四階變型蔡氏電路混沌特性研究-大學(xué)畢業(yè)論文

PAGE23PAGE2編號(hào)：審定成績(jī)：XX大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）設(shè)計(jì)（論文）題目：四階變型蔡氏電路混沌特性研究學(xué)院名稱：學(xué)生姓名：專業(yè)：班級(jí)：學(xué)號(hào)：指導(dǎo)教師：答辯組負(fù)責(zé)人：填表時(shí)間：年月PAGE23PAGE3摘要混沌是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所特有的一種運(yùn)動(dòng)形式，也是自然界及人類社會(huì)中的一種普遍現(xiàn)象，它是一種在確定論系統(tǒng)中所出現(xiàn)的一種貌似不規(guī)則的、內(nèi)在的隨機(jī)性行為，展示了事物的復(fù)雜性。由于其對(duì)初值的極端敏感性和類噪聲性，在保密通信技術(shù)和擴(kuò)頻通信技術(shù)中具有廣闊的應(yīng)用前景。第一章簡(jiǎn)單介紹了混沌學(xué)的發(fā)展歷史、混沌的意義及混沌科學(xué)是一門新興學(xué)科，人們了解了混沌的發(fā)展過程及其它的重要性，它廣泛運(yùn)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)門類之中，并取得了普遍的成功，所以混沌是存在于自然界中的一種普遍的運(yùn)動(dòng)形式。第二章介紹了混沌的基本概念、混沌現(xiàn)象舉例及混沌模型。通過混沌舉例和混沌模型讓人們對(duì)混沌的產(chǎn)生有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。第三章介紹了混沌是非線性電路系統(tǒng)中既普遍存在又極其復(fù)雜的現(xiàn)象。作為一種能產(chǎn)生混沌行為的最簡(jiǎn)單非線性電路，蔡氏電路廣泛應(yīng)用于混沌現(xiàn)象在非線性電路理論的研究當(dāng)中。本文中，通過改變蔡氏電路線性電阻的阻值，在實(shí)驗(yàn)中觀察、了解了其通向混沌過程中的各種現(xiàn)象。同時(shí)在此基礎(chǔ)上，介紹了蔡氏電路產(chǎn)生混沌的機(jī)理?！娟P(guān)鍵字】不規(guī)則混沌蔡氏電路ABSTRACTChaosispeculiartononlineardynamicssystemofakindofformsofexercise，isauniversalphenomenon,whichexistsinbothnatureandhumansociety.Chaosisakindofmovement,whichexistsindeterminebyrandomly.Chaosshowsthecomplexitiesofeverything.Infact,chaosisnot"mixed",whichisneitherpurely"disorder"nor"order",buttheunificationoforderanddisorder,certaintyandrandomness.Chaoshasregularityanduniversality.Itcontainsabundantresourcesanddevelopedpotential.Thefirstchapterthedevelopmentandsignificanceofchaosasanewscientificsubjectwasintroduces.Peopleunderstandthedevelopmentandimportanceofchaos.Itissuccessfullyandwidelyusedinallkindsofsciences.Sochaosisauniversalmovementinnature.Thesecondchapterbasicconceptionandmodelsofchaos,andgivesexamplestoillustratethechaosphenomenonwasintroduces.Accordingtotheexamplesandmodelspeopleknowmuchbetteraboutchaos.ThethirdchapterChaosisnonlinearcircuitsystemisextremelywidespreadandcomplexphenomenon.Chaosactsasaproducethemostsimplenonlinearcircuit,ChoicircuitwidelyusedforChaosphenomenoninthestudyofnonlinearcircuittheory.Thisarticle,bychangingtheresistancevalueChoicircuitlinearresistanceintheexperimentstoobserveandunderstandtheircurrentprocesstothevariousphenomena.MeanwhileOnthisbasis,haveintroducedChoicircuitChaosmechanisms.【Keywords】irregularchaosChaoscircuit目錄TOC\o"1-3"\h\u第一章緒論 2第一節(jié)混沌研究的歷史 2第二節(jié)混沌研究的意義 5第三節(jié)混沌學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)及應(yīng)用前景 7第四節(jié)本章小結(jié) 9第二章混沌特性研究 10第一節(jié)混沌的基本特性 10一、混沌的基本概念 10二、混沌的特征 11第二節(jié)混沌現(xiàn)象舉例 12第三節(jié)混沌模型 14一、周期區(qū) 15二、混沌區(qū) 16第四節(jié)本章小結(jié) 17第三章變型蔡氏電路模型概述 18第一節(jié)普通蔡氏電路 18第二節(jié)變型蔡氏電路 19第三節(jié)平衡點(diǎn)分析 20第四節(jié)仿真結(jié)果 22第五節(jié)本章小結(jié) 24結(jié)束語 25致謝 26參考文獻(xiàn) 27附錄 28一、英文原文 28二、英文翻譯 34PAGE40前言當(dāng)今社會(huì)，信息化的風(fēng)暴席卷全球，通信不僅成為人們生活不可或缺的技術(shù)手段，信息戰(zhàn)亦將成為未來各國、各個(gè)集團(tuán)較量的主要戰(zhàn)場(chǎng)。誰掌握了信息，誰就擁有決定性的主動(dòng)權(quán)和制勝權(quán)。由于混沌信號(hào)的寬頻譜、類噪聲、偽隨機(jī)的特點(diǎn)，使它在保密通信方面的應(yīng)用研究越來越受到重視，并成為信息技術(shù)領(lǐng)域激烈競(jìng)爭(zhēng)的高科技之一?；煦纾–haos）是一種看似無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，指在確定性非線性系統(tǒng)中，不需附加任何隨機(jī)因素亦可以出現(xiàn)類似隨機(jī)的行為（內(nèi)在隨機(jī)性），從長(zhǎng)期意義上講，系統(tǒng)是不可預(yù)測(cè)的，其未來結(jié)果亦是隨機(jī)的?；煦缈茖W(xué)是隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，混沌現(xiàn)象無處不在。如氣候變化會(huì)出現(xiàn)混沌，數(shù)學(xué)、物理、生物、化學(xué)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、哲學(xué)、音樂、體育中也存在混沌現(xiàn)象。本論文主要是通過介紹混沌現(xiàn)象的特點(diǎn)和模型，并且對(duì)變型蔡氏電路進(jìn)行電路仿真讓讀者更容易理解混沌特性。 全書共分三章。第一章緒論，介紹了混沌特性研究歷史及其意義；第二章混沌定義的介紹，講了混沌的基本特征、現(xiàn)象舉例以及模型介紹；第三章四階變型蔡氏電路的電路特性研究，先介紹了普通蔡氏電路的結(jié)構(gòu)及其機(jī)理，然后對(duì)比闡述四階變形蔡氏電路的原理，最后對(duì)電路進(jìn)行仿真觀察。第一章緒論第一節(jié)混沌研究的歷史混沌常常用它來描述混亂、雜亂無章、亂七八糟的狀態(tài)?；煦纾–haos）在《現(xiàn)代漢語詞典》里解釋為我國傳說中指宇宙形成以前模糊一團(tuán)的景象?！痘茨献印ぴ徰浴罚骸岸赐斓?，渾沌為樸。未造而為物，謂之太一”。王充《論衡·談天》：“說《易》者曰：‘元?dú)馕捶郑瑴嗐鐬橐??！焙笥靡孕稳菽：[約的樣子：在這渾沌的燈火里，滲入一派清輝，卻真是奇跡。也形容幼稚糊涂：跟那種渾沌無知的人，真是有理也說不清。道家亦有混沌生無極，無極生太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦的哲學(xué)思想?！度鍤v》中“未有天地之時(shí)，混沌如雞子，盤古生其中，萬八千歲，天地開辟，陽清為天，陰濁為地。”可以看出，在盤古開天辟地之前，世界處于混沌狀態(tài)這一哲學(xué)思想。公元前580年左右，《易乾鑿度》中“太易者，未見氣也。太初者，氣之始也。太始者，形之似也。太素者，質(zhì)之始也。氣似質(zhì)具而未相離，謂之混沌?！眲t反應(yīng)出了中國古代對(duì)混沌的最初認(rèn)識(shí)：即混沌是指元?dú)庖丫哂形镔|(zhì)的性質(zhì)，而還沒有進(jìn)一步分化的狀態(tài)。在古希臘的自然哲學(xué)系統(tǒng)中，他們對(duì)于混沌的認(rèn)識(shí)和中國古代相似。在他們的認(rèn)知中，混沌被看作是原始的混亂和不成形的物質(zhì)，比如把水或氣等看作世界的基礎(chǔ)，世界就是從這樣的始基發(fā)展起來的。造物者正是用這種最基礎(chǔ)的物質(zhì)創(chuàng)造出有序的宇宙。自從牛頓經(jīng)典物理學(xué)被提出之后，近代科學(xué)都以研究自然界的秩序和規(guī)律為其宗旨，導(dǎo)致數(shù)百年都把混沌現(xiàn)象排除在自然科學(xué)之外。由此，自然界中大量的混沌現(xiàn)象就被科學(xué)家們遺忘了。直到笛卡爾和康德才有所改觀，盡管他們還只是認(rèn)為混沌乃一體，里面仍是混沌不堪，但是他們開始認(rèn)為有序的宇宙正是從這樣的混沌之中發(fā)展起來的。