注冊(cè)設(shè)備工程師10年培訓(xùn)課件4

第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的解法

本章主要介紹泊松方程或拉普拉斯方程的求解。求解邊值問題的方法，可以分為解析法和數(shù)值法兩大類。?第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的解法本章主要介紹泊松1

拉普拉斯方程和泊松方程拉普拉斯方程和泊松方程是靜態(tài)場(chǎng)的基本方程。

邊值型問題的分類

第一類邊值問題（狄利赫利（Dirichlet）問題）：邊界上的位函數(shù)已知。

第二類邊值問題（諾伊曼（Neumann）問題）：位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)已知。

第三類邊值問題（混合邊值問題）：部分邊界上位函數(shù)已知，部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)已知。如果邊界是導(dǎo)體，則上述三類問題分別變?yōu)椋阂阎鲗?dǎo)體表面的電位；已知各導(dǎo)體表面的總電量；已知一部分導(dǎo)體電位與另一部分導(dǎo)體的電荷量。

?拉普拉斯方程和泊2邊值問題研究方法計(jì)算法實(shí)驗(yàn)法作圖法解析法數(shù)值法實(shí)測(cè)法模擬法定性定量積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法?邊值問題計(jì)算法實(shí)驗(yàn)法作圖法解析法數(shù)值法實(shí)測(cè)法模擬法定性定量積34.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法應(yīng)用條件：界面形狀適合用直角坐標(biāo)系表示,既場(chǎng)域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)。

分析方法：用分離變量法求通解，重點(diǎn)是利用邊界條件求定解。

直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程：變量分離設(shè)?4.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法應(yīng)用條件：分析方法：變量分離4拉普拉斯方程變?yōu)?/p>

上式成立的唯一條件是三項(xiàng)中每一項(xiàng)都是常數(shù)，故可分解為下列三個(gè)方程：其中

、

和

為常數(shù)，但不能全為實(shí)數(shù)或全為虛數(shù)。?拉普拉斯方程變?yōu)?/p>

5

常微分方程的解以常微分方程

為例，其解的形式為：若

為零，則

若

為實(shí)數(shù)，則

若

為虛數(shù)，即

，則

或

其中

?常微分方程的解若

為零6雙曲正弦曲線，通過原點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱

雙曲余弦曲線，不通過原點(diǎn)，對(duì)y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)（同極小點(diǎn)）：A(0,1)

?雙曲正弦曲線，雙曲余弦曲線，?7求定解根據(jù)邊界條件確定通解中的各個(gè)常數(shù)。請(qǐng)參照例題來學(xué)習(xí)體會(huì)。和的情況與此類似。故拉普拉斯方程的解為

例4.1.1

求如圖長(zhǎng)方體積中的電位函數(shù)。邊界條件為除z＝c面電位不為零外，其他各表面的電位都為零。Z＝c表面上給定的電位函數(shù)為U（x，y）。?求定解和的情況與此類似。故拉普拉斯方程的解為例4.8解：顯然，長(zhǎng)方形體積內(nèi)的電位滿足拉普拉斯方程。首先觀察邊界條件，有要滿足在x=0，x=a的邊界上，電位為零的邊界條件，在f(x)的三種可能的解中只能有?解：顯然，長(zhǎng)方形體積內(nèi)的電位滿足拉普拉斯方程。首先觀察邊界條9根據(jù)x=0面上的邊界條件得到即又根據(jù)x=a的邊界條件，有

從而得到f(x)的解的形式為?根據(jù)x=0面上的邊界條件得到即又根據(jù)x=a的邊界條件，有從10同理，對(duì)于g(y)，有

由分離常數(shù)之間的關(guān)系可知，h(z)只能或者是雙曲函數(shù)，或者是指數(shù)函數(shù)，同樣要根據(jù)邊界條件來定。由于當(dāng)z=0時(shí)，h(z)=0，顯然采用雙曲函數(shù)比較方便，代入邊界條件：得到這里

?同理，對(duì)于g(y)，有由分離常數(shù)之間的關(guān)系可知，h11這樣，長(zhǎng)方形體積內(nèi)電位的通解的形式為令

為新的待定系數(shù)，對(duì)于具體的U(x,y)，可以利用三角函數(shù)的正交性，得出待定系數(shù)。例如對(duì)于代入z=C的邊界條件，有?這樣，長(zhǎng)方形體積內(nèi)電位的通解的形式為令為新的待定系數(shù)，對(duì)于12兩邊同乘以利用三角函數(shù)的正交性，在0-a和0-b的區(qū)域?qū)和y積分，有即?兩邊同乘以利用三角函數(shù)的正交性，在0-a和0-b的區(qū)域?qū)和13同理，假如代入邊界條件，有同樣利用三角函數(shù)的正交性，對(duì)上式兩邊同乘以在0-a和0-b的區(qū)域?qū)和y積分，有?同理，假如代入邊界條件，有同樣利用三角函數(shù)的正交性，對(duì)上式14對(duì)等式右邊積分，得到

從而有

C’nm由上式確定。

如果有多個(gè)邊界條件電位不為零，則可利用疊加原理，將問題分解為只有其中一個(gè)邊界電位不為零，其余邊界電位為零，分別求解，最后的解就是所有這些問題的解的疊加結(jié)果。

?對(duì)等式右邊積分，得到從而有C’nm由上式確定。15例4.1.2：求如圖所示導(dǎo)體槽內(nèi)的電位。槽的寬度為d，在x和z方向都是無窮大，槽由兩塊L形的導(dǎo)體構(gòu)成，兩塊導(dǎo)體間有一狹縫，外加恒定電壓U0。

解：由于在z方向是連續(xù)的，因此這個(gè)問題是個(gè)二維問題，電位只是x和y和函數(shù)。首先考慮邊界條件，有以及當(dāng)x趨于無窮時(shí)，電位應(yīng)該有限。

?例4.1.2：求如圖所示導(dǎo)體槽內(nèi)的電位。槽的寬度為d，在x和16對(duì)于上面的二維邊值問題，可采用疊代法求解，即將原來的邊值問題分成如下兩個(gè)邊值問題的疊加來解決。即

Φ1和Φ2分別是圖（a）和圖（b）的解對(duì)于圖（a），當(dāng)y=a時(shí)，電位為U0，當(dāng)y=0時(shí)，電位為0，它相當(dāng)于求兩個(gè)無限大平板之間的電位，這是一個(gè)一維問題，即電位只在y方向有變化。電位滿足的方程為：?對(duì)于上面的二維邊值問題，可采用疊代法求解，即將原來的邊值問題17根據(jù)邊界條件，得到：

對(duì)于圖（b），需首先找出x=0處的邊界條件。由于問題的解是圖（a）和圖（b）問題疊加的結(jié)果，因此圖（a）和圖（b）邊界條件的疊加應(yīng)該等于原來的邊界條件，即從而得到

?根據(jù)邊界條件，得到：對(duì)于圖（b），需首先找出x=0處的邊界18這兩個(gè)場(chǎng)疊加后，在y=0和y=d兩平面上的邊界條件與原題中的一樣，而在x=0的平面上有也和原題相同。根據(jù)唯一性定理可知

是我們所求的解?，F(xiàn)在只需求解

。由上述分析可見，場(chǎng)是對(duì)稱于x=0平面的，只需求出

時(shí)的解即可。為了滿足y=0和y=d時(shí)

的條件，g(y)必定取正弦函數(shù)

