到答案.【詳解】令X=2,分別代入弘=%,%=*2,%=/,”=?,1 M得到x=8,必=4,y3=-,y4=—,根據(jù)圖象可知?,。2,。3,。4相對應(yīng)的“依次為:故選:A【點睛】本題主要考查幕函數(shù)的圖象,特值法為解決本題的關(guān)鍵,屬于簡單題.(2020?上海高一課時練習(xí)).下列四個結(jié)論中,正確的是( )A.幕函數(shù)的圖象過(0,0)和(11兩點 B.塞函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限C.當(dāng)〃>0時,y=x"(〃eN)是增函數(shù)D.y=x°的圖象是一條直線【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基函數(shù)的圖象與性質(zhì),對選項逐一分析即可.【詳解】哥函數(shù)的圖象都過點(1,1),但不一定過點(0,0),所以A錯;因為當(dāng)x>0時,y=xa>0,所以幕函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限,即8對;當(dāng)〃>0時,y=x"(〃eN)不一定是增函數(shù),如y=V在(-8,0]上單調(diào)遞減,所以C錯;y=x0的圖象是一條去掉一點(0/)的直線,所以。錯.故選:B【點睛】本題主要考查事函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.高頻考點三:幕函數(shù)的性質(zhì)【典例5】(2。2。.新泰市第二中學(xué)高二月考).已知函數(shù)/?(尤)=/圖像經(jīng)過點(4,2),則下列命題正確的有( )A.函數(shù)為增函數(shù) B,函數(shù)為偶函數(shù)C.若x>l,則/(x)>l D.若。<%<々,貝I“X)+/(%)<不…)【答案】ACD【解析】1【分析】先代點求出幕函數(shù)的解析式= 根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)直接可得單調(diào)性和奇偶性,由4>1可判斷C,利用展開和0比即可判斷/百)+/(犬2)、2,2(再+/)‘禽+H展開和0比即可判斷D.【詳解】將點(4,2)代入函數(shù)/(x)=/得:2=4。,則。=3.顯然/(X)在定義域上為增函數(shù),所以A正確.
/(X)的定義域為[0,+8),所以/(X)不具有奇偶性,所以B不正確.當(dāng)x>l時,G>1,即/3>1,所以C正確.當(dāng)若0"<》2時,/匹)+小2)/匹)+小2)、-_『1一+々)=,募+42=%+42=%+%+2yjxtx2X]+X2+ <(+人)成立,所以D正確.故選:ACD.【點睛】本題主要考查了基函數(shù)的性質(zhì),【典例6】(2020?四川省高三二模(文)).已知點(3,28)在函數(shù)〃力=爐+1的圖象上,^a=f(—),b=/(ln^),c=f,則。,dc的大小關(guān)系為( )A.b<a<cB.a<b<cC.h<c<aD.c<a<b【答案】D【解析】【分析】根點(3,28)在函數(shù)〃x)的圖象上,求得〃x)=d+l,得到/(力在/?上為增函數(shù),再由好<正<ln萬,即可求解.4 3【詳解】根據(jù)題意,點(3,28)在函數(shù)/(司=爐+1的圖象上,可得28=3"+1,解可得〃=3,則〃X)=V+1,可得函數(shù)/(x)在R上為增函數(shù),乂田——= < =——<1(In%,所以/(——)</(——)</(111萬),4 12 12 3 4 3所以c<a<b.故選:D.【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)比較大小問題,其中解答中求得函數(shù)的解析式,得出函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵,著重考查推理與運算能力.【典例7】(2019?上海高考模擬)11.設(shè)若/(x)=爐為偶函數(shù),則。=.【答案】-2【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義代值進(jìn)行判斷即可求出答案.【詳解】解:由題可知,當(dāng)?=-2時,f(x)=x-2=-^,滿足X???/(x)是偶函數(shù);當(dāng)a=g1,T3時,不滿足/(-x)=/(x),a=-2,故答案為:-2.【點睛】本題主要考查募函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.【方法技巧】.在比較基值的大小時,必須結(jié)合基值的特點,選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進(jìn)行比較,既不同底又不同次數(shù)的幕函數(shù)值比較大?。撼U业揭粋€中間值,通過比較幕函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷.準(zhǔn)確掌握各個幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵..指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大).當(dāng)事的底數(shù)不確定時,要注意討論底數(shù)的不同取值情況.【變式探究】
