Chapter 6 理想不可壓縮流體無旋運動

Chapter6理想不可壓縮流體無旋運動本章內(nèi)容：研究定常不可壓縮理想流體的無旋流動1、無旋流動的速度勢及一般求解方法2、平面無旋流動的復(fù)勢及一般求解方法§6.1不可壓縮理想流體無旋運動的基本方程組一、不可壓縮理想流體無旋運動模型1）理想：粘性力慣性力的區(qū)域例如繞流問題中邊界層以外區(qū)域的流動。不脫體繞流流動在研究壓力場和速度場時可不計邊界層，近似看成理想流體繞流固體的流動。2）不可壓縮：液體，通常情況下。氣體，低速繞流運動（流速聲速），例如飛機速度<100m/s時。3）無旋運動：在以上近似下，有勢體力場中流體渦旋運動性質(zhì)具有保持性，即初始無旋則永遠無旋。在流體從靜止開始的運動中（如浸沒在靜止流體中的小球膨脹引起的運動）和無窮遠均勻來流繞流物體的運動等，流動均無旋。此模型是對一類廣泛存在的流動問題的理想近似。二、速度勢無旋運動可設(shè)，。速度勢的單值和多值問題：單連通區(qū)域單值；復(fù)連通區(qū)域多值，相差的整數(shù)倍，其中是內(nèi)邊界上的速度環(huán)量。例如定義在環(huán)形區(qū)域上的平面無旋流動（點渦誘導(dǎo)的流動）。三、基本方程組或關(guān)于速度場的求解化為求解滿足一定邊界條件的Laplace方程問題，是否線性問題取決于邊界條件。在線性邊界條件下此方法已將原本非線性的求速度場的問題化為線性問題。若速度勢滿足的邊界條件是線性的，在滿足迭加原理，可由基本解迭加求得。例如若和均為無窮遠均勻來流繞流某一固壁邊界C的流動，即，則均勻來流繞流該固壁邊界的流動其速度勢為。反之，流動也可分解為和流動的合成。附：無旋運動的一般特性空間D內(nèi)的不可壓縮無旋流動速度勢滿足：，因而是調(diào)和函數(shù)，具備調(diào)和函數(shù)的一般性質(zhì)，包括：=1\*GB3①=2\*GB3②在D無極值，在D無最大值，在D不能達到最小值；=3\*GB3③動能表達式單連通區(qū)域：雙連通區(qū)域：=4\*GB3④由=3\*GB3③可得出以下結(jié)論有界單連通區(qū)域若邊界上有則流體靜止，流體內(nèi)處處有；有界單連通區(qū)域若邊界上有則流體靜止，流體內(nèi)處處有；有界單連通區(qū)域若部分邊界上有，其余邊界上有，則流體靜止，全流場有。=5\*GB3⑤開爾文最小能量原理：在單連通區(qū)域內(nèi)的不可壓縮流動，如果給定邊界上流體的法向速度，則在所有可能的運動形式中，將以無旋流動的總動能為最小，即有旋運動總動能大于無旋運動總動能。附Laplace方程解的唯一性關(guān)于Laplace方程的解，其一般形式，存在性和唯一性在數(shù)學上有一整套的理論，在以下條件下，該方程有唯一解：=1\*GB3①有界單連通區(qū)域給定邊界上或，或給定部分邊界上的和其余邊界上的。證明：設(shè)同一邊界條件下有兩個解和，則滿足=2\*GB3②有界雙連通區(qū)域：單連通域條件+給定內(nèi)邊界速度環(huán)量（或給定分隔面上的流量）例如兩柱殼間區(qū)域內(nèi)的旋轉(zhuǎn)流動。=3\*GB3③無界雙連通區(qū)域：例如物體外流動、點源的場等。設(shè)無窮遠為的大球面，可將=2\*GB3②直接推廣過來。§6.2理想不可壓縮流體平面定常無旋流動一、平面運動模型流動參數(shù)沿三維空間的某一方向（取為軸）不變，并且速度矢量落在與該方向垂直的平面內(nèi)：。