；又因?yàn)闀r(shí)，應(yīng)為零，所以f(x)應(yīng)是隨x衰減的函數(shù)，即取，再由，得

。?這兩個(gè)場(chǎng)疊加后，在y=0和y=d兩平面上的邊界條件與原題中的19于是

的解具有如下形式

代入x=0的邊界條件，得用

乘上式兩邊，并對(duì)y從

積分得?于是

的解具有如下形式

20只有當(dāng)s為偶數(shù)時(shí)，

才不為零，且有用2n代替s，n=1,2,3,…，得。于是

和疊加后，得電位解為

?用2n代替s，n=1,2,3,…，得214.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法

應(yīng)用條件：界面形狀適合用圓柱坐標(biāo)系表示。

分析方法：用分離變量法求通解，重點(diǎn)是利用邊界條件求定解。圓柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程：

當(dāng)電位在z方向沒有變化時(shí)，拉普拉斯方程簡(jiǎn)化為?4.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法應(yīng)用條件：圓柱坐標(biāo)系中22設(shè)代入，二維拉普拉斯方程被分離為兩個(gè)常微分方程，即拉普拉斯方程變?yōu)?/p>

要在r、φ取任意值時(shí)，上式都能成立，式中的每一項(xiàng)都必須是常數(shù)，即：而且?設(shè)代入，二維拉普拉斯方程被分離為兩個(gè)常微分方程，即拉普拉斯方23則上式可分解為下列兩個(gè)常微分方程令γ是分離常數(shù)γ=0時(shí)，式（F-1）和式（F-2）的解是（F-1）（F-2）γ≠0時(shí)，式（F-1）可寫為：?則上式可分解為下列兩個(gè)常微分方程令γ是分離常數(shù)γ=024對(duì)于g(φ)，即式（F-2）的解為

這是一個(gè)變系數(shù)常微分方程，稱為歐拉（Euler）方程，即（式F-1）的解為：在許多實(shí)際問題中,坐標(biāo)變量φ的變化范圍是0—2π,而電位又必須是單值的,即這就要求γ應(yīng)當(dāng)是整數(shù),以n表示(n=1,2,3,…).?對(duì)于g(φ)，即式（F-2）的解為這是一個(gè)變系數(shù)常微25將上述各式中的γ換成n,則可得圓柱坐標(biāo)中的二維拉普拉斯方程的同解是:(4.2.7)?將上述各式中的γ換成n,則可得圓柱坐標(biāo)中的二維拉普26例：一根半徑為r0的，介電常數(shù)為ε

的無限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱體，放置于均勻外電場(chǎng)E0中，且與E0相垂直。設(shè)外電場(chǎng)方向沿x，圓柱軸與z軸相合，如圖所示。求圓柱內(nèi)外的電位函數(shù)。解：在圓柱坐標(biāo)中

，外電場(chǎng)

，可用一個(gè)電位函數(shù)

表示，故有設(shè)柱內(nèi)和柱外兩個(gè)區(qū)域的電位函數(shù)分別為

和

，因圓柱無限長(zhǎng)，它們均與z無關(guān)，解為二維通解?例：一根半徑為r0的，介電常數(shù)為ε的無限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱體，放置27對(duì)于

，當(dāng)

時(shí)，圓柱介質(zhì)極化的影響已不復(fù)存在，場(chǎng)仍然是原來的均勻場(chǎng)

，所以有這是柱外區(qū)域中的一個(gè)邊界條件。當(dāng)

時(shí)，然后用

和

分別乘上式的兩邊，對(duì)

從

積分，因?yàn)橛疫呏挥?/p>

的余弦項(xiàng)，所以只有

的項(xiàng)的系數(shù)不等于零，其余的項(xiàng)的系數(shù)都為零，所以得到?對(duì)于

，當(dāng)

28且當(dāng)

時(shí)，

，得到

，故柱外區(qū)域的解為

式中

仍為待定常數(shù)。其次，圓柱內(nèi)的解應(yīng)為

因?yàn)?/p>

處，

必須為有限制，故通解中所有r的冪項(xiàng)都不存在。這一條件為自然邊界條件。?且當(dāng)

時(shí)，

29

和

為兩個(gè)區(qū)域的電位函數(shù)，它們?cè)诮唤缑嫣幭嚆暯?，?yīng)用介質(zhì)交界面的邊界條件，首先，

時(shí)，

。得到上式中同樣只有

的余弦項(xiàng)系數(shù)不等于零，即

，而上式則為現(xiàn)利用

時(shí)，

?

和

為兩個(gè)區(qū)域的電位函數(shù)30得從以上所得的兩個(gè)方程式，求解得于是得到圓柱體外和內(nèi)的電位函數(shù)分別為?得從以上所得的兩個(gè)方程式，求解得于是得到圓柱體外和內(nèi)的電位31圓柱體外和內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度變量為

上式中的第二式表示圓柱體內(nèi)的電場(chǎng)

是一個(gè)均勻電場(chǎng)，它的大小和外加均勻場(chǎng)

相比要小，這是由于介質(zhì)圓柱被極化后表面出現(xiàn)束縛電荷，它們的電場(chǎng)在圓柱內(nèi)與外電場(chǎng)方向相反之故。?圓柱體外和內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度變量為上式中的第二式表示圓柱體內(nèi)的電場(chǎng)32應(yīng)用條件：界面形狀適合用球坐標(biāo)系表示。4.3球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程（我們只討論場(chǎng)問題與

無關(guān)的情形）

在二維情況下，場(chǎng)在φ方向無變化，此時(shí)拉氏方程變?yōu)椋?/p>

?應(yīng)用條件：4.3球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的拉普拉斯33令

代入，有：

上式中f(r)和

已分開在兩項(xiàng)中，令分別等于常數(shù)

和

，得

?令代入，有：上式中f(r)和

已分34常微分方程的解（1）

在該式中引入一個(gè)新的自變量

,于是該式可變?yōu)?/p>

上式稱為勒讓德方程。若我們研究的空間中包含

從0到

，即x從1到(-1)時(shí)，且取

為則此時(shí)的勒讓德方程只有一個(gè)有界解，它為m次多項(xiàng)式，稱為勒讓德多項(xiàng)式，記作

。

?常微分方程的解（1）

35(2)

在該式中代入式后，得

上式的兩個(gè)解為和，故于是我們得到電位的解為

?(2)

在該式中代入式36分析問題，選坐標(biāo)系，定坐標(biāo)軸。列電位方程。變量分離，將偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程。分析邊界條件，確定解的一般形式。利用邊界條件確定解中的常數(shù)。

前提給定邊界與一個(gè)適當(dāng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)面相合，或者分段地與坐標(biāo)面相合。在坐標(biāo)系中，待求偏微分方程的解可表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，其中每個(gè)函數(shù)分別是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。思路先將偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程，再利用邊界條件求解。解題步驟分離變量法小結(jié)?前提分離變量法小結(jié)?374．4鏡像法鏡像法的原理在已知邊界條件，已知電荷分布時(shí)，由于邊界條件和電荷分布相互影響，直接求解泊松方程和拉普拉斯方程是比較困難的。此時(shí)，可在研究的區(qū)域之外，用假想的電荷來代替原來的邊界，即：由假想的電荷和原來的電荷共同產(chǎn)生的場(chǎng)在邊界上滿足原來的邊界條件，則在所研究的區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)即為真實(shí)電荷與假想電荷（又稱為鏡像電荷）產(chǎn)生的場(chǎng)的疊加。采用鏡像法可以使這類問題的場(chǎng)解過程變得簡(jiǎn)單，但它的應(yīng)用范圍是有限的。?4．4鏡像法鏡像法的原理在已知邊界條件，已知電荷分布時(shí)，由38思路用假想的鏡像電荷代替邊界上的感應(yīng)電荷。保持求解區(qū)域中場(chǎng)方程和邊界條件不變。使用范圍：界面幾何形狀較規(guī)范，電荷個(gè)數(shù)有限，且離散分布于有限區(qū)域。步驟確定鏡像電荷的大小和位置。去掉界面，按原電荷和鏡像電荷求解所求區(qū)域場(chǎng)。求解邊界上的感應(yīng)電荷。求解電場(chǎng)力。鏡像法應(yīng)用

