解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的解題研究

曲靖師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文論文題目:解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的解題方法與技巧研究作者、學(xué)號(hào)：徐智勇2012111325學(xué)院、年級(jí)：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2012級(jí)學(xué)科、專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：張勇完成日期：2016年5月25日曲靖師范學(xué)院教務(wù)處解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的解題方法與技巧研究摘要解析幾何的內(nèi)容貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)，是高考數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)。由于解析幾何涉及到廣泛的知識(shí)面，綜合的解題方法和發(fā)散的解題思維，因此很多高中學(xué)生面對(duì)“解析幾何類(lèi)型”題目感到迷茫困惑，甚至束手無(wú)策。為了幫助高中生克服“解析幾何題型”中所遇到的困難，筆者查閱了大量的資料，解讀了國(guó)內(nèi)外一些關(guān)于解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的解題方法和技巧的書(shū)籍，應(yīng)用分析法、歸納法和綜合法，反復(fù)研究了“解析幾何”題目的解題思路，解題方法與解題技巧。經(jīng)過(guò)分類(lèi)總結(jié)，歸納出了“數(shù)學(xué)思想”、“公式法”、“待定系數(shù)法”、“點(diǎn)差法”、“等量代換法”等六類(lèi)解題技巧和八種常規(guī)題型。這些解題思路和方法源于解析幾何中的通常方法，但高于“數(shù)學(xué)思想”，對(duì)解決高中數(shù)學(xué)中“解析幾何類(lèi)型”的題目行之有效，或許對(duì)高中學(xué)生順利渡過(guò)高考解析幾何中的難題有所幫助。關(guān)鍵詞：解析幾何高考數(shù)學(xué)公式法點(diǎn)差法常規(guī)題型解題技巧ResearchonthemethodsandskillsofsolvingtheproblemofAnalyticgeometryinthecollegeentranceexaminationAbstract:Theanalyticgeometrycontentthroughouttheentirehighschoolmathematics,isafocusofthecollegeentranceexaminationmathematics.Theanalyticgeometryinvolvesawiderangeofknowledge,problem-solvingmethodsanddivergentcomprehensiveproblem-solvingthinking,somanyhighschoolstudentsfacethe"analyticgeometrytype"titleconfused,evenatalosswhattodo.Inordertohelpstudentsovercome"encounterdifficultiesinanalyticgeometryquestions",Iconsultedalotofinformationathomeandabroad,readingsomebooksaboutthemethodsandtechniquesforsolvinganalyticgeometryinthecollegeentranceexaminationinmathematics,usingtheanalyticalmethod,inductivemethodandcomprehensivemethod,repeatedresearch"thoughtsofsolvinganalyticgeometryproblem,problem-solvingmethodsandproblem-solvingskills.Afterclassified,summarizedthe"mathematicalthinking","formula","undeterminedcoefficientmethod","poorlaw","equalreplacementmethod"sixcategoriesandeightkindsofcommonproblemsolvingskillsCompliancequestions.Theseproblem-solvingideasandmethodsofsourcetotheordinarymethodofanalyticgeometry,buthighermathematicsthought,effectivetosolvetheproblemsofhighschoolmathematicsintheanalyticgeometrytype,perhapsforhighschoolstudentssmoothlythroughthegeometricalproblemshelp.Keywords:AnalyticgeometryCollegeentranceexaminationFormulamethodDifferencemethodConventionalquestionsProblemsolvingskills目錄1引言 引言解析幾何內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要課題，也是高考一個(gè)難點(diǎn)，更是解決其它問(wèn)題的基礎(chǔ)，圓錐曲線類(lèi)問(wèn)題：綜合性很強(qiáng)，難度大，這對(duì)高中生來(lái)說(shuō)，是一道難題。