c=Tog,“3,則(2019?湖北高三高考模擬(理))12.事函數(shù)/(x)=x"’的圖象過點c=Tog,“3,則14-HIa,b,c的大小關(guān)系是(A.a>c>hB.b>c>aC.a>b>c D.c>a>b【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)事函數(shù)/。)=/"的圖象過點(2,4),求得加=2;進(jìn)而求得a",c的值,再分別判斷大小排序即可.【詳解】解:幕函數(shù)/(幻=丁的圖象過點(2,4),2"=4,m=2;Ia=m^=V2>1'c=-logw3=-log23<0,V2>§>-log239a>b>c.故選:c.【點睛】本題主要考查基函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)值大小的比較,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題型.(2020?上海高一課時練習(xí)).已知幕函數(shù)y=V的圖像滿足,當(dāng)xe(0,l)時,在直線y=x的上方;當(dāng)xe(l,+8)時,在直線y=x的下方,則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】a<l【解析】【分析】分別討論當(dāng)a>1時,當(dāng)a=l時,當(dāng)。<a<l時,當(dāng)a=0時,當(dāng)a<0時,
幕函數(shù)丁=丁和直線y=x第一象限的圖像情況,可得答案.【詳解】當(dāng)a>l時,幕函數(shù)y=和直線y=x第一象限的圖像如下:由圖可知,不滿足題意:當(dāng)a=l時,塞函數(shù)丫=/=無和直線丁=》重合,不滿足題意;當(dāng)0<々<1時,幕函數(shù)y=x"和直線y=x第一象限的圖像如下:由圖可知,滿足題意,當(dāng)。=0時,基函數(shù)y=xa和直線丁=式第一象限的圖像如下:由圖可知,滿足題意,當(dāng)。<0時,器函數(shù)y=/和直線y=x第一象限的圖像如下:由圖可知,滿足題意,綜上,a<l.故答案為:a<L【點睛】本題考查‘幕函數(shù)的圖象情況,屬于基礎(chǔ)題.(2020?內(nèi)蒙古自治區(qū)集寧一中高二月考(文)). 己知函數(shù)/(*)=(〃22-加-1)/是幕函數(shù),且/(x)在(0,+<?)上單調(diào)遞增,則實數(shù)加=.【答案】2【解析】【分析】由函數(shù)〃力=(加一加一1)/是塞函數(shù),求得〃7=2或加=-1,結(jié)合事函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【詳解】由題意,函數(shù)/(x)=(4-〃l1X是幕函數(shù),可得》?2-加_]=],即帆2—6—2=0,解得/"=2或m=-l,當(dāng)〃7=2時,函數(shù)/(6=犬,此時/(x)在(0,+0。)上單調(diào)遞增,符合題意;當(dāng)初=-1時,函數(shù)/(6=/,此時“X)在(0,+?o)上單調(diào)遞減,不符合題意,故答案為:2.【點睛】本題主要考查了幕函數(shù)的定義及圖像與性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記幕函數(shù)的定義,結(jié)合幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判定是解答的關(guān)鍵,著重考查運算能力.高頻考點四:塞函數(shù)綜合問題【典例8】(2013?江蘇省高考真題).在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)定點A(a,a),P是函數(shù)(x>0)圖象上一動x點.若點P,A之間的最短距離為20,則滿足條件的實數(shù)。的所有值為【答案】一1或行【解析】【詳解】試題分析:設(shè)點 ,則令1=%+—,,??%>0,「.f22x令g⑺=/_2at4-2a~-2=(/- +a2-2(1)當(dāng)aN2時,時g(r)取得最小值g(a)=/-2,7a?