?思路鏡像法應(yīng)用?39鏡像法應(yīng)用舉例

1.無限大接地平面上的點(diǎn)電荷設(shè)在無限大導(dǎo)體平面（z=0）附近有一點(diǎn)電荷q，與平面的距離為z=h，如圖所示，假設(shè)導(dǎo)電平面的電位為零，求上半空間的電場(chǎng)。解：顯然，當(dāng)點(diǎn)電荷靠近導(dǎo)體平面時(shí)，導(dǎo)體平面上會(huì)產(chǎn)生感生電荷，上半空間的電場(chǎng)是點(diǎn)電荷與感生電荷電場(chǎng)的合成的結(jié)果。?鏡像法應(yīng)用舉例1.無限大接地平面上的點(diǎn)電荷解：顯然，當(dāng)40考慮到鏡象法的原理，在z=0的平面之下與q對(duì)稱地放置一個(gè)電量為-q的鏡象電荷，顯然，這個(gè)鏡象電荷與原來電荷的合成電場(chǎng)滿足無限大導(dǎo)體平面的邊界條件，即無限大導(dǎo)體平面的影響由鏡象電荷-q來代替，上半空間的電場(chǎng)或電位分布就由原來電荷和鏡象電荷的場(chǎng)的疊加得出。如圖所示：直接求解感生電荷的分布顯然是一個(gè)比較困難的問題。?考慮到鏡象法的原理，在z=0的平面之下與q對(duì)稱地放置一個(gè)電41由此得到在上半空間的電位為求得無限大導(dǎo)體平面上的感生電荷密度：電場(chǎng)強(qiáng)度：

其中，

?由此得到在上半空間的電位為求得無限大導(dǎo)體平面上的感生42感應(yīng)電荷：

點(diǎn)電荷的平面鏡像?感應(yīng)電荷：

43設(shè)有一點(diǎn)電荷q置于相交成直角的兩個(gè)半無限大導(dǎo)電平板之前，試分析如何求解這一電場(chǎng)。設(shè)想將導(dǎo)電板撤出，使整個(gè)空間充滿介電常數(shù)為的介質(zhì)。在如圖所示的位置上，放入三個(gè)鏡像電荷。這樣能保證原電場(chǎng)的邊界條件不變。原問題中的電場(chǎng)可看成由此四個(gè)電荷產(chǎn)生。注意：這種方法只能用來求第一象限的電場(chǎng)。2.1800/n角度相交的導(dǎo)體面和點(diǎn)電荷?設(shè)有一點(diǎn)電荷q置于相交成直角的兩個(gè)半無限大導(dǎo)電平板之前，試分44對(duì)于夾角為的兩個(gè)相連無限大導(dǎo)電平板間置有點(diǎn)電荷的問題，只要n為整數(shù)，在區(qū)域內(nèi)，可用鏡像法解決。?對(duì)于夾角為的兩個(gè)相連無限大導(dǎo)電平板間453.點(diǎn)電荷介質(zhì)分界面的鏡像法例4.4.1在z<0的下半空間是介電常數(shù)為ε的介質(zhì)，上半空間是空氣在距離介質(zhì)平面h處有一點(diǎn)電荷q，求z>0和z<0兩半空間的場(chǎng)。解：首先觀察電場(chǎng)滿足的邊界條件，設(shè)上半空間的電位為Φ1,下半空間的電位為Φ2，則在分界面上滿足的邊界條件為：?3.點(diǎn)電荷介質(zhì)分界面的鏡像法例4.4.1解：首先觀察電場(chǎng)滿46在下半空間與真實(shí)電荷對(duì)稱的位置放置電荷量為q‘的鏡象電荷，則在上半空間的電位為:其中：

對(duì)于下半空間，在真實(shí)電荷位置，同樣放置電量為q"的鏡象電荷，這樣在下半空間，電位為：

根據(jù)邊界條件，有?在下半空間與真實(shí)電荷對(duì)稱的位置放置電荷量為q‘的鏡象電荷，47即和

即聯(lián)立求解，得到

鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的場(chǎng)域內(nèi)。鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷?即和即聯(lián)立求解，得到鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的鏡像484.點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球

（a）接地導(dǎo)體球

一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)體球，在與球心O相距d1的P1點(diǎn)有一點(diǎn)電荷q1，求球外的電位函數(shù)。解：設(shè)想在球內(nèi)P點(diǎn)有一鏡象電荷q2，距離球心為d2，如圖所示，選擇坐標(biāo)原點(diǎn)和球心重合,則空間（球外）任意點(diǎn)的電位為：?4.點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球（a）接地導(dǎo)體球一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)49在球面上電位為零，有：

由于在整個(gè)球面上，電位都為零，可取兩特殊點(diǎn)，試探求解。

對(duì)于A點(diǎn)有：

有：

對(duì)于B點(diǎn)有：

代入，有：

即：

?在球面上電位為零，有：由于在整個(gè)球面上，電位都為零，可取兩50聯(lián)立求解：

可以證明，將此結(jié)果代入完全滿足球面電位為零的條件，從而得到球外電位表達(dá)式為：其中：?聯(lián)立求解：可以證明，將此結(jié)果代入完全滿足球面電位為零的條件51空間任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：

同時(shí)，可以證明，總的球面電荷等于鏡像電荷。當(dāng)電荷位于球內(nèi)時(shí)，則鏡像電荷與上題的實(shí)際電荷位置互換，則表達(dá)式與球外問題相同。值得注意的是，此時(shí)的電位是球內(nèi)的電位問題。

點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖?空間任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：同時(shí)，可以證明，總的球面電荷等于鏡52(b)不接地導(dǎo)體球

對(duì)于不接地導(dǎo)體球，其球面電位為常數(shù)，同時(shí)，整個(gè)球面的凈電荷為零，則為保持球面電位為常數(shù)，應(yīng)在球心再放置一電量為-q2的鏡像電荷，如圖所示。則總的球外電位為:

點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)?(b)不接地導(dǎo)體球?qū)τ诓唤拥貙?dǎo)體球，其球面電位為53(c)充電不接地球?qū)w球

假設(shè)導(dǎo)體球不接地，且球上充電荷為Q0，實(shí)際上，這相當(dāng)于在不接地的導(dǎo)體球心再加上一個(gè)電荷Q0，如圖所示。因此此時(shí)球外的電位為?(c)充電不接地球?qū)w球假設(shè)導(dǎo)體球不接地，且球545.線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡象法