因此，對(duì)解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的解題方法與技巧的研究就顯得格外重要。但僅僅依靠教材介紹的幾種基本方法無(wú)法應(yīng)對(duì)形式多變的圓錐曲線類(lèi)問(wèn)題。求圓錐曲線的軌跡方程中常用的方法與技巧很多，通常是利用待定系數(shù)法，定義法，相關(guān)點(diǎn)法，相近或相關(guān)的知識(shí)等的綜合應(yīng)用。把所需求解的問(wèn)題加以轉(zhuǎn)換，通過(guò)轉(zhuǎn)換，可以簡(jiǎn)化問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上還要注意從不同角度去分析圓錐曲線的幾何性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用聯(lián)系、變化、對(duì)立統(tǒng)一的觀點(diǎn)恰當(dāng)?shù)貙?wèn)題轉(zhuǎn)化，從而促使圓錐曲線類(lèi)問(wèn)題化難為易。文章就圓錐曲線類(lèi)問(wèn)題和直線類(lèi)問(wèn)題中的一些不常見(jiàn)的方法和技巧作了研究，并研究了如何使解析幾何類(lèi)問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)。解析幾何主要是用代數(shù)法解決幾何問(wèn)題，中心思想由代數(shù)與幾何組成。提高學(xué)生的解題能力，是當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。文章還介紹了解析幾何的起源和解析幾何的主要的思想和歷史以及解析幾何的發(fā)展與完善，強(qiáng)調(diào)了笛卡爾和他的《幾何學(xué)》在數(shù)學(xué)史上的舉足輕重的地位，著重的說(shuō)了解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的解題方法與技巧研究和解析幾何在高考數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題與解決方法和解題技巧，注意事項(xiàng)，以及向量在解析幾何中的作用，同時(shí)探索了解析幾何在立體幾何中的應(yīng)用。2文獻(xiàn)綜述2.1國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀2.1.1解析幾何的發(fā)展歷史1633年笛卡爾寫(xiě)了一部《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》，這部書(shū)中有一部分叫《幾何學(xué)》，在他的《幾何學(xué)》中第一次出現(xiàn)變量與函數(shù)思想的方法論，并將幾何與代數(shù)結(jié)合起來(lái)，笛卡爾所謂的變量，是指連續(xù)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸上所有點(diǎn)的數(shù)字變量，還指具有變化長(zhǎng)度而不變方向的線段，正是變量的這兩種形式笛卡爾試圖創(chuàng)造一種代數(shù)和幾何互相滲透的科學(xué)。在幾何學(xué)中，笛卡爾的功績(jī)是把數(shù)學(xué)中兩個(gè)研究對(duì)象“形”與“數(shù)”統(tǒng)一起來(lái)，并在數(shù)學(xué)中引入“變量”，完成了數(shù)學(xué)史一項(xiàng)巨大的時(shí)代變革。他指出：幾何曲線上的所有點(diǎn)必定跟直線上的所有點(diǎn)具有一種確定的關(guān)系，并且這種關(guān)系必須用單個(gè)的方程來(lái)表示[3］，即用坐標(biāo)的方法把曲線用帶有兩個(gè)未知變量的代數(shù)方程表示，這樣就可以用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，《幾何學(xué)》的出版標(biāo)志著解析幾何的建立，而同時(shí)代的法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬早在《幾何學(xué)》之前，就寫(xiě)了關(guān)于解析幾何思想的文章，只是沒(méi)有發(fā)表，他也是解析幾何的創(chuàng)始者之一。解析幾何的創(chuàng)建從根本上改變了從古希臘開(kāi)始的代數(shù)和幾何分離的趨勢(shì)，進(jìn)而推動(dòng)了數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程［4］。解析幾何一經(jīng)建立，就得到了膨脹式的迅速發(fā)展，且廣泛滲透到數(shù)學(xué)與物理學(xué)等多個(gè)學(xué)科中去。1692年，萊布尼茨首先使用“坐標(biāo)”一詞，兩年后，萊布尼茨正式提出“縱坐標(biāo)”的術(shù)語(yǔ)，到18世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家沃爾夫引入“橫坐標(biāo)”這一術(shù)語(yǔ)，“解析幾何”的名稱(chēng)則是18世紀(jì)末由法國(guó)數(shù)學(xué)家拉克魯瓦正式引入的。1665年英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯在其著作《論圓錐曲線》中第一次將圓錐曲線定義為x,y的二次方程的曲線，且證明了其等同性，又用x,y的二次方程來(lái)推導(dǎo)出圓錐曲線的性質(zhì)。1748年，歐拉在《無(wú)窮分析引論》中從一般二次方程a出發(fā)系統(tǒng)研究了圓錐曲線的各種情形，并在圓錐曲線的研究當(dāng)中引入?yún)?shù)方程和極坐標(biāo)。