到了康德出現(xiàn)之后，他的星云假說認(rèn)為，太陽系是由處于混沌狀態(tài)的原始星云演化而來的，并指出：”我在把宇宙追溯到最簡(jiǎn)單的混沌狀態(tài)以后，沒有用別個(gè)力，而只是用了引力和斥力兩種力來說明他自然的有秩序的發(fā)展?！庇纱艘部梢哉f，康德是宇宙大爆炸衍化學(xué)說的第一人。到了19世紀(jì)中期，混沌學(xué)說被自然科學(xué)家從熱力學(xué)引入并開始討論。大家知道，當(dāng)達(dá)到熱力學(xué)平衡時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)部中的每一點(diǎn)的溫度、壓強(qiáng)、濃度、化學(xué)勢(shì)等均無差別，處處相同。然而這種無差別的背后卻是單個(gè)分子的混亂度極高?？梢姡瑹崃W(xué)的平衡態(tài)實(shí)際上是一種傳統(tǒng)意義上的混沌態(tài)。同時(shí)，科學(xué)家們?cè)谔接懖祭蔬\(yùn)動(dòng)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)反應(yīng)體系中微觀粒子都處于無規(guī)則碰撞之中，這也是混沌的范疇，都是混沌無序的狀態(tài)。在混沌理論提出以前，沒有人懷疑過精確的預(yù)測(cè)能力從原則上講是能夠?qū)崿F(xiàn)的，一般認(rèn)為只要能夠收集足夠的信息就可以達(dá)到這一能力。18世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯宣稱，如果已知宇宙中每一個(gè)粒子的位置與速度，他就可以預(yù)測(cè)宇宙在整個(gè)未來的狀態(tài)。這種決定論首先被量子力學(xué)所打破。量子力學(xué)中的基本原理之一是海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理。該原理指出：對(duì)于粒子位置及速度的測(cè)量有著一個(gè)基本的限度。不可能無限精確，預(yù)測(cè)能力首先受到了初始信息精度的影響。量子力學(xué)雖然在微觀上圓滿地解決了一些隨機(jī)現(xiàn)象，但一般認(rèn)為在宏觀尺度上，拉普拉斯的決定論原則上仍然是正確的，可以通過不同精度的初始信息獲得精確程度不同的預(yù)測(cè)結(jié)果。然而混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，卻使得這種假設(shè)完全破滅。由于混沌系統(tǒng)對(duì)初始條件的敏感性使得系統(tǒng)在其運(yùn)動(dòng)的軌跡上幾乎處處不穩(wěn)定，初始條件的極小誤差都會(huì)隨著系統(tǒng)的演化呈指數(shù)式的增加，迅速地達(dá)到系統(tǒng)所在空間的大小，使得預(yù)測(cè)能力完全消失?；煦缋碚摰拈_端，最早可以追溯到19世紀(jì)末20世紀(jì)初法國科學(xué)家龐加萊（JulesHenriPoincaré）所做的一系列關(guān)于太陽系中三體問題的研究。龐加萊將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和拓?fù)鋵W(xué)兩大領(lǐng)域結(jié)合起來，運(yùn)用相圖、拓?fù)鋵W(xué)以及相空間截面的方法，分析了一類簡(jiǎn)化的三體問題解的復(fù)雜性和高度不穩(wěn)定性，指出了混沌存在的可能性，成為世界上最先了解存在混沌可能性的人。但是，之后長(zhǎng)達(dá)半個(gè)世紀(jì)，混沌現(xiàn)象仍然沒有真正引起人們的重視。自20世紀(jì)以來，熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理經(jīng)歷了平衡——近平衡——遠(yuǎn)離平衡的發(fā)展階段。在耗散結(jié)構(gòu)理論、協(xié)同學(xué)的發(fā)展初期，側(cè)重于研究系統(tǒng)是如何從混沌到有序的發(fā)展，找到了一些系統(tǒng)從混沌到有序發(fā)展的機(jī)制和條件。即系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)是開放的，處于遠(yuǎn)離平衡態(tài)，其內(nèi)部要有非線性的相互作用，狀態(tài)的轉(zhuǎn)變則要通過漲落來實(shí)現(xiàn)等。據(jù)此，普利高津曾得出“有序來自混沌”的結(jié)論。1963年E.Lorenz在《大氣科學(xué)》雜志上發(fā)表了“決定性的非周期流”一文，指出在氣候不能精確重演與長(zhǎng)期天氣不可預(yù)測(cè)之間存在的必然聯(lián)系，即非周期性與不可預(yù)見性之間的聯(lián)系。這些研究清楚地描述了“對(duì)初始條件敏感性”這一混沌的基本性質(zhì)，這就是著名的蝴蝶效應(yīng)。在該文中，洛倫茨給出了三個(gè)變量的自治方程，即著名的洛倫茲方程。即方程右端不顯含時(shí)間，它是一個(gè)完全確定的三階常微分方程組。這便是在耗散系統(tǒng)中，一個(gè)確定的方程卻能得到混沌解的第一個(gè)實(shí)例，從而揭開了對(duì)混沌現(xiàn)象深入研究的序幕。洛倫茨方程舉例：1.1之后，前蘇聯(lián)概率論大師A.N.Kolmogorov將香農(nóng)(C.E.Shannon)在1948年提出的信息論引入到混沌理論的研究中，在混沌基礎(chǔ)理論研究方面做出了一系列貢獻(xiàn)。1946年法國天文學(xué)家伊儂從研究球狀星團(tuán)以及洛倫茲吸引子中得到啟發(fā)，給出了下列的Henon映射1.2該方程組本是一個(gè)自由度為2的不可積得哈密頓系統(tǒng)，然而在方程中，當(dāng)參數(shù)b=0.3，且改變參數(shù)a時(shí)，就發(fā)現(xiàn)其系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌道在相空間中的分布似乎越來越隨機(jī)。伊儂得到了一種最簡(jiǎn)單的吸引子，并用他建立的“熱引力崩坍”理論解釋幾個(gè)世紀(jì)以來一直遺留的太陽系的穩(wěn)定性的問題。1975年，中國學(xué)者李天巖和美國數(shù)學(xué)家J.York在AmericanMathematics雜志上發(fā)表了“周期三蘊(yùn)含混沌”的著名文章，深刻揭示了從有序到混沌的演變過程，并把Chaos（混沌）一詞引入到了現(xiàn)代科學(xué)詞匯中。美國數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家梅（R.May）在美國《自然》雜志上發(fā)表了題為《具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)過程的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)》的綜述文章，文章中指出，在生態(tài)學(xué)中一些非常簡(jiǎn)單的確定性的數(shù)學(xué)模型卻能產(chǎn)生看似隨機(jī)的行為。該模型看來似乎很簡(jiǎn)單，并且是確定性的，從而向人們表明了混沌理論的驚人信息。1977年第一次國際混沌會(huì)議在意大利召開，標(biāo)志著混沌學(xué)在國際科學(xué)界的正式誕生。1978年和1979年費(fèi)根包姆(Feigenbaum)等人在梅（R.May）的基礎(chǔ)上獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了倍周期分岔現(xiàn)象中的標(biāo)度性，從而為混沌在現(xiàn)代科學(xué)中的地位提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。20世紀(jì)80年代之后，人們開始著重研究系統(tǒng)從有序如何進(jìn)入混沌及其混沌的性質(zhì)和特點(diǎn)。除此之外，基于（單）多標(biāo)度分形理論和符號(hào)動(dòng)力學(xué)，科學(xué)家們還進(jìn)一步對(duì)混沌結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究和理論上的總結(jié)。計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展使得科學(xué)家們可以通過計(jì)算機(jī)描繪一些自然界中混沌現(xiàn)象的混沌圖像，如美籍法國數(shù)學(xué)家曼德布羅特于1980年用計(jì)算機(jī)繪出了世界上第一張Mandelbrot集的混沌圖像。對(duì)于這種動(dòng)力學(xué)特性的結(jié)構(gòu)，分?jǐn)?shù)維雖能描述自然界中很多現(xiàn)象在幾何上的不規(guī)則性，然而，由于它不能完全揭示出產(chǎn)生的相應(yīng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性的結(jié)構(gòu)，故GrassberP等人于1987年提出重構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)的理論方法。通過由時(shí)間序列中提取分維數(shù)、Lyapunov指數(shù)等混沌特征量，從而使得混沌理論進(jìn)入到實(shí)際應(yīng)用階段。20世紀(jì)90年代初，美國科學(xué)家Ott，Grebogi，Yorke和Pecora，Carroll分別在混沌控制和混沌同步方面取得了突破性進(jìn)展，從而在全世界掀起了“混沌控制熱”,使其應(yīng)用范圍擴(kuò)展到工程技術(shù)領(lǐng)域以及其他領(lǐng)域。進(jìn)入20實(shí)際90年代，基于混沌運(yùn)動(dòng)是存在于自然界中的一種普遍運(yùn)動(dòng)形式，所以混沌的研究不僅推動(dòng)了其他學(xué)科的發(fā)展，而且其他學(xué)科的發(fā)展又促進(jìn)了對(duì)混沌的深入研究。