半徑為a的接地導(dǎo)體圓柱外有一條和它平行的線電荷，密度為

，與圓柱軸相距為

。解:用位于導(dǎo)體圓柱內(nèi)，距離圓柱軸線處的鏡像線電荷代替導(dǎo)體圓柱上的感應(yīng)電荷，邊界條件維持不變，即導(dǎo)體圓柱面為零電位面。去掉導(dǎo)體圓柱，用原線電荷和鏡像線電荷求解導(dǎo)體圓柱外區(qū)域場(chǎng)，注意不能用原電荷和鏡像電荷求解導(dǎo)體圓柱內(nèi)區(qū)域場(chǎng)。求解鏡像電荷的大小和位置：?5.線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡象法半徑為a的接地導(dǎo)體圓柱外有一條55我們用的關(guān)系進(jìn)行試探求解。同樣在圓周上去兩點(diǎn)（通過鏡像電荷的直徑的兩端點(diǎn)），因?yàn)閳A柱接地，它們的電位必須為零，即代入的關(guān)系后，上面兩方程解得求解電位：圓柱外任一點(diǎn)的電位為其中

、

分別是

、

到場(chǎng)點(diǎn)的距離。?我們用的關(guān)系進(jìn)行試探求解。同樣在圓周上去兩點(diǎn)（通56

對(duì)于不接地圓柱，與不接地球相類似，只要在軸線上再加入一鏡像線電荷+ρl，以保持圓柱面上的凈電荷為零?？臻g的場(chǎng)就為兩條鏡像線電荷與真實(shí)電荷的疊加。線電荷對(duì)不接地、凈電荷不為零的導(dǎo)體圓柱的鏡像。

?對(duì)于不接地圓柱，與不接地球相類似，只要在軸線上再加入576.兩無限長(zhǎng)平行圓柱的鏡象法例4.4.4兩根無限長(zhǎng)平行圓柱，半徑均為a，軸線距離為D。求：兩圓柱間單位長(zhǎng)度上的電容。解：設(shè)加電壓后兩圓柱分別帶電＋pl和－pl。應(yīng)用上題結(jié)果，圓柱看成是兩電軸（帶電＋pl和－pl）的等位面。求出電軸位置即得解。解得：?6.兩無限長(zhǎng)平行圓柱的鏡象法例4.4.4兩根無限長(zhǎng)平行圓58對(duì)于左邊圓柱

右邊圓柱

兩圓柱電壓?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度電容：?對(duì)于左邊圓柱右邊圓柱

兩圓柱電壓?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度電容：?59鏡像法小結(jié)

鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是靜電場(chǎng)唯一性定理；鏡像法（電軸法）的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o限大均勻介質(zhì)；鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是確定鏡像電荷（電軸）的個(gè)數(shù)（根數(shù)），大小及位置；應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時(shí)，注意：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場(chǎng)域以外的區(qū)域。疊加時(shí)，要注意場(chǎng)的適用區(qū)域。?鏡像法小結(jié)鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是靜電場(chǎng)唯一性定理；604．5有限差分法引入分離變量法和鏡像法都是求邊值問題得解析解的方法。但是在許多實(shí)際問題中由于邊界條件過于復(fù)雜而無法求得解析解。這就需要借助于數(shù)值法來求電磁場(chǎng)的數(shù)值解。有限差分法便是一種比較容易的數(shù)值解法。有限差分法的基本思路在用有限差分法求解經(jīng)典問題時(shí)，首先需要把求解的區(qū)域劃分成網(wǎng)格，把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布，用求網(wǎng)節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值接代替。只要將網(wǎng)格劃分得充分地細(xì)，就能達(dá)到足夠的精確度。當(dāng)然，網(wǎng)格劃分越細(xì)，精度也就越高。但同時(shí)，所花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間也就越長(zhǎng)。其次，就是將靜場(chǎng)問題的微分方程化為差分方程，然后進(jìn)行求解。

?4．5有限差分法引入有限差分法的基本思路在用有限61關(guān)于網(wǎng)格的劃分，有不同的方法。下面以正方形網(wǎng)格為例，說明有限差分求解靜電問題的思路。

設(shè)X軸上鄰近O點(diǎn)的一點(diǎn)的電位為Φx，用泰勒公式展開為：

故1點(diǎn)的電位為：

?關(guān)于網(wǎng)格的劃分，有不同的方法。下面以正方形網(wǎng)格為例，說明有限623點(diǎn)的電位為：

當(dāng)h很小時(shí)，忽略4階以上的高次項(xiàng)，得同樣可得將上面兩式相加得?3點(diǎn)的電位為：當(dāng)h很小時(shí)，忽略4階以上的高次項(xiàng)，得同樣可得63在上式中代入

，得上式為二維拉普拉斯方程的有限差分形式,對(duì)于

，即F=0的區(qū)域，得到二維拉普拉斯方程的有限差分形式它表示任意點(diǎn)的電位等于圍繞它的四個(gè)點(diǎn)的電位的平均值。當(dāng)用網(wǎng)格將區(qū)域劃分后，對(duì)每一個(gè)網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)寫出類似的式子，就得到方程數(shù)與未知電位的網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)數(shù)相等的線性方程組。已知的邊界條件在離散化后成為邊界上節(jié)點(diǎn)的已知電位值?在上式中代入

64以一頂部電位為1000V，兩側(cè)及底部的電位為零的正方形截面的無限長(zhǎng)金屬盒為例，為說明問題方便，在正方形區(qū)域內(nèi)的水平和垂直方向各畫三條平行的等間距直線，如圖所示在實(shí)際的工程問題中，為了滿足足夠的計(jì)算精度，網(wǎng)格的劃分是非常細(xì)的，因此即使采用計(jì)算機(jī)編程求解，其工作量也是很大的。?以一頂部電位為1000V，兩側(cè)及底部的電位為零的正方形截面的65方法簡(jiǎn)單迭代法：其步驟是先對(duì)每一網(wǎng)格點(diǎn)設(shè)一初值。然后按一個(gè)固定順序（點(diǎn)的順序是從左到右，從上到下），利用二維拉普拉斯方程的有限差分形式用圍繞它的四個(gè)點(diǎn)的電位的平均值作為它的新值，當(dāng)所有的點(diǎn)計(jì)算完后，用它們的新值代替舊值，即完成了一次迭代。然后再進(jìn)行下一次迭代，直到每一點(diǎn)計(jì)算的新值和舊值之差小于指定的范圍為止。為了提高精度，必須進(jìn)一步劃分出更多更小的網(wǎng)格數(shù)。

以解拉普拉斯方程為例。1）設(shè)定內(nèi)點(diǎn)初值，用計(jì)算機(jī)解題時(shí)，可都取零值。2）按一固定順序(從左到右，從下到上)依次利用

?方法簡(jiǎn)單迭代法：其步驟是先對(duì)每一網(wǎng)格點(diǎn)設(shè)一初值。然后按一66計(jì)算內(nèi)點(diǎn)O點(diǎn)的新值。即O點(diǎn)的新值就是圍繞該點(diǎn)的4個(gè)點(diǎn)的電位的平均值。當(dāng)所有的內(nèi)點(diǎn)都計(jì)算完后，用他們的新值代替舊值，完成一次迭代。再進(jìn)行下一次迭代。直到每一點(diǎn)計(jì)算得到的新值與舊值之差小于指定的范圍。這種方法的特點(diǎn)是用前一次迭代的得到的結(jié)點(diǎn)電位作為下一次迭代時(shí)的初值。如（j，k）點(diǎn)在第n＋1次迭代時(shí)按下式計(jì)算：?計(jì)算內(nèi)點(diǎn)O點(diǎn)的新值。即O點(diǎn)的新值就是圍繞該點(diǎn)的4個(gè)點(diǎn)的電位的67

超松弛法：簡(jiǎn)單迭代法在解決問題時(shí)收斂速度比較慢，實(shí)用價(jià)值不大。實(shí)際中常采用超松弛法，相比之下它有兩點(diǎn)重大的改進(jìn)，第一是計(jì)算每一網(wǎng)格點(diǎn)時(shí)，把剛才計(jì)算得到的臨近點(diǎn)的新值代入，即在計(jì)算(j,k)點(diǎn)的電位時(shí)，把它左邊的點(diǎn)(j-1,k)和下面的點(diǎn)(j,k-1)的電位用剛才算過的新值代入，即這種迭代方法稱為高斯賽德爾迭代法。將上式寫成增量的形式?

