函數(shù)與導數(shù)二輪專用

32/32函數(shù)與導數(shù)第一輪{命題總結與思考}[命題特點]函數(shù)的觀點和方法既貫穿了高中代數(shù)的全過程，又是學習高等數(shù)學的基礎，是高考數(shù)學中極為重要的容，縱觀全國與各自主命題省市近三年的高考試題，函數(shù)與導數(shù)在選擇、填空、解答三種題型中每年都有試題，分值26分左右，函數(shù)的解答題在文、理兩卷中往往分別命制，這不僅是由教學容要求的差異所決定的，也與文理科考生的思維水平差異有關。文科卷中函數(shù)和導數(shù)的解答題，其解析式只能選用多項式函數(shù)；而理科卷則可在指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以與三角函數(shù)中選取。高考對導數(shù)的考查主要以工具的方式進行命題，充分與函數(shù)相結合.其主要考點：（1）考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質（單調性、極值與最值）；（2）考查原函數(shù)與導函數(shù)之間的關系；（3）考查利用導數(shù)與函數(shù)相結合的實際應用題.從題型與考查難度上來看主要有以下幾個特點：①以填空題、選擇題考查導數(shù)的概念、求函數(shù)的導數(shù)、求單調區(qū)間、求函數(shù)的極值與最值；②與導數(shù)的幾何意義相結合的函數(shù)綜合題，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調性或求單調區(qū)間、最值或極值，屬于中檔題；③利用導數(shù)際應用問題中最值，為中檔偏難題.復習建議：復習時，考生要“回歸”課本，濃縮所學的知識，夯實基礎，熟練掌握解題的通性、通法，提高解題速度。同時，許多高考試題在教材中都有原型，即由教材中的例題、習題引申變化而來。因此，考生必須利用好課本，夯實基礎知識。[試題常見設計形式]函數(shù)和導數(shù)的容在高考試卷中所占的比重較大，考查時有一定的綜合性，并與數(shù)學思想方法緊密結合，對數(shù)學思想方法進行深入的考查，這種綜合地統(tǒng)攬各種知識、方法和能力，在函數(shù)的考查中得到了充分的體現(xiàn)，函數(shù)與導數(shù)解答題在文、理兩卷中往往分別命制，這既是由教學容要求的差異所決定的，也與文、理科考生的思維水平差異有關，文科卷中的解答題，其解析式一般選用多項式函數(shù)；理科卷則常在指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以與三角函數(shù)中選取。高考對導數(shù)的考查主要以工具的方式進行命題，充分與函數(shù)相結合.1利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值問題；2考查以函數(shù)為載體的實際應用題，主要是首先建立所求量的目標函數(shù)，再利用導數(shù)進行求解.

[突破方法技巧]1．討論函數(shù)的性質時，必須堅持定義域優(yōu)先的原則.對于函數(shù)實際應用問題，注意挖掘隱含在實際中的條件，避免忽略實際意義對定義域的影響.2．運用函數(shù)的性質解題時，注意數(shù)形結合，揚長避短.3．對于含參數(shù)的函數(shù)，研究其性質時，一般要對參數(shù)進行分類討論，全面考慮.如對二次項含參數(shù)的二次函數(shù)問題，應分a＝0和a≠0兩種情況討論，指、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)含有字母參數(shù)a時，需按a＞1和0＜a＜1分兩種情況討論.4．解答函數(shù)性質有關的綜合問題時，注意等價轉化思想的運用.5．在理解極值概念時要注意以下幾點：①極值點是區(qū)間部的點，不會是端點；②若在（a，b）有極值，那么在（a，b）絕不是單調函數(shù)；③極大值與極小值沒有必然的大小關系；④一般的情況，當函數(shù)在［a，b］上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù)在［a，b］的極大值點和極小值點是交替出現(xiàn)的；⑤導數(shù)為0的點是該點為極值點的必要條件，不是充分條件（對于可導函數(shù)而言）.而充分條件是導數(shù)值在極值點兩側異號.6．求函數(shù)的最值可分為以下幾步：①求出可疑點，即＝0的解x0；②用極值的方法確定極值；③將（a，b）的極值與，比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值；當在（a，b）只有一個可疑點時，若在這一點處有極大（?。┲?，則可以確定在該點處了取到最大（小）值.7．利用求導方法討論函數(shù)的單調性，要注意以下幾方面：①＞0是遞增的充分條件而非必要條件（＜0亦是如此）；②求單調區(qū)間時，首先要確定定義域；然后再根據(jù)＞0（或＜0）解出在定義域相應的x的圍；③在證明不等式時，首先要構造函數(shù)和確定定義域，其次運用求導的方法來證明.8．