因此，混沌與其他學(xué)科相互交錯(cuò)、滲透、促進(jìn)，綜合發(fā)展，使得混沌不僅在生物學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、電子學(xué)、信息科學(xué)、氣象學(xué)、宇宙學(xué)、地質(zhì)學(xué)，還有經(jīng)濟(jì)學(xué)、人腦科學(xué)，甚至在音樂、美術(shù)、體育等多個(gè)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。第二節(jié)混沌研究的意義從人類浩瀚的科學(xué)發(fā)展史來看，科學(xué)是在不斷地突破以前正確理論的基礎(chǔ)上大踏步前進(jìn)的。以牛頓經(jīng)典力學(xué)為核心的經(jīng)典科學(xué)世界圖景曾一度在科學(xué)發(fā)展史上樹立至尊的地位，然而相對(duì)論和量子論卻一次又一次地打破了經(jīng)典科學(xué)一統(tǒng)天下的局面，而隨后的混沌學(xué)更是出手不凡，對(duì)經(jīng)典科學(xué)世界圖景進(jìn)行了全方位的變革?；煦鐚W(xué)作為探索復(fù)雜性的新學(xué)科，修正了經(jīng)典科學(xué)只有必然性沒有偶然性、只有運(yùn)動(dòng)沒有發(fā)展的觀念，突破了經(jīng)典科學(xué)只有線性沒有非線性的思維模式，超越了經(jīng)典科學(xué)只有簡(jiǎn)單性還原性沒有整體復(fù)雜性的圖式?；煦鐚W(xué)的出現(xiàn)解決了許多經(jīng)典科學(xué)所無法解釋的問題，使許多看似矛盾的現(xiàn)象奇跡般地“和諧相處”，從而為現(xiàn)代世界描繪了一幅嶄新的圖景?；煦绫徽J(rèn)為是繼相對(duì)論和量子力學(xué)后，20世紀(jì)物理學(xué)的第三次重大革命，與前兩次革命相似，混沌也一樣沖破了牛頓力學(xué)的教規(guī)。第一次國際混沌會(huì)議主持人之一的物理學(xué)家J.Ford指出：相對(duì)論消除了關(guān)于絕對(duì)空間與時(shí)間的幻象，量子力學(xué)消除了關(guān)于可控測(cè)量過程的牛頓式的夢(mèng)，而混沌則消除了拉普拉斯關(guān)于決定論式可預(yù)測(cè)性的幻想。目前非線性科學(xué)最重要的成就之一就在于對(duì)混沌現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)。而關(guān)于混沌動(dòng)力學(xué)的許多概念和方法，如奇怪吸引子、相空間重構(gòu)和符號(hào)動(dòng)力學(xué)，正廣泛運(yùn)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)門類之中，并取得了普遍的成功。自20世紀(jì)70年代以來，混沌和有關(guān)奇怪吸引子的理論有了很大的發(fā)展，并直接影響到數(shù)學(xué)、物理學(xué)中的許多分支，具有重要的實(shí)際意義。在力學(xué)方面，以往總是把牛頓力學(xué)和“決定論”聯(lián)系在一起，只要出事條件和初始狀態(tài)確定，以后的運(yùn)動(dòng)就完全確定了。然而由于運(yùn)動(dòng)具有內(nèi)在隨機(jī)性，使其由牛頓運(yùn)動(dòng)定律所確定了。然而由于運(yùn)動(dòng)具有內(nèi)在隨機(jī)性，使其有牛頓運(yùn)動(dòng)定律所確定的“初態(tài)”變得不可預(yù)測(cè)，它只有某種統(tǒng)計(jì)特性。在分析力學(xué)方面，過去主要是通過建立一般系統(tǒng)的力學(xué)方程來進(jìn)行求解，或當(dāng)大多數(shù)方程無法積分時(shí)，只能研究其解得各種性質(zhì)。然而混沌理論指出了它發(fā)展的新途徑?；煦缋碚撁鞔_指出，高維非線性系統(tǒng)的方程不僅不能積分，而且其解對(duì)初值有敏感的依耐性。因此，還得用類似于統(tǒng)計(jì)力學(xué)的觀點(diǎn)去處理。在流體力學(xué)中，斷流是一種極為復(fù)雜的現(xiàn)象，它的產(chǎn)生機(jī)理長(zhǎng)期以來一直是一個(gè)懸而未決的難題。其困難的部分原因在于它同事存在著許多長(zhǎng)度標(biāo)度，即缺少單個(gè)的特征長(zhǎng)度。1971年茹厄勒和塔肯斯最早用奇怪吸引子理論來闡明斷流發(fā)生機(jī)制，其機(jī)制為不動(dòng)點(diǎn)——極限環(huán)——二維環(huán)面——奇怪吸引子，被稱為茹厄勒-塔肯斯道路。他們的觀點(diǎn)至今未得到承認(rèn)，這是因?yàn)橛腥苏J(rèn)為混沌理論目前還只能處理有限的低維德常微分方程，而真正的斷流則發(fā)現(xiàn)在三維空間中，并且流體運(yùn)動(dòng)的方程的動(dòng)態(tài)與簡(jiǎn)化的常微分方程組的性質(zhì)很不一樣，用混沌解決斷流問題還為時(shí)尚早，但這種通向斷流的道路（還有費(fèi)根包姆倍周期分岔道路、皮姆——曼恩威勒陣發(fā)混沌道路等）很有可能為斷流研究打開了一條新的思路。在非線性整棟理論方面，大家知道，即使在周期性的激勵(lì)下，非線性系統(tǒng)也會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，那么在隨機(jī)力的作用下，非線性系統(tǒng)又會(huì)出現(xiàn)哪些動(dòng)態(tài)呢？這里的隨機(jī)力（又稱噪聲獲漲落力）是指它的作用與宏觀變量相比是很小的，并且它放映了微觀運(yùn)動(dòng)對(duì)宏觀變量在演化過程中的雜亂無章的作用。因此，以往人們總是期望這種隨機(jī)力對(duì)宏觀運(yùn)動(dòng)的影響是小的，并作為一種消根的干擾來處理。然而，自20世紀(jì)70年代以來的非線性科學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理的最新發(fā)展表明，一個(gè)小的隨機(jī)里并不僅僅對(duì)原有的確定性方程結(jié)果產(chǎn)生微小的變化，而且它能出人意料地產(chǎn)生重要得多的影響。在一定得非線性條件下，它能對(duì)系統(tǒng)演化起決定性的作用，甚至能改變宏觀系統(tǒng)的未來命運(yùn)。另外，這種無規(guī)則的隨機(jī)干擾并不總是對(duì)宏觀秩序起消極破壞作用，在一定條件下它在產(chǎn)生相干運(yùn)動(dòng)和建立“序”上起著十分積極的創(chuàng)造性的作用。所以，揭示非線性條件下隨機(jī)力所產(chǎn)生的各種重要效應(yīng)，進(jìn)而研究這類效應(yīng)產(chǎn)生的條件、機(jī)制及其應(yīng)用便成為目前非線性科學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理發(fā)展的一個(gè)重要任務(wù)。綜上所述，通過對(duì)混沌的研究，極大地?cái)U(kuò)展了人們的視野，活躍了人們的思維。過去被人們認(rèn)為是確定論和可逆的某些力學(xué)方程，卻具有內(nèi)在的隨機(jī)性和不可逆性。確定論的方程可以得出不確定的結(jié)果，這就跨躍了確定論和隨機(jī)論這兩套描述體系之間的鴻溝，給傳統(tǒng)科學(xué)以很大沖擊，在某種意義上使傳統(tǒng)科學(xué)被改造，這必將促進(jìn)其他學(xué)科的進(jìn)一步發(fā)展。第三節(jié)混沌學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)及應(yīng)用前景混沌是一種貌似無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，指在確定性非線性系統(tǒng)中，不需附加任何隨機(jī)因素亦可出現(xiàn)類似隨機(jī)的行為（內(nèi)在隨機(jī)性）?；煦缦到y(tǒng)的最大特點(diǎn)就在于系統(tǒng)的演變對(duì)初始條件十分敏感，因此從長(zhǎng)期意義上講，系統(tǒng)的未來行為是不可預(yù)測(cè)的?；煦缈茖W(xué)是隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，尤其是在計(jì)算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)和普遍應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的新興交叉學(xué)科。在現(xiàn)代的物質(zhì)世界中，混沌現(xiàn)象無處不在，大至宇宙，小至基本粒子，無不受混沌理論的支配。如氣候變化會(huì)出現(xiàn)混沌，數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、哲學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、音樂、體育中也存在混沌想象。因此，科學(xué)家認(rèn)為，在現(xiàn)代的科學(xué)中普遍存在著混沌現(xiàn)象，它打破了不同學(xué)科之間的界限，它是涉及系統(tǒng)總體本質(zhì)的一門新興科學(xué)。人們通過對(duì)混沌的研究，提出了一些新問題，它向傳統(tǒng)的科學(xué)提出了挑戰(zhàn)。如1963年美國著名的氣象學(xué)家洛倫茲在數(shù)值試驗(yàn)中首先發(fā)現(xiàn)，在確定性系統(tǒng)中有時(shí)會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)行為這一現(xiàn)象，他成為“決定論非周期流”。這一論點(diǎn)打破了拉普拉斯決定論的經(jīng)典理論。在這一論點(diǎn)的支配下，洛倫茲曾提出：”氣候沖本質(zhì)上是不可預(yù)測(cè)的?！边@個(gè)論點(diǎn)一直困擾著動(dòng)力氣象學(xué)界。后來人們認(rèn)識(shí)到，當(dāng)時(shí)洛倫茲所發(fā)現(xiàn)的“決定論非周期流”現(xiàn)象其實(shí)是一種混沌現(xiàn)象。如人們常說的“天有不測(cè)風(fēng)云”，就是指氣候系統(tǒng)對(duì)初始條件非常敏感，初始條件的極微小差別會(huì)導(dǎo)致巨大的天氣變化這一混蛋運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)。