數(shù)學初高中知識銜接

自主學習·初高銜接數(shù)學·第24頁初高中銜接數(shù)學自主學習材料專題學案一、數(shù)與式的運算新課導學：一、乘法公式1．計算2．思考：用簡便的方法計算3．觀察得出兩個乘法公式：立方和與立方差公式，并把它寫出來.例1．（1）（2）（3）（4）例2．已知，求的值.例3．因式分解（1）（2）二、根式（1）根式中的取值范圍是；根式中的取值范圍是（2）性質(zhì)：，；，例1．（1）求使有意義的實數(shù)的取值范圍.（2）若，求的取值范圍.例2．化簡下列各式（1）（2）（3）例3．比較大?。?）（2）三、絕對值1．代數(shù)意義：_______________________________2．幾何意義：_______________________________例1．（1）①若，則②若，則（2）已知，則應滿足________.例2．說出下列各式的幾何意義.（1）（2）（3）（4）（5）例3．利用絕對值的幾何意義，求滿足下列各式的的取值范圍.（1）（2）（3）小結(jié)：不等式的解集是，不等式的解集是例4．（1）利用絕對值的幾何意義，求滿足下列各式的的取值范圍.①②③（2）①若不等式恒成立，求的取值范圍.②若不等式恒成立，求的取值范圍.專題學案二、因式分解學習目標：學習掌握分解因式的幾種基本方法：提公因式法、分組分解法以及二次三項式的分解因式的十字相乘法.新課導學：一、提公因式法：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.例1．把下列各多項式分解因式（1）（2）二、分組分解法：通過仔細觀察，發(fā)現(xiàn)若干個項之間的關系，或有公因式，或可套公式，分組發(fā)展條件，以達到最終分解因式的目的.分組分解的關鍵是合理選擇分組方法.分組的原則有兩條：=1\*GB2⑴分組后至少有一組可分解因式；=2\*GB2⑵組與組之間還可以分解因式.例1．把下列各多項式分解因式（1）（2）三、十字相乘法：一般二次三項式型的因式分解由我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解．例1．用十字相乘法分解因式：（1）（2）解：（1）如圖，將二次項分解成圖中的兩個的，再將常數(shù)項分解成與的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為，就是中的一次項，所以，有說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖中的兩個用來表示（如圖所示）．（2）由圖，得例2．用十字相乘法將下列二次三項式進行分解因式：（1）（2）例3．用十字相乘法將下列二次三項式進行分解因式：（2）自我測評1．多項式分解因式時應提取的公因式為（）A．B．C．D．2．下列各題中分解因式錯誤的是（）A．B．C．D．3．下列變形中是因式分解的是（）A．B．C．D．4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．B．C．D．5．用分組分解法分解多項式時，正確的分組方法是（）A．B．C．D．6．用適當方法分解因式分解因式：（1）（2）（3）（4）（5） （6）（7）（8）專題學案三、方程與方程組學習目標：1．掌握一元一次方程與一元二次方程的解法；2．掌握二元一次方程組與二元二次方程組的解法.新課導學：一、解方程例1．解一元一次方程：例2．解一元二次方程：（1）（2）（3）二、解方程組例1．解二元一次方程組解：（法一）代入消元法：（法二）加減消元法：例2．解二元二次方程組：解：由得：將代入得：，解得：把代入得：；把代入得：．∴原方程組的解是：．例3．解二元二次方程組：例4．解二元二次方程組：專題學案四、一元二次方程的根與系數(shù)的關系學習目標：1．掌握一元二次方程的根的判別式與韋達定理；2．能運用一元二次方程的根的判別式與韋達定理解決相關問題.新課導學：一、一元二次方程的根的判別式一元二次方程，用配方法將其變形為：，由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：對于一元二次方程，有[1]當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：；[2]當時，方程有兩個相等的實數(shù)根：；[3]當時，方程沒有實數(shù)根．例1．判定下列關于的方程的根的情況，若有根請求出.（1）（2）（3）例2．已知關于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： （1）方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）方程有兩個相等的實數(shù)根 （3）方程有實數(shù)根； （4）方程無實數(shù)根．嘗試歸納：一元二次方程的根的判別式主要解決問題.二、一元二次方程的根與系數(shù)的關系若一元二次方程有兩個實數(shù)根，，則有，.