浙教八年級上冊數(shù)學特殊三角形經(jīng)典習題(含答案)

浙教數(shù)學八年級上冊特殊三角形歷年中考典型習題一、等腰三角形1.如圖，△ABC中，AB=AC,AM是BC邊上的中線，點N在AM上，求證：NB=NC.2.如圖，ZAOB的內部有一點P,在射線OA，OB邊上各取一點P1，P2，使得△PPp的周長最小，作出點P1，P2，敘述作圖過程（作法），保留作圖痕跡.3.已知：如圖，在△ABC中，Z1=Z2,DEIIAC，求證：△ADE是等腰三角形.4.如圖，△ABC中，AD丄BC,點E在AC的垂直平分線上，且BD=DE.(1)如果ZBAE=40°,那么ZB=,ZC=—°；如果△ABC的周長為13cm,AC=6cm,那么△ABE的周長=_cm；你發(fā)現(xiàn)線段AB與BD的和等于圖中哪條線段的長？并證明你的結論.5.如圖，在△ABC中，已知AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點N,交AC于點M,連接MB.若ZABC=70°,則ZNMA的度數(shù)是度.若AB=8cm,△MBC的周長是14cm.①求BC的長度;②若點P為直線MN上一點，請你直接寫出厶PBC周長的最小值.

6.如圖，ZAOB=30,OC平分ZAOB,P為OC上一點，PD〃OA交OB于D,PE垂直O(jiān)A于E,若OD=4cm,求PE的長.7.如圖1,在△ABC中，AB=AC,點D是BC的中點，點E在AD上.求證：BE=CE；如圖2,若BE的延長線交AC于點F,且BF丄AC,垂足為F,ZBAC=45°,原題設其它條件不變.求證：EF=CF.8.如圖，在四邊形ABCD中，AD=4,BC=1,ZA=30°,ZB=90°,ZADC=120°，求CD的長.

9.如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分ZABC交AC于點D,DE//BC交AB于點E.求證：△ADE是等邊三角形.1(2)求證：AE=2AB.10.如圖所示，D、E分別是△ABC的邊BC、AC上的點，且AB=AC,AD=AE.(1)若ZBAD=20貝yZEDC=—；若ZEDC=20,則ZBAD=—；設ZBAD=a，ZEDC=P，你能由(1)(2)中的結果找到a、卩所滿足的關系嗎?請說明理由.11.如圖，CN是等邊△ABC的外角ZACM內部的一條射線，點A關于CN的對稱點為D,連接AD,BD,CD,其中AD，BD分別交射線CN于點E，P.依題意補全圖形；若ZACN=a求ZBDC的大小(用含的式子表示)；用等式表示線段PB，PC與PE之間的數(shù)量關系，并證明.N12.如圖，點A、B、C在同一直線上，△ABD，△BCE都是等邊三角形。求證：AE=CD；若M，N分別是AE，CD的中點，試判斷厶BMN的形狀，并證明你的結論。13.如圖，在等邊△ABC中，點D,E分別在邊BC,AB上，且BD=AE,AD與CE交于點F.求證：AD=CE；求ZDFC的度數(shù).14.如圖，點O是等邊三角形ABC內一點，ZAOB=110°,ZBOC=?，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得厶ADC,連接OD.(1)求證：△COD是等邊三角形；⑵當a=150°時，試判斷厶AOD的形狀，并說明理由；⑶探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？、直角三角形1.如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，AC=4,BC=3,DB=5，求AD的長；求證：△ABC是直角三角形.軍在B處放馬，晚上回營，需要將馬趕到河CD去飲水一次，再回到營地A,已知A到河岸的距離AE=2公里，B到河岸的距離BF=3公里，EF=12公里，求將軍最短需要走多遠.小王剪了兩張直角三角形紙片，進行了如下的操作：操作一：如圖1,將RtAABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合，折痕為DE.如果AC=6cm,BC=8cm，可求得厶ACD的周長為；如果ACAD：ZBAD=4：7,可求得ZB的度數(shù)為；操作二：如圖2,小王拿出另一張RtAABC紙片，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，若AC=9cm,BC=12cm，請求出CD的長.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD丄于點D,AM是厶ABC的外角ZCAE的平分線.(1)求證：AM〃BC；(2)若DN平分ZADC交AM于點N,判斷△ADN的形狀并說明理由.5.如圖1,在厶ABC中，已知ZBAC=45。，AD丄BC于D,BD=2,DC=3,求AD的長.