多為隨機(jī)變量及其分布課件

第三章多維隨機(jī)變量及其分布§1二維隨機(jī)變量及其分布一、二維隨機(jī)變量定義定義1：設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，設(shè)和是定義在上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量叫作

二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。2022/12/291例如S={某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童}，對(duì)于S中每一個(gè)樣本點(diǎn)表示一個(gè)學(xué)齡前兒童，和分別表示這個(gè)這個(gè)兒童的身高和體重，則就是一個(gè)二維隨機(jī)變量。二、二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義定義2：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，稱二元函數(shù)

為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。2022/12/292三、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì)(1)（2）是或的單調(diào)不減函數(shù)，且對(duì)任意固定的，對(duì)任意固定的，，(3)關(guān)于(或)是右連續(xù)的；(4)2022/12/293通常也可用以下表格來表示和的聯(lián)合分布律這里的滿足，2022/12/295例1:設(shè)隨機(jī)變量X在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1~X中等可能地取一整數(shù)值，試求(X,Y)的分布律。例2：設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，且令，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布。已知離散型隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布律，則和的聯(lián)合分布函數(shù)為2022/12/296五、二維連續(xù)型隨機(jī)變量1、定義定義4：對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)函數(shù)使得則稱(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱函數(shù)為二維型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度（或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度）。2022/12/2972、聯(lián)合概率密度的性質(zhì)(1)(2)（3）設(shè)G是平面上的區(qū)域，點(diǎn)(X,Y)落在G內(nèi)的概率為(4)若在點(diǎn)連續(xù)，則有2022/12/2982022/12/2910(2)二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為其中為常數(shù)，且，則稱服從二維正態(tài)分布，記為2022/12/2912七、邊緣分布定義1：設(shè)是一個(gè)二維隨機(jī)變量，它的分布

函數(shù)為，通常我們可以分別將和看作是一維的隨機(jī)變量，并將一維隨機(jī)變量和所對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)分別稱為二維隨機(jī)變量關(guān)于X

和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。2022/12/29141、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量，它的分布律為則X和Y的分布函數(shù)為2022/12/2915X和Y的分布律為2022/12/2916定義2：記則稱和為(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。2022/12/2917補(bǔ)：設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，試求和的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。例1：一個(gè)整數(shù)N等可能地在十個(gè)值中取一個(gè)值，設(shè)

是能整除N的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，

是能整除N的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。試求和的聯(lián)合分布律，并求它們的邊緣分布律。2022/12/2918二維正態(tài)分布的邊緣概率密度為注意：在一般情況下，由關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布是

不能確定隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布的。2022/12/2920例2：設(shè)隨機(jī)變量X和Y具有聯(lián)合概率密度為求邊緣概率密度。2022/12/2921例3：設(shè)(X，Y)是二維離散隨機(jī)變量，已知關(guān)于X的邊緣分布律為且（1）求(X，Y)的分布律和關(guān)于Y的邊緣分布律；（2）求二維離散型隨機(jī)變量(X，Y)的分布律為

Y=1的條件下，X的條件分布律。2022/12/29232、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布2022/12/2924類似地可定義在的條件下Y的條件概率密度和條件分布函數(shù)注：這里意味著在的條件下，的概率，即

2022/12/2926例4：設(shè)數(shù)X在區(qū)間上隨機(jī)地取值，當(dāng)觀察到

時(shí)，數(shù)Y在區(qū)間上隨機(jī)地取值，求的概率密度。思考題:若改為數(shù)在區(qū)間上隨機(jī)地取值，又該如何？2022/12/2927例5：設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

求、和。2022/12/2928例6：袋中有2只白球，3只黑球，現(xiàn)進(jìn)行無放回地摸球，定義：求⑴(ξ,η)的聯(lián)合分布；⑵ξ,η的邊際分布；⑶ξ,η是否相互獨(dú)立。2022/12/2930二、二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性例如：人的身高和體重這兩個(gè)隨機(jī)變量不是獨(dú)立的，但身高與視力是獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量。注意：隨機(jī)變量的獨(dú)立性與隨機(jī)事件的獨(dú)立性的關(guān)系。定義4:設(shè)和分別是二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)，若對(duì)于所有都有則稱隨機(jī)變量X和Y是獨(dú)立的。2022/12/2931例1：已知的分布函數(shù)為

(1)求和的邊緣分布函數(shù)；(2)和是否是相互獨(dú)立的？2022/12/29321、離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性對(duì)于離散型隨機(jī)變量(X,Y)來說，X與Y相互獨(dú)立等價(jià)于對(duì)所有可能的取值()都有例2：設(shè)X，Y相互獨(dú)立，下表為(X,Y)的分布律及邊緣分布的部分?jǐn)?shù)值，又知，試將其余值填入表中：2022/12/2933思考題：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且同分布：求。2022/12/2934例3：設(shè)的聯(lián)合分布律為已知，求常數(shù)和。思考題：若將已知條件該為與獨(dú)立，又該怎樣？2022/12/29352、連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)來說，X與Y相互獨(dú)立等價(jià)于幾乎處處成立。對(duì)于二維正態(tài)分布（X，Y）來說，X和Y

相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)。2022/12/2936注意：在獨(dú)立的條件下，邊緣概率密度等于

條件概率密度。例4：設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為(1)求的邊緣概率密度函數(shù)，并判斷是否獨(dú)立；(2)求條件概率密度。2022/12/2937若的分布函數(shù)為，則關(guān)于的邊緣分布函數(shù)為三、維隨機(jī)變量的獨(dú)立性若對(duì)于所有的，有則稱是相互獨(dú)立的。2022/12/2938若對(duì)于所有的有則稱隨機(jī)矢量與是相互獨(dú)立的。定理1：設(shè)隨機(jī)矢量與相互獨(dú)立，則和相互獨(dú)立；若是連續(xù)函數(shù)，則和相互獨(dú)立。2022/12/2939§3兩維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、的分布1、連續(xù)的情況設(shè)的概率密度為，則的分布函數(shù)為2022/12/2940所以的概率密度為或當(dāng)和相互獨(dú)立時(shí)，可得2022/12/2941同時(shí)，若，且相互獨(dú)立，則當(dāng)和相互獨(dú)立且，則若服從二維正態(tài)分布，則服從正態(tài)分布;若服從二維正態(tài)分布，則都服從正態(tài)分布;若都服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，則服從正態(tài)分布。2022/12/2942若都服從(0-1)分布,且相互獨(dú)立,則2、離散的情況若相互獨(dú)立，且則的概率分布律為若且相互獨(dú)立，則。

若且相互獨(dú)立，則

2022/12/2943例1：設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和，求。例2：設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，，

，試求的概率密度函數(shù)。2022/12/2944二、和的分布設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)為和，則的分布函數(shù)為2022/12/2945的分布函數(shù)為和的分布函數(shù)為設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則2022/12/2946例3：設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，都服從相同的

的分布，其概率密度為其中參數(shù)