函數(shù)、導數(shù)的綜合問題往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，解決這類問題要注意：(1)綜合運用所學的數(shù)學思想方法來分析解決問題；(2)與時地進行思維的轉換，將問題等價轉化；(3)不等式證明的方法多，應注意恰當運用，特別要注意放縮法的靈活運用；(4)要利用導數(shù)這一工具來解決函數(shù)的單調性與最值問題.[典型例題分析]考點一、利用導數(shù)求解函數(shù)的單調性問題若f(x)在某區(qū)間上可導，則由f(x)＞0(f(x)＜0)可推出f(x)為增（減）函數(shù)，但反之則不一定，如：函數(shù)f(x)＝x3在R上遞增，而f(x)≥0.f(x)在區(qū)間D單調遞增(減)的充要條件是f(x0)≥0(≤0)，且f(x)在(a，b)的任意子區(qū)間上都不恒為零.利用導數(shù)求解函數(shù)單調性的主要題型：(1)根據(jù)函數(shù)解析式，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)根據(jù)函數(shù)的單調性函數(shù)求解參數(shù)問題；(3)求解與函數(shù)單調性相關的其它問題，如函數(shù)圖象的零點、不等式恒成立等問題.[例1]2010課標全國Ⅰ、設函數(shù)。（Ⅰ）若，求的單調區(qū)間；（II）若當時，求的取值圍于是當時，. 由可得.從而當時，，故當時，，而，于是當時，. 綜合得的取值圍為.[例2]2010、已知函數(shù)()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)當=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程；(Ⅱ)求()的單調區(qū)間。當時，，得，.所以沒在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是[例3]2010、已知函數(shù)=xe-x（xR）.(Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；(Ⅱ)已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=的圖象關于直線x=1對稱，證明當x>1時，>(Ⅲ)如果且證明[解析]（Ⅰ）解：令=0,解得x=1則=，所以>,從而>.因為，所以，又由（Ⅰ）可知函數(shù)在區(qū)間（-∞，1）事增函數(shù)，所以>,即>2.[例4]2010已知函數(shù).(Ⅰ)當時，討論的單調性；（Ⅱ）設當時，若對任意，存在，使，數(shù)取值圍.[解析](Ⅰ)原函數(shù)的定義域為（0，+，因為=，所以當時，（Ⅱ）當時，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意，有，又已知存在，使，所以，，即存在，使，即，即，所以，解得，即實數(shù)取值圍是。考點二、求函數(shù)的極值問題極值點的導數(shù)一定為0，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，同時不可導的點可能是極值點.因此函數(shù)的極值點只能在導數(shù)為0的點或不可導的點產(chǎn)生.利用導數(shù)求函數(shù)的極值主要題型：(1)根據(jù)函數(shù)解析式求極值；(2)根據(jù)函數(shù)的極值求解參數(shù)問題.解答時要注意準確應用利用導數(shù)求極值的原理求解.[例5]2010文17．（本小題滿分12分）設函數(shù).（1）若的兩個極值點為，且，數(shù)的值；（2）是否存在實數(shù)，使得是上的單調函數(shù)？若存在,求出的值；若不存在，說明理由.[解析]：（1）由已知有，從而，所以；（2）由，所以不存在實數(shù)，使得是上的單調函數(shù).文設函數(shù)，求函數(shù)的單調區(qū)間與極值.[例6]2010全國I文已知函數(shù)（=1\*ROMANI）當時，求的極值;（=2\*ROMANII）若在上是增函數(shù)，求的取值圍解：（Ⅰ）當時，，在單調減，在單調增，在時，有極小值.所以是的極小值.[例7]2010文設定函數(shù)，且方程的兩個根分別為1，4。（Ⅰ）當a=3且曲線過原點時，求的解析式；（Ⅱ）若在無極值點，求a的取值圍。解：由得因為的兩個根分別為1,4，所以（*）（Ⅰ）當時，又由（*）式得解得又因為曲線過原點，所以故（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）無極值點”等價于“在（-∞，+∞）恒成立”。由（*）式得。又解得即的取值圍考點三、求解函數(shù)的最值問題函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是比較所有極值點與端點的函數(shù)值所得結果，因此函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的端點函數(shù)值一定不是極值，但它可能是函數(shù)的最值.同時，函數(shù)的極值不一定是函數(shù)的最值，最值也不一定是極值.