所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關系：定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么：說明：一元二次方程根與系數(shù)的關系由十六世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為“韋達定理”．上述定理成立的前提是．例1．設下列方程的兩根分別為、，求出的值.（1）（2）（3）例2．已知方程的一個根是，求它的另一個根及的值．例3．若是方程的兩個根，試求下列各式的值：（1）；（2）； （3）； （4）．嘗試歸納：一元二次方程的根與系數(shù)的關系主要解決問題.自我測評1．下列方程中，有兩個相等的實數(shù)根的是（）A．B．C．D．2．關于的方程中，如果，那么根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根D．不能確定3．若是方程的兩個根，則的值為（）A． B． C． D．4．設是方程的兩根，則的值是（）A．B．C．D．5．以方程的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是（）A．B．C．D．6．若方程的兩根為，用韋達定理計算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.7．自己編一道一元二次方程根與系數(shù)關系的題目，并說說編題意圖及解題思路.總結(jié)與反思1．根據(jù)什么判斷一元二次方程的根的個數(shù)問題？如何判斷？2．你認為一元二次方程的根與系數(shù)的關系有哪些應用？應用中主要體現(xiàn)了哪種數(shù)學思想？專題學案五、平面直角坐標系、正比例函數(shù)及反比例函數(shù)學習目標：1．進一步熟悉平面直角坐標系在數(shù)學中的應用2．正比例函數(shù)及反比例函數(shù)的簡單應用新課導學：一、平面直角坐標系組成平面直角坐標系.叫做軸或橫軸，叫做軸或縱軸，軸與軸統(tǒng)稱坐標軸，他們的公共原點稱為直角坐標系的原點.例1．已知點，寫出點分別關于以下對稱點或?qū)ΨQ直線對稱的點的坐標，完成下列表格：對稱點或?qū)ΨQ直線方程對稱點的坐標軸軸原點點直線直線直線直線探究：軸對稱與中心對稱應如何區(qū)分？例2．已知、，根據(jù)下列條件，求出、點坐標．（1）、關于軸對稱；（2）、關于軸對稱；（3）、關于原點對稱.二、正比例函數(shù)及反比例函數(shù)1．一次函數(shù)：稱是的一次函數(shù)，記為：(是常數(shù)，)特別的，當時，稱是的正比例函數(shù).

2．正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)(是常數(shù)，)的圖象是的一條直線，當時，圖象過原點及第一、第三象限，隨的增大而；當時，圖象過原點及第二、第四象限，隨的增大而．3．一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)(是常數(shù)，)的圖象是過點且與直線平行的一條直線.設，則當時，隨的增大而；當時，隨的增大而．4．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)是雙曲線，當時，圖象在第一、第三象限，在每個象限中，隨的增大而；當時，圖象在第二、第四象限.，在每個象限中，隨的增大而．雙曲線是軸對稱圖形，對稱軸是直線與；又是中心對稱圖形，對稱中心是原點．例1．已知一次函數(shù)的圖象過第一、二、三象限且與、軸分別交于、兩點，為原點，若的面積為，求此一次函數(shù)的表達式.例2．如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象回答：當取何值時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值自我測評1．函數(shù)與在同一坐標系內(nèi)的圖象可以是（）2．如圖，平行四邊形中，在坐標原點，在第一象限角平分線上，又知，，求點的坐標．3．已知一次函數(shù)，試確定的取值范圍，分別使得（1）隨的增大而增大；（2）圖象與軸的交點在軸下方（3）函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限4．如圖，已知直線與雙曲線交于兩點，且點的橫坐標為．（1）求的值；（2）過原點的另一條直線交雙曲線于兩點（點在第一象限），若由點為頂點組成的四邊形面積為，求點的坐標．總結(jié)與反思你能根據(jù)自己的體驗歸結(jié)一下求解函數(shù)表達式的方法嗎？專題學案六、二次函數(shù)學習目標：1．掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2．