221-等差數(shù)列課件

2．2等差數(shù)列2．2等差數(shù)列2．2.1等差數(shù)列2．2.1等差數(shù)列221----等差數(shù)列課件1．?dāng)?shù)列{an}的前4項為－1,1,3,5，則其一個通項公式為

.2．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝5n＋1，則其前5項依次為

，第10項為

3．若{an}滿足a1＝3，an＋1＝an＋4，則該數(shù)列的前4項依次為

，a2－a1＝

，a3－a2＝

，a4－a3＝

.其通項公式an＝

.an＝2n－36,11,16,21,26513,7,11,154444n－11．?dāng)?shù)列{an}的前4項為－1,1,3,5，則其一個通項公式1．等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第

項起，每一項與它的前一項的差都等于

，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的

，通常用字母

表示．二同一個常數(shù)公差d1．等差數(shù)列的定義二同一個常數(shù)公差d遞推公式通項公式an－an－1＝d(n≥2)an＝

.a1＋(n－1)d遞推公式通項公式an－an－1＝d(n≥2)an＝3.等差中項(1)如果三個數(shù)x、A、y組成

，那么

叫做

和

的等差中項．(2)如果A是x和y的等差中項，則A＝

4．從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列若數(shù)列是等差數(shù)列，首項a1，公差d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．由此可看出：(1)an是n的

函數(shù)(2)點(n，an)落在直線

上．(3)這些點的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加

.等差數(shù)列Axy一次y＝dx＋(a1－d)d3.等差中項等差數(shù)列Axy一次y＝dx＋(a1－d)d5．等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差數(shù)列的項與序號的關(guān)系兩項關(guān)系多項關(guān)系通項公式的推廣：an＝am＋

d(m，n∈N＋)項的運算性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，則

＝ap＋aq(n－m)am＋an5．等差數(shù)列的性質(zhì)兩項關(guān)系多項關(guān)系通項公式的推廣：an＝aman－1

an－k＋1

an－1an－k＋1d

cd

2d

pd1＋qd2

dcd2dpd1＋qd2221----等差數(shù)列課件如果{an}是公差為d的等差數(shù)列，那么，d與{an}的單調(diào)性有什么關(guān)系？【提示】

等差數(shù)列的公差決定了數(shù)列的單調(diào)性①當(dāng)d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；②當(dāng)d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；③當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列，不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列．如果{an}是公差為d的等差數(shù)列，那么，d與{an}的單調(diào)性

在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.【思路點撥】

先求出首項和公差，寫出通項公式，再求a10.在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝在等差數(shù)列{an}中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素；有關(guān)等差數(shù)列的問題，如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成有關(guān)a1、d的關(guān)系列方程組求解，但是，要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量．

在等差數(shù)列{an}中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素；有1.本例中，將條件改為已知a5＝11，an＝1，d＝－2，如何求n?1.本例中，將條件改為已知a5＝11，an＝1，d＝－2，如221----等差數(shù)列課件221----等差數(shù)列課件判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法是緊扣定義：an＋1－an＝d(d為常數(shù))，也可以用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)進行判斷．本題屬于“生成數(shù)列問題”，關(guān)鍵是形成整體代換的思想方法，運用方程思想求通項公式．判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法是緊扣定義：an＋1－an＝221----等差數(shù)列課件221----等差數(shù)列課件221----等差數(shù)列課件221----等差數(shù)列課件三個數(shù)x，y，z成等差數(shù)列的充要條件是x＋z＝2y，即若已知x、y、z成等差數(shù)列，則2y＝x＋z，反之要證x，y，z成等差數(shù)列，則只要證x＋z＝2y即可．三個數(shù)x，y，z成等差數(shù)列的充要條件是x＋z＝2y，即若已知3.已知a，b，c成等差數(shù)列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否構(gòu)成等差數(shù)列？【解析】

∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b.又a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，即a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)能構(gòu)成等差數(shù)列．3.已知a，b，c成等差數(shù)列，那么a2(b＋c)，b2(c＋【思路點撥】

既可以用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a2＋a10＝a3＋a9＝2a6，也可以由通項公式得a1與d間的關(guān)系再求解．【思路點撥】既可以用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a2＋a10＝a3＋221----等差數(shù)列課件方法一運用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2w，則am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整數(shù))；方法二利用通項公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項與公差的結(jié)構(gòu)完成運算，屬于通性通法．兩種方法都運用了整體代換及方程的思想．方法一運用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2w，則am＋4.(1)在等差數(shù)列中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求數(shù)列的通項公式．(2)設(shè)為等差數(shù)列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.4.(1)在等差數(shù)列中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6221----等差數(shù)列課件221----等差數(shù)列課件