在《無(wú)窮分析引論》中，歐拉還研究了3個(gè)變量x,y,z的二次方程ax其中系數(shù)皆為實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)不全為0，得到6種二次曲面：錐面、柱面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面、雙曲拋物面和拋物柱面，且按系數(shù)對(duì)方程（3.2）進(jìn)行了分類(lèi)。1802年，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日證明每個(gè)二次曲面與平面的截線皆為二次曲線，且平行線截口是相似的二次曲線。1832年，瑞士數(shù)學(xué)家施泰納建立了直紋面二次曲面的理論。到19世紀(jì)，解析幾何已日趨完善。2.1.2解析幾何的思想方法1.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想的基本觀點(diǎn)：把數(shù)量關(guān)系的精確刻畫(huà)與空間形式的形象直觀密切的結(jié)合，調(diào)用代數(shù)與幾何的雙面工具，揭露問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，達(dá)到解題的目的，這種解題觀點(diǎn)叫數(shù)形結(jié)合思想。三種解題策略：（1）“以數(shù)解形”，即：幾何問(wèn)題代數(shù)化；（2）“以形解數(shù)”，即：代數(shù)問(wèn)題幾何化；（3）數(shù)形互解。注1：數(shù)形結(jié)合策略的關(guān)鍵之點(diǎn)是：構(gòu)建數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)明數(shù)形結(jié)合的工具。注2：“數(shù)形結(jié)合”在“問(wèn)題解決”中有三個(gè)鮮明作用：猜想解題思路；簡(jiǎn)化解法和直觀發(fā)現(xiàn)；驗(yàn)證和評(píng)價(jià)。例1如果x,y滿足等式(x-y)2+y2=3（A）12(B)23(C)32AOPxy分析：待解問(wèn)題是：yx=0-y0-x，具有直線lAOPxy在圓(x-y)2+y線l與圓的交點(diǎn)。借助幾何圖形知當(dāng)直線l圖1與圓相切時(shí)，其傾斜角最大，這時(shí)斜率也最大圖1解：設(shè)P(x,y)是圓上一點(diǎn)，直線OP為l，則當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，斜率最大：k1=yx最大，在Rt?OAP中：PA=3,此題顯示了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)，若直接計(jì)算是很困難的。2.坐標(biāo)法思想坐標(biāo)法是通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)行數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的解題方法。下面研究坐標(biāo)法的一些具體方法和模式。例2設(shè)a,b,c∈R+，且分析：若在不等式中含有：x1x2+y（因?yàn)椋篴+b+c證明：因?yàn)閍+QPθ1yxz令QPθyxz（關(guān)鍵是確定θ的范圍，把P(a是動(dòng)點(diǎn)，顯然θ≥0，又因?yàn)辄c(diǎn)Q(1,1,1)在第一圖2象限，所以O(shè)P與OQ圖2OP與OQ的夾角不超過(guò)OQ與x軸的夾角。）又因?yàn)棣炔怀^(guò)向量OQ與x軸的夾角θ1，所以0<θ≤θ1，所以cosθ1所以：1≤2.1.3國(guó)內(nèi)外高考解析幾何研究國(guó)內(nèi)外，對(duì)高考解析幾何的研究，大多都集中在研究用解析幾何知識(shí)來(lái)解答解析幾何問(wèn)題，向量方面的知識(shí)很少涉及，其中向量在解析幾何中的研究有文獻(xiàn)[13]，[14]，分別講解了向量在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用和空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，在一些國(guó)外中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽研究中，運(yùn)用向量相關(guān)知識(shí)解決解析幾何問(wèn)題的也很多，而國(guó)內(nèi)對(duì)于高考解析幾何問(wèn)題研究的比較徹底，比如文獻(xiàn)[1-2]給出了解析幾何問(wèn)題的一些解題技巧和方法，文獻(xiàn)[7-10]給出了解決解析幾何問(wèn)題的一些策略，但分類(lèi)不夠詳細(xì)，查閱困難，更不方便使用，并且大多數(shù)教材及著作對(duì)高考解析幾何的研究只涉及到方法技巧而不注重思想，比如文獻(xiàn)[13-16]。2.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀的評(píng)價(jià)目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)解析幾何類(lèi)問(wèn)題的研究呈現(xiàn)出下面一些特點(diǎn)：（1）在文獻(xiàn)[1],[7],[13],[14],中對(duì)解析幾何的各種解題方法和技巧解決的比較徹底；（2）在文獻(xiàn)[2],[8],[9],中對(duì)數(shù)學(xué)思想這方面滲透還略有不足；（3）在[11],[12]，[15]中沒(méi)有詳細(xì)的分類(lèi)，多數(shù)只針對(duì)方法或只針對(duì)技巧，沒(méi)有把數(shù)學(xué)思想及解題方法融合在一起形成一個(gè)融會(huì)貫通的知識(shí)系統(tǒng)。