會利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值新課導學：1．二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)問題1．函數(shù)與的圖象之間存在怎樣的關系？問題2．函數(shù)與的圖象之間存在怎樣的關系？從而，我們可得到研究二次函數(shù)（）的圖象的方法：由于所以，的圖象可以看作是將函數(shù)的圖象作左右平移、上下平移得到的.2.二次函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）當時，函數(shù)圖象開口方向；頂點坐標為，對稱軸為直線；當時，隨著的增大而；當時，隨著的的增大而；當時，函數(shù)取最小值．（2）當時，函數(shù)圖象開口方向；頂點坐標為，對稱軸為直線；當時，隨著的增大而；當時，隨著的增大而；當時，函數(shù)取最大值．上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過上圖直觀地表示出來．因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題．3．二次函數(shù)的三種表示方式①一般式：②頂點式：③交點式：例1．求二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當取何值時，隨的增大而增大（或減小）？并畫出該函數(shù)的圖象.例2．根據(jù)下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關系式．（1）已知某二次函數(shù)的最大值為，圖像的頂點在直線上，并且圖象經(jīng)過點.（2）已知二次函數(shù)的圖象過點，，且頂點到軸的距離等于.（3）已知二次函數(shù)的圖象過點，，．例3．已知函數(shù)，分別在下列條件下求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出此時所對應的自變量的值（1）（2）其中自我測評1．函數(shù)的最值情況是（）A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最大值2．函數(shù)中，當時，則值的取值范圍是（）A．B．C．D．3．根據(jù)下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關系式．（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，（2）已知拋物線的頂點為，且與軸交于點（3）已知拋物線與軸交于點，，且與軸交于點4．如圖，某農(nóng)民要用m的竹籬笆在墻邊圍出一塊一面為墻、另三面為籬笆的矩形地供他圈養(yǎng)小雞．已知墻的長度為m，問怎樣圍才能使得該矩形面積最大？5．已知二次函數(shù)（1）寫出圖像的開口方向、對稱軸、頂點坐標；（2）取何值時，圖像與軸有兩個交點；（3）取何值時，頂點在軸上方？（4）如果圖像與軸的一個交點為，求的值及另一個交點坐標.6．為何值時恒成立？總結(jié)與反思1．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關系式，如何選擇方程的形式？2．如何利用二次函數(shù)的圖像解決給定范圍上的最值問題？專題學案七、不等式學習目標：1．掌握一元二次不等式的解法；2．掌握簡單的分式不等式和高次不等式的解法；新課導學：一、解一元二次不等式1．在平面直角坐標系中，哪些位置的點對應的縱坐標，哪些點對應的縱坐標，哪些點對應的縱坐標？你知道一元一次不等式的解法來源嗎？2．對二次函數(shù)，當為何值時，？如何由其圖像得到答案？當為何值時，？你能找出對應的所有的范圍嗎？當為何值時，？你能找出對應的所有的范圍嗎？類似的方程，我們稱之一元二次方程.那么，聰明的你，什么叫做一元二次不等式？它的一般形式是_______________________.認識幾個概念：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集.③求不等式解集的過程叫做解不等式.在2中，我們其實已經(jīng)求解了一個方程：和兩個一元二次不等式：、.你可以嘗試類比求解以下一元二次不等式嗎？例1．解不等式.思考：若一元二次方程有兩個不等實根，且，那么對于一元二次不等式，的取值范圍是____________;對于一元二次不等式，的取值范圍是____________.例2．解不等式.思考：若一元二次方程有兩個不等實根，且，那么對于一元二次不等式，的取值范圍是____________;對于一元二次不等式，的取值范圍是____________.例3．解不等式.例4．解不等式.嘗試歸納：由以上例題的解答，你能體會到一元二次方程的根與對應一元二次不等式解集的關系嗎？試請完成下表：，二次函數(shù)()的圖象一元二次方程()的根一元二次不等式的解集()的解集()的解集聰明的你，能夠想到在的條件下，怎么解一元二次不等式嗎？