隨著對(duì)混沌現(xiàn)象的深入研究，混沌理論迅速發(fā)展起來。氣象學(xué)家們將它應(yīng)用于氣候系統(tǒng)中，發(fā)展成為混沌氣候?qū)W。隨著對(duì)混沌氣候?qū)W的深入研究，人們才逐漸認(rèn)識(shí)到氣候是一個(gè)有層次的復(fù)雜系統(tǒng)【2】。這個(gè)系統(tǒng)在不同層次上，在一定范圍內(nèi)，還可以建立起各種預(yù)報(bào)模式，并已取得了較好的效果。因此，與傳統(tǒng)的預(yù)報(bào)模式相比，人們深信，隨著對(duì)氣候系統(tǒng)各種層次結(jié)構(gòu)的深入認(rèn)識(shí)，各種不同層次模式的建立，長(zhǎng)期氣候預(yù)測(cè)的精度也將會(huì)大有提高。不僅上述天氣變化受到了混沌的支配，就連根深蒂固的牛頓力學(xué)也受到了它的沖擊。眾所周知，300多年前，牛頓的萬有引力定律和他的三大力學(xué)定律將天體的運(yùn)動(dòng)和地球上物體的運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一起來了。牛頓這一科學(xué)貢獻(xiàn)曾被視為近代科學(xué)的典范。然而，隨著科學(xué)的發(fā)展，人們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到，牛頓力學(xué)的真理性受到了一定范圍的限制。19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們發(fā)現(xiàn)牛頓力學(xué)不能反映高速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，一切接近光速的運(yùn)動(dòng)應(yīng)當(dāng)用愛因斯坦的相對(duì)論方程來計(jì)算，光速c便成為牛頓力學(xué)應(yīng)用的第一個(gè)限制。在次前后，人們又發(fā)現(xiàn)，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)并不遵守牛頓力學(xué)的規(guī)律，在微觀世界中應(yīng)當(dāng)用量子力學(xué)中的薛定諤方程來代替牛頓力學(xué)方程，普朗克常數(shù)h就成了牛頓力學(xué)的德第二個(gè)限制。實(shí)際上，早在20世紀(jì)初在研究復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)就已經(jīng)涉及牛頓力學(xué)應(yīng)用的第三個(gè)局限性問題，即牛頓力學(xué)在研究復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)遇到了困難。當(dāng)時(shí)美國數(shù)學(xué)家龐加萊就發(fā)現(xiàn)，力學(xué)無法精確地處理“三體問題”并已意識(shí)到混沌運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性。知道1963年，洛倫茲發(fā)現(xiàn)，一個(gè)確定的含有3個(gè)變量的自治方程，卻能導(dǎo)出混沌解，說明天氣從原則上講不可能做出精確地預(yù)報(bào)。因此，在復(fù)雜性面前，牛頓力學(xué)是無能為力的，從此就拉開了對(duì)混沌研究的序幕。著名的比利時(shí)科學(xué)家、若貝爾獎(jiǎng)金獲得者普利高津等人在《探索復(fù)雜性》[3]專著中，又從多方面研究了混沌問題。他們通過一些非平衡過程可以以各種不同的方式進(jìn)入混沌以及對(duì)混沌特性的研究后發(fā)現(xiàn)，這種混沌不同于宇宙早期的混沌、熱力學(xué)平衡態(tài)的混沌，它是有序和無序的對(duì)立統(tǒng)一，既有復(fù)雜性的一面，又有規(guī)律性的一面。因此，這就意味著，當(dāng)代對(duì)混沌科學(xué)的深入研究將會(huì)給自然科學(xué)帶來新的突破。正如日本著名統(tǒng)計(jì)物理學(xué)家久保1978年所指出的：”在非平衡非線性的研究中，混沌問題揭示了新的一頁?！泵绹粋€(gè)國家科學(xué)機(jī)構(gòu)，把混沌問題列為當(dāng)代科學(xué)研究的前沿之一?；煦缈茖W(xué)最熱心的倡導(dǎo)者、美國海軍部官員施萊辛格說：”20世紀(jì)科學(xué)將永遠(yuǎn)銘記的只有三件事：相對(duì)論、量子力學(xué)與混沌?！蔽锢韺W(xué)家福特認(rèn)為混沌就是20世紀(jì)物理學(xué)第三次最大的革命。與牛頓力學(xué)的應(yīng)用經(jīng)受相對(duì)論和量子力學(xué)革命性的突破有所不同，這次革命的實(shí)質(zhì)就在于混沌是直接用于研究人們所感知的真實(shí)宇宙，用在人類本身的尺度大小差不多的對(duì)象中所發(fā)生的過程。人們研究混沌時(shí)所探索的目標(biāo)就處在日常生活經(jīng)驗(yàn)與這個(gè)世界的真實(shí)圖像之中?？偹苤ｎD力學(xué)所描繪的世界是一幅靜態(tài)的、簡(jiǎn)單的、可逆的、確定性的、永恒不變的自然圖景，形成了一種關(guān)于“存在”的機(jī)械自然觀。而人們真正面臨的世界卻是地質(zhì)變遷、生物進(jìn)化、社會(huì)變革這樣一幅動(dòng)態(tài)的、復(fù)雜的、不可逆的、隨機(jī)性的、千變?nèi)f化的自然圖景，形成的是關(guān)于“演化”的自然觀。因此，混沌是一種關(guān)于過程的科學(xué)而不是關(guān)于狀態(tài)的科學(xué)，是關(guān)于演化的科學(xué)而不是關(guān)于存在的科學(xué)。實(shí)際上，混沌科學(xué)的研究表明，現(xiàn)實(shí)的世界是一個(gè)有序與無序相伴、確定性和隨機(jī)性統(tǒng)一、簡(jiǎn)單與復(fù)雜一致的世界。顯然，以往那種只追求有序、精確、簡(jiǎn)單的觀點(diǎn)是不全面的。因此牛頓所描述的世界是一個(gè)簡(jiǎn)單的機(jī)械的量的世界，而人們真正面臨的卻是一個(gè)復(fù)雜紛紜的質(zhì)的世界。因此，只有抓住復(fù)雜性并對(duì)它進(jìn)行深入研究，才能為人們描繪出一個(gè)客觀的世界圖景。第四節(jié)本章小結(jié)本章主要介紹了混沌的發(fā)展歷史，混沌的意義及其混沌的概述。通過對(duì)混沌的研究，讓我們對(duì)混沌有更深刻的認(rèn)識(shí)，明白混沌現(xiàn)象無處不在，它與我們的生活息息相關(guān)，大至宇宙，小至基本粒子，無不受混沌理論的支配。如氣候變化會(huì)出現(xiàn)混沌，數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、哲學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、音樂、體育中也存在混沌現(xiàn)象?？茖W(xué)家認(rèn)為，在現(xiàn)代的科學(xué)中普遍存在著混沌現(xiàn)象，它打破了不同學(xué)科之間的界線，它是涉及系統(tǒng)總體本質(zhì)的一門新興科學(xué)。第二章混沌特性研究第一節(jié)混沌的基本特性一、混沌的基本概念第一章介紹了混沌研究的歷史過程。通過這些研究，人們把在某些確定性非線性系統(tǒng)中，不需要附加任何隨機(jī)因素，由于其系統(tǒng)內(nèi)部存在著非線性的相互作用所產(chǎn)生的類隨機(jī)現(xiàn)象稱為“混沌”、“自發(fā)混沌”、“動(dòng)力學(xué)隨機(jī)性”、“內(nèi)在隨機(jī)性”等等?；煦缫辉~由李天巖和約克于1975年首先提出。1975年他們?cè)凇爸芷?蘊(yùn)含混沌”的文章中給出了混沌一種數(shù)學(xué)定義?，F(xiàn)稱為L(zhǎng)i-Yorke定義：設(shè)連續(xù)自映射是R中一個(gè)區(qū)間。如果存在不可數(shù)集合SI滿足：①S不包含周期點(diǎn)。②任給,有2.12.2這里表示重函數(shù)關(guān)系。③任給有2.3則稱在S上是混沌的。由于前兩個(gè)極限說明子集的點(diǎn)相當(dāng)分散而又相當(dāng)集中,第三個(gè)極限說明子集不會(huì)趨近于任意周期點(diǎn)，所以這個(gè)理論本身只預(yù)言有非周期軌道存在，既不涉及這些非周期點(diǎn)的集合是否有非常零測(cè)度，也不涉及哪個(gè)周期是穩(wěn)定的?；煦绲挠成渚哂胁豢深A(yù)測(cè)性與不可分解性，但仍有一種規(guī)律性這三個(gè)要素。這是因?yàn)?，?duì)初始條件的敏感依耐性，使得混沌系統(tǒng)是不可預(yù)測(cè)的。又由于拓?fù)鋫鬟f性，使得它不能被細(xì)分或不能被分解為兩個(gè)在下相互影響的子系統(tǒng)。盡管如此，但在混沌行為中確實(shí)存在著規(guī)律性的成分，即有稠密的周期點(diǎn)。除上述對(duì)混沌的定義之外，還有諸如Smale馬蹄、橫截同宿點(diǎn)、拓?fù)浠旌弦约胺?hào)動(dòng)力系統(tǒng)等定義。然而迄今為止，混沌一詞還沒有一個(gè)公認(rèn)的普遍適用的數(shù)學(xué)定義。有人認(rèn)為，不嚴(yán)格地說，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)如果同時(shí)具有對(duì)初值的敏感性以及出現(xiàn)非周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，則可認(rèn)為該系統(tǒng)是混沌的。而多數(shù)學(xué)者則認(rèn)為，給出混沌的精確的定義是意見相當(dāng)困難的事。盡管如此，從事不同領(lǐng)域研究的學(xué)者都是基于各自對(duì)混沌的理解進(jìn)行研究并謀求各自的應(yīng)用?；煦绗F(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)使人們認(rèn)識(shí)到客觀事物的運(yùn)動(dòng)不僅是定常、周期或準(zhǔn)周期的運(yùn)動(dòng)，而且還存在著一種具有更為普遍意義的形式，即無序的混沌。