最簡單的模型：均勻來流繞流無限長柱體?？山瓶闯善矫媪鲃拥膶嵗汉铀@流橋墩，空氣繞流煙囪，機翼繞流等。在這些流動中，物體的某一方向的尺度>>其它兩方向的尺度（細長物體），且物體垂直于該方向的截面大小、形狀變化很小，故被繞流的物體可近似看成是均勻截面的細長柱體。均勻截面的細長柱體的橫向繞流流動，除柱體兩端外，在柱體周圍的大部分區(qū)域有，任一垂直于的平面上的流動可表征除兩端以外的區(qū)域內(nèi)的流動。此模型使問題進一步簡化，更易于求解，研究平面運動還具有重要的理論意義，通過它的研究可以對流動的性質(zhì)有更多的了解，并積累處理問題的方法，所有這些都是處理復(fù)雜流動問題所必需的。二、不可壓縮平面流動的流函數(shù)1、不可壓縮流體平面流動流函數(shù)的引入設(shè)流動在平面內(nèi),證明：若則可以表示為某一函數(shù)的全微分，設(shè)此函數(shù)為，則于是有。若存在函數(shù)，速度分量可以表示為，則代入即可證明。函數(shù)被稱為流函數(shù)，此積分因是全微分的積分而與路徑無關(guān)，只取決于、點的位置。若取為參考點可設(shè)。2、流函數(shù)的物理意義：二維流動流體體積通量的意義：通過平面上與連線的流體體積通量通過曲線沿平移單位距離時掃過的曲面上的流體體積通量。對不可壓縮流體的流動，在無源或匯的區(qū)域，此通量與連線形狀無關(guān)，只取決于與兩點的位置。設(shè)通量向右為正，代表線元向右的法向，通過的向右的流體體積通量I=通過沿兩坐標軸的投影線元上的向右的流體體積通量II+III，即?？梢姡菏巧系牧黧w體積通量，代表流體向右流過。討論：=1\*GB3①沿某曲線此曲線是流線證明：若沿某曲線，在該曲線上取線元，上有，即，可見該曲線是流線。若某曲線是流線，在該曲線上取線元，則有，于是該線元上流函數(shù)的增量，可見沿該曲線。畫圖從的物理意義上分析亦可證明上述定理（此時可表述為沿流線的曲線上的流體體積通量=0）。由=1\*GB3①還可知與流線處處正交。=2\*GB3②對于二維不可壓縮無旋流動，由，即是調(diào)和函數(shù)。=3\*GB3③任意線元處的法向速度與的關(guān)系：，向右為正。極坐標下有，若取為沿流線法向的線元，其方向取為的方向，如圖所示，則，或。矢量關(guān)系式：=4\*GB3④沿流線且垂直于等速度勢線，故流線與等速度勢線正交。=5\*GB3⑤定義在單連通區(qū)域上的平面無旋不可壓縮流動，是單值函數(shù)（可含一任意常數(shù)）；定義在復(fù)連通區(qū)域上的平面無旋不可壓縮流動，可能是多值函數(shù)，其中為內(nèi)邊界上的流體體積通量。例題：均勻流動的流函數(shù)和勢函數(shù)，取原點為參考點，設(shè)。設(shè)有一均勻流動沿方向，此流動流函數(shù)；另有一均勻流動沿方向，此流動流函數(shù)；若空間均勻流動，則此流動流函數(shù)。三、復(fù)位勢及復(fù)速度III-1預(yù)備知識——復(fù)變函數(shù)的一些概念解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)復(fù)變函數(shù)，是實函數(shù)，。若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)點點可微，則在內(nèi)解析。