數(shù)列通項(xiàng)求解的基本方法與練習(xí)題

常見數(shù)列通項(xiàng)的求解方法幾種常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法。解決方法類型一：*=K+f(n)(f⑺可以求和) ,累加法例1、在數(shù)列｛an｝中，已知a1=1,當(dāng)n之2時(shí)，有an=an+2n-1(n之2),求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：an-4工=2n-1(n.2)Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialusea2.a1二1a?-a2二3上述n-1個(gè)等式相加可得:2an二上述n-1個(gè)等式相加可得:2an二nan-an」=2n-1an-4=n-1評(píng)注：一般情況下，累加法里只有 n-1個(gè)等式相加。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse類型一專項(xiàng)練習(xí)題:1、已知a1=1,a1、已知a1=1,an=an1+n(n>2),求an。an2、已知數(shù)列{an},a1=2,an+=an+3n+2,求an。ann(n1)

2

n(3n1)2Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialusean=2n13、已知數(shù)列｛an｝滿足an書=an+2n+1,a1=1,求數(shù)列an=2n14、已知{an}中，a1=3,an+=an22.,求an°5、已知a1丁15、已知a1丁1』1n2 2(nwN),求數(shù)列Qn)通項(xiàng)公式.an6、已知數(shù)列4｝滿足21=1冏=3"工+2門46之2),求通項(xiàng)公式an?(an3n-17、若數(shù)列的遞推公式為&=3,an+=a0-23n由(n^N*),則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an=12-3n18、已知數(shù)列｛an｝滿足an^=an+2，3n+1,a1=3,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。4=3、1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 .、 319、已知數(shù)列｛an｝湎足a[=,an+=an+2，求an。 an=-2 nn 2n10、數(shù)列Gn｝中，a1=2,an4=an+cn(c是常數(shù)，n=1,2,3,|||),且a]，a2,a3成公比不為1的等比數(shù)列.(I)求c的值； c=2(II)求｛an｝的通項(xiàng)公式. an=n2-n+211、設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n>3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)=5;當(dāng)一時(shí)，f(n)「?(用n表示).一.一解決方——，類型二：an^=f(n)& (f(n)可以求積) '當(dāng)一時(shí)，f(n)「?(用n表示).一.一解決方——，類型二：an^=f(n)& (f(n)可以求積) '累積法例1、在數(shù)列(an)中，已知a1=1，有nan」=(n+1冏，(n至2)求數(shù)列｛an)的通項(xiàng)公式解析：an=工?皿亙上||aa2aan1an2an3 a2a1nn-1n-2-32 2 - - 1M—一1二 n1nn7 43n12 *又,a1也湎足上式；二an= (nwN)n1評(píng)注：一般情況下，累積法里的第一步都是一樣的。類型二專項(xiàng)練習(xí)題：n-1 21、已知a1=1,an= an4(n至2),求an。 an=-2 n1 nn2、已知數(shù)列｛2/滿足21=2,an+=-n—an,求an3 n13n. . n 43、已知｛an｝中，an書=1^an,且a=2,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.an=n2 nn1一., Bn—1 . 人4、已知a1=3,an4t= an(n之1),求an。3n26an二；一；3n-15、已知a〔=1,an=n(an+-an)(neN*),求數(shù)列Qn1通項(xiàng)公式.an=nn2_n6、已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an斗=2nan,求通項(xiàng)公式an? (an=22)一2一n2_n7、已知數(shù)列｛an｝滿足anV=2(n+1)5n.an,a1=3,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。an=3xnM2n」乂5218、已知數(shù)列J｛an｝,滿足ai=1,an=a〔+2a2+斑+…+(n—1問」(n>2),則｛an｝的通項(xiàng)an=〈n!工n=1n.29、設(shè)｛3｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)an4-na2+an+1?an=0(n=1,2,3, …)，求、，一一 1匕的通項(xiàng)公式. an=n10、數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且a,=1,Sn=n2an(nwN*),求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.2an二-2nn解決方法類型三：an^=Aan+B(其中A,B為常數(shù)A#0,1) )待定常數(shù)法可將其轉(zhuǎn)化為an++t=A(an+t),其中t=—B-,則數(shù)列Ln+4為公比等于A的等比數(shù)列，

