相似三角形及其綜合應(yīng)用

精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講學(xué)員編號 級：九年 課時數(shù)學(xué)員 輔導(dǎo)科目：數(shù) 學(xué)科教師：授類T相似三角形C（綜合應(yīng)用T（相似三角形授課日期時教學(xué)內(nèi)一、同步知識梳1、相似三角形的概角形2、相似三角形的判定定3、相似三角形的性4、幾個常見的基本圖 5、相似問題中的兩種解題思6a2bc型結(jié)論 （A112

12，則ABD∽CBAAB2BD題型1：相似三角形的性質(zhì)與判例1.如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形(陰影部分)與ABC相似的是 A 例2.已知，如圖邊長為2的等邊ABC，DE∥BC，SBCD:SABC1:4，則EC的長 A 12題型2：相似三角形與實際問例1： 長分別是0.5米和15米。已知 的身高為1.6米，那么他所住樓房的高度為 解析2：如圖，同學(xué)晚上由路燈AB處走到C處時，測得CD的長為1米，他繼續(xù)往前走3E處時，測得EF2米，已知的身高是1.5AAB等于()A.4.5 B.6 C.7.2 D.8A C 的身高為h，則

EF

2。題型3：相似三角形與

BF

321：如圖，在⊙OACBDE，AB6，AE8，ED4CD

DCE，所以ABAE，得CD 2：1O4的圓交xA，ByC，DP為ACCPxEPBOCF．若點F為OC的中點，那么PB的長 CP?CE的值

題型4：相似三角形與二次函1：A(2，1)OxB.CDO、C、D、B四點為頂點的四邊形為平D點的坐標(biāo)；P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.（1）ya(x2)21．拋物線過原點，0a(02)21．a(chǎn)1．y1(x2)21， 即y1x2x 如圖1，當(dāng)四邊形OCDB是平行四邊形時，CD∥OB 由1(x2)210x0x4 B(0) D點的橫坐標(biāo)為6．將x6代入y1(x2)21， 圖44D，使得四邊形ODCB是平行四邊形，D點的坐標(biāo)為(2，3．當(dāng)四邊形OCBDDAD點的坐標(biāo)為AOAB，∠AOB∠ABO．若△BOP與△AOB必須有∠POB∠BOA∠BPO．設(shè)OPA點，

圖 2由1x1x2xx0x6．P(6，3 22PPE22在Rt△BEPBE2PE3，PBPBOB．∠BOP∠BPO

4P點．P，使得△OBP與△OAB相似．2：如圖，點AB的坐標(biāo)分別為（2，0）和（04，將△ABO繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90后得△ABO，點A的對應(yīng)點是點A，點B的對應(yīng)點是點B．寫出AB兩點的坐標(biāo)，并求出直線AB將△ABO沿著垂直于x軸的線段CD點C在xD在ABD不與A0，△CDE SSx之間的函數(shù)關(guān)系式（x的取值范圍xS是否存在這樣的點C，使得△ADE為直角三角形？若存在，直接寫出點C的坐標(biāo)；若不存在，（1）A(2，B(0)設(shè)直線AB的解析式y(tǒng)kxbb

k4kb

解得 直線AB的解析式為y1x2（2）i）①點E在原點和x軸正半軸上時 部分是△CDE則

1x22x4E與OCE1BO2

2≤x②當(dāng)E在x軸的負(fù)半軸上時，設(shè)DE與y軸交于點F， 部分為梯形CDFOOFOA1

OF1 OE4OF1(42x)22 x

3四邊形

x2

x2

當(dāng)點C與點O重合時，點C的坐標(biāo)為(00x1x22x (2≤x綜合S33

x2

(0xii）當(dāng)2x4S1x22x41(x

x拋物線開口向上，在2x4S隨xx2S的最大值＝1(24)24 3 4 ②當(dāng)0x2時，S x22x x 4對稱軸是x4 拋物線開口向3x4S有最大值為

3 綜合x4S有最大值為 存在，點C的坐標(biāo)為30和50 當(dāng)△ADE以點A為直角頂點時，作AEAB交xEAO△AOE∽△BOA,EOAO1AO

EO1,E坐標(biāo)為（ 點C的坐標(biāo)為30 當(dāng)△ADE以點E為直角頂點時,同樣有△AOE∽△BOA,OEOA EO

E(0),點C的坐標(biāo)50,綜合①②知滿足條件的坐標(biāo)有30和50 檢測題1：三角尺在燈泡O的照射下在墻上形成的 燈泡三角解析檢測題2：如圖，等邊ABC3PBCBP1DAC上一點，若APD60，則CD的長為 A.2

B.3

C.2

D.4AD 解析檢測題3：如圖所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每4cm的速度向B點運動；同時點QC點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設(shè)運動x．當(dāng)x當(dāng)

1SBPQ △APQ能否與△CQBAP1：30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.將其繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)角（0120且90°RtAB'CA'CABDDDEAB交CB邊于EBE.如圖1，當(dāng)A'B'邊經(jīng)過點B時， BC=1，AD=x，△BDESE為圓心，EB為半徑作⊙ES1ADA'C與⊙E

3（1） 8DAB9DAB證明：①當(dāng)090DAB邊上（∵DE∥A'B'∴CDCE 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CACA，CBCB∴CDCE ∴∴∠A DABCBD2CBE，即②當(dāng)90120DAB的延長線上（與①同理可得∠ADABCBD180CBACBD4CBE，即3Rt△ABC3∴AB=2，AC

