高考數(shù)學(xué)第七章空間向量的應(yīng)用(第2課時)利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)課件

第2課時利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)第2課時利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)考點(diǎn)一用空間向量求異面直線所成的角【例1】(1)(一題多解)(2017·全國Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(

)考點(diǎn)一用空間向量求異面直線所成的角【例1】(1)(一題多解析(1)法一

以B為原點(diǎn)，建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系.圖(1)解析(1)法一以B為原點(diǎn)，建立如圖(1)所示的空間直角坐則B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).則B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).法二

將直三棱柱ABC－A1B1C1補(bǔ)形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖(2))，連接AD1，B1D1，則AD1∥BC1.圖(2)法二將直三棱柱ABC－A1B1C1補(bǔ)形成直四棱柱ABCD－高考數(shù)學(xué)第七章空間向量的應(yīng)用(第2課時)利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)課件法二如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OP，OA，因?yàn)椤鰽BC和△PBC均為等邊三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.法二如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OP，OA，因?yàn)椤鰽BC和△法三如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接OP，OA，因?yàn)椤鰽BC和△PBC是全等的等邊三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角的平面角，答案(1)C

(2)A法三如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接OP，OA，答案(1)高考數(shù)學(xué)第七章空間向量的應(yīng)用(第2課時)利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)課件高考數(shù)學(xué)第七章空間向量的應(yīng)用(第2課時)利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)課件解析法一如圖，在原三棱柱的上方，再放一個完全一樣的三棱柱，連接AC1，CB1，C1B′，易得MN∥AC1，EF∥CB1∥C1B′，那么∠AC1B′或∠AC1B′的補(bǔ)角即直線MN與EF所成的角.解析法一如圖，在原三棱柱的上方，再放一個完全一樣的三棱柱法二如圖，連接AC1，C1B，CB1，設(shè)C1B，CB1交于點(diǎn)O，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，OD，則MN∥AC1∥OD，EF∥CB1，那么∠DOC或其補(bǔ)角即直線MN與EF所成的角.法二如圖，連接AC1，C1B，CB1，法三取AB的中點(diǎn)O，連接CO，則CO⊥AB，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，過點(diǎn)O且平行于CC1的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.答案C法三取AB的中點(diǎn)O，連接CO，則CO⊥AB，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)考點(diǎn)二用空間向量求線面角(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M－PA－C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.考點(diǎn)二用空間向量求線面角(1)證明：PO⊥平面ABC；所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC為等腰直角三角形，由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.所以AB2＋BC2＝AC2，由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥設(shè)平面PAM的法向量為n＝(x，y，z).設(shè)平面PAM的法向量為n＝(x，y，z).高考數(shù)學(xué)第七章空間向量的應(yīng)用(第2課時)利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)課件規(guī)律方法

利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角.規(guī)律方法利用向量法求線面角的方法：(1)求證：平面BDEF⊥平面ADE；(2)若ED＝BD，求直線AF與平面AEC所成角的正弦值.(1)求證：平面BDEF⊥平面ADE；從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，因?yàn)镈E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以DE⊥BD.又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.因?yàn)锽D?平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，因?yàn)镈E⊥平面AB所以可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，DE所在直線分別為x軸，設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，考點(diǎn)三用空間向量求二面角【例3】

(2019·北京海淀區(qū)模擬)如圖1，在高為6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如圖2，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上(不同于A，B兩點(diǎn))，連接OE并延長至點(diǎn)Q，使AQ∥OB.考點(diǎn)三用空間向量求二面角(1)(一題多解)證明：OD⊥平面PAQ；(2)若BE＝2AE，求二面角C－BQ－A的余弦值.(1)證明法一取OO1的中點(diǎn)F，連接AF，PF，如圖所示.∵P為BC的中點(diǎn)，∴PF∥OB，∵AQ∥OB，∴PF∥AQ，∴P，F(xiàn)，A，Q四點(diǎn)共面.由題圖1可知OB⊥OO1，∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O＝OO1，OB?平面BCO1O，∴OB⊥平面ADO1O，∴PF⊥平面ADO1O，(1)(一題多解)證明：OD⊥平面PAQ；(1)證明法一又OD?平面ADO1O，∴PF⊥OD.由題意知，AO＝OO1，OF＝O1D，∠AOF＝∠OO1D，∴△AOF≌△OO1D，∴∠FAO＝∠DOO1，∴∠FAO＋∠AOD＝∠DOO1＋∠AOD＝90°，∴AF⊥OD.∵AF∩PF＝F，且AF?平面PAQ，PF?平面PAQ，∴OD⊥平面PAQ.又OD?平面ADO1O，∴PF⊥OD.法二由題設(shè)知OA，OB，OO1兩兩垂直，∴以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AQ的長為m，則O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0).∴OD⊥平面PAQ.法二由題設(shè)知OA，OB，OO1兩兩垂直，∴以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)平面CBQ的法向量為n1＝(x，y，z)，令z＝1，則y＝2，x＝1，n1＝(1，2，1).易得平面ABQ的一個法向量為n2＝(0，0，1).設(shè)二面角C－BQ－A的大小為θ，由圖可知，θ為銳角，設(shè)平面CBQ的法向量為n1＝(x，y，z)，令z＝1，則y＝規(guī)律方法