小結(jié)：1．你能歸結(jié)出解一元二次不等式的一般步驟嗎？2．你能將自己對于二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式的關系的理解寫下來嗎？二、解簡單的分式不等式例1．解不等式：.（提示：或反映、符號相同或相反，其實除了利用他們商的正負來體現(xiàn)，還可以利用他們積的正負來體現(xiàn).聰明的你，可以做一下轉(zhuǎn)化嗎？）變式1．解不等式：.變式2．解不等式：.（思考：與轉(zhuǎn)化后的是否是等價的？為什么？）變式3．解不等式：.嘗試歸納1．解分式不等式的步驟：2．分式不等式轉(zhuǎn)化的方向，如：三、解簡單的高次不等式例1．解不等式：；例2．；例3．解不等式：.自我測評1．解不等式：（1）（2）（3）（4）2．是什么實數(shù)時，有意義？3．解不等式：（1）（2）（3）4．解不等式：（1）（2）（3）5．已知解一元二次不等式所求結(jié)果是，請問、、應滿足什么樣的關系？總結(jié)與反思1．嘗試總結(jié)一元二次不等式、簡單的分式不等式、簡單的高次不等式的解答步驟；2．嘗試總結(jié)解分式不等式時代數(shù)式的各種轉(zhuǎn)化方向及易錯點；3．對比一元二次不等式及簡單的高次不等式的解答過程，分析其中的共同點；4．聰明的你對于函數(shù)與對應不等式的關系有何看法，請嘗試歸結(jié).專題學案八、學法指導學習目標：1．了解初高中數(shù)學的不同特點，高中階段數(shù)學學習目標和基本能力要求；2．了解高中數(shù)學學習基本方法，激發(fā)學生學習數(shù)學興趣，鼓勵學生學好數(shù)學；3．強調(diào)布置有關數(shù)學學習要求和安排.新課導學：同學們可能聽說過一句話，數(shù)學是思維的體操.沒錯！數(shù)學是最能體現(xiàn)一個人的思維能力，判斷能力、反應敏捷能力和聰明程度的學科.學習數(shù)學的過程，就是訓練思維、鍛煉頭腦的過程.數(shù)學是易學的，因為數(shù)學是清楚的，是有規(guī)則的，只要我們在剛?cè)雽W的時候，不要有“松口氣”的想法，再加上恰當?shù)膶W習方法，循序漸進地學，一定可以學好.其次，數(shù)學又是難學的，如果學習方法不當，不按規(guī)則去學、去想，猶如沒有學好加法就學乘法，那就會處處碰壁，這絕不是危言聳聽！一、初中數(shù)學與高中數(shù)學有何不同？1、知識內(nèi)容在整體數(shù)量上劇增：高中數(shù)學從內(nèi)容上整體數(shù)量較初中劇增，教材包括必修1-5共五本書，還有選修文科兩本、理科三本，總共7-8本書.高中數(shù)學比初中數(shù)學的知識內(nèi)容的“量”上急劇增加了，單以《函數(shù)》為例：初中數(shù)學與函數(shù)有關知識點約30個，而高中與函數(shù)有關的知識點增為82個.單位時間內(nèi)接受知識信息的量與初中相比增加了許多，輔助練習、消化的課時相應地減少了.這也使很多學習被動的、依賴心理重的高一新生感到不適應.2、數(shù)學語言在抽象程度上突變：高中的數(shù)學語言與初中有著顯著的區(qū)別.初中的數(shù)學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達，知識淺、容易理解.而高中數(shù)學知識很多知識在語言表述上非常抽象，讓人難以理解.如：高一數(shù)學最先學習的就是集合與函數(shù)，這一章涉及到的數(shù)學概念和符號特別多，而且都很抽象，體現(xiàn)了高中數(shù)學“起點高、難度大、容量多”的特點.3、思維方法向理性層次躍遷：高一學生產(chǎn)生數(shù)學學習障礙的另一個原因是高中數(shù)學思維方法與初中階段大不相同.初中階段，很多老師為學生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如：解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么等.因此，初中學習中習慣于這種機械的，便于操作的定勢方式.而高中數(shù)學對分析問題、解決問題的能力，對思維的靈活性、嚴密性、發(fā)散性都提出了很高要求.4、對學生自主學習的能力要求大大提高：初中數(shù)學內(nèi)容少，知識難度不大，教學要求較低，課時充足，對于某些重點、難點，教師可以有充裕的時間反復講解、多次演練.但是進入高中后，數(shù)學教材內(nèi)涵豐富，要求不斷提高，但課時卻減少了，教師不可能在課堂上訓練和講解所有的題型和方法.高中數(shù)學是以學生自主學習為主的，只有比較難的概念和方法才會通過小組討論，課堂探究、教師講解等方式加以解決.誰先適應這種學習模式，誰就會跑在最前面！所以學生要有很強的獨立自主學習能力，要勤于思考，善于總結(jié)，注重數(shù)學思想方法的提煉，爭取做到舉一反三，觸類旁通.