超松弛法：簡(jiǎn)單迭代法在解決問題時(shí)收斂速度比較慢，68引進(jìn)加速收斂因子，在1－2之間。松弛因子選取的比較適當(dāng)?shù)脑掃€會(huì)加快收斂速度。?引進(jìn)加速收斂因子，在1－2之間。松弛因子選取的比較適當(dāng)?shù)?9本章主要介紹拉普拉斯方程的求解方法。分離變量法根據(jù)邊界面的形狀，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，如平面邊界，則選直角坐標(biāo)；圓柱面選圓柱坐標(biāo)系；球面選球坐標(biāo)。以便以簡(jiǎn)單的形式表達(dá)邊界條件。將電位函數(shù)表示成三個(gè)一維函數(shù)的乘積，通過分離變量法將拉普拉斯方程變?yōu)槿齻€(gè)常微分方程，得到電位函數(shù)的通解，然后尋求滿足條件的特解。鏡像法將平面、圓柱面或球面上的感應(yīng)電荷分布（或束縛電荷分布）用等效的點(diǎn)電荷或線電荷（在場(chǎng)區(qū)域外的某一位置處）替代并保證邊界條件不變。原電荷與等效點(diǎn)電荷（即通稱為像電荷）的場(chǎng)即所求解。鏡像法的主要步驟是確定鏡像電荷的位置和大小。?本章主要介紹拉普拉斯方程的求解方法。分離變量法鏡像法?70有限差分法一種數(shù)值計(jì)算方法，把求解區(qū)域用網(wǎng)格劃分，同時(shí)把拉普拉斯方程變?yōu)榫W(wǎng)格點(diǎn)的電位有限差分方程（代數(shù)方程）組。在已知邊界點(diǎn)的電位值下，用迭代法求得網(wǎng)格點(diǎn)電位的近似數(shù)值。?有限差分法?71踏實(shí)，奮斗，堅(jiān)持，專業(yè)，努力成就未來。12月-2212月-22Thursday,December29,2022弄虛作假要不得，踏實(shí)肯干第一名。14:36:5214:36:5214:3612/29/20222:36:52PM安全象只弓，不拉它就松，要想保安全，常把弓弦繃。12月-2214:36:5214:36Dec-2229-Dec-22重于泰山，輕于鴻毛。14:36:5214:36:5214:36Thursday,December29,2022不可麻痹大意，要防微杜漸。12月-2212月-2214:36:5214:36:52December29,2022加強(qiáng)自身建設(shè)，增強(qiáng)個(gè)人的休養(yǎng)。2022年12月29日2:36下午12月-2212月-22追求卓越，讓自己更好，向上而生。29十二月20222:36:52下午14:36:5212月-22嚴(yán)格把控質(zhì)量關(guān)，讓生產(chǎn)更加有保障。十二月222:36下午12月-2214:36December29,2022重規(guī)矩，嚴(yán)要求，少危險(xiǎn)。2022/12/2914:36:5214:36:5229December2022好的事情馬上就會(huì)到來，一切都是最好的安排。2:36:52下午2:36下午14:36:5212月-22每天都是美好的一天，新的一天開啟。12月-2212月-2214:3614:36:5214:36:52Dec-22務(wù)實(shí)，奮斗，成就，成功。2022/12/2914:36:52Thursday,December29,2022抓住每一次機(jī)會(huì)不能輕易流失，這樣我們才能真正強(qiáng)大。12月-222022/12/2914:36:5212月-22謝謝大家！踏實(shí)，奮斗，堅(jiān)持，專業(yè)，努力成就未來。12月-2212月-272第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的解法

本章主要介紹泊松方程或拉普拉斯方程的求解。求解邊值問題的方法，可以分為解析法和數(shù)值法兩大類。?第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的解法本章主要介紹泊松73

拉普拉斯方程和泊松方程拉普拉斯方程和泊松方程是靜態(tài)場(chǎng)的基本方程。

邊值型問題的分類

第一類邊值問題（狄利赫利（Dirichlet）問題）：邊界上的位函數(shù)已知。

第二類邊值問題（諾伊曼（Neumann）問題）：位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)已知。

第三類邊值問題（混合邊值問題）：部分邊界上位函數(shù)已知，部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)已知。如果邊界是導(dǎo)體，則上述三類問題分別變?yōu)椋阂阎鲗?dǎo)體表面的電位；已知各導(dǎo)體表面的總電量；已知一部分導(dǎo)體電位與另一部分導(dǎo)體的電荷量。

?拉普拉斯方程和泊74邊值問題研究方法計(jì)算法實(shí)驗(yàn)法作圖法解析法數(shù)值法實(shí)測(cè)法模擬法定性定量積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法?邊值問題計(jì)算法實(shí)驗(yàn)法作圖法解析法數(shù)值法實(shí)測(cè)法模擬法定性定量積754.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法應(yīng)用條件：界面形狀適合用直角坐標(biāo)系表示,既場(chǎng)域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)。

分析方法：用分離變量法求通解，重點(diǎn)是利用邊界條件求定解。

直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程：變量分離設(shè)?4.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法應(yīng)用條件：分析方法：變量分離76拉普拉斯方程變?yōu)?/p>

上式成立的唯一條件是三項(xiàng)中每一項(xiàng)都是常數(shù)，故可分解為下列三個(gè)方程：其中

、

和

為常數(shù)，但不能全為實(shí)數(shù)或全為虛數(shù)。?拉普拉斯方程變?yōu)?/p>

77

常微分方程的解以常微分方程

為例，其解的形式為：若

為零，則

若

為實(shí)數(shù)，則

若

為虛數(shù)，即

，則

或

其中

?常微分方程的解若

為零78雙曲正弦曲線，通過原點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱

雙曲余弦曲線，不通過原點(diǎn)，對(duì)y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)（同極小點(diǎn)）：A(0,1)

?雙曲正弦曲線，雙曲余弦曲線，?79求定解根據(jù)邊界條件確定通解中的各個(gè)常數(shù)。請(qǐng)參照例題來學(xué)習(xí)體會(huì)。和的情況與此類似。故拉普拉斯方程的解為

例4.1.1

求如圖長(zhǎng)方體積中的電位函數(shù)。邊界條件為除z＝c面電位不為零外，其他各表面的電位都為零。Z＝c表面上給定的電位函數(shù)為U（x，y）。?求定解和的情況與此類似。故拉普拉斯方程的解為例4.80解：顯然，長(zhǎng)方形體積內(nèi)的電位滿足拉普拉斯方程。首先觀察邊界條件，有要滿足在x=0，x=a的邊界上，電位為零的邊界條件，在f(x)的三種可能的解中只能有?解：顯然，長(zhǎng)方形體積內(nèi)的電位滿足拉普拉斯方程。首先觀察邊界條81根據(jù)x=0面上的邊界條件得到即又根據(jù)x=a的邊界條件，有