小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換如圖1.她分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F,延長EB、FC相交于G點，得到四邊形AEGF是正方形.設AD=x,利用勾股定理，建立關于x的方程模型，即可求出x的值.參考小萍的思路，探究并解答新問題：如圖2,在厶ABC中，ZBAC=30。，AD丄BC于D,AD=4.請你按照小萍的方法畫圖,得到四邊形AEGF，求△BGC的周長.(畫圖所用字母與圖1中的字母對應)6.已知，如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30。，BC=18cm.動點P從點A出發(fā)，沿AB向點B運動，動點Q從點B出發(fā)，沿BC向點C運動，如果動點P以2cm/s,Q以1cm/s的速度同時出發(fā)，設運動時間為t(s)，解答下列問題：t為時，△PBQ是等邊三角形？P,Q在運動過程中，△PBQ的形狀不斷發(fā)生變化，當t為何值時，△PBQ是直角三角形？說明理由.7.兩個大小不同的等腰直角三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，圖中AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZEAD=900,B,C,E在同一條直線上，連結DC.(1)圖2中的全等三角形，并給予證明(說明：結論中不得含有未標識的字母);

指出線段DC和線段BE的關系，并說明理由.D8.已知：如圖T5-6,AACB和厶ECD都是等腰直角三角形,ZACB=ZECD=90°,D為AB邊上一點.求證：△ace^abcd；求證：2CD2=AD2+DB2.如圖，在△ABC中，ZBAC=90。，AB=AC,點D是BC上一動點，連接AD,過點A作AE丄AD,并且始終保持AE=AD,連接CE.(1)求證：△ABD^^ACE；(2)若AF平分ZDAE交BC于F,探究線段BD，DF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關系，并證明;(3)在(2)的條件下，若BD=3,CF=4,求AD的長.如圖，折疊長方形紙片ABCD,使點D落在邊BC上的點F處，折痕為AE.已知該紙片寬AB=3cm，長BC=5cm.求EC的長.11.已知，如圖，ZABC=ZADC=90°，點E、F分別是AC、BD的中點，AC=10，BD=6.求證：EF丄BD；求EF的長.12.學完勾股定理之后，同學們想利用升旗的繩子、卷尺，測算出學校旗桿的高度.愛動腦筋的小明這樣設計了一個方案：將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結，然后將繩子拉到離旗桿底端5米處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結處約1米.請你設法幫小明算出旗桿的高度.

13.如圖,RtAABC中13.如圖,RtAABC中，ZC=90。，AD平分ZCAB,DE^yAB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的長;(2)求厶ADB的面積.14.如圖，一架梯子AB長13米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻5米.這個梯子的頂端距地面有多高？如果梯子的頂端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑動了多少米?在厶ABC中，AB=15，BC=14,AC=13，求△ABC的面積.某學習小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程.

DC如圖，在△ABC中，ZC=90°點P在AC上運動，點D在AB上，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點E,交BD于點F,連接DE.判斷DE與DP的位置關系，并說明理由；若AC=6,BC=8,PA=2，求線段DE的長.如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB丄BD，ED丄BD,連結AC、EC,已知線段AB=5,DE=1,BD=8，設CD=x用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；請問點C滿足什么條件時，AC+CE最小？最小為多少？(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結論，請構圖求代數(shù)式7X24花12X)29的最小值.