利用空間向量計算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.規(guī)律方法利用空間向量計算二面角大小的常用方法：【訓(xùn)練3】

(2018·安徽六校第二次聯(lián)考)如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝BC＝CC1＝2CD，E為線段AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段DD1上的動點(diǎn).(1)求證：EF∥平面BCC1B1；(2)(一題多解)若∠BCD＝∠C1CD＝60°，且平面D1C1CD⊥平面ABCD，求平面BCC1B1與平面DC1B1所成角(銳角)的余弦值.【訓(xùn)練3】(2018·安徽六校第二次聯(lián)考)如圖，在四棱柱A(1)證明如圖(1)，連接DE，D1E.∵AB∥CD，AB＝2CD，E是AB的中點(diǎn)，∴BE∥CD，BE＝CD，∴四邊形BCDE是平行四邊形，∴DE∥BC.又DE?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，∴DE∥平面BCC1B1.圖(1)∵DD1∥CC1，DD1?平面BCC1B1，CC1?平面BCC1B1，∴D1D∥平面BCC1B1.又D1D∩DE＝D，∴平面DED1∥平面BCC1B1.∵EF?平面DED1，∴EF∥平面BCC1B1.(1)證明如圖(1)，連接DE，D1E.圖(1)∵DD1∥(2)解如圖(1)，連接BD.設(shè)CD＝1，則AB＝BC＝CC1＝2.∴CD2＋BD2＝BC2，∴BD⊥CD.同理可得，C1D⊥CD.法一∵平面D1C1CD⊥平面ABCD，平面D1C1CD∩平面ABCD＝CD，C1D?平面D1C1CD，∴C1D⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴C1D⊥BC，∴C1D⊥B1C1.在平面ABCD中，過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，連接C1H，如圖(1).(2)解如圖(1)，連接BD.∴CD2＋BD2＝BC2，∴∵C1D∩DH＝D，∴BC⊥平面C1DH.∵C1H?平面C1DH，∴BC⊥C1H，∴B1C1⊥C1H，∴∠DC1H為平面BCC1B1與平面DC1B1所成的角.∵C1D∩DH＝D，∴BC⊥平面C1DH.圖(2)設(shè)平面BCC1B1的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，取z1＝1，則y1＝，x1＝1，圖(2)設(shè)平面BCC1B1的法向量為n1＝(x1，y1，z1設(shè)平面DC1B1的法向量為n2＝(x2，y2，z2).設(shè)平面BCC1B1與平面DC1B1所成的銳二面角的大小為θ，設(shè)平面DC1B1的法向量為n2＝(x2，y2，z2).設(shè)平面考點(diǎn)四用空間向量求空間距離(供選用)解設(shè)CD的中點(diǎn)為E，連接ME，BE，因?yàn)椤鱉CD是正三角形，所以ME⊥CD.又因?yàn)槠矫鍹CD⊥平面BCD，ME?平面MCD.平面MCD∩平面BCD＝CD.所以ME⊥平面BCD.因?yàn)椤鰾CD是正三角形，所以BE⊥CD，考點(diǎn)四用空間向量求空間距離(供選用)解設(shè)CD的中點(diǎn)為E，高考數(shù)學(xué)第七章空間向量的應(yīng)用(第2課時)利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)課件高考數(shù)學(xué)第七章空間向量的應(yīng)用(第2課時)利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)課件【訓(xùn)練4】