正是有了混沌現(xiàn)象，人們發(fā)現(xiàn)，在確定論和概率論這兩套體系的描述之間存在著?；煦绲陌l(fā)現(xiàn)還使人們認(rèn)識(shí)到，像大氣、海洋這樣的耗散系統(tǒng)是一個(gè)對(duì)初始條件極為敏感的系統(tǒng)，即使初始條件差別微小的兩種狀態(tài)，那么最終也會(huì)導(dǎo)致結(jié)果的很大差異，甚至兩種結(jié)果變得毫無關(guān)系，這就是所謂的非線性確定性系統(tǒng)的長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性?；煦绺拍畹奶岢?，還使得人們能夠?qū)⒃S多復(fù)雜現(xiàn)象看作是有目的、有結(jié)構(gòu)的行為，而不再是某種外來的偶然性行為。除此之外，混沌還豐富了人們對(duì)遠(yuǎn)離平衡態(tài)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)。物理系統(tǒng)在遠(yuǎn)離平衡條件下，既可通過突變進(jìn)入更為有序和對(duì)稱的狀態(tài)，也可能經(jīng)過突變進(jìn)入混沌狀態(tài)。然而混沌并不是簡(jiǎn)單的“無序”或“混沌”，而是沒有明顯的周期和對(duì)稱，但它卻具備了豐富的內(nèi)部層次的“有序”狀態(tài)。一般來說，在自然界中，混沌是更為普遍的現(xiàn)象。二、混沌的特征與線性系統(tǒng)及其它的非線性系統(tǒng)相比，混沌系統(tǒng)有著自己獨(dú)有的特征，主要有：1、有界性混沌是有界的，它的運(yùn)動(dòng)軌線始終局限于一個(gè)確定的區(qū)域，這個(gè)區(qū)域稱為混沌吸引域。無論混沌系統(tǒng)內(nèi)部多么不穩(wěn)定，它的軌線都不會(huì)走出混沌吸引域。所以從整體上來說混沌系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2、遍歷性混沌運(yùn)動(dòng)在其混沌吸引域是各態(tài)歷經(jīng)的，即在有限時(shí)間內(nèi)混沌軌道經(jīng)過混沌區(qū)內(nèi)每一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)。3、內(nèi)隨機(jī)性一定條件下，如果系統(tǒng)的某個(gè)狀態(tài)可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，該系統(tǒng)被認(rèn)為具有隨機(jī)性。一般來說當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾時(shí)才產(chǎn)生這種隨機(jī)性，一個(gè)完全確定的系統(tǒng)(能用確定的微分方程表示)在不受外界干擾的情況下其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也應(yīng)當(dāng)是確定的，即是可以預(yù)測(cè)的。不受外界干擾的混沌系統(tǒng)雖能用確定的微分方程表示，但其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)卻具有某些“隨機(jī)性”，那么產(chǎn)生這些隨機(jī)性的根源只能在系統(tǒng)自身，即混沌系統(tǒng)內(nèi)部自發(fā)的產(chǎn)生這種隨機(jī)性。當(dāng)然混沌的隨機(jī)性與一般隨機(jī)性是有很大區(qū)別的。有限制的平面三體問題很好的說明了這種內(nèi)隨機(jī)性?；煦绲膬?nèi)隨機(jī)性實(shí)際就是它的不可預(yù)測(cè)性。對(duì)初值的敏感性造就了它的這一性質(zhì)。同時(shí)也說明混沌是局部不穩(wěn)定的。4、分維性分維性是指混沌的運(yùn)動(dòng)軌跡在相空間中的行為特征?；煦缦到y(tǒng)在相空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡在某個(gè)有限區(qū)域內(nèi)經(jīng)過無限次折疊，不同于一般確定性運(yùn)動(dòng)，不能用一般的幾何術(shù)語來表示，而分?jǐn)?shù)維正好可以表示這種無限次的折疊。分維性表示混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)具有多葉、多層結(jié)構(gòu)，且葉層越分越細(xì)，表現(xiàn)為無限層次的自相似結(jié)構(gòu)。5、標(biāo)度性標(biāo)度性是指混沌運(yùn)動(dòng)是無序中的有序態(tài)。其有序可以理解為:只要數(shù)值或?qū)嶒?yàn)設(shè)備精度足夠高，總可以在小尺度的混沌區(qū)內(nèi)看到其中有序的運(yùn)動(dòng)花樣。6、普適性所謂普適性是指不同系統(tǒng)在趨向混沌狀態(tài)時(shí)所表現(xiàn)出來的某種共同特征，它不依具體的系統(tǒng)方程或參數(shù)而變。具體體現(xiàn)為幾個(gè)混沌普適常數(shù)，如著名的費(fèi)肯包姆常數(shù)等。普適性是混沌內(nèi)在規(guī)律性的一種體現(xiàn)。正是由于混沌具有的這些特征，使它非常適合于數(shù)據(jù)加密。第二節(jié)混沌現(xiàn)象舉例由于計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，特別是近年來高速計(jì)算機(jī)能力的增加，使得人們對(duì)不同領(lǐng)域中各種各樣的非線性問題進(jìn)行了準(zhǔn)確的計(jì)算。通過精細(xì)的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)許多問題中都存在著混沌運(yùn)動(dòng)。幾乎可以說，自然界中存在的絕大部分運(yùn)動(dòng)都是混沌運(yùn)動(dòng)。如銀河的星體在光滑而穩(wěn)定的引力場(chǎng)總所作的高速運(yùn)動(dòng)以及在漩渦系引力場(chǎng)中的天體都具有混沌軌道。像太陽系這樣的系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，由于耗散效應(yīng)不可忽略，也會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。人們知道，在二體問題中，每一個(gè)天體圍繞系統(tǒng)的中心在橢圓形的軌道上運(yùn)行，然而當(dāng)增加一個(gè)更大重力的物體后，便使得三體運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。有人甚至認(rèn)為天體力學(xué)不再是確定論的科學(xué)。在旋轉(zhuǎn)圓柱的流體不穩(wěn)定性問題中，當(dāng)內(nèi)圓柱的旋轉(zhuǎn)出現(xiàn)泰勒渦旋時(shí)，如果繼續(xù)增大內(nèi)圓柱轉(zhuǎn)速，則波狀渦旋將變成混沌運(yùn)動(dòng)。在激光器中，當(dāng)照射強(qiáng)度加大到一個(gè)新的閥值時(shí)，則會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)的單模脈沖尖峰。在化學(xué)的BZ反映中，通過控制所提供和排除某些反映物和生成物的流量，當(dāng)其流量達(dá)到某些數(shù)值時(shí)，可以看到其中的周期振蕩變成混沌運(yùn)動(dòng)了。在生物學(xué)中，生物群體的個(gè)體數(shù)目隨世代的變化，其實(shí)也是一種混沌運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)。在地殼運(yùn)動(dòng)和地震孕育系統(tǒng)中同樣也存在混沌。在非線性振蕩中也有混沌現(xiàn)象出現(xiàn)，有人甚至還把心律失常的無規(guī)則顫動(dòng)也看作混沌。另外，在人類社會(huì)中，社會(huì)的發(fā)展、人口的增長(zhǎng)、經(jīng)濟(jì)的發(fā)展、甚至股票的波動(dòng)都存在著混沌現(xiàn)象。上述例子表明，混沌確實(shí)是存在于自然界中的一種普遍的運(yùn)動(dòng)形式。一下面的例子進(jìn)一步說明。例：受外周期激勵(lì)的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)設(shè)一力學(xué)系統(tǒng)有兩個(gè)穩(wěn)定的平衡態(tài)和一個(gè)不穩(wěn)定的平衡態(tài)，它在外來周期性的激勵(lì)下，往往會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。如圖2.1所示的形狀是用薄片彎成的槽，小球就在槽中運(yùn)動(dòng)。圖中A、B是兩個(gè)平衡穩(wěn)定位置，C是不穩(wěn)定的平衡位置。槽受到一個(gè)左右來回的外來周期性激勵(lì)，其震蕩頻率為。由于阻力、摩擦等因素的作用，故系統(tǒng)是耗散的。設(shè)運(yùn)動(dòng)在全局是有界的，即運(yùn)動(dòng)很大時(shí)，摩擦等所消耗的能量要超過由激勵(lì)輸入的能量。由于激勵(lì)，小球不能再呆在A處或B處。當(dāng)激勵(lì)振蕩頻率較小時(shí)，小球在A附近左右（或B）振動(dòng)，但不跨越C點(diǎn)做周期振動(dòng)；當(dāng)激勵(lì)的振幅較強(qiáng)時(shí)，小球可能在A、B之間并跨越C點(diǎn)做大幅振動(dòng)。以上兩種情況說明了定態(tài)是穩(wěn)定的周期解。但在恰當(dāng)?shù)哪撤N振幅、頻率和阻力時(shí)，小球開始可能在A點(diǎn)附近左右振蕩若干次，當(dāng)它跨越C點(diǎn)后，然后又在B點(diǎn)附近左右振蕩若干次，后又跨越C點(diǎn)回到A點(diǎn)附近左右振蕩。由于在不同時(shí)刻外周期激勵(lì)的相位是不同的，因此在A點(diǎn)和B點(diǎn)的振蕩次數(shù)也是不相同的，于是就形成了混沌運(yùn)動(dòng)。