從而得到f(x)的解的形式為?根據(jù)x=0面上的邊界條件得到即又根據(jù)x=a的邊界條件，有從82同理，對(duì)于g(y)，有

由分離常數(shù)之間的關(guān)系可知，h(z)只能或者是雙曲函數(shù)，或者是指數(shù)函數(shù)，同樣要根據(jù)邊界條件來定。由于當(dāng)z=0時(shí)，h(z)=0，顯然采用雙曲函數(shù)比較方便，代入邊界條件：得到這里

?同理，對(duì)于g(y)，有由分離常數(shù)之間的關(guān)系可知，h83這樣，長(zhǎng)方形體積內(nèi)電位的通解的形式為令

為新的待定系數(shù)，對(duì)于具體的U(x,y)，可以利用三角函數(shù)的正交性，得出待定系數(shù)。例如對(duì)于代入z=C的邊界條件，有?這樣，長(zhǎng)方形體積內(nèi)電位的通解的形式為令為新的待定系數(shù)，對(duì)于84兩邊同乘以利用三角函數(shù)的正交性，在0-a和0-b的區(qū)域?qū)和y積分，有即?兩邊同乘以利用三角函數(shù)的正交性，在0-a和0-b的區(qū)域?qū)和85同理，假如代入邊界條件，有同樣利用三角函數(shù)的正交性，對(duì)上式兩邊同乘以在0-a和0-b的區(qū)域?qū)和y積分，有?同理，假如代入邊界條件，有同樣利用三角函數(shù)的正交性，對(duì)上式86對(duì)等式右邊積分，得到

從而有

C’nm由上式確定。

如果有多個(gè)邊界條件電位不為零，則可利用疊加原理，將問題分解為只有其中一個(gè)邊界電位不為零，其余邊界電位為零，分別求解，最后的解就是所有這些問題的解的疊加結(jié)果。

?對(duì)等式右邊積分，得到從而有C’nm由上式確定。87例4.1.2：求如圖所示導(dǎo)體槽內(nèi)的電位。槽的寬度為d，在x和z方向都是無窮大，槽由兩塊L形的導(dǎo)體構(gòu)成，兩塊導(dǎo)體間有一狹縫，外加恒定電壓U0。

解：由于在z方向是連續(xù)的，因此這個(gè)問題是個(gè)二維問題，電位只是x和y和函數(shù)。首先考慮邊界條件，有以及當(dāng)x趨于無窮時(shí)，電位應(yīng)該有限。

?例4.1.2：求如圖所示導(dǎo)體槽內(nèi)的電位。槽的寬度為d，在x和88對(duì)于上面的二維邊值問題，可采用疊代法求解，即將原來的邊值問題分成如下兩個(gè)邊值問題的疊加來解決。即

Φ1和Φ2分別是圖（a）和圖（b）的解對(duì)于圖（a），當(dāng)y=a時(shí)，電位為U0，當(dāng)y=0時(shí)，電位為0，它相當(dāng)于求兩個(gè)無限大平板之間的電位，這是一個(gè)一維問題，即電位只在y方向有變化。電位滿足的方程為：?對(duì)于上面的二維邊值問題，可采用疊代法求解，即將原來的邊值問題89根據(jù)邊界條件，得到：

對(duì)于圖（b），需首先找出x=0處的邊界條件。由于問題的解是圖（a）和圖（b）問題疊加的結(jié)果，因此圖（a）和圖（b）邊界條件的疊加應(yīng)該等于原來的邊界條件，即從而得到

?根據(jù)邊界條件，得到：對(duì)于圖（b），需首先找出x=0處的邊界90這兩個(gè)場(chǎng)疊加后，在y=0和y=d兩平面上的邊界條件與原題中的一樣，而在x=0的平面上有也和原題相同。根據(jù)唯一性定理可知

是我們所求的解?，F(xiàn)在只需求解

。由上述分析可見，場(chǎng)是對(duì)稱于x=0平面的，只需求出

時(shí)的解即可。為了滿足y=0和y=d時(shí)

的條件，g(y)必定取正弦函數(shù)

；又因?yàn)闀r(shí)，應(yīng)為零，所以f(x)應(yīng)是隨x衰減的函數(shù)，即取，再由，得

。?這兩個(gè)場(chǎng)疊加后，在y=0和y=d兩平面上的邊界條件與原題中的91于是

的解具有如下形式

代入x=0的邊界條件，得用

乘上式兩邊，并對(duì)y從

積分得?于是

的解具有如下形式

92只有當(dāng)s為偶數(shù)時(shí)，

才不為零，且有用2n代替s，n=1,2,3,…，得。于是

和疊加后，得電位解為

?用2n代替s，n=1,2,3,…，得934.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法

應(yīng)用條件：界面形狀適合用圓柱坐標(biāo)系表示。

分析方法：用分離變量法求通解，重點(diǎn)是利用邊界條件求定解。圓柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程：

當(dāng)電位在z方向沒有變化時(shí)，拉普拉斯方程簡(jiǎn)化為?4.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法應(yīng)用條件：圓柱坐標(biāo)系中94設(shè)代入，二維拉普拉斯方程被分離為兩個(gè)常微分方程，即拉普拉斯方程變?yōu)?/p>

要在r、φ取任意值時(shí)，上式都能成立，式中的每一項(xiàng)都必須是常數(shù)，即：而且?設(shè)代入，二維拉普拉斯方程被分離為兩個(gè)常微分方程，即拉普拉斯方95則上式可分解為下列兩個(gè)常微分方程令γ是分離常數(shù)γ=0時(shí)，式（F-1）和式（F-2）的解是（F-1）（F-2）γ≠0時(shí)，式（F-1）可寫為：?則上式可分解為下列兩個(gè)常微分方程令γ是分離常數(shù)γ=096對(duì)于g(φ)，即式（F-2）的解為

這是一個(gè)變系數(shù)常微分方程，稱為歐拉（Euler）方程，即（式F-1）的解為：在許多實(shí)際問題中,坐標(biāo)變量φ的變化范圍是0—2π,而電位又必須是單值的,即這就要求γ應(yīng)當(dāng)是整數(shù),以n表示(n=1,2,3,…).?對(duì)于g(φ)，即式（F-2）的解為這是一個(gè)變系數(shù)常微97將上述各式中的γ換成n,則可得圓柱坐標(biāo)中的二維拉普拉斯方程的同解是:(4.2.7)?將上述各式中的γ換成n,則可得圓柱坐標(biāo)中的二維拉普98例：一根半徑為r0的，介電常數(shù)為ε

的無限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱體，放置于均勻外電場(chǎng)E0中，且與E0相垂直。設(shè)外電場(chǎng)方向沿x，圓柱軸與z軸相合，如圖所示。求圓柱內(nèi)外的電位函數(shù)。解：在圓柱坐標(biāo)中

，外電場(chǎng)

，可用一個(gè)電位函數(shù)

表示，故有設(shè)柱內(nèi)和柱外兩個(gè)區(qū)域的電位函數(shù)分別為

和

，因圓柱無限長(zhǎng)，它們均與z無關(guān)，解為二維通解?例：一根半徑為r0的，介電常數(shù)為ε的無限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱體，放置99對(duì)于

，當(dāng)

時(shí)，圓柱介質(zhì)極化的影響已不復(fù)存在，場(chǎng)仍然是原來的均勻場(chǎng)