另外求解函數(shù)的最值問題，還可以直接結合函數(shù)的單調性來求解.利用導數(shù)求解函數(shù)最值問題的主要題型：(1)根據(jù)函數(shù)的解析式求函數(shù)的最大值；(2)根據(jù)函數(shù)在一個區(qū)間上的最值情況求解參數(shù)問題.[例8]2010文已知函數(shù)f（x）=的圖像在點P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2(Ⅰ)數(shù)a,b的值；(Ⅱ)設g（x）=f(x)+是[]上的增函數(shù)。（i）數(shù)m的最大值；(ii)當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由。解法一：（Ⅰ）由與題設得即。（Ⅱ）（?。┯傻?。中心對稱。這也就表明，存在點，使得過點的直線若能與函數(shù)的圖像圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等。解法二：（Ⅰ）同解法一。（Ⅱ）（?。┯傻?。是上的增函數(shù)，在上恒成立，即在上恒成立。設。，即不等式在上恒成立。所以在上恒成立。令，，可得，故，即的最大值為3.（ⅱ）由（ⅰ）得，將函數(shù)的圖像向左平移1個長度單位，再向下平移個長度單位，所得圖像相應的函數(shù)解析式為，。由于，所以為奇函數(shù)，故的圖像關于坐標原點成中心對稱。由此即得，函數(shù)的圖像關于點成中心對稱。這也表明，存在點，是得過點的直線若能與函數(shù)的圖像圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等。[例9]2010設函數(shù)。（1）當a=1時，求的單調區(qū)間。（2）若在上的最大值為，求a的值。解：對函數(shù)求導得：，定義域為（0，2）（1）當a=1時，令當為增區(qū)間；當為減函數(shù)。（2）區(qū)間上的最值問題，通過導數(shù)得到單調性，結合極值點和端點的比較得到，確定待定量a的值。當有最大值，則必不為減函數(shù)，且>0，為單調遞增區(qū)間。最大值在右端點取到。。[例10]2010已知函數(shù)（=1\*ROMANI）討論函數(shù)的單調性；（=2\*ROMANII）設.如果對任意，，求的取值圍。故a的取值圍為（-∞，-2].…12分[例11]2010省文、已知函數(shù)對任意實數(shù)均有，其中常數(shù)為負數(shù)，且在區(qū)間上有表達式．（1）求，的值；（2）寫出在上的表達式，并討論函數(shù)在上的單調性；（3）求出在上的最小值與最大值，并求出相應的自變量的取值．解：（1）．（2）解法一：對任意實數(shù)，解法二：當．令．即．當令．即．當令．即．故在與上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．（3）由函數(shù)在上的單調性可知，在或處取得最小值或，而在或處取得最大值或．故有①時，在處取得最小值，在處取得最大值．②時，在與處取得最小值在與處取得最大值．③時，在處取得最小值，在處取得最大值．考點四、函數(shù)與導數(shù)綜合問題導數(shù)是研究函數(shù)的工具，導數(shù)進入新教材之后，給函數(shù)問題注入了生機和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對函數(shù)問題的命題空間。所以把導數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情，對函數(shù)的命題已不再拘泥于一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等，對研究函數(shù)的目標也不僅限于求定義域，值域，單調性，奇偶性，對稱性，周期性等，而是把高次多項式函數(shù)，分式函數(shù)，指數(shù)型，對數(shù)型函數(shù)，以與初等基本函數(shù)的和、差、積、商都成為命題的對象，試題的命制往往融函數(shù)，導數(shù)，不等式，方程等知識于一體，通過演繹證明，運算推理等理性思維，解決單調性，極值，最值，切線，方程的根，參數(shù)的圍等問題，這類題難度很大，綜合性強，容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏。解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想、轉化與劃歸思想。[例12]2010全國I理(20)(本小題滿分12分)已知函數(shù).（Ⅰ）若，求的取值圍；（Ⅱ）證明：.[例13]2010、已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，aR。(Ⅰ)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交，且在交點處有一樣的切線，求a的值與該切線的方程；(Ⅱ)設函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),當h(x)存在最小之時，求其最小值（a）的解析式；對(Ⅱ)中的，證明：當a（0，+）時，1.解（1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),由已知得，解德a=,x=e2,兩條曲線交點的坐標為（e2,e）切線的斜率為k=f’(e2)=,切線的方程為y-e=(x-e2).當a.>0時，令h(x)=0,解得x=,所以當0<x<時h(x)<0，h(x)在（0，）上遞減；當x>時，h(x)>0，h(x)在（0，）上遞增。所以x>是h(x)在（0，+∞）上的唯一極致點，且是極小值點，從而也是h(x)的最小值點。所以=h()=2a-aln=2（2）當a

