立體幾何題型與方法(理科)刪減版

分享智慧泉源智愛學(xué)習(xí)傳揚愛心喜樂PAGEWisdom&Love第21頁（共21頁）TIME\@"yyyy年M月d日星期W"2014年5月23日星期五立體幾何題型與方法(理科)1．平面平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。（1）.證明點共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點（依據(jù)：由點在線上，線在面內(nèi)，推出點在面內(nèi)），這樣可根據(jù)公理2證明這些點都在這兩個平面的公共直線上。（2）.證明共點問題，一般是先證明兩條直線交于一點，再證明這點在第三條直線上，而這一點是兩個平面的公共點，這第三條直線是這兩個平面的交線。（3）.證共面問題一般先根據(jù)一部分條件確定一個平面，然后再證明其余的也在這個平面內(nèi)，或者用同一法證明兩平面重合2.空間直線.（1）.空間直線位置關(guān)系三種：相交、平行、異面.相交直線：共面有且僅有一個公共點；平行直線：共面沒有公共點；異面直線：不同在任一平面內(nèi)，無公共點[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（×）（也可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）②直線在平面外，指的位置關(guān)系是平行或相交③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).=4\*GB3④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.=5\*GB3⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）=6\*GB3⑥在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.（×）（并非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段）=7\*GB3⑦是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.⑧異面直線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）（2）.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如右圖）.（直線與直線所成角）（向量與向量所成角推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.（3）.兩異面直線的距離：公垂線段的長度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.[注]：是異面直線，則過外一點P，過點P且與都平行平面有一個或沒有，但與距離相等的點在同一平面內(nèi).（或在這個做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）3.直線與平面平行、直線與平面垂直.（1）.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).（2）.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行線面平行”）[注]：①直線與平面內(nèi)一條直線平行，則∥.（×）（平面外一條直線）②直線與平面內(nèi)一條直線相交，則與平面相交.（×）（平面外一條直線）③若直線與平面平行，則內(nèi)必存在無數(shù)條直線與平行.（√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）=4\*GB3④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面.（×）（可能在此平面內(nèi)）=5\*GB3⑤平行于同一個平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）=6\*GB3⑥直線與平面、所成角相等，則∥.（×）（、可能相交）（3）.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行線線平行”）（4）.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.若⊥，⊥，得⊥（三垂線定理），三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.（5）.a.垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.[注]：垂線在平面的射影為一個點.[一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（×）]b.射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上。4.平面平行與平面垂直.（1）.空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.（2）.平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.（“線面平行面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.[注]：一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.（3）.兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行線線平行”）（4）.兩個平面垂直判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直判定二：如果一條直線與一個平面垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直面面垂直”）注：如果兩個二面角的平面分別對應(yīng)互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系.（5）.兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.簡證：如圖，在平面內(nèi)過O作OA、OB分別垂直于，因為則.所以結(jié)論成立（6）.兩異面直線任意兩點間的距離公式：（為銳角取減，為鈍角取加，綜上，都取減則必有）（1）.a.最小角定理：（為最小角，如圖）b.最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.5.棱柱.棱錐（1）.棱柱.a.=1\*GB3①直棱柱側(cè)面積：（為底面周長，是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.=2\*GB3②斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.b.{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}.{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.c.棱柱具有的性質(zhì)：=1\*GB3①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.=2\*GB3②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.=3\*GB3③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：=1\*GB3①棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱.（×）（直棱柱不能保證底面是矩形,可如圖）=2\*GB3②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.d.平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.[注]：四棱柱的對角線不一定相交于一點.定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則.推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為，則.[注]：=1\*GB3①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的兩個平行的平面可以為矩形）=2\*GB3②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）=3\*GB3③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）=4\*GB3④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直.（兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）（2）.棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.[注]：①一個三棱錐四個面可以都為直角三角形.②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以.a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心.[注]：=1\*romani.正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）=2\*romanii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等iii.