A-1然后求an即可。例1在數(shù)列Qn｝中，a1=1,當(dāng)n，2時(shí)，有an=3an」+2,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。解析：設(shè)an+t=3(an_1+t),貝Uan=3an_1+2t,t=1,于是an+1=3(4J1),｛an+1｝是以a+1=2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。.an=23nl-1類型三專項(xiàng)練習(xí)題：1、在數(shù)列QJ中，a1=1, an+=2an+3,求數(shù)列〈aj的通項(xiàng)公式。(an=3n-2)2、若數(shù)列的遞推公式為4=1,小力=24-2mW1_*),則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為=2-2^13、已知數(shù)歹1」｛an｝中，a1=1,an=-an^+1”22)求通項(xiàng)2「an=2—2124、在數(shù)列｛必不是常數(shù)數(shù)列)中，a“I+2且a,J求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.an=4an=45、在數(shù)列｛an｝中，a1=1,an中=3，an一1,求an.13an二一211Q1-n——23n1B+6B=3.6、已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an+=2an+1(nwN*).求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.an=2n-1B+6B=3.7、設(shè)二次方程anx2-an+1x+1=0(n€N)有兩根a和0,且滿足6a-2.(1)試用(1)試用an表示a1 1an1=-an -2 3，、 ,,,' 2(2)求證：數(shù)列dan-三5是等比數(shù)歹I」;3(3)當(dāng)(3)當(dāng)&=7時(shí)，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式6an=2「n3 28、在數(shù)列Q｝中，S為其前n項(xiàng)和，若a1=^,a2=2,并且Sn書-3&+2Sn」+1=0(n>2),試判斷(an-1｝(n€N?)是不是等比數(shù)列?類型四：Aan++Ban+Can」=0;(其中A,B,C為常數(shù)，且ABC#0)(*)的形式，列出方程組可將其轉(zhuǎn)化為Aan1卜工an--an卜工an」(*)的形式，列出方程組A：-Bj“a”，解出5B；還原到(*)式，則數(shù)列人+aa」是以比+”為百項(xiàng)，尻為公比的等比數(shù)列，然后再結(jié)合其它方法，就可以求出an。例1在數(shù)列Gn)中，a1=2,a2=4,且an書=3an-2an」(n之2)求數(shù)列Ln｝的通項(xiàng)公式。解析：令an1?：-an=*(an,：an」),(n-2)解得:=-1,-2;an1-an=2an-an4.An-2則數(shù)列Qn由-?。且詀2-4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列

an1—an=22-=2a2一a1=2TOC\o"1-5"\h\za3-a2=22 n1_03 2(1 2JOnO.rJad一23=2 ,Pan—a1= 二2-2. 1-2*

+an-an」=2n」_n *.an=2nN評(píng)注：在Aan書+Ban+Can」=0;（其中A,B,C為常數(shù)，且AECr0）中，若A+B+C=0則一定可以構(gòu)造《an書-an｝為等比數(shù)歹上例2已知a1=2、a2=3,an書=6an」-an(n22),求an解析：令an書+aan=P(an+aan」Xn占2),整理得an書=(P—u)an+apan」n」；n」；ani3an=a23ai2 =92兩邊同除以2n中兩邊同除以2n中得,.a 3令—-=bn, bn^+-bn2 2令bn++t=—3(bn+t),22n94得bn1Ibn=--ft2 2910- bni- bni9109 1 3VW為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列。bnn1bnn19=1 310-10 2bnn11010 2即在2n即在2n191 3—十一.--,101029cn1on4二一2 310 5類型四專項(xiàng)練習(xí)題:TOC\o"1-5"\h\z2 1 4 31、已知數(shù)列Gn｝中，a1=1,a2=2,an_2=—an書+—an,求anoan=1十一3 3 42、5 5已知a1=1,a22、5 5已知a1=1,a2=—,為妥=—an.3 3--an,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an.an=3-3—3⑶3、已知數(shù)列｛an｝中，Sn是其前n項(xiàng)和，并且&4=44+25=1,2川|),&=1,⑴設(shè)數(shù)列bn=an省-2an(n=1,2,……)，求證：數(shù)列Q｝是等比數(shù)歹1」；⑵設(shè)數(shù)列Cn==,(n=1,2,……)，求證：數(shù)列Q｝是等差數(shù)列;2n⑶求數(shù)列｛an ｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。an =2n,+3(n-1) ,2n； Sn=(3n-1) ,2n +24、數(shù)列｛an｝：3an%-5an書+2an=0(n21,nwN),a1=a,a2=b,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。anan=3b-2a3(a-b)i2n」類型五:=pan+f(n) (p#0且p#1)類型五:一般需一次或多次待定系數(shù)法，構(gòu)造新的等差數(shù)列或等比數(shù)列。設(shè)在數(shù)列｛an｝中，ai=1,an=；an,+2n-1(n之2)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。解析:設(shè)解析:設(shè)bn=anAnb.anAnB=11|an「AnTB-2=0展開后比較得12-2=0展開后比較得123旦-1=0l2 2一IA=-4二jB=61這時(shí)bn=—bnj(n*2)且bn=an-4n+62二｛bn｝是以3為首項(xiàng)，以1為公比的等比數(shù)列21n4…2例2在數(shù)列｛an｝中，a1=2,an=2an」十2n*(n至2)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式解析：=2%「2n1n_2「.an-2an「2T兩邊同除以2n得=—第=2是以電=1為首項(xiàng)，2為公差的等差2 2 2n2數(shù)列。a n_=1+(n—1產(chǎn)2=2門—1 即an=2(2n-1)*例3在數(shù)列｛an｝中，a1=5,an=2an」+2-1(n>2,n=n)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。解析：在an=2an,十2n—1中，先取掉2n,得20=2%」一1令an+九=2(an1十九)，得九二一1,即an-1=2(%」一9；然后再加上2n得(％—1)=2( 1)+2n ；an-1-2an「1=2n兩邊同除以2n,得包二一筆二=1;2n2n」二1a了!是以亙二1=2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列2n 2an-12n評(píng)注：若f(n)中含有常數(shù)，則先待定常數(shù)。然后加上n的其它式子，再構(gòu)造或待定例4已知數(shù)列｛an｝滿足an書=3an+5'2n+4,a1=1,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式解析：在an書=3an+52n+4中取掉52n待定令an++t=3(an+t),則an+=3an+2t，2t=4,t=2；.?.an由+2=3(an+2),再加上52n得,,an噂+2=3(an+2)+52n,整理得:a,an噂+2=3(an+2)+52n,整理得:n1 n-—，TOC\o"1-5"\h\z2 22 2,a-2 3令n2n-，則f+^bn- 3 3t令bn1「2bn「2；