≤

0時，h(x)=(1/2-2a)/2x>0,h(x)在（0，+∞）遞增，無最小值。故h(x)的最小值的解析式為2a(1-ln2a)(a>o)（3）由（2）知=2a(1-ln2a)則=-2ln2a，令=0解得a=1/2當0<a<1/2時，>0，所以在(0,1/2)上遞增當a>1/2時，<0，所以在(1/2,+∞)上遞減。所以在(0,+∞)處取得極大值=1因為在(0,+∞)上有且只有一個極致點，所以=1也是的最大值所當a屬于(0,+∞)時，總有

≤

1考點五、導數(shù)與數(shù)學建模的問題此類試題主要是利用函數(shù)、不等式與導數(shù)相結合設計實際應用問題，旨在考查考生在數(shù)學應用方面閱讀、理解述的材料，能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決實際問題的能力，這是高考中的一個熱點.解答類似于本題的問題時，可從給定的數(shù)量關系中選取一個恰當?shù)淖兞?，建立函?shù)模型，然后根據(jù)目標函數(shù)的結構特征(非常規(guī)函數(shù))，確定運用導數(shù)最值理論去解決問題.[例14]2010、為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．（Ⅰ）求的值與的表達式；（Ⅱ）隔熱層修建多厚對，總費用達到最小，并求最小值．解：（Ⅰ）沒隔熱層厚度cm，由題設每年能源消耗費用為，再由得，而建造費用為最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為（Ⅱ），令，即解得，（舍去）。當時，，當時，，故是的最小值點，對應的最小值為當隔熱層修建5㎝厚時，總費用達到最小值70萬元．[例15]某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A,B與CD的中點P處，已知AB=20km,CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A,B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO,BO,OP，設排污管道的總長為km．（Ⅰ）按下列要求寫出函數(shù)關系式：①設∠BAO=(rad)，將表示成的函數(shù)關系式；②設OP(km)，將表示成x的函數(shù)關系式．（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數(shù)關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．[解析]本小題主要考查函數(shù)最值的應用．（Ⅰ）①由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，則,故，又OP＝10－10ta，[突破訓練]1、已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋ax＋d的圖象過點P（0，2），且在點M（－1，f（－1））處的切線方程為6x-y+7=0.（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間.解：（Ⅰ）由f(x)的圖象經(jīng)過P（0，2），知d＝2，則f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f(x)＝3x2＋2bx+c，由在M(-1,f(-1))處的切線方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，且f(-1)=6，∴eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(3-2b+c=6,-1+b-c+2=1)，即eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(2b-c=3,b-c=0)，解得b=c=-3，故所求的解析式是f(x)＝x3-3x2-3x+2.（Ⅱ）f(x)＝3x2-6x-3，令3x2-6x-3=0，即x2-2x-1=0，解得x1=1-eq\r(2)，x2=1+eq\r(2)，當x＜1-eq\r(2)或x＞1+eq\r(2)時，f(x)＞0；當1-eq\r(2)＜x＜1+eq\r(2)時，f(x)＜0，故f(x)＝x3-3x2-3x+2在(-∞，1-eq\r(2))是增函數(shù)，在(1-eq\r(2)，1+eq\r(2))是減函數(shù)，在(1+eq\r(2)，+∞)是增函數(shù).2、已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝x2(ax－3)，其中a為常數(shù).