在內(nèi)解析的充要條件：和滿足柯西—黎曼條件：，，且和在內(nèi)連續(xù)可微。由柯西—黎曼條件知解析函數(shù)的實部和虛部均為調(diào)和函數(shù)：。解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、奇點，留數(shù)，留數(shù)定理內(nèi)不解析的點叫奇點，若在某個奇點的有限小鄰域內(nèi)（不包括該奇點）解析則該奇點是孤立奇點，例如：的點。設(shè)點是復(fù)函數(shù)的孤立奇點，代表圓周：，設(shè)足夠小，只包圍一個奇點。稱積分的值為函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)，記為。與無關(guān)。函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)=在鄰域內(nèi)羅朗展開式中負一次冪的系數(shù)，。留數(shù)計算法則：=1\*GB3①是的一階奇點則=2\*GB3②是的階奇點則留數(shù)定理：如果在閉曲線的內(nèi)部內(nèi)除了有限個孤立奇點外解析（并且在上除外連續(xù)），那么證明(定性)：=1\*GB3①柯西積分公式在內(nèi)解析，上連續(xù)，則沿區(qū)域的邊界有.=2\*GB3②積分，為以為心任意半徑的圓周，則時時=3\*GB3③在孤立奇點附近展開成羅朗級數(shù)，，閉合曲線包圍孤立奇點=4\*GB3④。III-2復(fù)勢和復(fù)速度在除孤立奇點（點渦，點源，點匯）以外的不可壓縮平面無旋運動流場中，函數(shù)和滿足柯西—黎曼條件，并滿足連續(xù)可微條件，故二者可構(gòu)成一個解析函數(shù)，，被稱為復(fù)勢。幾個重要關(guān)系式：1）復(fù)速度，引入復(fù)速度。因為，所以共軛復(fù)速度。2）。和分別代表閉曲線上的速度環(huán)量和流體體積通量。IV定常理想不可壓縮平面無旋流動問題的數(shù)學提法引入復(fù)勢后，可以利用復(fù)變函數(shù)這一有力的數(shù)學工具解決這一類流動問題。以繞流流動為例，設(shè)固體靜止，固壁邊界c，固壁外無界空間，求解速度場的問題轉(zhuǎn)化為尋找滿足邊界條件的復(fù)勢，即說明：1）復(fù)勢與平面無旋運動一一對應(yīng)（可含有一個任意常數(shù)，在復(fù)連通區(qū)域為多值函數(shù)）任一給定的解析函數(shù)都代表了一個不可壓縮平面無旋流動，而該解析函數(shù)是否與某一特定流動對應(yīng)則取決于它是否滿足該流動的特定邊界條件。因而求解流動就是尋找滿足一定邊界條件的復(fù)勢。2）復(fù)勢迭加原理解析函數(shù)之和仍為解析函數(shù)，即復(fù)勢迭加所得到的復(fù)勢仍對應(yīng)一個平面無旋運動。至此，我們得到描述不可壓縮理想流體平面無旋運動的三組控制方程組，以無窮遠來流繞流固體問題為例，分別表述為1）；2）3）V基本流動的復(fù)勢（反問題：簡單復(fù)勢對應(yīng)的流動）1、線性函數(shù)，為復(fù)常數(shù)，說明該復(fù)勢對應(yīng)均勻直線流動。故均勻流動對應(yīng)復(fù)勢或，其中和分別代表速度大小和方向。2、對數(shù)函數(shù)，為實數(shù)，是奇點。將代入得，于是可知，，可見流線是發(fā)自原點（奇點）的輻射線。