2.3提出問(wèn)題基于“解析幾何類(lèi)題目”的研究現(xiàn)狀，給高中學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何帶來(lái)極大的困難，使他們學(xué)到的知識(shí)缺乏有機(jī)的聯(lián)系，那么，如何讓高中學(xué)生系統(tǒng)完整的掌握解析幾何的思想方法，使之在應(yīng)用中游刃有余，筆者通過(guò)大量的文獻(xiàn)解讀研究、整理和歸納對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行研究。3高考數(shù)學(xué)中解析幾何問(wèn)題的解題方法與技巧3.1高考應(yīng)試建議縱觀2015年全國(guó)各省市18套文、理高考試卷，普遍有一個(gè)規(guī)律：占分值接近一半的填空、選擇題難度不大，中等及偏上的學(xué)生能將對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)收入囊中；而占分值一半偏上的解答題得分很不理想，其原因主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）解析幾何的計(jì)算量相對(duì)偏大；（2）解析幾何是代數(shù)與幾何的完美結(jié)合，解析幾何的問(wèn)題可以涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何、數(shù)列、向量等知識(shí)，形成了軌跡、最值、對(duì)稱(chēng)、范圍、參系數(shù)等多種問(wèn)題，因而成為高中數(shù)學(xué)綜合能力要求最高的內(nèi)容之一；（3）在大家的“拿可拿之分”的理念下，大題的前三道成了兵家必爭(zhēng)之地，而排放位置比較尷尬的第21題和22題（有時(shí)20題）就成了很多人遺忘的角落，加之時(shí)間的限制，此題留白的現(xiàn)象比較普遍。根據(jù)解析幾何的特點(diǎn)，建議在復(fù)習(xí)中做好以下幾個(gè)方面：由于高考中解析幾何內(nèi)容彈性很大。有簡(jiǎn)單題，有中難題。因此在復(fù)習(xí)中基調(diào)為狠抓基礎(chǔ)。不能因?yàn)楦呖贾械慕獯痤}較難，就拼命地去搞難題，套新題，這樣往往得不償失；端正心態(tài)：不指望將所有的題攻下，將時(shí)間用在鞏固基礎(chǔ)、對(duì)付“跳一跳便可夠得到”的常規(guī)題上，這樣復(fù)習(xí)，高考時(shí)就能保證首先將選擇、填空題拿下，然后對(duì)于大題的第一個(gè)小問(wèn)爭(zhēng)取得分，第二小題能拿幾分算幾分。明確題意、找到題目的突破口是順利完成解題過(guò)程的首要條件。全面審題需要做好審條件、審圖形、審結(jié)論這三個(gè)條件，同時(shí)還需要注意題目中所包含的隱含條件。在實(shí)際的解題過(guò)程中，需將題干中的條件進(jìn)行逐一的轉(zhuǎn)化，向結(jié)論的方向進(jìn)行裝換，在此過(guò)程中也將結(jié)論做相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，若在轉(zhuǎn)化過(guò)程中出現(xiàn)“對(duì)接”的現(xiàn)象，則可以輕松的找到問(wèn)題的突破口。3.2高考核心考點(diǎn)1、理解基本概念（如直線的斜率、傾斜角、距離、截距等）。2、熟練掌握基本公式（如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式、到角公式、夾角公式等）。3、熟練掌握求直線方程的方法（如根據(jù)條件靈活選用各種形式、討論斜率存在和不存在的各種情況、截距是否為0等等）。4、在解決直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題中，要善于運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)以減少運(yùn)算。5、熟悉圓錐曲線中基本量的計(jì)算。6、掌握與圓錐曲線有關(guān)的軌跡方程的求解方法（如：定義法、直接法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、幾何法、待定系數(shù)法等）。7、掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見(jiàn)判定方法，能應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決一些常見(jiàn)問(wèn)題。3.3常規(guī)題型方面3.3.1中點(diǎn)弦問(wèn)題二次曲線上任意兩點(diǎn)間的線段稱(chēng)做弦，用二次曲線的不垂直于x軸的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)可以表示該弦的斜率，像這種具有斜率的弦中點(diǎn)問(wèn)題，通常采用設(shè)而不求的方法（點(diǎn)差法），設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(x1,例3給定雙曲線x2-y22=1，過(guò)A(2,1)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P1解：把P1(x1,y1)兩式相減得：x又設(shè)中點(diǎn)P(x,y)，將x1+當(dāng)x1≠又k=代入得2當(dāng)弦P1P2因此所求軌跡方程是2注意：本題要注意思維的嚴(yán)密性，必須單獨(dú)考慮斜率不存在時(shí)的情況。