正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側(cè)面積：（底面周長為，斜高為）=3\*GB3③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）附：以知⊥，，為二面角.則=1\*GB3①，=2\*GB3②，=3\*GB3③=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③得.注：S為任意多邊形的面積（可分別求多個三角形面積和的方法）.b.棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.c.特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：=1\*GB3①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.=2\*GB3②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.=3\*GB3③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.=4\*GB3④棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.=5\*GB3⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.=6\*GB3⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.=7\*GB3⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑；=8\*GB3⑧每個四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.[注]：=1\*romani.各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）=2\*romanii.若一個三棱錐，兩條相對棱互相垂直，則第三組相對棱必然垂直.簡證：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令得，已知則.=3\*romaniii.空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形一定是矩形.=4\*romaniv.若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊是一定是正方形.簡證：取AC中點，則平面90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長方形.若對角線等，則為正方形.（3）.球：a.球的截面是一個圓面.①球的表面積公式：.②球的體積公式：.b.緯度、經(jīng)度：①緯度：地球上一點的緯度是指經(jīng)過點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).②經(jīng)度：地球上兩點的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點的經(jīng)線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當經(jīng)過點的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是點的經(jīng)度.附：①圓柱體積：（為半徑，為高）②圓錐體積：（為半徑，為高）=3\*GB3③錐體體積：（為底面積，為高）（1）.=1\*GB3①內(nèi)切球：當四面體為正四面體時，設(shè)邊長為a，，，，得.注：球內(nèi)切于四面體：。=2\*GB3②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.6.空間向量.（1）.a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.注：①若與共線，與共線，則與共線.（×）[當時，不成立]②向量共面即它們所在直線共面.（×）[可能異面]③若∥，則存在小任一實數(shù)，使.（×）[與不成立]④若為非零向量，則.（√）[這里用到之積仍為向量]b.共線向量定理：對空間任意兩個向量，∥的充要條件是存在實數(shù)（具有唯一性），使.c.共面向量：若向量使之平行于平面或在內(nèi)，則與的關(guān)系是平行，記作∥.d.①共面向量定理：如果兩個向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y使.②空間任一點O和不共線三點A、B、C，則是PABC四點共面的充要條件.（簡證：P、A、B、C四點共面）注：①②是證明四點共面的常用方法.（2）.空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使(這里隱含x+y+z≠1).注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其中Q是△BCD的重心，則向量用即證.對空間任一點O和不共線的三點A、B、C，滿足，則四點P、A、B、C是共面（3）.a.空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱坐標），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標）.①令=(a1,a2,a3),，則，，，∥。。(向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)空間兩個向量的夾角公式（a＝，b＝）。=2\*GB3②空間兩點的距離公式：.b.法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.c.向量的常用方法：=1\*GB3①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.=2\*GB3②.異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).=3\*GB3③.直線與平面所成角(為平面的法向量).=4\*GB3④.利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大?。ǚ较蛳嗤瑒t為補角，反方，則為其夾角）.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.d.證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且C、D、E三點不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.７．知識網(wǎng)絡(luò)經(jīng)典例題剖析考點一空間向量及其運算1.已知三點不共線，對平面外任一點，滿足條件，試判斷：點與是否一定共面？解析：要判斷點與是否一定共面，即是要判斷是否存在有序?qū)崝?shù)對使或?qū)臻g任一點，有。答案：由題意：，∴，∴，即，所以，點與共面．點評：在用共面向量定理及其推論的充要條件進行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當?shù)某湟獥l件形式，然后對照形式將已知條件進行轉(zhuǎn)化運算．2.如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點，分別在對角線，上，且，．求證：平面．解析：要證明平面，只要證明向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量和線性表示．答案:證明：如圖，因為在上，且，所以．同理，又，所以．又與不共線，根據(jù)共面向量定理，可知，，共面．由于不在平面內(nèi)，所以平面．點評：空間任意的兩向量都是共面的．與空間的任兩條直線不一定共面要區(qū)別開.考點二證明空間線面平行與垂直3.如圖,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點，（I）求證：AC⊥BC1；（=2\*ROMANII）求證：AC1//平面CDB1；解析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.答案:解法一：（=1\*ROMANI）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC，∴AC⊥BC1；（=2\*ROMANII）設(shè)CB1與C1B的交點為E，連結(jié)DE，∵D是AB的中點，E是BC1的中點，ABCA1B1C1Exyz∴DE//AC1，∵DE平面CDBABCA1B1C1Exyz∴AC1//平面CDB1；解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C兩兩垂直，如圖，以C為坐標原點，直線CA、CB、C1C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴?＝0，∴AC⊥BC1.（2）設(shè)CB1與C1B的交戰(zhàn)為E，則E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.點評：轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化2．平行問題的轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化面面平行線面平行線線平行；主要依據(jù)是有關(guān)的定義及判定定理和性質(zhì)定理．4.（2007武漢3月）如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點。(1)求證：BM∥平面PAD；(2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點N，使MN平面PBD；(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力.