則為點源激發(fā)的流動，則為點匯激發(fā)的流動。。，閉合曲線代表包圍原點的圓周。故強度為的點源（匯）的流場：。3、對數(shù)函數(shù)，為實數(shù)，為奇點。，于是知，，可見流線為同心圓周。。若則速度方向在從方向順時針轉(zhuǎn)過的方向上。該速度代表一個軸對稱圓周運動，繞行方向取決于的正負。。上式也說明在處有點渦存在（軸為渦絲，強度為），也就是說該復(fù)勢對應(yīng)直線渦絲誘導(dǎo)的流動或點渦誘導(dǎo)的平面流動。故點渦的場復(fù)勢為。4、冪函數(shù)，為實數(shù)且（不代表有實際意義的流動），；，；零流線：對應(yīng)和（一般有，為整數(shù)）。若此二流線處是固壁邊界，則表示繞此角形固壁邊界的“繞角流動”。設(shè)，處，；處，，則流線圖如右側(cè)各圖所示。特例：=1\*GB3①代表凹角內(nèi)流動。時，處，角點為駐點。特別當，代表駐點附近的流動或繞直角形邊界的流動。，流線是一族雙曲線。=2\*GB3②代表均勻流動=3\*GB3③表示繞平板前緣的流動=4\*GB3④代表繞凸角的流動。5、反比例函數(shù)，為常數(shù)。一對靠近的等強度的點源和點匯誘導(dǎo)的流動，對于遠場而言，這一對點源和點匯可以看成無限靠近，即點源間距趨近于零，但點源強度和間距的乘積的是確定的，，將這樣的一對點源和點匯稱為偶極子，為偶極子強度。偶極子誘導(dǎo)的流動的復(fù)勢等于點源和點匯誘導(dǎo)的流動復(fù)勢的迭加，。如圖所示的偶極子（圖中箭頭連接源和匯并指向源）誘導(dǎo)的流動的復(fù)式為O。O兩個解析函數(shù)的和仍為解析函數(shù)，解析函數(shù)的迭加不會產(chǎn)生新的奇點，因而在除去兩個孤立奇點（點源和點匯）以外的無界空間內(nèi)解析，因而對應(yīng)該空間內(nèi)的上述點源和點匯誘導(dǎo)的不可壓縮平面無旋流動。計算極限（上下同時對求導(dǎo)）可見反比例函數(shù)代表偶極子誘導(dǎo)的流動。設(shè)，，則流線方程為，即，可見流線族為與軸相切、圓心在軸上的圓族。遠場流速。點源的場∝，相比之下偶極子場隨增大衰減更快。§6-5圓柱繞流無環(huán)量圓柱繞流通過基本流動復(fù)勢的迭加可以獲得較復(fù)雜流動的復(fù)勢。下面討論均勻流動與偶極子流動復(fù)勢的迭加。均勻來流沿軸，速度，偶極子逆軸方向放置于原點。設(shè)。。。。。流線方程：。零流線：和如圖所示。當時，即無窮遠處是均勻流動，速度為，滿足無窮遠邊界條件。若取則此復(fù)勢代表均勻來流繞流靜止圓柱的流場。因此，均勻來流繞流半徑為的靜止圓柱的流動復(fù)勢為：，。分析：1）柱面上的速度分布：，可知柱面上速度大小，可見，柱面上速率按正弦分布。駐點：圓柱周線與軸相交的兩點。柱面上流速最大的點在圓柱周線與軸相交的兩點，。2）柱面上的壓力分布略體力，由Bernoulli方程知，在該流場中，。因此，在柱面上，。駐點處的動壓=，因而常用表示的特征值。引入無量綱的壓力系數(shù)反映壓力的相對分布：。I無環(huán)量圓柱繞流壓力分布此處，如圖所示，壓力在柱面上、下和前、后對稱分布，因而柱體不受阻力和升力，此即達朗貝爾佯謬。真實流動由于粘性會在柱面附近形成邊界層，并且會發(fā)生流動分離，壓力系數(shù)的實驗曲線如圖所示，壓力分布前、后不對稱，因而存在阻力。對于繞流問題，理想流體理論給出的速度和壓力分布在大部分流動空間內(nèi)與實際符合很好，但不能解釋物體所受阻力。