3.3.2焦點(diǎn)三角形問(wèn)題已知橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F例4設(shè)P(x,y)為橢圓x2a2+y2b（1）求證離心率e=sin（2）求|P解:（1）設(shè)PF1=r1，即得：r即證：e=c（2）又(a+ex)當(dāng)x=0時(shí)，最小值是2a當(dāng)x=±a時(shí)，最大值是23.3.3直線與圓錐曲線問(wèn)題直線與圓錐曲線問(wèn)題主要涉及的是：1．直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，同時(shí)求參數(shù)取值范圍，大部分是求直線斜率k的取值范圍，而實(shí)際上這類(lèi)問(wèn)題是研究直線與圓錐曲線方程組成的方程組，聯(lián)立解得的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法。2．當(dāng)直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；而涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化。同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍。3．在解決直線與圓錐曲線問(wèn)題時(shí)，不要忽略圓錐曲線的幾何性質(zhì)，很多問(wèn)題可以通過(guò)代數(shù)與幾何相結(jié)合可以直接解答。例5已知雙曲線C：2x2(1)求過(guò)P(1,2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別一個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)。(2)若P(1,1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在。分析：涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化．本題涉及二次方程根的個(gè)數(shù)的判定、兩點(diǎn)連線的斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式。解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-1),代入C的方程，并整理得：2-k2x2+2(ⅰ)當(dāng)2-k2=0,即k=±(ⅱ)當(dāng)2-k2≠0,即k≠±=1\*GB3①當(dāng)Δ=0,即3-2k=0,k=32時(shí)，方程(1)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)。=2\*GB3②當(dāng)Δ>0,即k<32,又k≠±2,故當(dāng)k<-2或-2<k<2或2<k<32③Δ<0當(dāng)，即k>32時(shí)，方程(1)無(wú)解，綜上所述：當(dāng)k≠±2,或k=32，或k當(dāng)2<k<32,或-2<k<當(dāng)k>32時(shí)，l(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1兩式相減得：2又∵x∴2即k但漸近線斜率為±23.3.4軌跡問(wèn)題求動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線問(wèn)題中的基本問(wèn)題：1.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是通過(guò)對(duì)圓錐曲線定義的理解，我們可以確定曲線是橢圓、雙曲線還是拋物線，那么我們可以通過(guò)上面所說(shuō)的待定系數(shù)法、定義法來(lái)解決問(wèn)題，2.不確定曲線形狀，我們可以用相關(guān)點(diǎn)法，即根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過(guò)轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，或者參數(shù)法，即設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量t的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量t為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，現(xiàn)舉一些相關(guān)點(diǎn)法的例子。例6已知P(4，0)是圓x2分析：對(duì)較復(fù)雜的軌跡方程類(lèi)問(wèn)題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，然后再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，以所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程，對(duì)于本題可以先建立線段AB中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在直角△ABP中，AR=|PR|又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理：在直角△OAR中，|AR|2又|AR|=|PR|=有(x-4)2圖3即x圖3因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，所以當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)。