正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，AD，B1C1，D1C1的中點(diǎn)，則平面EFD1B1和平面GHDB的距離是________.解析因?yàn)槠矫鍱FD1B1∥平面GHDB，EF∥平面GHDB，所以平面EFD1B1和平面GHDB的距離，就是EF到平面GHDB的距離，也就是點(diǎn)F到平面GHDB的距離.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，【訓(xùn)練4】正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，設(shè)平面GHDB的法向量為n＝(x，y，z)，不妨設(shè)y＝－2，則n＝(2，－2，1)，設(shè)平面GHDB的法向量為n＝(x，y，z)，不妨設(shè)y＝－2，[思維升華]1.利用空間向量求空間角，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定和計算程序化、簡單化.主要是建系、設(shè)點(diǎn)、計算向量的坐標(biāo)、利用數(shù)量積的夾角公式計算.2.利用法向量求距離問題的程序思想方法

第一步，確定法向量；

第二步，選擇參考向量；

第三步，確定參考向量到法向量的投影向量；

第四步，求投影向量的長度.[思維升華][易錯防范]1.異面直線所成的角與其方向向量的夾角：當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；否則向量夾角的補(bǔ)角是異面直線所成的角.2.利用向量法求二面角大小的注意點(diǎn) (1)建立空間直角坐標(biāo)系時，若垂直關(guān)系不明確，應(yīng)先給出證明； (2)對于某些平面的法向量，要結(jié)合題目條件和圖形多觀察，判斷該法向量是否已經(jīng)隱含著，不用再求. (3)注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結(jié)合圖形進(jìn)行，以防結(jié)論失誤.[易錯防范]第2課時利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)第2課時利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)考點(diǎn)一用空間向量求異面直線所成的角【例1】(1)(一題多解)(2017·全國Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(

)考點(diǎn)一用空間向量求異面直線所成的角【例1】(1)(一題多解析(1)法一

以B為原點(diǎn)，建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系.圖(1)解析(1)法一以B為原點(diǎn)，建立如圖(1)所示的空間直角坐則B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).則B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).法二

將直三棱柱ABC－A1B1C1補(bǔ)形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖(2))，連接AD1，B1D1，則AD1∥BC1.圖(2)法二將直三棱柱ABC－A1B1C1補(bǔ)形成直四棱柱ABCD－高考數(shù)學(xué)第七章空間向量的應(yīng)用(第2課時)利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)課件法二如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OP，OA，因?yàn)椤鰽BC和△PBC均為等邊三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.法二如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OP，OA，因?yàn)椤鰽BC和△法三如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接OP，OA，因?yàn)椤鰽BC和△PBC是全等的等邊三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角的平面角，答案(1)C

(2)A法三如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接OP，OA，答案(1)高考數(shù)學(xué)第七章空間向量的應(yīng)用(第2課時)利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)課件高考數(shù)學(xué)第七章空間向量的應(yīng)用(第2課時)利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)課件解析法一如圖，在原三棱柱的上方，再放一個完全一樣的三棱柱，連接AC1，CB1，C1B′，易得MN∥AC1，EF∥CB1∥C1B′，那么∠AC1B′或∠AC1B′的補(bǔ)角即直線MN與EF所成的角.解析法一如圖，在原三棱柱的上方，再放一個完全一樣的三棱柱法二如圖，連接AC1，C1B，CB1，設(shè)C1B，CB1交于點(diǎn)O，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，OD，則MN∥AC1∥OD，EF∥CB1，那么∠DOC或其補(bǔ)角即直線MN與EF所成的角.法二如圖，連接AC1，C1B，CB1，法三取AB的中點(diǎn)O，連接CO，則CO⊥AB，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，過點(diǎn)O且平行于CC1的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.答案C法三取AB的中點(diǎn)O，連接CO，則CO⊥AB，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)考點(diǎn)二用空間向量求線面角(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M－PA－C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.考點(diǎn)二用空間向量求線面角(1)證明：PO⊥平面ABC；所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC為等腰直角三角形，由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.所以AB2＋BC2＝AC2，由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥設(shè)平面PAM的法向量為n＝(x，y，z).設(shè)平面PAM的法向量為n＝(x，y，z).高考數(shù)學(xué)第七章空間向量的應(yīng)用(第2課時)利用空間向量求夾角和距離(距離供選用)課件規(guī)律方法

利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角.規(guī)律方法利用向量法求線面角的方法：(1)求證：平面BDEF⊥平面ADE；(2)若ED＝BD，求直線AF與平面AEC所成角的正弦值.(1)求證：平面BDEF⊥平面ADE；從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，因?yàn)镈E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以DE⊥BD.又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.因?yàn)锽D?平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，因?yàn)镈E⊥平面AB所以可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，DE所在直線分別為x軸，設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，考點(diǎn)三用空間向量求二面角【例3】