圖2.1受外周期激勵(lì)的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)第三節(jié)混沌模型在生態(tài)學(xué)中，研究動(dòng)植物群體與環(huán)境之間的相互作用非常重要。由于自然界中孤立的單一群體幾乎不存在，所以群體數(shù)目的多少取決于事物來源于競(jìng)爭(zhēng)者、捕食者等因素，在所建立的各種模型中，最為典型的是如下邏輯斯蔕模型2.4式中：u為控制參數(shù)，且。該模型看來似乎很簡(jiǎn)單，但它具有極其復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。研究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)最簡(jiǎn)單的拋物線映射蘊(yùn)含著現(xiàn)代混沌理論的基本思想，包括倍周期到混沌、分岔圖等非線性理論的基本框架和模式。下面討論這一確定系統(tǒng)是如何產(chǎn)生混沌的。上式是一類單峰映射中最為簡(jiǎn)單的一個(gè)，它描述了生物群體數(shù)目世代的變化。若代表時(shí)間，則可用代表第n代的出生數(shù)代表第世代的群體數(shù)。由式可見，其右邊第一項(xiàng)表示第世代的群體數(shù)與第世代的群體數(shù)成正比，第二項(xiàng)則放映環(huán)境限制因素引起的非線性項(xiàng)，即群體與環(huán)境的相互作用導(dǎo)致存活率降低。該式右端為宜拋物線，它的極大值出現(xiàn)在處，此時(shí)相應(yīng)的，即為拋物線的高度。由于不大于1，故不得大于4，在出生數(shù)增長(zhǎng)率為正值的前提下，必須使得.因此是人們感興趣的參數(shù)的取值范圍。而該式的左端則為直線，上面這兩條線的焦點(diǎn)就是不動(dòng)點(diǎn)，如圖（2.2），改不動(dòng)點(diǎn)方程為：圖2.2邏輯斯蒂映射由此解得的不動(dòng)點(diǎn)O點(diǎn)：2.5A點(diǎn)：2.6若是穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)給定一個(gè)初值后將收斂到該點(diǎn)。關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定性問題，在這里不僅要找到使運(yùn)動(dòng)保持穩(wěn)定的條件，而且還要找到運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)的條件，并研究失穩(wěn)后運(yùn)動(dòng)如何進(jìn)一步演化。大家知道，不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性由不動(dòng)點(diǎn)處的映射y=的斜率||決定，即當(dāng)||<1時(shí)，不動(dòng)點(diǎn)是穩(wěn)定的當(dāng)||>1時(shí)，不動(dòng)點(diǎn)是不穩(wěn)定的這里2.7由此可見，不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性依賴于參數(shù)從迭代過程式的行為來看，它也是敏感地依賴于拋物線的陡度,即依賴于非線性程度。因此當(dāng)參數(shù)從零變大且取不同數(shù)值時(shí)，迭代過程，有不同的動(dòng)態(tài)行為：當(dāng)0<<1時(shí)，在線段[0,1]內(nèi)任選一個(gè)初值，迭代過程迅速趨向一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，由于,故存在穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)O，這里0，說明初始群種數(shù)最終都要?dú)w于零。因此太平歡的函數(shù)（u小）將會(huì)導(dǎo)致群種的毀滅。當(dāng)時(shí)，，因而發(fā)生跨臨界分岔。當(dāng)1<<=3=時(shí)，有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)O和A。對(duì)于O點(diǎn)，由于,故它是不穩(wěn)定的。對(duì)于A點(diǎn)，因?yàn)?故它是穩(wěn)定的。因此由初值出發(fā)的迭代過程總是離開不動(dòng)點(diǎn)O而趨近不動(dòng)點(diǎn)A。一、周期區(qū)其參數(shù)在（0，）區(qū)間內(nèi)為周期區(qū)。其內(nèi)有一個(gè)正的周期倍周期分岔序列。從周期到（）,各分岔點(diǎn)存在如下關(guān)系2.8對(duì)于z=2的單峰映射，=4.669201660910299…，即各分岔點(diǎn)之間的距離以比例為一無理數(shù)，這個(gè)數(shù)被稱為費(fèi)根包姆常數(shù)。它表示在一類系統(tǒng)中，由倍周期分岔通向混沌的過程中，真有共同的速度。因此，我們可以根據(jù)少數(shù)幾次分岔，來預(yù)測(cè)系統(tǒng)在什么參數(shù)值下進(jìn)入混沌狀態(tài)。二、混沌區(qū)其參數(shù)在（,4）區(qū)間中為混沌區(qū)。其內(nèi)有一個(gè)反得周期的混沌帶序列?；煦鐜Р⒎莵y成一片，其實(shí)混沌區(qū)中也有不少的周期窗口，例如有周期為P=3,5,7,…的窗口，而這些周期P又不斷地被分岔出周期。其中周期3是最寬的窗口，它出現(xiàn)時(shí)的參數(shù)值為=1+=3.828…...。窗口區(qū)內(nèi)還有混沌，窗口的混沌區(qū)內(nèi)還有窗口。這種結(jié)構(gòu)將無窮地重復(fù)，往往有無窮多的層次，而且每一層次都有上一個(gè)層次的重復(fù)，往往是一種自相似的結(jié)構(gòu)。同時(shí)也可看到，當(dāng)參數(shù)u固定時(shí)，由于初值的不同將可能導(dǎo)致不同的周期，其中一定會(huì)出現(xiàn)大量的不穩(wěn)定的周期。由于單峰映射最多只有餓穩(wěn)定周期，那么將會(huì)出現(xiàn)哪些周期呢？它們出現(xiàn)的順序又如何呢？烏克蘭數(shù)學(xué)家沙爾可夫斯基論證了一類廣泛的一位映射=2.9如果單峰映射具有周期為某整數(shù)P的解，它必定有一個(gè)排在它前面的那些數(shù)Q的周期解，并稱為Sarkovskii定理。在混沌區(qū)內(nèi)，從參數(shù)最大的=4開始，由映射不難看出，當(dāng)=4時(shí)，迭代后其的數(shù)值充滿整個(gè)【0，1】區(qū)間，人們把=4時(shí)，從0到1稱為“單片”混沌。當(dāng)從4逐漸減小時(shí)，開始，混沌仍然是單片的，只有的數(shù)值分布的范圍略小于從0到1之間的整個(gè)區(qū)間。但當(dāng)u減小到小于=3.6786時(shí)，由單片混沌變?yōu)閮善煦纾磾?shù)值分布在兩個(gè)區(qū)間內(nèi)，且每次迭代時(shí)，的數(shù)值從其中一個(gè)區(qū)間跳到另一個(gè)區(qū)間。當(dāng)值再減小到=3.5926時(shí)，則兩片混沌又分為四片混沌。隨著的繼續(xù)減小，將依次繼續(xù)發(fā)生4分為8,8分為16等。第四節(jié)本章小結(jié)本章主要介紹了混沌特性研究，如：混沌的基本概念、混沌舉例及混沌模型等。混沌是存在于自然界中的一種普遍的運(yùn)動(dòng)形式并且介紹了混沌的基本特征，它的基本特征有：有界性，遍歷性、內(nèi)隨機(jī)性、分維性、標(biāo)度性、普適性等。，通過例子了解受外周期激勵(lì)的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的過程，讓我們對(duì)混沌現(xiàn)象有更深刻的認(rèn)識(shí)。第三章變型蔡氏電路模型概述第一節(jié)普通蔡氏電路目前對(duì)于混沌通信的研究逐步深入，已經(jīng)有許多基于混沌同步的保密通信方法。然而目前能夠用于混沌通信的混沌發(fā)生器還很少，在一定程度上阻礙了混沌通信的實(shí)用化進(jìn)程，因而設(shè)計(jì)出性能好的混沌發(fā)生器對(duì)混沌和混沌通信的研究與應(yīng)用具有很大的參考價(jià)值。其中最典型的是由美國Berkeley大學(xué)的Leon.O.Chua提出的蔡氏電路，它是能產(chǎn)生混沌行為的最小、最簡(jiǎn)單的三階自治電路。本章對(duì)蔡氏電路的混沌特性進(jìn)行了理論分析，并通過仿真觀察三階自治動(dòng)力系統(tǒng)的混沌雙渦卷吸引子和穩(wěn)定周期軌道。在混沌系統(tǒng)里，蔡氏電路比較易于產(chǎn)生混沌信號(hào)，一個(gè)比較典型的蔡氏電路如圖：圖3.1蔡氏電路原理圖在圖示網(wǎng)絡(luò)的最右端NR為蔡氏二極管，它可看作一個(gè)壓控型非線性電阻，其電路和伏安特性如圖3.2所示：圖3.2蔡氏二極管伏安特性曲線蔡氏二極管的伏安特性用下式表示：h(VC1)=GbVC1+0.5(Ga-Gb)(|VC1+Bp|-|VC1-Bp|)3.1其中，VC1、VC2分別是電容C1、C2上的電壓，IL是電感L上流過的電流，BP為使二極管導(dǎo)通的電壓值。一個(gè)通用的蔡氏電路無量綱狀態(tài)方程如下所示：3.2其中h(x)的分段線性特性為：h(x)=bx+0.5(a-b)|x+1|-0.5(b-a)|x-1|3.3其中a，b為正整數(shù)。這是一個(gè)典型的能產(chǎn)生雙渦卷吸引子的電路，其中蔡氏二極管具有三段線性的特性。第二節(jié)變型蔡氏電路由于普通蔡氏電路在產(chǎn)生混沌現(xiàn)象時(shí)，其元器件參數(shù)可調(diào)范圍很小且對(duì)初始條件極為敏感，不易于搭制實(shí)驗(yàn)電路，進(jìn)而也就不利于用于現(xiàn)實(shí)當(dāng)中的混沌通信。所以在這這里引入了變型蔡氏電路。變型蔡氏電路如圖3.3：圖3.3變型蔡氏電路原理圖根據(jù)基爾霍夫電壓定律（KVL）可將上述電路表示為如下3.4方程組：3.4在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)最右端的蔡氏二極管可以看作一個(gè)壓控型非線性電阻,其電路及其伏安特性如圖3.4：圖3.4蔡氏二極管電路及其伏安特性曲線第三節(jié)平衡點(diǎn)分析蔡氏二極管的伏安特性表示為：f(Vc1)=GbVc1+0.5(|Vc1+Bp|-|Vc1-Bp|)，其中，Vc1、Vc2和Vc3分別是電容C1、C2和C3上的電壓，IL是電感L上流過的電流，τ為時(shí)間變量,Bp為使二極管導(dǎo)通的電壓值。