設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1代入方程x2+y例7已知△ABC中，三邊依次構(gòu)成等差數(shù)列，a>c>b,AB=2，求頂點(diǎn)分析：對(duì)于這類(lèi)題中沒(méi)有明確的信息告訴我們是什么曲線，我們可以通過(guò)對(duì)圓錐曲線的定義的深刻理解，了解圓錐曲線定義的本質(zhì)，使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷的解法，回到定義，理解定義，對(duì)于本題我們要恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系，通過(guò)對(duì)定義的理解，可知頂點(diǎn)C的軌跡為橢圓的一部分。CByxOA解：如右圖，以直線AB為軸，線段CByxOA由題意得：a,b,c構(gòu)成等差數(shù)列，圖4∴2c=圖4即CA+CB=2,∴C的軌跡為橢圓的左半部分。在此橢圓中，a'=2,c'注意：定義是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的概括，只有深刻地理解概念的本質(zhì)，才能靈活運(yùn)用它來(lái)簡(jiǎn)化解題過(guò)程。如能回到定義，則常常能使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷的解法，波利亞就曾提倡“回到定義”。3.3.5兩線段垂直問(wèn)題圓錐曲線的兩條焦半徑互相垂直問(wèn)題，常用k1例8已知直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)P(-2,0),拋物線C:y2=4(x+1)，直線與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。（1）求k的取值范圍；（2）直線的傾斜角為何值時(shí)，A、B與物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。解：（1）直線y=k(x+4)代入拋物線方程得:k2x2+4k（2）由上面方程得x1y1y2=由kOAk得：tanθ=±或θ=π-arctan圖53.3.6存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題圖5在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。（也可以利用韋達(dá)定理結(jié)合判別式來(lái)解決）。例9已知橢圓C的方程x24+解：橢圓上兩點(diǎn)x1,y1又x=x1+又由y=3xy=4x+m解得交點(diǎn)又交點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有(-m)24+3.3.7圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問(wèn)題求最值是解析幾何的一類(lèi)重要題型，它涉及到代數(shù)、三角、幾何等方面的知識(shí)，綜合性強(qiáng)，方法靈活，圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問(wèn)題，常用代數(shù)法和幾何法解決。(1)若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來(lái)解決。(2)若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用三角函數(shù)，二次函數(shù)，均值不等式）求最值。例10已知拋物線y2=2px(p>0)，過(guò)M(a,0)且斜率為1的直線（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題，對(duì)于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過(guò)解不等式求出a的范圍，即“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對(duì)于（2）首先要把△NAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即“最值問(wèn)題，函數(shù)思想”。解：(1)直線l的方程為：y=x-a,將y=x-a代入拋物線方程y得：設(shè)直線l與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Ax1,又y1=∴AB=解得:-p2(2)設(shè)AB的垂直平分線交AB與點(diǎn)Q，令其坐標(biāo)為(x3,y所以|QM|2=(a+p-a)2所以QM=所以S△NAB=12AB3.3.8圓錐曲線幾何性質(zhì)的問(wèn)題圓錐曲線都有特定的幾何性質(zhì)，我們可以通過(guò)曲線的方程來(lái)討論曲線的幾何性質(zhì)，通過(guò)代數(shù)方法來(lái)了解曲線的幾何性質(zhì)，同時(shí)如果能很好的利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)，那么對(duì)于求參數(shù)和離心率的取值范圍有很大幫助。例11設(shè)F1、F2為橢圓x29+y2解析：分析橢圓的幾何性質(zhì)可知，F(xiàn)1不是直角頂點(diǎn)，所以只要對(duì)P、F解法1：由已知，|PF1|>|PF2若∠PF1F2為直角，則|PF1|2=|PF若∠F2PF1為直角，則|PF可解得：PF1=4，解法2：由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)Px,y其中x>0,y>0若∠PF2F1為直角，則P(5,43),這時(shí)PF1=143，解得：P(于是PF1=4，注意：由橢圓的方程，我們應(yīng)熟練準(zhǔn)確地寫(xiě)出其幾何性質(zhì)（如頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)，焦距，離心率，焦半徑等）是應(yīng)對(duì)考試必備的基本功，同時(shí)應(yīng)注意對(duì)圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用。