18.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,△ACB和厶DCE均為等邊三角形，當△DCE旋轉至點A,D,E在同一直線上，連接BE,易證△BCE竺MCD.貝?ZBEC=°;②線段AD、BE之間的數(shù)量關系是.拓展研究：如圖2,△ACB和厶DCE均為等腰三角形，且ZACB=ZDCE=90°,點A、D、E在同一直線上，若AE=15,DE=7,求AB的長度.探究發(fā)現(xiàn)：如圖3,P為等邊△ABC內一點，且ZAPC=150°，且ZAPD=30°,AP=5,CP=4,DP=8,求BD的長.答案一、等腰三角形證明：?.?AB=AC,AM是BC邊上的中線，:.AM丄BC.:.AM垂直平分BC.???點N在AM上,:?NB=NC.解：如圖，作點P關于直線OA的對稱點E,點P關于直線OB的對稱點F,連接EF交OA于P1,交OB于P2,連接PP1,PP2,△PP1P2即為所求.理由：?.?P1P=P1E,P2P=P2F,..△PP1P2的周長=PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF,根據(jù)兩點之間線段最短，可知此時△PP1P2的周長最短.3.證明：?.?DE〃AC,AZADE=Z2,VZ1=Z2,AZADE=Z1,:?EA=ED,即厶ADE是等腰三角形.4.(1)70°；35(2)7AB+BD=DC.證明：TAD丄BC,BD=DE,：?AB=AE,V點E在AC的垂直平分線上，?：AE=CE,：.AB+BD=AE+DE=CE+DE=DC.5.解：(1)TAB=AC,AZC=ZABC=70°,.??ZA=40。，TAB的垂直平分線交AB于點N,.??ZANM=90。，AZNMA=50°,故答案為：50；(2)①TMN是AB的垂直平分線，:?AM=BM,:.△MBC的周長=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC,TAB=8,△MBC的周長是14,?：BC=14-8=6；②當點P與M重合時，△PBC周長的值最小，理由:TPB+PB=PA+PC,PA+PC^AC,:.P與M重合時，PA+PC=AC,此時PB+PC最小，:.△PBC周長的最小值=AC+BC=8+6=14.過點P作PH丄BO于點H,則PE=PH=丄PD=22證明：(1)TAB=AC,D是BC的中點，AZBAE=ZEAC,:.△ABE^^ACE(SAS),:.BE=CE；(2)TZBAC=45。，BF丄AF,???△ABF為等腰直角三角形，:.AF=BF,???AB=AC,點D是BC的中點，?AD丄BC,ZEAF+ZC=90°,BF丄AC,.?.ZCBF+ZC=90°,ZEAF=ZCBF,△AEF^KBCF(ASA).：?EF=CF延長AD、BC,兩條延長線交于點EVZB=90°,ZA=30°：?ZE=60。*/ZADC=120°:.ZCDE=60°:.△CDE是等邊三角形貝9CD=CE=DE設CD=x，貝yCE=DE=x,AE=x+4,BE=x+1?/在Rt^ABE中，ZA=30°：.x+4=2(x+l)解得：x=2：?CD=2("?△ABC為等邊三角形:.ZA=ZABC=ZC=60°?DE〃BC?：ZAED=ZABC=60°,ZADE=ZC=60°:.ZAED=ZADE=ZA=60°?△ADE是等邊三角形(2)V^ABC為等邊三角形:.AB=BC=AC?:AB=BC,BD平分ZABC1:.AD=-AC2:△ADE是等邊三角形:.AE=AD1:.AE=_AB210.(1)10°40°a=2卩.理由如下：因為AB=AC,AD=AE,所以ZB=ZC,ZADE=ZAED.又ZADC=ZB+ZBAD,得ZAED+ZEDC=ZB+ZBAD.所以ZEDC+ZC+ZEDC=ZB+ZBAD,所以2ZEDC=ZBAD,即a=2卩.11.(1)(2)解：?：點A與點D關于CN對稱,：?CN是AD的垂直平分線，???CA=CD.??ZACN=a,.??ZACD=2a.???等邊△ABC,???CA=CB=CD,ZACB=60°.???ZBCD=ZACB+ZACD=60°+2a.1:./BDC=/DBC=—(180。