，所以有這是柱外區(qū)域中的一個(gè)邊界條件。當(dāng)

時(shí)，然后用

和

分別乘上式的兩邊，對(duì)

從

積分，因?yàn)橛疫呏挥?/p>

的余弦項(xiàng)，所以只有

的項(xiàng)的系數(shù)不等于零，其余的項(xiàng)的系數(shù)都為零，所以得到?對(duì)于

，當(dāng)

100且當(dāng)

時(shí)，

，得到

，故柱外區(qū)域的解為

式中

仍為待定常數(shù)。其次，圓柱內(nèi)的解應(yīng)為

因?yàn)?/p>

處，

必須為有限制，故通解中所有r的冪項(xiàng)都不存在。這一條件為自然邊界條件。?且當(dāng)

時(shí)，

101

和

為兩個(gè)區(qū)域的電位函數(shù)，它們?cè)诮唤缑嫣幭嚆暯?，?yīng)用介質(zhì)交界面的邊界條件，首先，

時(shí)，

。得到上式中同樣只有

的余弦項(xiàng)系數(shù)不等于零，即

，而上式則為現(xiàn)利用

時(shí)，

?

和

為兩個(gè)區(qū)域的電位函數(shù)102得從以上所得的兩個(gè)方程式，求解得于是得到圓柱體外和內(nèi)的電位函數(shù)分別為?得從以上所得的兩個(gè)方程式，求解得于是得到圓柱體外和內(nèi)的電位103圓柱體外和內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度變量為

上式中的第二式表示圓柱體內(nèi)的電場(chǎng)

是一個(gè)均勻電場(chǎng)，它的大小和外加均勻場(chǎng)

相比要小，這是由于介質(zhì)圓柱被極化后表面出現(xiàn)束縛電荷，它們的電場(chǎng)在圓柱內(nèi)與外電場(chǎng)方向相反之故。?圓柱體外和內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度變量為上式中的第二式表示圓柱體內(nèi)的電場(chǎng)104應(yīng)用條件：界面形狀適合用球坐標(biāo)系表示。4.3球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程（我們只討論場(chǎng)問題與

無關(guān)的情形）

在二維情況下，場(chǎng)在φ方向無變化，此時(shí)拉氏方程變?yōu)椋?/p>

?應(yīng)用條件：4.3球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的拉普拉斯105令

代入，有：

上式中f(r)和

已分開在兩項(xiàng)中，令分別等于常數(shù)

和

，得

?令代入，有：上式中f(r)和

已分106常微分方程的解（1）

在該式中引入一個(gè)新的自變量

,于是該式可變?yōu)?/p>

上式稱為勒讓德方程。若我們研究的空間中包含

從0到

，即x從1到(-1)時(shí)，且取

為則此時(shí)的勒讓德方程只有一個(gè)有界解，它為m次多項(xiàng)式，稱為勒讓德多項(xiàng)式，記作

。

?常微分方程的解（1）

107(2)

在該式中代入式后，得

上式的兩個(gè)解為和，故于是我們得到電位的解為

?(2)

在該式中代入式108分析問題，選坐標(biāo)系，定坐標(biāo)軸。列電位方程。變量分離，將偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程。分析邊界條件，確定解的一般形式。利用邊界條件確定解中的常數(shù)。

前提給定邊界與一個(gè)適當(dāng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)面相合，或者分段地與坐標(biāo)面相合。在坐標(biāo)系中，待求偏微分方程的解可表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，其中每個(gè)函數(shù)分別是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。思路先將偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程，再利用邊界條件求解。解題步驟分離變量法小結(jié)?前提分離變量法小結(jié)?1094．4鏡像法鏡像法的原理在已知邊界條件，已知電荷分布時(shí)，由于邊界條件和電荷分布相互影響，直接求解泊松方程和拉普拉斯方程是比較困難的。此時(shí)，可在研究的區(qū)域之外，用假想的電荷來代替原來的邊界，即：由假想的電荷和原來的電荷共同產(chǎn)生的場(chǎng)在邊界上滿足原來的邊界條件，則在所研究的區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)即為真實(shí)電荷與假想電荷（又稱為鏡像電荷）產(chǎn)生的場(chǎng)的疊加。采用鏡像法可以使這類問題的場(chǎng)解過程變得簡(jiǎn)單，但它的應(yīng)用范圍是有限的。?4．4鏡像法鏡像法的原理在已知邊界條件，已知電荷分布時(shí)，由110思路用假想的鏡像電荷代替邊界上的感應(yīng)電荷。保持求解區(qū)域中場(chǎng)方程和邊界條件不變。使用范圍：界面幾何形狀較規(guī)范，電荷個(gè)數(shù)有限，且離散分布于有限區(qū)域。步驟確定鏡像電荷的大小和位置。去掉界面，按原電荷和鏡像電荷求解所求區(qū)域場(chǎng)。求解邊界上的感應(yīng)電荷。求解電場(chǎng)力。鏡像法應(yīng)用

?思路鏡像法應(yīng)用?111鏡像法應(yīng)用舉例

1.無限大接地平面上的點(diǎn)電荷設(shè)在無限大導(dǎo)體平面（z=0）附近有一點(diǎn)電荷q，與平面的距離為z=h，如圖所示，假設(shè)導(dǎo)電平面的電位為零，求上半空間的電場(chǎng)。解：顯然，當(dāng)點(diǎn)電荷靠近導(dǎo)體平面時(shí)，導(dǎo)體平面上會(huì)產(chǎn)生感生電荷，上半空間的電場(chǎng)是點(diǎn)電荷與感生電荷電場(chǎng)的合成的結(jié)果。?鏡像法應(yīng)用舉例1.無限大接地平面上的點(diǎn)電荷解：顯然，當(dāng)112考慮到鏡象法的原理，在z=0的平面之下與q對(duì)稱地放置一個(gè)電量為-q的鏡象電荷，顯然，這個(gè)鏡象電荷與原來電荷的合成電場(chǎng)滿足無限大導(dǎo)體平面的邊界條件，即無限大導(dǎo)體平面的影響由鏡象電荷-q來代替，上半空間的電場(chǎng)或電位分布就由原來電荷和鏡象電荷的場(chǎng)的疊加得出。如圖所示：直接求解感生電荷的分布顯然是一個(gè)比較困難的問題。?考慮到鏡象法的原理，在z=0的平面之下與q對(duì)稱地放置一個(gè)電113由此得到在上半空間的電位為求得無限大導(dǎo)體平面上的感生電荷密度：電場(chǎng)強(qiáng)度：