3.4解題技巧方面3.4.1充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們通過(guò)設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，并結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問(wèn)題中經(jīng)常用到。例12已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線y=x+1相交于P、Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ,PQ=102,解：設(shè)橢圓方程為ax2+by2由方程組y=x+1ax∴x由kOP?k又P、Q在直線y=x+1上，所以有y1∴y1把(1)代入（2），得2x即2(b-1)化簡(jiǎn)后，得：a+b=2（3）由PQ=10∴(x1把(3)代入（4），得4b2把(5)代入(3)后,解得a由a>b>0∴所求橢圓方程為3注意：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡(jiǎn)化了計(jì)算。3.4.2用公式法和待定系數(shù)法求直線的方程類(lèi)問(wèn)題已知直線上的兩點(diǎn)或一點(diǎn)和直線的傾斜角都可以確定一條直線，若給定直線的斜率為k，且經(jīng)過(guò)直線上任意一點(diǎn)P(x0,y0),則直線的點(diǎn)斜式方程為y-y0=k(x-x0),若給定直線上兩點(diǎn)P1例13已知直線經(jīng)過(guò)A(1,2)，B(3,4)兩點(diǎn)，求直線方程？解法1：將A、B兩點(diǎn)帶入直線方程y-y1y2-解法2：將A、B兩點(diǎn)帶入方程y=kx+b，組成方程組，解得直線方程為x-y+1=0。3.4.3用代數(shù)法解決直線間的距離、平行、垂直類(lèi)問(wèn)題直線間的距離、平行、垂直問(wèn)題，通常我們要求出直線方程，利用直線方程求解幾何關(guān)系。例14經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,2),B(1,2),經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-2,-1)，N(2,-1)，求l1l分析：兩直線的斜率為k1、k2，若k解：由題意得，l1方程為y-2x-1=l2的方程為y-1x-2所以k1注意：幾何的距離問(wèn)題應(yīng)用解析幾何轉(zhuǎn)化為代數(shù)求解，思路簡(jiǎn)單，計(jì)算方便。3.4.4直線交點(diǎn)及直線系問(wèn)題對(duì)于直線交點(diǎn)的求法，一般是將兩直線方程組成方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)榻稽c(diǎn)是同時(shí)滿足兩個(gè)直線方程的，而直線系是指過(guò)滿足條件的一族直線，如平行直線系：與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程式為：Ax+By+C1=0(C1為參數(shù)且C1≠C)，垂直直線系：與直線例15求過(guò)點(diǎn)P(2,3)且與2x+y-5=0平行的直線方程解：設(shè)所求直線方程為2x+y+C=0,且過(guò)P點(diǎn),所以直線方程為2x+y-7=0。注意：本題若用常規(guī)方法需要求出斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式，求方程，較繁復(fù)，如果利用直線系則較為簡(jiǎn)單。3.4.5運(yùn)用共交點(diǎn)的曲線系方程解析幾何中，有大量的過(guò)兩曲線的交點(diǎn)的第三曲線的問(wèn)題，這些問(wèn)題如果運(yùn)用共交點(diǎn)的曲線系方程，就可以得到簡(jiǎn)捷的解題方法，從而可以避免求曲線的交點(diǎn)，減少計(jì)算量。例16求經(jīng)過(guò)兩圓C1:x2+解：設(shè)經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的曲線系方程為：x2即1+λx則所求圓的圓心為(∵圓心在直線x-y-4=0上∴-3故所求圓的方程為-6即x注意：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點(diǎn)，故簡(jiǎn)化了計(jì)算。3.4.6進(jìn)行某些適當(dāng)?shù)拇鷵Q如果我們能充分挖掘題設(shè)條件的特點(diǎn)，得出和欲求量相關(guān)的代數(shù)式，進(jìn)行代換，往往可達(dá)到不求交點(diǎn)而直接求出結(jié)果的目的。例17證明：橢圓x225+y證明;設(shè)橢圓和雙曲線的交點(diǎn)為(x0,y所以橢圓和雙曲線在點(diǎn)(x0,yk∴k1k∵交點(diǎn)(x∴9xx0消去這兩個(gè)方程中的常數(shù)項(xiàng)，得x02y把(2)代入(1),得k1∴l(xiāng)4向量在解析幾何問(wèn)題中的應(yīng)用向量是溝通代數(shù)、幾何的一種工具，將代數(shù)運(yùn)算引進(jìn)到了幾何中，我們首先在空間引入向量及其線性運(yùn)算用有向線段作為向量的幾何表示，并通過(guò)向量來(lái)建立坐標(biāo)系［9］，在空間坐標(biāo)系中，我們給出向量和點(diǎn)的坐標(biāo)表示，而且向量運(yùn)算可以歸結(jié)為數(shù)字的運(yùn)算，這樣，使得幾何中的平行、夾角、垂直、全等、相似、共線、軌跡等問(wèn)題坐標(biāo)化符號(hào)化、數(shù)量化，也就是通過(guò)向量和方程來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，這種方法叫做向量法，［10］向量與解析幾何相互聯(lián)系，緊密結(jié)合。