令a=/G，b=/G，則經(jīng)過變量代換和歸一化處理后，蔡氏二極管的方程為：f(x)=bx+0.5(a-b)(|x+1-|x-1|)3.5令x=Vc1/Bp，y=Vc2/Bp，z=ILR/Bp，w=Vc3/Bp，τ=tG/C2，α=C2/C1，β=C2R2/L，r1=R/R3，r2=C2/C3，其它的狀態(tài)參量和上面提到的相同，可抽象主從混沌同步系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如方程所示：3.6仿真選取以下參量C1=10nF,C2=100nF,L=18mH,R=1.6KΩ,C3=2μF,Bp=1.0,Ga=-0.76ms,Gb=-0.41ms,R3=100Ω，此時(shí)所產(chǎn)生混沌吸引子如圖3.5所示：圖3.5雙渦卷吸引子微分方程（3.6）式描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)應(yīng)于蔡氏二級(jí)管的特性，若將蔡氏二級(jí)管的特性分為3段考慮，即為：3.7（3.7）式在狀態(tài)空間的3個(gè)子空間為：0在狀態(tài)空間的3個(gè)子空間內(nèi)分別具有唯一平衡點(diǎn)，P+=(2.1260,0.1229,-2.0032,0.1229)∈D13.11Q=(0,0,0,0)∈D03.12P-=(-2.1260,-0.1229,2.0032,-0.1229)∈D13.13在平衡點(diǎn)Q(0，0，0)處進(jìn)行線性化，得線性化矩陣為3.14計(jì)算可解得上述矩陣的4個(gè)特征值為(3.6339，-0.9952，-0.9969+j3.1l96，-0.9969-j3.1l96)，在平衡-處進(jìn)行線性化，得線性化矩陣為：3.15計(jì)算解得上述矩陣的4個(gè)特征值為(-4.7590，-0.6641，0.1660+j3.2972，0.1660-j3.2972)，因此，所有的平衡點(diǎn)P+，Q，P-均為鞍點(diǎn)。在混沌吸引子的宏觀景象上，在和附近分別形成空洞，形狀像相互扭在一起的2個(gè)漩渦，呈現(xiàn)出雙渦卷混沌奇怪吸引子（圖3.5），這是整體穩(wěn)定和局部不穩(wěn)定相結(jié)合的結(jié)果，混沌軌道是在奇怪吸引子上盤旋運(yùn)動(dòng)的流。其相鄰軌線之間呈現(xiàn)出彼此排斥的趨勢(shì)，并以指數(shù)速率相互分離。第四節(jié)仿真結(jié)果根據(jù)以上建立的數(shù)學(xué)模型，對(duì)變型蔡氏電路進(jìn)行仿真研究。下面是通過EWB電路仿真軟件編寫的仿真電路圖。通過調(diào)整系統(tǒng)初始值或R的阻值，可以觀察到蔡氏電路豐富的非線性動(dòng)態(tài)特性。首先按原理圖3.3以及，，，，，時(shí)電路圖如圖3.6所示：圖3.6仿真電路圖此時(shí)只要激活電路，打開示波器窗口和仿真開關(guān)，便可以在示波器中觀察到雙渦卷吸引子現(xiàn)象如圖3.7，這時(shí)繼續(xù)調(diào)節(jié)電阻R，發(fā)現(xiàn)在R=1.4K~1.64K時(shí)還是出現(xiàn)雙吸引子現(xiàn)象。下圖是在示波器上觀察到的圖像：圖3.7雙渦卷吸引子繼續(xù)改變其參數(shù)和初始值還可以產(chǎn)生很多有趣的混沌現(xiàn)象，但是為了以后實(shí)驗(yàn)電路的調(diào)試方便，選擇了在其它元件一直不改變的情況下，只改變R的阻值來觀察，兩端的X-Y波形，并且在仿真過程中，兩端的X-Y波形還出現(xiàn)了一周期、二周期、三周期、四周期、正負(fù)單渦卷吸引子。下面列出在仿真出現(xiàn)以下現(xiàn)象時(shí)R的可調(diào)范圍：當(dāng)R在0.80K-1.30K這個(gè)范圍時(shí)會(huì)出現(xiàn)正負(fù)單渦卷吸引子；當(dāng)R在0.57K-0.62K范圍時(shí)會(huì)出現(xiàn)一周期渦卷；當(dāng)R在0.62K-0.65K時(shí)會(huì)出現(xiàn)二周期渦卷；當(dāng)R在0.65K-0.76K范圍時(shí)會(huì)出現(xiàn)四周期，分別如圖3.8所示：(a)負(fù)單渦卷吸引子(b)正單渦卷吸引子(c)一周期(d)二周期(e)四周期圖3.8各種情況下的圖示從仿真圖可以看出，變型蔡氏電路是一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)在比較大的元件參數(shù)范圍內(nèi)都可以產(chǎn)生雙渦卷吸引子的混沌現(xiàn)象。第五節(jié)本章小結(jié)本章主要對(duì)變型蔡氏電路進(jìn)行了介紹，蔡氏電路它是能產(chǎn)生混沌行為的最小、最簡(jiǎn)單的三階自治電路。本章對(duì)蔡氏電路的混沌特性進(jìn)行了理論分析，并通過仿真觀察三階自治動(dòng)力系統(tǒng)的混沌雙渦卷吸引子和穩(wěn)定周期軌道。由于普通蔡氏電路在產(chǎn)生混沌現(xiàn)象時(shí)，其元器件參數(shù)可調(diào)范圍很小且對(duì)初始條件極為敏感，不易于搭制實(shí)驗(yàn)電路。所以在這這里引入了變型蔡氏電路,通過仿真圖形我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)變型蔡氏電路是一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)在比較大的元件參數(shù)范圍內(nèi)都可以產(chǎn)生雙渦卷吸引子的混沌現(xiàn)象。結(jié)束語科學(xué)家認(rèn)為，在現(xiàn)代的科學(xué)中普遍存在著混沌現(xiàn)象，大至宇宙，小至基本粒子，無不受混沌理論的支配，如氣候變化會(huì)出現(xiàn)混沌，數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、哲學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、音樂、體育中也存在混沌現(xiàn)象。它打破了不同學(xué)科之間的界線，它是涉及系統(tǒng)總體本質(zhì)的一門新興科學(xué)。因此,本論文根據(jù)混沌的演進(jìn)過程從三個(gè)方面對(duì)混沌進(jìn)行介紹：第一部分介紹了混沌的發(fā)展歷史及其意義.介紹混沌的發(fā)展過程及混沌的重要地位。第二部分介紹了混沌的概念分類和舉例.通過舉例使我們對(duì)混沌的理解更加的深刻。第三部分介紹了混沌變型蔡氏電路的特性,它本論文的重點(diǎn),我們對(duì)變型蔡氏電路進(jìn)行仿真,通過改變R的值用示波器來觀察圖形，讓我們了解到變型蔡氏是一個(gè)連續(xù)的系統(tǒng),通過仿真圖形讓我們對(duì)蔡氏電路混沌現(xiàn)象有了更深入的認(rèn)識(shí)?；煦缤ㄓ嵕哂性S多優(yōu)點(diǎn)：保密性強(qiáng)，具有寬帶特性，特別是利用時(shí)空混沌增強(qiáng)抗破譯、抗干擾能力；具有高容量的動(dòng)態(tài)存儲(chǔ)能力；能有低功率觀察性；設(shè)備成本低等?；煦绫Ｃ芡ㄓ嵓夹g(shù)正在發(fā)展為高新技術(shù)的一個(gè)新領(lǐng)域。由于時(shí)間關(guān)系以后再對(duì)其介紹。致謝本論文還有很多不足的地方，在做論文中也遇到了許多問題，在老師和同學(xué)的幫助下也順利的解決了，通過這次論文我覺得我還有很多東西要學(xué)、要提高。剛開始我得到論文題目時(shí)，感覺什么都不會(huì)，以前完全沒有接觸到這方面的知識(shí)，根本就無從著手，多虧我的論文指導(dǎo)老師張老師的幫助，張老師給予了我耐心指導(dǎo)與細(xì)心關(guān)懷，有了張老師耐心指導(dǎo)我才不會(huì)在設(shè)計(jì)過程中迷失方向，失去前進(jìn)動(dòng)力。張老師有嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和精益求精的工作作風(fēng)及淵博的知識(shí)，這些都是我所需要學(xué)習(xí)的，感謝張老師給予我這樣一個(gè)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，謝謝！感謝與我并肩作戰(zhàn)的舍友與同學(xué)們，感謝關(guān)心我支持我的朋友們，感謝學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)、老師們，感謝你們給予我的幫助與關(guān)懷，特別感謝學(xué)院為我提供的良好學(xué)習(xí)環(huán)境，謝謝！參考文獻(xiàn)[1]方錦清.駕馭混沌與發(fā)展高新技術(shù).原子能出版社，2002[2]錢儉.混沌動(dòng)力學(xué)和湍流的統(tǒng)計(jì)理論.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，1993[3]姜璐，王德勝．系統(tǒng)科學(xué)新論.華夏出版社，1997[4]丁有瑚.對(duì)混沌學(xué)的基本認(rèn)識(shí).現(xiàn)代物理知識(shí)，1996增刊[5]盧侃，孫建華.混沌學(xué)傳奇.上海翻譯出版公司，1991[6]方錦清.混沌控制及其應(yīng)用前景.自然雜志，1993[7]方錦清.混沌控制及其應(yīng)用前景.科技導(dǎo)報(bào)，1994[8]黃潤(rùn)生．混沌及其應(yīng)用（第二版）.武漢大學(xué)出版社，2005[9]方錦清.非線性系統(tǒng)中混沌控制與同步及其應(yīng)用前景（一）.物理學(xué)進(jìn)展，1996[10]方錦清.迅速發(fā)展中的混沌控制與同步.自然雜志，1996[11]詹姆斯,格萊克.開創(chuàng)新科學(xué).上海譯文出版社，1990[12]魏宏森，宋永華．開創(chuàng)復(fù)雜性研究的新學(xué)科──系統(tǒng)科學(xué)縱覽.