梯子的最高一級寬33cm，最低一級寬110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬度．【思路點撥】

由題意可知，問題就是已知數(shù)列的首、末兩項和項數(shù)，求中間其它項，因此，先求通項公式．梯子的最高一級寬33cm，最低一級寬221----等差數(shù)列課件在實際問題中，若涉及到一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題，可考慮利用數(shù)列方法解決．若這組數(shù)依次成直線上升或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決．在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要分清首項、項數(shù)等關(guān)鍵問題．在實際問題中，若涉及到一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題，可考慮利用數(shù)5.甲蟲是行動較快的昆蟲之一．下表記錄了某種類型的甲蟲的爬行速度：(1)你能建立一個模型，表示甲蟲的爬行距離和時間之間的關(guān)系嗎？(2)利用建立的模型計算，甲蟲1min能爬多遠？它爬行49cm需要多長時間？時間t(s)123…？…60距離S(cm)9.819.629.4…49…？5.甲蟲是行動較快的昆蟲之一．下表記錄了某種類型的甲蟲的爬行221----等差數(shù)列課件221----等差數(shù)列課件1．理解等差數(shù)列的定義需注意的問題(1)注意定義中“從第2項起”這一前提條件的兩層含義：其一，第1項前面沒有項，無法與后續(xù)條件中“與前一項的差”相吻合；其二，定義中包括首項這一基本量，且必須從第2項起保證使數(shù)列中各項均與其前面一項作差．(2)注意定義中“每一項與它的前一項的差”這一運算要求，它的含義也有兩個：其一是強調(diào)作差的順序，即后面的項減前面的項；其二是強調(diào)這兩項必須相鄰．(3)注意定義中的．“同一常數(shù)”這一要求，否則這個數(shù)列不能稱為等差數(shù)列．1．理解等差數(shù)列的定義需注意的問題2．判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2且n∈N＋)等價于{an}是等差數(shù)列．(2)等差中項法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)等價于{an}是等差數(shù)列．(3)通項公式法：an＝kn＋b(k，b為常數(shù)，n∈N＋)等價于{an}是等差數(shù)列．2．判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的常用方法3．等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列一次函數(shù)解析式an＝kn＋b(n∈N＋)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同點定義域為N＋，圖象是一系列均勻分布在同一直線上的孤立的點定義域為R，圖象為一條直線相同點通項公式與函數(shù)的解析式都是關(guān)于自變量的一次整式，是最簡單的，也是最基本的數(shù)列和函數(shù)3．等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列一次函數(shù)解析式an＝kn已知等差數(shù)列{an}：2,5,8，…，與等差數(shù)列{bn}：1,5,9，…，它們的項數(shù)均為40項，則它們有多少個數(shù)值相同的項？【錯解】

由已知兩等差數(shù)列的通項公式為；an＝3n－1，bn＝4n－3，(1≤n≤40，且n∈N＋)令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2.∴兩數(shù)列只有一項數(shù)值相同，即第2項．已知等差數(shù)列{an}：2,5,8，…，與等差數(shù)列{bn}：1【錯因】

本題中所說數(shù)值相同的項，它們的項數(shù)并不一定相同，因此，我們所關(guān)心的是這個數(shù)在兩個數(shù)列中有沒有出現(xiàn)過，而不關(guān)心它在數(shù)列中的位置．【錯因】本題中所說數(shù)值相同的項，它們的項數(shù)并不一定相同，因221----等差數(shù)列課件221----等差數(shù)列課件【答案】

C【答案】C【答案】

A【答案】A3．等差數(shù)列中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差d＝________.【答案】

－63．等差數(shù)列中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差d＝__4．(1)三個數(shù)成等差數(shù)列，和為6，積為－24，求這三個數(shù)；(2)四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項的積為－8，求這四個數(shù)．【解析】

(1)方法一：設(shè)等差數(shù)列的等差中項為a，公差為d，則這三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d，依題意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化簡得d2＝16，于是d＝±4，故三個數(shù)為－2,2,6或6,2，－2.4．(1)三個數(shù)成等差數(shù)列，和為6，積為－24，求這三個數(shù)；方法二：設(shè)首項為a，公差為d，這三個數(shù)分別為a，a＋d，a＋2d，依題意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三個數(shù)為－2,2,6或6,2，－2.方法二：設(shè)首項為a，公差為d，這三個數(shù)分別為(2)方法一：設(shè)這四個數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，依題意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四個數(shù)為－2,0,2,4.(2)方法一：設(shè)這四個數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d221----等差數(shù)列課件練考題、驗?zāi)芰Α⑤p巧奪冠練考題、驗?zāi)芰?、輕巧奪冠有關(guān)的數(shù)學(xué)名言