t=5；t=5；2~2,即by+5=3(bn+5);「.數(shù)歹l」｛bn十5｝是以bi+5=電22+5=13為首項(xiàng)，0為公比的等比數(shù)歹上2 2 2 2…133n」b5=52- -.n1，即，532；整理得a…133n」b5=52- -.n1，即，532；整理得an=133nJ-52n-2類型5專項(xiàng)練習(xí)題：4 1 21、設(shè)數(shù)歹U｛an｝的刖n項(xiàng)和Sn=-an--2*+—(n之1,nwn3 3 3),求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。an=4n-2n2、已知數(shù)列｛an｝中,1=2'|^(n,2an*—an)在直線y=x上，其中n=1,2,3川川.(1)令bn=an+—an—1,求證：數(shù)歹I」｛bn｝是等比數(shù)歹I」；⑵求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)； lan=l+n-2)3、已知 a1 =2, an書=4an +2n’，求an。 an =4n-2n4、設(shè)數(shù)列｛an ｝： a1 =4,an=3an」+2n—1,(n之2),求 an. an =4 Bn」—n—15、已知數(shù)列｛an｝滿足a〔=2,an*=2an+(2n-1),求通項(xiàng)anan=5夕」-2n-13 96、在數(shù)列｛an｝中，a1=-，2an-anj=6n-3,求通項(xiàng)公式an。an=—2 27、已知數(shù)列Q｝中，a〔=芻，an+=1an+(」嚴(yán)，求an。an=-2心|6 3 2 38、已知數(shù)列｛an｝,a1=1,n€N+,an+=2an+3n,求通項(xiàng)公式an.an=3n—2n5n19、已知數(shù)列⑸｝潴足an書=3an+23n+1,a—,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。an=(2n-)3n-6 210、若數(shù)列的遞推公式為4=1,為書=3%-23n+(nw|_),則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an=3n(3一明11、已知數(shù)列｛an＞滿足a=1,an+=3an+2n41,求an.P1 on1an=53-212、 已知數(shù)列｛an｝滿足an書=2an+3,2n,冉=2,求數(shù)列⑸｝的通項(xiàng)公式。an=(3n-1)2n*3n-23n-213、已知數(shù)列｛an｝滿足an卡=2an +3 5n, a1 =6,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。an=5n+2n」已知a1=1,an=—a已知a1=1,an=—an」+2n」，求anan2n13已知｛&｝中，a=1,an=2an」+2n(n…2),求an.an"n-216、已知數(shù)列Q｝16、已知數(shù)列Q｝中，Sn是其前n項(xiàng)和，并且Sn書=4an+25=1,2,|||),司=1,⑴設(shè)數(shù)列bn=an+-2an(n=1,2,……),求證：數(shù)列＜bn｝是等比數(shù)列;⑵設(shè)數(shù)列cn=a4，(n=1,2,……)，求證：數(shù)列&｝是等差數(shù)列;2⑶求數(shù)列Q ｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。an =2n,+3(n-1)，2n： sn=(3n-1)，2n +2類型六：an1類型六：an1(Cpd=0)pand解決方法一一一T倒數(shù)法例1已知a例1已知a1=4,an書=-2~a-,求an。2an1解析：兩邊取倒數(shù)得：—=1,設(shè)工=bn,則bn+-1bn=1;an12an an 2令M+tTbnM展開后得，=2；，￡=2；二｛bn-2｝是以b1-2=1-2=-7為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)歹上設(shè)4 27 1n7 1n」…2TH即——2二an 4 2尸/口 2n書| ，行an=” 1；2 —7評(píng)注：去倒數(shù)后，一般需構(gòu)造新的等差(比)數(shù)列。類型六專項(xiàng)練習(xí)題：1 1 . 1評(píng)注：去倒數(shù)后，一般需構(gòu)造新的等差(比)數(shù)列。類型六專項(xiàng)練習(xí)題：1 1 . 1、若數(shù)列的遞推公式為&=3,——=--2(nw|J),則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