I無環(huán)量圓柱繞流壓力分布觀看繞流流動圖片二、有環(huán)量的圓柱繞流1實驗吳望一《流體力學》p49圖7.1.11。圓柱體可繞其軸線作定軸轉(zhuǎn)動，其軸固定在小車上，小車可以沿軌道運動。此裝置置于風洞中，當柱體不轉(zhuǎn)，風以吹來，此時柱和小車系統(tǒng)靜止不動。當柱體轉(zhuǎn)動再吹風時，小車開始沿軌道移動。當圓柱靜止時，繞圓柱流動的流場即上一節(jié)的圓柱無環(huán)量繞流。當圓柱轉(zhuǎn)動時，若不考慮粘性，圓柱的轉(zhuǎn)動對流體沒有影響（邊界條件不變），仍等同于圓柱無環(huán)量繞流，那么小車不可能運動，因而必須考慮粘性。粘性的存在使界面附近的氣體隨柱轉(zhuǎn)動（），邊界條件增加了切向速度連續(xù)要求，粘性引起氣體在壁面上的運動沿圓形流線，固壁邊界上速度環(huán)量不為零。旋轉(zhuǎn)圓柱引起的粘性流體的二維圓形流線流動的等價于一個位于圓心的點渦誘導(dǎo)的理想流體無旋流動，所以我們在無環(huán)量圓柱繞流復(fù)勢的基礎(chǔ)上迭加一個順時針點渦誘導(dǎo)的流動的復(fù)勢，得到其中為內(nèi)邊界上的速度環(huán)量，該復(fù)勢顯然滿足柱面上和無窮遠處的邊界條件，因而是有環(huán)量圓柱繞流的復(fù)勢。分析：駐點設(shè)得到駐點位置。=1\*GB3①若即，則柱外的駐點在柱下方的軸上，對應(yīng)流動狀況如圖1所示。在過駐點的流線所形成的回線內(nèi)部，流體繞圓柱環(huán)流，總是不進入主流。=2\*GB3②，即，駐點位于柱面上，流動狀況如圖2。=3\*GB3③，即，兩駐點位置和流動狀況如圖3。2、升力在柱體上方，環(huán)流引起的速度與來流速度方向基本一致，故流速增大，而在下方情況正相反，環(huán)流導(dǎo)致流速分布上、下不對稱，從而引起壓力的不對稱分布，于是產(chǎn)生了沿軸方向的升力。若環(huán)流反向則升力方向也變?yōu)槟孑S方向。下面定量計算升力。單位長柱體受力，其中代表柱面外法向。根據(jù)伯努利定理，柱面上壓力，其中代表柱面上流體復(fù)速度，。。關(guān)于軸對稱，則關(guān)于軸對稱，因而。記，則。方向與來流方向垂直，它與來流速度及環(huán)量之間關(guān)系可表示為矢量關(guān)系。討論：=1\*GB3①仍與事實不符，實際流體粘性邊界層的存在和流動分離的發(fā)生導(dǎo)致阻力。實際流動圖片。=2\*GB3②Magnus效應(yīng)：旋轉(zhuǎn)著前進的物體如旋轉(zhuǎn)的乒乓球、排球、足球等均受與前進方向垂直的側(cè)向力，從而發(fā)生側(cè)向偏轉(zhuǎn)。無粘理論可以解釋這一效應(yīng)。例一：點源和點渦迭置于平面上一點（水泵內(nèi)的流動），求流動復(fù)勢，流函數(shù)，速度。，，VII平面運動中的像方法在奇點（點源或點渦）誘導(dǎo)的流動中，加入固壁邊界（物體），邊界就會對原來的流動產(chǎn)生，影響，改變流動狀況。對于平板和圓這些簡單的邊界，我們有如下的求復(fù)勢方法，而于復(fù)雜的邊界，可先利用保角變換將其變成簡單邊界，然后再使用像方法。首先定義幾種不同形式的共軛運算：=1\*GB3①，僅對自變量求共軛e.g.，奇點是，，奇點是。=2\*GB3②，僅對函數(shù)形式求共軛e.g.，奇點為。