其中，

?由此得到在上半空間的電位為求得無限大導(dǎo)體平面上的感生114感應(yīng)電荷：

點(diǎn)電荷的平面鏡像?感應(yīng)電荷：

115設(shè)有一點(diǎn)電荷q置于相交成直角的兩個(gè)半無限大導(dǎo)電平板之前，試分析如何求解這一電場(chǎng)。設(shè)想將導(dǎo)電板撤出，使整個(gè)空間充滿介電常數(shù)為的介質(zhì)。在如圖所示的位置上，放入三個(gè)鏡像電荷。這樣能保證原電場(chǎng)的邊界條件不變。原問題中的電場(chǎng)可看成由此四個(gè)電荷產(chǎn)生。注意：這種方法只能用來求第一象限的電場(chǎng)。2.1800/n角度相交的導(dǎo)體面和點(diǎn)電荷?設(shè)有一點(diǎn)電荷q置于相交成直角的兩個(gè)半無限大導(dǎo)電平板之前，試分116對(duì)于夾角為的兩個(gè)相連無限大導(dǎo)電平板間置有點(diǎn)電荷的問題，只要n為整數(shù)，在區(qū)域內(nèi)，可用鏡像法解決。?對(duì)于夾角為的兩個(gè)相連無限大導(dǎo)電平板間1173.點(diǎn)電荷介質(zhì)分界面的鏡像法例4.4.1在z<0的下半空間是介電常數(shù)為ε的介質(zhì)，上半空間是空氣在距離介質(zhì)平面h處有一點(diǎn)電荷q，求z>0和z<0兩半空間的場(chǎng)。解：首先觀察電場(chǎng)滿足的邊界條件，設(shè)上半空間的電位為Φ1,下半空間的電位為Φ2，則在分界面上滿足的邊界條件為：?3.點(diǎn)電荷介質(zhì)分界面的鏡像法例4.4.1解：首先觀察電場(chǎng)滿118在下半空間與真實(shí)電荷對(duì)稱的位置放置電荷量為q‘的鏡象電荷，則在上半空間的電位為:其中：

對(duì)于下半空間，在真實(shí)電荷位置，同樣放置電量為q"的鏡象電荷，這樣在下半空間，電位為：

根據(jù)邊界條件，有?在下半空間與真實(shí)電荷對(duì)稱的位置放置電荷量為q‘的鏡象電荷，119即和

即聯(lián)立求解，得到

鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的場(chǎng)域內(nèi)。鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷?即和即聯(lián)立求解，得到鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的鏡像1204.點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球

（a）接地導(dǎo)體球

一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)體球，在與球心O相距d1的P1點(diǎn)有一點(diǎn)電荷q1，求球外的電位函數(shù)。解：設(shè)想在球內(nèi)P點(diǎn)有一鏡象電荷q2，距離球心為d2，如圖所示，選擇坐標(biāo)原點(diǎn)和球心重合,則空間（球外）任意點(diǎn)的電位為：?4.點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球（a）接地導(dǎo)體球一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)121在球面上電位為零，有：

由于在整個(gè)球面上，電位都為零，可取兩特殊點(diǎn)，試探求解。

對(duì)于A點(diǎn)有：

有：

對(duì)于B點(diǎn)有：

代入，有：

即：

?在球面上電位為零，有：由于在整個(gè)球面上，電位都為零，可取兩122聯(lián)立求解：

可以證明，將此結(jié)果代入完全滿足球面電位為零的條件，從而得到球外電位表達(dá)式為：其中：?聯(lián)立求解：可以證明，將此結(jié)果代入完全滿足球面電位為零的條件123空間任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：

同時(shí)，可以證明，總的球面電荷等于鏡像電荷。當(dāng)電荷位于球內(nèi)時(shí)，則鏡像電荷與上題的實(shí)際電荷位置互換，則表達(dá)式與球外問題相同。值得注意的是，此時(shí)的電位是球內(nèi)的電位問題。

點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖?空間任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：同時(shí)，可以證明，總的球面電荷等于鏡124(b)不接地導(dǎo)體球

對(duì)于不接地導(dǎo)體球，其球面電位為常數(shù)，同時(shí)，整個(gè)球面的凈電荷為零，則為保持球面電位為常數(shù)，應(yīng)在球心再放置一電量為-q2的鏡像電荷，如圖所示。則總的球外電位為:

點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)?(b)不接地導(dǎo)體球?qū)τ诓唤拥貙?dǎo)體球，其球面電位為125(c)充電不接地球?qū)w球

假設(shè)導(dǎo)體球不接地，且球上充電荷為Q0，實(shí)際上，這相當(dāng)于在不接地的導(dǎo)體球心再加上一個(gè)電荷Q0，如圖所示。因此此時(shí)球外的電位為?(c)充電不接地球?qū)w球假設(shè)導(dǎo)體球不接地，且球1265.線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡象法

半徑為a的接地導(dǎo)體圓柱外有一條和它平行的線電荷，密度為

，與圓柱軸相距為

。解:用位于導(dǎo)體圓柱內(nèi)，距離圓柱軸線處的鏡像線電荷代替導(dǎo)體圓柱上的感應(yīng)電荷，邊界條件維持不變，即導(dǎo)體圓柱面為零電位面。去掉導(dǎo)體圓柱，用原線電荷和鏡像線電荷求解導(dǎo)體圓柱外區(qū)域場(chǎng)，注意不能用原電荷和鏡像電荷求解導(dǎo)體圓柱內(nèi)區(qū)域場(chǎng)。求解鏡像電荷的大小和位置：?5.線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡象法半徑為a的接地導(dǎo)體圓柱外有一條127我們用的關(guān)系進(jìn)行試探求解。同樣在圓周上去兩點(diǎn)（通過鏡像電荷的直徑的兩端點(diǎn)），因?yàn)閳A柱接地，它們的電位必須為零，即代入的關(guān)系后，上面兩方程解得求解電位：圓柱外任一點(diǎn)的電位為其中

、

分別是

、

到場(chǎng)點(diǎn)的距離。?我們用的關(guān)系進(jìn)行試探求解。同樣在圓周上去兩點(diǎn)（通128

對(duì)于不接地圓柱，與不接地球相類似，只要在軸線上再加入一鏡像線電荷+ρl，以保持圓柱面上的凈電荷為零?？臻g的場(chǎng)就為兩條鏡像線電荷與真實(shí)電荷的疊加。線電荷對(duì)不接地、凈電荷不為零的導(dǎo)體圓柱的鏡像。

?對(duì)于不接地圓柱，與不接地球相類似，只要在軸線上再加入1296.兩無限長(zhǎng)平行圓柱的鏡象法例4.4.4兩根無限長(zhǎng)平行圓柱，半徑均為a，軸線距離為D。求：兩圓柱間單位長(zhǎng)度上的電容。解：設(shè)加電壓后兩圓柱分別帶電＋pl和－pl。應(yīng)用上題結(jié)果，圓柱看成是兩電軸（帶電＋pl和－pl）的等位面。求出電軸位置即得解。解得：?6.兩無限長(zhǎng)平行圓柱的鏡象法例4.4.4兩根無限長(zhǎng)平行圓130對(duì)于左邊圓柱

右邊圓柱

兩圓柱電壓?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度電容：?對(duì)于左邊圓柱右邊圓柱

兩圓柱電壓?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度電容：?131鏡像法小結(jié)

鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是靜電場(chǎng)唯一性定理；鏡像法（電軸法）的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o限大均勻介質(zhì)；鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是確定鏡像電荷（電軸）的個(gè)數(shù)（根數(shù)），大小及位置；應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時(shí)，注意：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場(chǎng)域以外的區(qū)域。疊加時(shí)，要注意場(chǎng)的適用區(qū)域。?鏡像法小結(jié)鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是靜電場(chǎng)唯一性定理；1324．5有限差分法引入分離變量法和鏡像法都是求邊值問題得解析解的方法。但是在許多實(shí)際問題中由于邊界條件過于復(fù)雜而無法求得解析解。這就需要借助于數(shù)值法來求電磁場(chǎng)的數(shù)值解。有限差分法便是一種比較容易的數(shù)值解法。有限差分法的基本思路在用有限差分法求解經(jīng)典問題時(shí)，首先需要把求解的區(qū)域劃分成網(wǎng)格，把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布，用求網(wǎng)節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值接代替。只要將網(wǎng)格劃分得充分地細(xì)，