an1anan37-6n2、已知數(shù)列｛an｝滿足a12、已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,n之2時(shí)，an」-an=2an口an,求通項(xiàng)公式anO an12n-13、已知數(shù)列｛an｝滿足:_an4an二" ；,a13an4 1=1,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式°an166、已知無窮數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,并且an+6=1(nwN*),求匕0｝的通項(xiàng)公式？4、設(shè)數(shù)列｛an｝滿足al=2,an4=1^，求aan35、已知數(shù)列5、已知數(shù)列｛an｝滿足ai=1,a3an /- 1 ，求anan--n—3an6 2-1TOC\o"1-5"\h\z3a 66、 在數(shù)列｛斗｝中，a1=2,小書=三」，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.an=—6-an3 2n17、若數(shù)列｛an｝中，a1=1,34二-^口€N+，求通項(xiàng)an.an=——an2 n1解決方法類型七：&=f(an)— 解決方法類型七：&=f(an)— — — —.例1已知數(shù)列&n)前n項(xiàng)和Sn=4-an-1.2(1)求an書與an的關(guān)系；an=6 (n=1)Sn (n_2)(2)求通項(xiàng)公式an.解析：(1)1)n=1時(shí),4=、=4—a1—2,得a1=1;TOC\o"1-5"\h\z1 , 12n之2時(shí)，an=Sn—SnI=4-an--n^-4+anJ+-n：J；2 2陽1 1彳寸an1~~anTn-°2 2(2)在上式中兩邊同乘以2n中得2n+an4-2na=2;,??數(shù)列｛2nan｝是以21a1=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列;2nan=2+2n-2=2n;得an=-2n1。類型七專項(xiàng)練習(xí)題：1、數(shù)列｛an｝的前N項(xiàng)和為S,a1=1,an+1=2S(nWN*).求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an。an=3n/12、已知在正整數(shù)數(shù)列｛an｝中，前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=1(an+2)2,求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式.8an=4n-23、已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn=3n-2,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.a1nJ"")23(n-2)4、設(shè)正整數(shù)｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=1(an+1)2,求數(shù)歹I」｛an｝的通項(xiàng)公式.a=3n4 n5、如果數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和Sn=^an-3,那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=2-3n2an=2」類型八：周期型TOC\o"1-5"\h\z2an,(0-an~~) R例1、若數(shù)列｛4｝滿足前斗=｛ 2 ,若ai=9,則a20的值為 _1 ，，1 ，、 72an-1,(二9an<1)、 2解析：根據(jù)數(shù)列｛4｝的遞推關(guān)系得它的前幾項(xiàng)依次為：6，5，3,6，5，3,6出川；我們看出這個(gè)數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列，三項(xiàng)為一個(gè)周期；5a20=a2=7.評(píng)注：有些題目，表面看起來無從下手，但你歸納出它的前幾項(xiàng)后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，出現(xiàn)周期性，問題就迎刃而解。類型八專項(xiàng)練習(xí)題：TOC\o"1-5"\h\za-3 *一1、已知數(shù)列｛an｝?兩足a1=0,an書=y (n亡N),貝Ua20=(B)3an1A.0 B.-3 C. 32、在數(shù)列｛an｝中，a1=1,a2=5,an攵=an+-an,求a1998. -4類型九、利用數(shù)學(xué)歸納法求通項(xiàng)公式例1已知數(shù)列｛%｝滿足an+=an+——駕二)n=1時(shí)成立(已證明)―2,a1=8，求數(shù)歹｛an｝的通項(xiàng)公式(2n1)2(2n)n=1時(shí)成立(已證明)(2n1)2-1an= 2~n(2n1)2解析：根據(jù)遞推關(guān)系和a1=8得,a2二空,a3=48,11川?9 25 492所以3#測an=(2nDJ,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明它；n(2n1)2TOC\o"1-5"\h\z2 /2假設(shè)n=k（k至2）時(shí)，命題成立，即ak=（薄］；，2貝(Jn=k+1時(shí),cc 8(k1) _(2k1)貝(Jn=k+1時(shí),ak1-ak 2 2 2 2 2(2k1)(2k3) (2k1)2k12k34 3 216k 64k 84k 44k82 22k12k34 3 216k 64k 84k 44k82 22k12k3(2k+1)[(2k+3)2—1I2 22k12k3j(2k+3)2H~