四川教育出版社，1991[13]PecoraLM.CarrollTL.Synchronizationofchaoticsystems.phys.Rev，lett，1990[14]PecoraLM．CarrollTL.Drivingsystemswithchaoticsignals.RhysRev.A，1991[15]YamadaT．FujisakaH.Stabilitytheorysynchronizedmotioncoupled-oscillatorⅡ.Prog.TheorPhys,1983[16]PecoraLM.CarrollTL.SynchronizationinChaoticsystems.Phys.Rev.Lett,1990附錄一、英文原文ChaostheoryFirst,themeaningofchaosAstothe"life"asadefinition,whatischaotic,theexactdefinitionisdifficulttogroundout,thereasonforthisisbecause:atleastsofar,thereisnotaunified,mathematicaltheoremshaveenoughsupport,generalapplicationandaperfectchaostheory,scientistscanonlybedemonstratedthroughthechaosofsomecommonphenomenonconcludedandtheso-callednature.Inthisregard,theexpertspointofviewis──Haken:"Chaosisderivedfromtherandommotionofthedecisiveequation."Feigenbaum:"determinethesystem'sinternalrandommotion."Lorenz:"Deterministicnon-periodicstream."HeBolin:"Noperiodicorder."Qian:"Chaosisthedisorderedmacroandmicrophenomena。"summaryorder,wecanmakethefollowingunderstand:themacro-chaosisdeterminednonlinearsystemundercertainconditionspresentedbytheuncertainorunpredictablerandomphenomena;isthecertaintyanduncertainty,ortherulesortherulesoforderandnon-sexualandnon-orderofintegrationofthephenomenon;thenon-deterministicorrandomdisorderisnotderivedfromexternalinterference,butfromwithinthe"non-linearcross-couplingmechanism",this"non-linearcross-couplingeffect"typeisthedynamicequationofmathematicaltablesinthenonlinearterm,itisbecauseofthis"cross"effect,nonlinearsystemsincertaincriticalconditionsunderwhichexhibitchaos,whichleadstothesensitivityofitsinitialvalue,whichleadstoinherentinstabilityofthecombinedeffect.Herewetalkedabouttheuncertainty,theso-calleddeterministicsystemisthatweconsiderthephysicalsystem,itisaphysicalchangeovertimetodeterminethenatureofanordinarydifferentialequationsordifferenceequationsofthedecision.Aslongasthegiveninitialconditions,itssolution(ororbitalmotion)isuniquelydetermined.Insomecases,andgivencontrolparameters,thesolutionwillbeshowingadisorderofchaos,whichismentionedabove,thechaoticstate.Deterministicchaosinthissystemisnotessentiallydifferentfromtheso-calleddeterministicboundequationcompletelyrandomchaos.Chaosisthe"deterministicsystem"a"inherentrandomness",whichisdifferentfromthepossibleuncertaintyintroducedfromoutsidethesystemofrandomeffects(egnoise)arisingfromtheexternalrandomness."Certainty"becauseofitsintrinsicreasonsratherthanexternalnoiseorinterferencearising;and"random"referstoirregularbehaviorcannotbepredicted.Toalargenumberofmoleculeswithsimilarthermalmotionofthisdistinctionbetweenrandomnessanddisorder,saidthechaosofournon-equilibriumchaotic,butwhenthesystemisinequilibriumpresentedbythethermalmotionofchaoticmessknownasthebalancestateofchaos.Chaosandnon-equilibriumsteadystatetoanotherdifferenceisthatChaos:Chaosequilibriumrandomphenomenashownbytheevolutionofshort-termbehaviorofthesystemcannotbedetermined.Suchasdice,thefirstthrowoftheresultcannotbedetermined;non-equilibriumchaosisnotthecase,thesystem'sshort-termevolutionoftheresultiscertain,predictable.Onlyafteralongevolution,theresultisuncertainandunpredictable.Mechanicalproblemsintheanalysis,weusuallystudyitinthephasespacemotionorbit.Theso-calledphasespaceisstudiedbythephysicalquantitytobeitself(displacement,velocity,pressureandtemperature,etc.)posedasageneralizedcoordinatecomponentspace,themostcommonphasespaceisconstitutedbythedisplacementandvelocitycomponentsofphasespace.Determinedineachmoment,allthevalues??ofphysicalquantitiesinthegeneralizedphasespacerepresentsapointoftemporalevolutionofthesequantitiesisinthephasespacefromagiveninitialpointofthebeginningofadynamictrack,isthechaoticstateTheorbitalphasespacedemonstratedbythedisorderandirregularities.Tothephysicalsystemsweconsider,inthephasespaceaccordingtoitsevolutionovertimewhetherthecontractionphasevolumethesystemcanbedividedintotwocategories──conservativesystemsanddissipativesystems.Thetwosysteminthechaoticnatureofthephenomenonhasaverysignificantdifference,theyfollowthelawsofphysicsarecompletelydifferent,weneedtobediscussedseparately.Theso-calledconservativesystemsisthephaseinthephasespacevolumechangesovertimeremainsthesamedynamicsystem.Incontrast,thedissipativesystemisinitsphasespacechangesitsvolumedecreasingwithtimedynamicsystems.Chaosintheprocessofhumanknowledgehasgraduallydissipatedbytheconservativechaoticsystemstochaotic.Justasinreallifeisfarmorethanthelinearphenomenonofnonlinearphenomenalikechaosindissipativesystemchaosthanthemorecommonconservativesystems,dissipativesystemsofdeeperchaosinphysicsresearchwillmakeitintotherealdailylifeandingreaterunityandharmonywithintherange.II,ABriefHistoryofChaos

"Chaos"istranslatedfromtheEnglish"chaos","c