大學(xué)生數(shù)學(xué)試題及答案

..實(shí)用文檔實(shí)用文檔.大學(xué)生數(shù)學(xué)試題及答案n2(n1)2考試形式：閉卷考試時(shí)間：n2(n1)2n21n222一、(此題總分值10分)n21n222

。n222nn222n2(n1)2【解】Sn

1( n21n21n11( )2n

)1(1)1(1)2n1(2)2nn

)1(0)1(0)2n1(1)2nn

)1(2)2nn1(2)2nn11( )2n1(n)2ini0limS n n n

n1i0

11(n1(n)2i1x2因 在[]1x20

1-x2dx存在，且1(n)2i1 1-1(n)2i

n1

.1，0 n

ni0所以，limSn n

0

1-x2dxlim n1n 0n1

。1-x2dx。4二、(此題總分值10分)請(qǐng)問a,b,c為何值時(shí)下式成立lim 1

t2dt11t2

c.x0sinxax b【解】注意到左邊得極限中，無論a為何值總有分母趨于零，因此要想極限存在，分子必須為無窮小量，于是可知必有b0，當(dāng)b0時(shí)使用洛必達(dá)法那么得到lim

x t2

lim x2 ，1t2x0sin1t2

0 x0(cosxa) 1x2x0時(shí)，假設(shè)a(cosxa) 1x2lim

x t2

lim x2

2，1t2x0sin1t2

b x0(cosx1x2綜上所述，得到如下結(jié)論：a1,b0,c0;或a1,(cosx1x2三、(此題總分值10分)計(jì)算定積分

I202

dx1tan2010x。x

t，那么2I0

dt

tan2010tdt

1

1 dtdtI21cot2010t22

01tan2010t 0

1tan2010t 02222Idt2222 ，0所以，I 。410分)求數(shù)列

{n1

n中的最小項(xiàng)。n【解】因?yàn)樗o數(shù)列是函數(shù)x分別取yx1 x【解】因?yàn)樗o數(shù)列是函數(shù)x分別取

1,2,3,,n,x時(shí)的數(shù)列。又且令yx12(lnxx時(shí)的數(shù)列。又且令

y0xe，容易看出：當(dāng)0xe時(shí)，y0；當(dāng)xe時(shí)，y0。所以，

1y y x

y(e)e12e而2e3 1 2e

13333

{n1

133n的最小項(xiàng) 。33n(此題總分值10分)求n0

enn1?！窘狻靠紤]冪級(jí)數(shù)n0

xnn

，其收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(1,1)，當(dāng)x1時(shí)，

x (1)n

1收斂；nn1 n1nn0 n0當(dāng)x1時(shí)，n0

xnn

n0

1n

發(fā)散，因此其收斂域?yàn)閇1,1)。設(shè)其和函數(shù)為s(x)，那么x x tn

x tn xx(1,1)，s(t)dt

dt dt xn1 。0 0 n1n0 n0

0n1 1xn0于是，s(x)(

x 1 .1x x)2故，

en22

1 e 。n0

n1 (e1)210fxsinxxxtf(t)dtffx。0【解】原方程可寫為

f(x)sinxx

f(tdtxtf(tdt，上式兩端對(duì)x求導(dǎo)得f(x)cosx

0 0f(t)dtxf(x)xf(x)cosxx

f(t)dt 〔*〕x

0 0f(x)sinxf(x)即 f(x)f(x)sinx這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次方程，由原方程知f(0)0，由〔*〕式知f(0)1。特征方程為210，i齊次通解為 yCsinxCcosx1 2設(shè)非齊次方程特解為 y*x(asinxbcosx)，代入f(x)f(x)sinx得a0,b1。2那么非齊次方程通解為yC1

sinxC2

cosx

xcosx2由初始條件 y(0)0和y(0)1可知，1C12,C21

0。七、(此題總分值10分)在過點(diǎn)O(0,0)和,0)的曲線族yasinx(a0)中，求一條曲線L，使沿該曲線從O到A的積分L

y3)dx(2xy)dy的值最小?！窘狻縄(a)

y3)dx(2xy)dyL[1a3sin3x(2xasinx)acos044a a3。43I(a44a20，得a1(a1舍去I(180I(a在a1處取極小值，且a=1是I在(0,+∞)a=1時(shí)I(a)取最小值，那么所求曲線為ysinx(0x。八、(此題總分值10分)設(shè)f在f(1)f(1)1，f''(x)1。2證明：1．f'(x)

12，x∈[1,1。2．f(x)=x在[?1,1]上有且只有一個(gè)實(shí)根。【證明】1. 由泰勒公式f(1fxfx)(1x

f()2

(1x)2，(1,x)ff(x)f(x)(1x)

f()2

(1x)2,(x,1)兩式相減并整理得2f(x)

(1x2)

f)x2)

f()于是,f(x)

2 2x2)4(1x2)4f(x2)4(1x2)4

(1x2)(1x2)8由于max

(1x2)(1x2)1，1x1 8 2因此|fx[1,1。2. Fx)fx)-x,x[1,1F(1)f(11

3 1f1- 。2 2但F(x)在[?1,1]上連續(xù)，由介值定理知，F(xiàn)(x)在[?1,1]上至少有一個(gè)零點(diǎn)。又由1Fx)fx10F(x在上嚴(yán)格單調(diào)，從而至多有一個(gè)零點(diǎn)。Fx)在f(xx在(此題總分值10分)設(shè)f(x)在(-)為連續(xù)函數(shù),那么ax3f(x2dx0

1a20

xf(x)dx?！窘狻苛?x)xt3f(t2)dt,那么(x)x3f(x2),0x1x2tf(t)dt，那么x1

x2f(x2)2xx3f(x2),20 2所以x)x)即(x)(x)c c為常數(shù)。而(0)(00，xx)特別地(a)(a)即ax3f(x2dx0

1a2xf(x)dx20十、(此題總分值10分)設(shè)f(x)是[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，證明1ef(x)dx1ef(y)dy1。0 0D{(x,y)|0xy1}。由于efx)fy)1fxfy，所以1ef(x)dx1ef(y)dyef(x)f(y)dxdy0 0D1dx11f(x)f(y)dy0 01dx1dy1

f(xdx1dy1x

f(y)dy01。

0 0 0 0 0【證法二】 1ef(x)dx1ef(y)dyef(