-/BCD)=60°-a.2(3)結論：PB=PC+2PE.本題證法不唯一，如：證明：在PB上截取PF使PF=PC,連接CF.VCA=CD,ZACD=2a：?ZCDA=ZCAD=90°-a.?.?/BDC=60°-a,：?/PDE=/CDA_/BDC=30°.?:PD=2PE.?.?/CPF=ZDPE=90。—/PDE=60°.:.△CPF是等邊三角形.：.ZCPF=ZCFP=60°.：?ZBFC=ZDPC=120°..△BFC^ADPC.:.BF=PD=2PE.：?PB=PF+BF=PC+2PE.12.因為,△ABDABCE都是等邊三角形AB=BDBE=BC/ABD+/DBE=/EBC+/DBE所以/ABE=/DBC所以△ABE全等△DBC所以AE=CD(2)等邊三角形13.證明：?「△ABC是等邊三角形，???ZBAC=ZB=60°AB=AC又「AE=BD,:.△AEC竺△BDA?AD=CE(2)解由(1)△AEC^ASDA,得ZACE=ZBADAZDFC=ZFAC+ZACE=60°14.(1)證明：?.?CO=CD,ZOCD=60°,???ACOD是等邊三角形；解：當?=150°時，△AOD是直角三角形.(5分)理由如下：由題意可得厶BOC^AADC,AZADC=ZBOC=150°.又、：ACOD為等邊三角形，??.ZODC=60°,??.ZADO=90。.即厶AOD是直角三角形；解：①要使AO=AD，需ZAOD=ZADO.?:ZAOD=190°-?,ZADO=?-60°,A190°-?=?—60°,?a=125。.②要使OA=OD,需ZOAD=ZADO.?:ZOAD=180°-(ZAOD+ZADO)=180°-(190。一a+a—60°)=50°,???a—60°=50°.Aa=110°；③要使OD=AD,需ZOAD=ZAOD,.??190。一a=50°,???a=140°.綜上所述，當a的度數(shù)為125°或110°或140°時，△AOD是等腰三角形.、直角三角形1.解：(1)：CD丄AB,.??ZCDB=ZCDA=90°,9在RtABCD中，BC=3,DB=5,12根據(jù)勾股定理得：CD=丁,12在RtAACD中，AC=4,CD=g,根據(jù)勾股定理得：AD=16(2)△ABC為直角三角形，理由為：?.?AB=BD+AD=5,.°.AC2+BC2=AB2,???△ABC為直角三角形.2.作A點關于河岸的對稱點A',連接BA'交河岸與P,連接AB,則BB'=2+3=5,則PB+PA=PB+PA'=BA，最短，故將軍應將馬趕到河邊的P地點.作FB'=EA'，且FB，丄CD,?:FB』EA',FB丄CD,BB〃AA???四邊形A'BBA是矩形，?B'A'=EF,在RtABB'A中,BA'=13,答：將軍最短需要走13公里3.(1)14cm(2)35°由折疊知：AE=AC=9,DE丄AB,設CD=DE=X,則BD=12-X,?:AB2=81+144=225,?AB=15.?.BE=15-9=6,?(12-x)2二x2+36x=4.5,即CD=4.5cm4.證明：(1)TAB=AC,AD±BC,ttZeacZBAD=ZCAD=-TAM平分ZEAC,^zEam=zmac=^2eac.:.ZMAD=ZMAC+ZDAC=90°.TAD丄BC:.ZADC=90°:.ZMAD+ZADC=180°:AMIIBC.(2)△ADN是等腰直角三角形,理由是：TAM〃AD,：ZAND=ZNDC,TDN平分ZADC,：?ZADN=ZNDC=ZAND.：?AD=AN,???△ADN是等腰直角三角形.5.參考小萍的做法得到四邊形AEGF,ZEAF=60°,ZEGF=120°,ZAEG=ZAFG=90°,AE=AF=AD=4.連結EF,可得△AEF為等邊三角形.：EF=4.：.ZFEG=ZEFG=30°.?：EG=FG.4&在厶EFG中，可求，EG=3'：3.8△EFG的周長=BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG=36.(1)要使，△PBQ是等邊三角形，即可得：PB=BQ,???