數(shù)學(xué)知識是最純粹的邏輯思維活動，以及最高級智能活力美學(xué)體現(xiàn)?！樟稚崮?/p>

歷史使人聰明，詩歌使人機智，數(shù)學(xué)使人精細(xì)。——培根

數(shù)學(xué)是最寶貴的研究精神之一?！A羅庚

沒有哪門學(xué)科能比數(shù)學(xué)更為清晰地闡明自然界的和諧性。——卡羅斯

數(shù)學(xué)是規(guī)律和理論的裁判和主宰者?！窘苊?/p>

有關(guān)的數(shù)學(xué)名言2．2等差數(shù)列2．2等差數(shù)列2．2.1等差數(shù)列2．2.1等差數(shù)列221----等差數(shù)列課件1．?dāng)?shù)列{an}的前4項為－1,1,3,5，則其一個通項公式為

.2．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝5n＋1，則其前5項依次為

，第10項為

3．若{an}滿足a1＝3，an＋1＝an＋4，則該數(shù)列的前4項依次為

，a2－a1＝

，a3－a2＝

，a4－a3＝

.其通項公式an＝

.an＝2n－36,11,16,21,26513,7,11,154444n－11．?dāng)?shù)列{an}的前4項為－1,1,3,5，則其一個通項公式1．等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第

項起，每一項與它的前一項的差都等于

，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的

，通常用字母

表示．二同一個常數(shù)公差d1．等差數(shù)列的定義二同一個常數(shù)公差d遞推公式通項公式an－an－1＝d(n≥2)an＝

.a1＋(n－1)d遞推公式通項公式an－an－1＝d(n≥2)an＝3.等差中項(1)如果三個數(shù)x、A、y組成

，那么

叫做

和

的等差中項．(2)如果A是x和y的等差中項，則A＝

4．從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列若數(shù)列是等差數(shù)列，首項a1，公差d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．由此可看出：(1)an是n的

函數(shù)(2)點(n，an)落在直線

上．(3)這些點的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加

.等差數(shù)列Axy一次y＝dx＋(a1－d)d3.等差中項等差數(shù)列Axy一次y＝dx＋(a1－d)d5．等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差數(shù)列的項與序號的關(guān)系兩項關(guān)系多項關(guān)系通項公式的推廣：an＝am＋

d(m，n∈N＋)項的運算性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，則

＝ap＋aq(n－m)am＋an5．等差數(shù)列的性質(zhì)兩項關(guān)系多項關(guān)系通項公式的推廣：an＝aman－1

an－k＋1

an－1an－k＋1d

cd

2d

pd1＋qd2

dcd2dpd1＋qd2221----等差數(shù)列課件如果{an}是公差為d的等差數(shù)列，那么，d與{an}的單調(diào)性有什么關(guān)系？【提示】

等差數(shù)列的公差決定了數(shù)列的單調(diào)性①當(dāng)d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；②當(dāng)d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；③當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列，不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列．如果{an}是公差為d的等差數(shù)列，那么，d與{an}的單調(diào)性

在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.【思路點撥】

先求出首項和公差，寫出通項公式，再求a10.在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝在等差數(shù)列{an}中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素；有關(guān)等差數(shù)列的問題，如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成有關(guān)a1、d的關(guān)系列方程組求解，但是，要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量．

在等差數(shù)列{an}中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素；有1.本例中，將條件改為已知a5＝11，an＝1，d＝－2，如何求n?1.本例中，將條件改為已知a5＝11，an＝1，d＝－2，如221----等差數(shù)列課件221----等差數(shù)列課件判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法是緊扣定義：an＋1－an＝d(d為常數(shù))，也可以用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)進行判斷．本題屬于“生成數(shù)列問題”，關(guān)鍵是形成整體代換的思想方法，運用方程思想求通項公式．判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法是緊扣定義：an＋1－an＝221----等差數(shù)列課件221----等差數(shù)列課件221----等差數(shù)列課件221----等差數(shù)列課件三個數(shù)x，y，z成等差數(shù)列的充要條件是x＋z＝2y，即若已知x、y、z成等差數(shù)列，則2y＝x＋z，反之要證x，y，z成等差數(shù)列，則只要證x＋z＝2y即可．三個數(shù)x，y，z成等差數(shù)列的充要條件是x＋z＝2y，即若已知3.已知a，b，c成等差數(shù)列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否構(gòu)成等差數(shù)列？【解析】

∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b.又a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，即a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)能構(gòu)成等差數(shù)列．3.已知a，b，c成等差數(shù)列，那么a2(b＋c)，b2(c＋【思路點撥】

既可以用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a2＋a10＝a3＋a9＝2a6，也可以由通項公式得a1與d間的關(guān)系再求解．【思路點撥】既可以用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a2＋a10＝a3＋221----等差數(shù)列課件方法一運用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2w，則am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整數(shù))；方法二利用通項公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項與公差的結(jié)構(gòu)完成運算，屬于通性通法．兩種方法都運用了整體代換及方程的思想．方法一運用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2w，則am＋4.(1)在等差數(shù)列中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求數(shù)列的通項公式．(2)設(shè)為等差數(shù)列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.4.(1)在等差數(shù)列中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6221----等差數(shù)列課件221----等差數(shù)列課件

梯子的最高一級寬33cm，最低一級寬110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬度．【思路點撥】

由題意可知，問題就是已知數(shù)列的首、末兩項和項數(shù)，求中間其它項，因此，先求通項公式．梯子的最高一級寬33cm，最低一級寬221----等差數(shù)列課件在實際問題中，若涉及到一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題，可考慮利用數(shù)列方法解決．若這組數(shù)依次成直線上升或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決．在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要分清首項、項數(shù)等關(guān)鍵問題．在實際問題中，若涉及到一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題，可考慮利用數(shù)5.甲蟲是行動較快的昆蟲之一．下表記錄了某種類型的甲蟲的爬行速度：(1)你能建立一個模型，表示甲蟲的爬行距離和時間之間的關(guān)系嗎？(2)利用建立的模型計算，甲蟲1min能爬多遠？它爬行49cm需要多長時間？時間t(s)123…？…60距離S(cm)9.819.629.4…49…？5.甲蟲是行動較快的昆蟲之一．下表記錄了某種類型的甲蟲的爬行221----等差數(shù)列課件221----等差數(shù)列課件1．理解等差數(shù)列的定義需注意的問題(1)注意定義中“從第2項起”這一前提條件的兩層含義：其一，第1項前面沒有項，無法與后續(xù)條件中“與前一項的差”相吻合；其二，定義中包括首項這一基本量，且必須從第2項起保證使數(shù)列中各項均與其前面一項作差．(2)注意定義中“每一項與它的前一項的差”這一運算要求，它的含義也有兩個：其一是強調(diào)作差的順序，即后面的項減前面的項；其二是強調(diào)這兩項必須相鄰．(3)注意定義中的．“同一常數(shù)”這一要求，否則這個數(shù)列不能稱為等差數(shù)列．1．理解等差數(shù)列的定義需注意的問題2．判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2且n∈N＋)等價于{an}是等差數(shù)列．(2)等差中項法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)等價于{an}是等差數(shù)列．(3)通項公式法：an＝kn＋b(k，b為常數(shù)，n∈N＋)等價于{an}是等差數(shù)列．2．判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的常用方法3．等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列一次函數(shù)解析式an＝kn＋b(n∈N＋)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同點定義域為N＋，圖象是一系列均勻分布在同一直線上的孤立的點定義域為R，圖象為一條直線相同點通項公式與函數(shù)的解析式都是關(guān)于自變量的一次整式，是最簡單的，也是最基本的數(shù)列和函數(shù)3．等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列一次函數(shù)解析式an＝kn已知等差數(shù)列{an}：2,5,8，…，與等差數(shù)列{bn}：1,5,9，…，它們的項數(shù)均為40項，則它們有多少個數(shù)值相同的項？【錯解】

由已知兩等差數(shù)列的通項公式為；an＝3n－1，bn＝4n－3，(1≤n≤40，且n∈N＋)令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2.∴兩數(shù)列只有一項數(shù)值相同，即第2項．已知等差數(shù)列{an}：2,5,8，…，與等差數(shù)列{bn}：1【錯因】

本題中所說數(shù)值相同的項，它們的項數(shù)并不一定相同，因此，我們所關(guān)心的是這個數(shù)在兩個數(shù)列中有沒有出現(xiàn)過，而不