(Ⅰ)若x＝1是函數(shù)f(x)的一個極值點，求a的值；(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間（－1，0）上是增函數(shù)，求a的取值圍解：(Ⅰ)f(x)＝ax3－3x，f(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),∵x＝1是f(x)的一個極值點，∴f(1)＝0，∴a＝2；(Ⅱ)①當a＝0時，f(x)＝－3x2在區(qū)間（－1，0）上是增函數(shù)，∴a＝0符合題意；②當a≠0時，f(x)＝3ax(x－eq\f(2,a))，由f(x)＝0，得x＝0，x＝eq\f(2,a)當a＞0時，對任意x∈(－1，0)，f(x)＞0，∴a＞0符合題意；當a＜0時，當x∈(eq\f(2,a)，0)時，由f(x)＞0，得eq\f(2,a)≤－1，∴－2≤a＜0符合題意；綜上所述，a≥－2.3、設函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，數(shù)a的取值圍．（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.以下分兩種情況討論：若，當x變化時，f’(x)，f（x）的變化情況如下表：X0f’(x)+0-f(x)極大值當?shù)葍r于，解不等式組得-5<a<5.因此.若a>2，則.當x變化時，f’(x),f（x）的變化情況如下表：X0f’(x)+0-0+f(x)極大值極小值當時，f（x）>0等價于即，解不等式組得或.因此2<a<5.綜合（1）和（2），可知a的取值圍為0<a<5.5、2010文、已知函數(shù)＝（－a）（a－b）（a，b∈R，a<b）.（Ⅰ）當a＝1，b＝2時，求曲線y＝在點（2，f（2））處的切線方程;（Ⅱ）設x1，x2是的兩個極值點，x3是的一個零點，且x3≠x1，x3≠x2.證明：存在實數(shù)x4，使得x1，x2，x3，x4按某種順序排列后構成等差數(shù)列，并求x4.解：(Ⅰ)當a=1,b=2時，因為f′(x)=(x-1)(3x-5).故f′(2)=1.又＝0，所以在點（2，0）處的切線方程為y＝x－2.（Ⅱ）證明：因為f′（x）＝3（x－a）（x－），由于a<b.故a<.所以的兩個極值點為x＝a，x＝.不妨設x1＝a，x2＝，因為x3≠x1，x3≠x2，且x3是的零點，故x3＝b.又因為－a＝2（b－），x4＝（a＋）＝，所以a，，，b依次成等差數(shù)列，所以存在實數(shù)x4滿足題意，且x4＝.6、已知函數(shù)f(x)＝eq\f(kx＋1,x2＋c)(c＞0，且c≠1，k∈R）恰有一個極大值點和一個極小值點，其中一個是x＝－c．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的另一個極值點；(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極大值M和極小值m，并求M－m≥1時k的取值圍．解：(Ⅰ)f(x)＝eq\f(k(x2＋c)－2x(kx＋1),(x2＋c)2)＝eq\f(－kx2－2x＋ck,(x2＋c)2)，由題意知f(－c)＝0，即得c2k－2c－ck＝0，即c＝1＋eq\f(2,k)（*）∵c≠0，∴k≠0．由f(0)＝0，得－kx2－2x＋ck＝0，由韋達定理知另一個極值點為x＝1．(Ⅱ)由（*）式得c＝1＋eq\f(2,k)，當c＞1時，k＞0；當0＜c＜1時，k＜－2．(ⅰ)當k＞0時，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)是減函數(shù)，在(－c，1)是增函數(shù)．f(1)＝eq\f(k＋1,c＋1)＝eq\f(k,2)＞0，m＝f(－c)＝eq\f(－kc＋1,c2＋c)＝eq\f(－k2,2(k＋2))＜0，由M－m＝eq\f(k,2)＋eq\f(k2,2(k＋2))≥1與k＞0，解得k≥eq\r(2).(ⅱ)當k＜－2時，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)是增函數(shù)，在(－c，1)是減函數(shù)．∴M＝f(1)＝eq\f(－k2,2(k＋2))＞0，m＝eq\f(k＋1,c＋1)＝eq\f(k,2)＜0，而M－m＝eq\f(－k2,2(k＋2))－eq\f(k,2)＝1－eq\f((k＋1)2＋1,k＋2)≥1恒成立．綜上可知，所求的取值圍為(－∞，－2)∪eq\r(2)，＋∞)．7、2010全國II理、設函數(shù)．（Ⅰ）證明：當時，；（Ⅱ）設當時，，求a的取值圍．6、2010、已知函數(shù)，其中實數(shù).（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）若在處取得極值，試討論的單調性.8、2010、設（且），g(x)是f(x)的反函數(shù).