-2=26,解得a=y/\0(2)當(dāng)a<2時,g(r)在區(qū)間[2,yo)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)『=2時,g(r)取得最小值g(2)=〃2-4。+272a2-4a+2=26,解得。=-1綜上可知:。=-1或所以答案應(yīng)填:-1或廂.考點:1、兩點間的距離公式;2、基本不等式;3、一元二次函數(shù)的性質(zhì).'而視頻「[典例9](2020?上海高一課時練習(xí))16.若(q+1)T>(3-2爐,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】'l,'!)u(4,+ao)【解析】【分析】首先設(shè)‘幕函數(shù)/(x)=x3,得到函數(shù)/(X)為偶函數(shù),且在(-8,0)為增函數(shù),2 2(0,+8)為減函數(shù),再利用單調(diào)性解不等式(a+l)W>(3-2a)3即可.2【詳解】設(shè)塞函數(shù)y(x)=x與,定義域為xhO,2Ln_l二因為/(一x)=(-x)3=(-X)-3=x=/(x)?所以函數(shù)/(x)=xl為偶函數(shù).由幕函數(shù)的單調(diào)性可知:/(x)= 在(。,+8)為減函數(shù),又因為函數(shù)/(力=;3為偶函數(shù),所以〃刈=;3在(,°)為增函數(shù).因為(a+l)T>(3-2ap,。+1。02所以43-2。。0 ,解得。>4或一1<。<一或34-1|<|3-2d所以a的取值范圍是(-8,-1)U(-1,|Ju(4,+8).【點睛】本題主要考查根據(jù)事函數(shù)的單調(diào)性解不等式,同時考查了幕函數(shù)的奇偶性,屬于中檔題.【典例10](2020?江西省南康中學(xué)高一月考)17.已知幕函數(shù)/")=(「2_3「+3)1號/4滿足*2)</(4).(1)求函數(shù)〃x)的解析式;(2)若函數(shù)g(x)=_f(x)+時(x),xe[l,9]是否存在實數(shù),"使得g(x)的最小值為0?若存在,求出加的值;若不存在,說明理由;(3)若函數(shù)〃(x)="-/(x+3),是否存在實數(shù),使函數(shù)〃(x)在[a,同上的值域為同?若存在,求出實數(shù)〃的取值范圍;若不存在,說明理由.【答案】(1)f(x)=G;(2)存在,帆=一1;(3)存在,〃e-(,一2.【解析】【分析】(1)利用基函數(shù)的定義和已知條件即可得到答案.(2)首先得到g(x)=x+m?,令.=人得到%(。=/+〃力,re[1,3],再利用二次函數(shù)是的性質(zhì)分類討論即可得到答案.,- [h(a)=n-4^=b?(3)首先得到世= 根據(jù)題意得到<〉[ ,一 從而得h(b)=n-y/b+3=a?到〃=4+4m=4+1-而5,再利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.23 1【詳解】(1)因為〃x)=(p2_3p+3)x"y-5是幕函數(shù),所以p2_3p+3=l,解得p=]或p=2.當(dāng)p=l時,/(力=工,在((),+a)為減函數(shù),不滿足/(2)</(4).當(dāng)P=2時,f(x)=G,在(0,+紡)為增函數(shù),滿足〃2)</(4).所以/(x)=VLg(x)=/2(x)+@(x)=x+m?,令t=C,因為x?L9],所以re[L3],則令4?)=/+,加,對稱軸為,=一羨.①當(dāng)—即“2-2時,函數(shù)左⑺在[1,3]為增函數(shù),左(')min=左(1)=1+機=0,解得6=—1?②當(dāng)1<-3<3,即一6<“<-2時,k(t)=/:f--1=-^―=0,2 ''mmI2J4解得機=0,不符合題意,舍去.當(dāng)一葭》3,即小W-6時,函數(shù)女⑺在[1,3]為減函數(shù),&(。而0=刈3)=9+3m=0,解得加=一3.不符合題意,舍去.綜上所述:存在相=-1使得g(x)的最小值為0./?(x)=〃-/(x+3)=〃-Jx+3,則〃(x)在定義域范圍內(nèi)為減函數(shù),若存在實數(shù)a力b),使函數(shù)〃(x)在卜I,以上的值域為回,h(a)=n—da+3=b?%-Jb+3=〃②②-①得:Ja+3-J-+3=3-4=(〃+3)-伍+3),所以Jr+3."+3=(夜+3-"+3)(Ja+3+Jh+3),即 =i③.將③代入②得:〃=。+yJb+3=67+1-Ja+3.令1=Ja+3,因為a<b,所以°,;]所以〃=戶一/一2=,-3)一3,在區(qū)間feo,;)單調(diào)遞減,- 9所以一■-<n<-2.4故存在實數(shù)a,A(a<。),使函數(shù)人⑴在可上的值域
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