3，SABC2CAD∽△CBE得ADBE ∵3∴xBE，BE31

3x3DAB邊上時，AD=xBDABAD2x 3x22此時，SSBDE2BDBE2(2x)3 當(dāng)S=1 時，3

3x22 .

x22x10解得x1x21

DAB中點，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE.（∴EC=∵A'CB90E在CBEA'CEC等于⊙EA'C與⊙EDAB的延長線上時，AD=xBDx2，∠DBE=90°.（ 3x22SSBDE2BDBE2(x2)3 當(dāng)S=1 時3

3x22 .

x22x1022解得x11 ，x21 （負(fù)值，舍去222即AD 2此時∠BCE=，而90120∴∠CBE＜∠BCE∴EC＜EBEA'CEC小于⊙EA'C與⊙E例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A(10，0)，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上的一動點，連結(jié)OB、AB，并延長ABD，使DB＝AB，過點Dx軸垂線，分xOBE、FECF．當(dāng)∠AOB＝30°ABDE＝8EF在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請直接E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． （1） DBB

yDBF AB的長

60

53OD，∵OA是⊙C102又∵AB＝BD，∴OBAD102OD2DE在Rt△OD2DE

6由∠AOB＝∠ADE＝90°－∠OAB，∠OEF＝∠DEA，得

5當(dāng)∠ECF＝∠BOA時，此時△OCFEOCOE＝252

當(dāng)∠ECF＝∠OAB12

AB DDBB A

AyDB F

510

1x4

EC∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF＝∠BAO，BE，∵BERt△ADE

，2 2即5

x510

54

17，

54

555EO∴要使△ECF與△BAO1BEBE＝AD2

OC

，

54

17

54

55 422E、C、F為頂點的三角形與△AOBEE(5，0)E10，0)E5

5，0)E

1 3：xOyyx2ayx2b（a、b為常數(shù)，且|a||b|PPMxMPNyNMNEMNEMN當(dāng)a2，b0時，點P的坐標(biāo) ，線段PE的長 PMON8PE直接寫出線段PE的長（用含a或b的代數(shù)式表示 2（1） 2P在第一象限內(nèi)時E作QEPEPN的延長線于點QMNEMN∴PEQMEN90，MENE∴12∵PMOMONPNO90PMON為矩形∴MPN90∵PMEMENENPNPM360∴PMEPNE180∴PMEQENPEM中1∵ENEM3∴△QEN≌△PEM∴QNPM，QEPE∴PQQNPNPMPNPMON∴PMPN4PQRtPEQ∵QEPE,PQ∴PE2PPE2PPE的長分別為2a

二、專題過1：Rt△ABC中，∠C=90°，D，ECB，CA延長線上的點，BEADBD=AC，AE=CD1中畫出符合題意的圖形，并直接寫出∠APEAC

3BD，CD

3AE，求∠APE （1）如圖 （2）10AEDFBF，EFAEFD∴∵AC

3BD，CD

33∴AC ，CDCD 33 ∴ACCD ∵∵∴BDF180C∴∴∴∴ADAC EFAD3 3∵∴∴BF⊥AD∴Rt△BEFtanBEFBF∴∠APE=∠BEF3311CADFACDF∵ACDF是矩形，∠AFD=∠CAF=Rt△AEFtan3AEAE 3Rt△BDFtan1BDBD 3∴31303+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB∴DFAF 3 ∴∴∵∴2：Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC1.DAC上（A，C重合2BD，F(xiàn)BD中點（1）DDE⊥ABECF、EF、CE1．設(shè)CFkEFk；BC=6DACADAFBD中點，求線CF長度的最大值． EE EEDD（1）k=1；2CCEBDGBDAC由題意，tan∠BAC12∴BCDE1 D、E、B∴ D∵E∴∵ F∴G∴BCGB1 ∴FBDFEG中點在Rt△ECGCF1EG2∴BEDEEG2CF1AD1ACABMMF3∵∠ACB=90°，tan∠BAC=1，且BC= 2D5 5MF∵MAB中點，∴CM35∵AD=1AC3∴AD=4∵MAB中點，F(xiàn)BD∴FM=1AD=25M、F、CMCFCFCF=CM+FM25情況2：如圖，當(dāng)AD=2AC時，取AB的中點 3連結(jié)MF和 5類似于情況1，可知CF的最大值為4 5M12DCF5三等分點時，線段CF的長度取得最大值為4 53:1ABCD是正方形，G是CDGCDCGABCD外作正方形CEFGBGDEBGDE1BGDE1CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度2DGAGF 圖

EFGEFGC O C圖 圖（4—ABa，BCb，CEka，CGkbab，k0)，第(1)5GFDHGC圖GFDHGC圖EEF 圖 圖在第(25DGBEa3b2k1BE2DG22三、學(xué)法提1相似較少單獨出現(xiàn)在中考試題中，但其常與圓、函數(shù)等知識綜合在一起考查，難度較大。在中多在20（2）出現(xiàn)與圓結(jié)合考查；在代幾綜合題中出現(xiàn)與二次函2““ “ “3一、能力培綜合題 以平面上一點O為直角頂點，分別畫出兩個直角三角形，記作△AOB和△COD，其E、F、MAC、CD、DBFM、1D、CAO、BOFM

603如圖3BO3

段OD上，且NO=2．點P是線段AB上的一個動點，在將AOB繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，線段PN長度的最小值 ，最大值 （1）

32（2）FM的值不變證明：連接EF、AD、BC.（如圖