(2019·北京海淀區(qū)模擬)如圖1，在高為6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如圖2，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上(不同于A，B兩點(diǎn))，連接OE并延長至點(diǎn)Q，使AQ∥OB.考點(diǎn)三用空間向量求二面角(1)(一題多解)證明：OD⊥平面PAQ；(2)若BE＝2AE，求二面角C－BQ－A的余弦值.(1)證明法一取OO1的中點(diǎn)F，連接AF，PF，如圖所示.∵P為BC的中點(diǎn)，∴PF∥OB，∵AQ∥OB，∴PF∥AQ，∴P，F(xiàn)，A，Q四點(diǎn)共面.由題圖1可知OB⊥OO1，∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O＝OO1，OB?平面BCO1O，∴OB⊥平面ADO1O，∴PF⊥平面ADO1O，(1)(一題多解)證明：OD⊥平面PAQ；(1)證明法一又OD?平面ADO1O，∴PF⊥OD.由題意知，AO＝OO1，OF＝O1D，∠AOF＝∠OO1D，∴△AOF≌△OO1D，∴∠FAO＝∠DOO1，∴∠FAO＋∠AOD＝∠DOO1＋∠AOD＝90°，∴AF⊥OD.∵AF∩PF＝F，且AF?平面PAQ，PF?平面PAQ，∴OD⊥平面PAQ.又OD?平面ADO1O，∴PF⊥OD.法二由題設(shè)知OA，OB，OO1兩兩垂直，∴以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AQ的長為m，則O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0).∴OD⊥平面PAQ.法二由題設(shè)知OA，OB，OO1兩兩垂直，∴以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)平面CBQ的法向量為n1＝(x，y，z)，令z＝1，則y＝2，x＝1，n1＝(1，2，1).易得平面ABQ的一個法向量為n2＝(0，0，1).設(shè)二面角C－BQ－A的大小為θ，由圖可知，θ為銳角，設(shè)平面CBQ的法向量為n1＝(x，y，z)，令z＝1，則y＝規(guī)律方法

利用空間向量計算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.規(guī)律方法利用空間向量計算二面角大小的常用方法：【訓(xùn)練3】

(2018·安徽六校第二次聯(lián)考)如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝BC＝CC1＝2CD，E為線段AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段DD1上的動點(diǎn).(1)求證：EF∥平面BCC1B1；(2)(一題多解)若∠BCD＝∠C1CD＝60°，且平面D1C1CD⊥平面ABCD，求平面BCC1B1與平面DC1B1所成角(銳角)的余弦值.【訓(xùn)練3】(2018·安徽六校第二次聯(lián)考)如圖，在四棱柱A(1)證明如圖(1)，連接DE，D1E.∵AB∥CD，AB＝2CD，E是AB的中點(diǎn)，∴BE∥CD，BE＝CD，∴四邊形BCDE是平行四邊形，∴DE∥BC.又DE?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，∴DE∥平面BCC1B1.圖(1)∵DD1∥CC1，DD1?平面BCC1B1，CC1?平面BCC1B1，∴D1D∥平面BCC1B1.又D1D∩DE＝D，∴平面DED1∥平面BCC1B1.∵EF?平面DED1，∴EF∥平面BCC1B1.(1)證明如圖(1)，連接DE，D1E.圖(1)∵DD1∥(2)解如圖(1)，連接BD.設(shè)CD＝1，則AB＝BC＝CC1＝2.∴CD2＋BD2＝BC2，∴BD⊥CD.同理可得，C1D⊥CD.法一∵平面D1C1CD⊥平面ABCD，平面D1C1CD∩平面ABCD＝CD，C1D?平面D1C1CD，∴C1D⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴C1D⊥BC，∴C1D⊥B1C1.在平面ABCD中，過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，連接C1H，如圖(1).(2)解如圖(1)，連接BD.∴CD2＋BD2＝BC2，∴∵C1D∩DH＝D，∴BC⊥平面C1DH.∵C1H?平面C1DH，∴BC⊥C1H，∴B1C1⊥C1H，∴∠DC1H為平面BCC1B1與平面DC1B1所成的角.∵C1D∩DH＝D，∴BC⊥平面C1DH.圖(2)設(shè)平面BCC1B1的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，取z1＝1，則