例18已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P(1,0)，且與定直線l:x=-1相切，點(diǎn)C在l上。（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P,且斜率為-3(=1\*romani)問(wèn)△ABC能否為正三角形?若能,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能,說(shuō)明理由；(=2\*romanii)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí),求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍。解：（1）依據(jù)題意,曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn),直線l為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線M的方程為y2（2）(=1\*romani)由題意得,直線AB的方程為y=-3(x-1)，由y=-3(x-1)y2所以A為(13,23設(shè)C(-1,y),則AB=(83,-8假設(shè)存在點(diǎn)C(-1,y),使△ABC為正三角形，則由AB=|BC|且AB與CB的夾角為(8此方程組無(wú)解，故不存在點(diǎn)C使△ABC為正三角形。(=2\*romanii)解法1：若∠ABC為鈍角，則AB?CB<0,易求得y<-圖6若∠BAC為鈍角，則AB?AC<0,即圖6若∠ACB為鈍角，則AC?CB>0,有y2+433y+43解法2：AB=設(shè)C(-1,y)使△由y=-3x-1即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,23)時(shí)，A，B，C又|AC|2|BC|2=當(dāng)|BC|2>|AC|即y>293當(dāng)|AC|2>|BC|即y<-103又|AB|2>|AC|即y2+433因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y<-5解析幾何思想在立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用立體幾何是抽象的，需要很強(qiáng)的空間想象能力，主要包括位置關(guān)系類(lèi)問(wèn)題如：線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；度量問(wèn)題：包括點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離，線與線、線與面所成角，面面所成角等，通過(guò)坐標(biāo)系將向量坐標(biāo)化，我們將解析幾何中的坐標(biāo)法應(yīng)用于立體幾何，可以將這些抽象的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的代數(shù)運(yùn)算，解決立體幾何中的垂直、平行、角的大小、距離等問(wèn)題。用坐標(biāo)法解決立體幾何問(wèn)題，首先需要建立空間直角坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系時(shí)，要注意當(dāng)圖形中有明顯互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，可以利用這三條直線直接建系，應(yīng)遵循讓盡量多的幾何點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)表示向量，很多涉及到平面的問(wèn)題還需要求平面的法向量，最后利用向量運(yùn)算解決幾何問(wèn)題。例19如圖，四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB,M為PC上的點(diǎn),MB（1）平面ABC與平面PAC夾角的正弦值；（2）求點(diǎn)D到平面PAC的距離。圖7圖7分析：本題首先應(yīng)建立平面直角坐標(biāo)系，圖形中沒(méi)有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但是有兩個(gè)互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性質(zhì)定理，作出互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，將向量用坐標(biāo)表示，求出兩平面的法向量，然后利用向量運(yùn)算求出夾角正弦值和距離。解：∵平面PAB⊥平面以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖6所示的空間坐標(biāo)系：設(shè)PO=t,PM=λPC,PM=λPCBM=∵M(jìn)B⊥平面圖8∴圖8即2λ×2+解得：λ=1(1)∵PO⊥平面ABCD又∴∴cos<∴平面ABC與平面PAC夾角的正弦值為6(2)∵DC∴6結(jié)論6.1主要發(fā)現(xiàn)文章主要是在對(duì)參考文獻(xiàn)進(jìn)行分析、綜合、研究的基礎(chǔ)上，將解析幾何的思想方法及技巧融合在一起，形成一套完整的解決幾何問(wèn)題的知識(shí)系統(tǒng)，得到以下幾條結(jié)論：（1）解析幾何中常用的方法技巧，通常是利用待定系數(shù)法、點(diǎn)差法、坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合思想方法、相近或相關(guān)的知識(shí)等的綜合應(yīng)