俗話說得好：知彼知己，百戰(zhàn)不殆.我們對初高中的差異清楚了，這就要求我們：不能停留在初中階段的學習狀態(tài)和學習方法，不能讓老師牽著走，變“要我學”為“我要學”.二、如何學好高中數(shù)學？高中學生僅僅想學是不夠的，還必須“會學”，那么，怎樣才能學好數(shù)學呢？我認為：1、態(tài)度決定一切，從高一開始就不可懈怠.根據(jù)經(jīng)驗，高考的成與敗很大程度上取決于數(shù)學成績的高與低，在高考中數(shù)學滿分150.高中三年數(shù)學學習的基礎是高一，而高一的關鍵在‘一上’”.高一我們將學習函數(shù)相關知識，函數(shù)是高中數(shù)學的重點，也是高考的重點，可見高一的學習是多么重要！據(jù)我了解還有很多同學仍然沉浸在初中的美好回憶中.他們在初一、二時學習不用功，只是在初三臨考時才發(fā)奮了幾個月就輕而易舉地考上了比較好的高中，而且可能進了重點班，因而就認為高中也差不多，高一、高二不必那么用功，等到高三臨考時再發(fā)奮幾個月，也一樣會考上一所理想的大學.存有這種思想的學生，你是大錯特錯了！那些心存僥幸，想先放松一下，到高三再努力的同學，基本上屬于被秒殺的對象，一般過不多久，對于他們來說，數(shù)學課就成了聽天書了！到高三又如何補得起來？到那時就后悔莫及了。2、培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣.兩千多年前孔子說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者.”興趣是最好的老師，有興趣才會形成學習的主動性和積極性.那么如何培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣呢？方法有很多，比如：（1）主動和數(shù)學老師交朋友.之所以把這條放在第一條，因為它確實對數(shù)學學習興趣的培養(yǎng)具有舉足輕重的作用.我們知道感情是具有傳遞性的，如果離老師的距離近了、那么離數(shù)學也就不遠了.要想跟老師成為朋友，其實很簡單，只要課堂上經(jīng)常發(fā)言，經(jīng)常往老師的辦公室跑，自然就成為朋友了.（2）做好課前預習，不懂的地方就會有疑問，就有了想知道的好奇心，這樣帶著問題和好奇心進入課堂，學習的效果肯定是一級棒的?。?）課堂上把老師和同學的每一次發(fā)言、每一次真情流露，乃至每一次舉手投足都看作是藝術(shù)表演，看得多了，或許會產(chǎn)生自己也要發(fā)言的沖動?。?）積極參與小組討論和課堂探究，在與同學、老師的討論與爭辯中汲取營養(yǎng).把老師對你的每一次肯定、表揚或者批評，都變?yōu)楸薏咦约簩W習的動力.（5）積極挑戰(zhàn)難題，體會解決疑難問題時的成就感，熱心幫助同學，體會在學習上幫助同學時的幸福感.3、養(yǎng)成良好的學習習慣.養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，主要注意以下幾個環(huán)節(jié)（1）預習環(huán)節(jié)課前預習能提高聽課的針對性.高中數(shù)學與初中數(shù)學一個明顯的不同是知識內(nèi)容的“量”上急劇增加了，容量加大了，進度很快，經(jīng)常是一個知識點剛學得有點入門，馬上又有新的知識出現(xiàn).因此，預習十分重要.應該在老師講課之前通過自學，對有關知識做到心中有數(shù)，完成課后的相關練習.在預習過程中不理解的地方做個記號，這樣聽課效率就會高很多，等于對知識的二重加深.（2）課堂環(huán)節(jié)學生的學習主要在課堂，要學好數(shù)學，提高數(shù)學能力，關鍵在于提高課堂學習效率：老師上課一般都會講清知識的來龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點難點，突出數(shù)學思想與方法.這些是課堂學習的關鍵，要全神貫注，做到耳到、眼到、心到、口到、手到，這樣才不至于一知半解.有些學生上課時不夠?qū)Ｐ?，常常走神，跟不上課堂節(jié)奏，等大家探究和討論完畢，達成共識，得到結(jié)論了，他才回過神！對于這部分內(nèi)容，他頂多也就“知其然而不知其所以然”，這樣的知識是很短命的，過不了多久就會忘記，更要命的是，如果沒有真正理解，根本就不可能靈活運用，遇到稍靈活一點的題目就犯難了！課堂上還有一點很重要，就是作好筆記.記筆記是學習過程中的重要環(huán)節(jié)，它對提高學習效率和學習效果有不可低估的作用.俗話說“好記性不如爛筆頭”.在聽課的同時把本節(jié)課的重點、難點、典型的例題與教師在課堂中拓展的課外知識及習題記錄下來，以備課后復習時用.但有些同學上課埋頭苦抄，光記不聽，有些同學則只聽不記，這兩種都是極端的錯識方法.（3）復習環(huán)節(jié)及時復習，強化對基本概念知識體系的理解與記憶，進行適當?shù)姆磸挽柟?課下首先要做的不是做作業(yè)