在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30。，BC=18cm..°.AB=36cm,可得：PB=36-2t，BQ=t，即36-2t=t，解得：t=12故答案為；1272(2)當t為9或$時，△PBQ是直角三角形,理由如下：VZC=90°，ZA=30°，BC=18cmAB=2BC=18x2=36(cm)T動點P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出發(fā):.BP=AB-AP=36-2t，BQ=t???△PBQ是直角三角形：?BP=2BQ或BQ=2BP當BP=2BQ時，36-2t=2t解得t=9當BQ=2BP時,t=2(36-2t)72解得t=y72所以，當t為9或g時，△PBQ是直角三角形.*/ZBAC=ZEAD=9Oo7.(1)、圖2中的全等三角形是_△*/ZBAC=ZEAD=9Oo:.ZBAC+ZCAE=ZEAD+ZCAE:.ZBAE=ZCAD?'.△ACD^^ABE(SAS)⑵線段DC和線段BE的關系是：—垂直—且—相等證明：由(1)知：△ACD竺AABE?DC=BE,ZACD=ZB??ZBAC=90o?\ZB+ZACB=9Oo?\ZACD+ZACB=9Oo即.\ZBCD=9Oo:.BE丄CD???線段DC和線段BE的關系是：垂直且相等8.證明:⑴TAABC和厶ECD都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90°,?AC=BC,CD=CE,?/ZACB=ZDCE=90°,ZACE+ZACD=ZBCD+ZACD,ZACE=ZBCD,?△ACE^ASCD(SAS).⑵J△ACB是等腰直角三角形,/.ZB=ZBAC=45°.*/△ACE竺MCD,/.ZB=ZCAE=45°./.ZDAE=ZCAE+ZBAC=45°+45°=90°,?°?AD2+AE2=DE2.由⑴知AE=DB,?°?AD2+DB2=DE2,又DE2=2CD2,?°?2CD2=AD2+DB2.9.(1)證明：TAE丄AD,AZDAE=ZDAC+Z2=90°,又TZBAC=ZDAC+Z1=90°,AZ1=Z2,:.△ABD^^ACE.(2)解：結論：BD2+FC2=DF2.理由如下:連接FE,VZBAC=90°,AB=AC,AZB=Z3=45°由(1)知厶ABD竺AACEAZ4=ZB=45°,BD=CEAZECF=Z3+Z4=90°,:.CE2+CF2=EF2,BD2+FC2=EF2,TAF平分ZDAE,:.ZDAF=ZEAF,:△DAF9\EAF4..x4..x=3:?DF=EFBD2+FC2=DF2.(3)解：過點A作AG丄BC于G,由(2)知DF2=BD2+FC2=32+42=25:?DF=5,.??BC=BD+DF+FC=3+5+4=12,VAB=AC,AG丄BC,1.??BG=AG=mBC=6,2:?DG=BG-BD=6-3=3,???在RtAADG中，AD=3、呂.SDGFC10.由折疊可知AD=AF=5cm,DE=EFVZB=90°AAB2+BF2=AF2,*.*AB=3cm,AF=5cm.??BF=4cm,TBC=5cm,?FC=1cmTZC=90°,EC2+FC2=EF2設EC=x，貝yDE=EF=3—x.°.(3—X)2=12+x211.證明：（1）連接BE,DE?.?ZABC=ZADC=90°，點E是AC的中點,11BE=—AC,DE=—AC22:.BE=DE???點F是BD的中點，BE=DE：?EF丄BD1(2)TBE=—AC2：?BE=5???點F是BD的中點:BF=DF=3在RtABEF中，EF=h=4解：設旗桿的高為x米，則繩子長為x+1米,由勾股定理得，（X+1）2=X2+52，解得，x=12米.答：旗桿的高度是12米.（1）VAD平分ZCAB,DE丄AB，ZC=90°，：CD=DE.?/CD=3，?：DE=3.(2)在RtAABC中，ZC=90。，AC=6，BC=8,由勾股定理，得ab=io.:.△ADB的面積為S=2AB?DE=2"0x3=15.14.解：（1）根據(jù)勾股定理：所以梯子距離地面的高度為：AO=12（米）；答：這個梯子的頂端距地面有12米