（Ⅰ）設關于的方程在區(qū)間[2，6]上有實數(shù)解，求t的取值圍；（Ⅱ）當a＝e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，證明：；（Ⅲ）當0＜a≤EQ\f(1,2)時，試比較與4的大小，并說明理由.解：(1)由題意，得ax＝＞0故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)由得t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6]則t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)列表如下：x2(2,5)5(5,6)6t'+0-t5↗極大值32↘25所以t最小值＝5，t最大值＝32所以t的取值圍為[5,32]…………5分(2)＝ln()＝－ln令u(z)＝－lnz2－＝－2lnz＋z－，z＞0則u'(z)＝－＝(1－)2≥0所以u(z)在(0,＋∞)上是增函數(shù)又因為＞1＞0，所以u()＞u(1)＝0即ln＞0即…………9分(3)設a＝，則p≥1，1＜f(1)＝≤3當n＝1時，|f(1)－1|＝≤2＜4當n≥2時設k≥2,k∈N*時，則f(k)＝＝1＋所以1＜f(k)≤1＋從而n－1＜≤n-1+＝n+1-＜n＋1所以n＜＜f(1)＋n＋1≤n＋4綜上所述，總有|－n|＜49、2010、設使定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導函數(shù)為.如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質.(1)設函數(shù)，其中為實數(shù).(i)求證：函數(shù)具有性質；(ii)求函數(shù)的單調區(qū)間.(2)已知函數(shù)具有性質，給定,,設為實數(shù),，，且，若||<||,求的取值圍.，∴||>||，不合題意。故，則有，解得，∴。當時，，此時有0＝||<||成立。當時，，，，故，同上有，則有，解得，∴。綜上，10、2010文、已知函數(shù)，其中a<0，且a≠－1.（Ⅰ）討論函數(shù)的單調性；（Ⅱ）設函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.是否存在a，使在[a,－a]上為減函數(shù)？若存在，求a的取值圍；若不存在，請說明理由.解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為.其導函數(shù)=..由（Ⅰ）知當a≤－2時，在上為減函數(shù).①又≥.②不難知道，，，.因=，令，則或.而a≤－2，于是（1）當時，若，則；若，則.因而在上單調遞增，在上單調遞減.（2）當a=－2時，，在上單調遞減.綜合（1），（2）知，當a≤－2時，在上的最大值為.所以，a≤－2.③又對，只有當a=－2時在時取得，亦即只有當a=－2時在時取得.因此，當a≤－2時，在上為減函數(shù).從而由①，②，③知，－3≤a≤－2.綜上所述，存在a使在上為減函數(shù)，且a的取值圍為.11、甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠．由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關系．若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格），（Ⅰ）將乙方的年利潤（元）表示為年產(chǎn)量（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量；（Ⅱ）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額（元），在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格s是多少？解析：（Ⅰ）因為賠付價格為s元/噸，所以乙方的實際年利潤為：因為,所以當時,取得最大值．所以乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量(噸)．（Ⅱ）設甲方凈收入為元，則．將代入上式，得到甲方凈收入與賠付價格之間的函數(shù)關系式．又，令，得．當時，；當時，，所以時，取得最大值．因此甲方向乙方要求賠付價格（元/噸）時，獲最大凈收入．12、兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為xkm，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k,當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.（1）將y表示成x的函數(shù)；（11）討論（1）中函數(shù)的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最?。咳舸嬖?，求出該點到城A的距離;若不存在，說明理由。當且僅當即時取”=”.下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù),在(160,400)上為增函數(shù).