注意：和的奇點都是奇點的共軛，此結(jié)論普適。=3\*GB3③，對自變量和函數(shù)形式都求共軛，實函數(shù)。VII-1平板邊界的鏡像法（映射定理）例1：點渦和平板邊界，點渦位于右半平面（），求右半平面內(nèi)的流場。分析：假如在左半平面對稱地放置一個點渦，這樣一對渦產(chǎn)生的流動既滿足了平板處的邊界條件，又未增加右半平面內(nèi)的奇點。點渦誘導(dǎo)的流場：。該點渦及其像的流場迭加即右半平面內(nèi)的流動：。常數(shù)對于流動速度場的解沒有影響，故略去，于是。例2：點渦和平板邊界，點渦位于上半平面（），求上半平面內(nèi)的流場。分析：假如在下半平面對稱地放置一個點渦，這樣一對渦產(chǎn)生的流動既滿足了平板處的邊界條件，又未增加上半平面內(nèi)的奇點。點渦的流場：。該點渦及其像的流場迭加即上半平面內(nèi)的流動：。一般地有如下定理：=1\*GB3①如果所有奇點都位于右半平面內(nèi)，無固壁邊界時其復(fù)勢為。當將平板邊界置于位置后，右半平面內(nèi)流動的復(fù)勢為。證明：在邊界上，，故=實函數(shù)，可知在該邊界上，滿足平板邊界條件。若是的奇點，則是的奇點。的奇點在右半平面，則的奇點在左半平面，故右半平面的奇點與的相同。綜合以上，定理得證。=2\*GB3②如果所有奇點都在上半平面，無固壁邊界時其復(fù)勢為。當將平板邊界置于位置后，上半平面內(nèi)流動的復(fù)勢為。證明：此時在平板邊界上，，故邊界上實函數(shù)，即，滿足平板邊界條件。的奇點在上半平面，的奇點在下半平面。故上半平面和的奇點相同，綜合以上，定理得證。注意：像點與原奇點位置關(guān)于邊界對稱，強度共軛（源強度不變，渦強度反號）例：求偶極子相對某一直線壁的像。無直線壁時偶極子的流場，加入直線壁后上半平面流場右圖中紅色線條代表組成偶極子的匯及其像誘導(dǎo)的流動的速度矢量。VII-2Milne一Thomson圓定理內(nèi)容：如果為沒有任何固體邊界并且在圓內(nèi)無任何奇點的平面流動的復(fù)勢，在流場中引入圓（柱）邊界后，圓柱外的流動復(fù)勢將為，實例：無環(huán)量圓柱繞流，均勻來流關(guān)于圓邊界的像為位于圓心的偶極子，偶極子強度，逆軸放置。定理證明：在柱面上（圓邊界上），，，故仍有實函數(shù)，，即圓邊界是流線。若為的奇點，則為奇點，是的奇點。由于，故的奇點均在圓內(nèi)。綜上，在圓外與有相同的奇點，并滿足圓邊界是流線的條件，因而是所求流動復(fù)勢。點關(guān)于圓邊界的鏡像點為。例：求圓柱外的源誘導(dǎo)的流場無圓邊界時流動復(fù)勢為，圓柱外的源誘導(dǎo)的流動復(fù)勢為，可見此時柱外的流動等價于三個點源誘導(dǎo)的流動，柱內(nèi)的點源和是柱外點源關(guān)于圓邊界的像，位置分別在點和原點。例：求圓柱外的渦誘導(dǎo)的流動無圓邊界時流動復(fù)勢為，圓柱外的源誘導(dǎo)的流動復(fù)勢為，可見此時柱外的流動等價于三個點渦誘導(dǎo)的流動，柱內(nèi)的點渦和是柱外點渦關(guān)于圓邊界的像，位置分別在點和原點。VIII定常二維繞流問題中物體所受的力問題的提出：小鳥扇動翅膀（eg蜂鳥吸花蜜時）就能保持在空中不掉下來。飛機翅膀不動也能保持在天空中飛行，此時升力如何產(chǎn)生？小鳥一撲楞翅膀就能飛，大鳥助跑后起飛，為什么？VIII-1Blasius定理內(nèi)容：理想、不可壓縮