答案：（1）是的中點，取PD的中點，則，又四邊形為平行四邊形∥，∥ （4分）（2）以為原點，以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，在平面內(nèi)設(shè)，，，由由是的中點，此時 （8分）（3）設(shè)直線與平面所成的角為，，設(shè)為故直線與平面所成角的正弦為 （12分）解法二：（1）是的中點，取PD的中點，則，又四邊形為平行四邊形∥，∥ （4分）（2）由（1）知為平行四邊形，又同理，為矩形∥，，又作故交于，在矩形內(nèi)，，，為的中點當點為的中點時， （8分）（3）由（2）知為點到平面的距離，為直線與平面所成的角，設(shè)為，直線與平面所成的角的正弦值為 點評：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來考點三求空間圖形中的角與距離根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機統(tǒng)一.解題時注意各種角的范圍：異面直線所成角的范圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和補形法；直線與平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°，其解法是作垂線、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法另外也可借助空間向量求這三種角的大小.5.（四川省成都市2007屆高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點.(Ⅰ)求與底面所成角的大??；(Ⅱ)求證：平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值.解析：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，比較好的方法是向量法答案：(I)取DC的中點O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．連結(jié)OA，則OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA與底面所成角．∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=．∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°．……6分(II)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．建立空間直角坐標系如圖，則,．由M為PB中點，∴．∴．∴，．∴PA⊥DM，PA⊥DC．∴PA⊥平面DMC． ……4分(III)．令平面BMC的法向量，則，從而x+z=0；……①,，從而．……②由①、②，取x=?1，則．∴可?。?II)知平面CDM的法向量可取，∴．∴所求二面角的余弦值為－． ……6分法二：（Ⅰ）方法同上（Ⅱ）取的中點，連接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，則，又，則，即，又在中，中位線，，則，則四邊形為，所以，在中，，則，故而，則（Ⅲ）由（Ⅱ）知，則為二面角的平面角，在中，易得，，故，所求二面角的余弦值為點評：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法.6.（2007河北省唐山市三模）如圖，在長方體中，點在線段上.（Ⅰ）求異面直線與所成的角；（Ⅱ）若二面角的大小為，求點到平面的距離.解析：本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識,本題實質(zhì)上求角度和距離,在求此類問題中，要將這些量歸結(jié)到三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法.答案：解法一：（Ⅰ）連結(jié)。由已知，是正方形，有?！咂矫?，∴是在平面內(nèi)的射影。根據(jù)三垂線定理，得，則異面直線與所成的角為。作，垂足為，連結(jié)，則所以為二面角的平面角，.于是易得，所以，又，所以。設(shè)點到平面的距離為.∵即，∴，即，∴.故點到平面的距離為。解法二：分別以為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系.（Ⅰ）由，得設(shè)，又，則?！摺鄤t異面直線與所成的角為。（Ⅱ）為面的法向量，設(shè)為面的法向量，則∴.①由，得，則，即∴②由①、②，可取又，所以點到平面的距離。點評：立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計算，這是立體幾何的重點內(nèi)容,本題實質(zhì)上求角度和距離,在求此類問題中,盡量要將這些量歸結(jié)于三角形中,最好是直角三角形,這樣計算起來,比較簡單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過建系一定要恰當,這樣坐標才比較容易寫出來.考點四探索性問題7.（2007年4月濟南市）如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）線段EF上是否存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由。1,3,51,3,5解析：1.先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論：2.運用推理證明計算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算。答案：（1）因為AC、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標系，則B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F(xiàn)（2，2，0），則設(shè)平面BEF的法向量，則可取，∴向量所成角的余弦為。即BD和面BEF所成的角的余弦。（2）假設(shè)線段EF上存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，不妨設(shè)EP與PF的比值為m，則P點坐標為則向量，向量所以。點評：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計算，本題采用探索式、開放式設(shè)問方式，對學(xué)生靈活運用知識解題提出了較高要求。8.(2007安徽·文)如圖，在三棱錐中，，，是的中點，且，．ＶAＣＤＢ（I）求證：平面ＶAＣＤＢ（II）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為．解析：本例可利用綜合法證明求解，也可用向量法求解.答案:解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點，，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）過點在平面內(nèi)作于，則由（Ⅰ）知平面．連接，于是就是直線與平面所成的角．依題意，所以在中，；在中，，．，．故當時，直線與平面所成的角為．解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是，，，．從而，即．ADBCADBCVxyz即．又，平面．又平面．平面平面．（Ⅱ）設(shè)平面的一個法向量為，則由．得可取，又，于是，即，．故交時，直線與平面所成的角為．解法3：（Ⅰ）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，于是，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）設(shè)平面的一個法向量為，ADBCVADBCVxy可取，又，于是，即．故角時，即直線與平面所成角為．點評：證明兩平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求線面角一是找線在平面上的射影在直角三角形中求解,但運用更多的是建空間直角坐標系,利用向量法求解考點五折疊、展開問題9．（2006年遼寧高考）已知正方形、分別是、的中點,將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為(=1\*ROMANI)證明平面;(=2\*ROMANII)若為正三角形,試判斷點在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值分析:充分發(fā)揮空間想像能力，重點抓住不變的位置和數(shù)量關(guān)系，借助模型圖形得出結(jié)論，并給出證明.解:(=1\*ROMANI)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點,EB//FD,且EB=FD,四邊形EBFD為平行四邊形BF//ED.,平面(=2\*ROMANII)如右圖,點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GDACD為正三角形,AC=AD.CG=GD.G在CD的垂直平分線上,點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角即.設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF,在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形,.在RtADE中,.,點評：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中，一般來說，位于同一平面內(nèi)的幾何元素相對位置和數(shù)量關(guān)系不變：位于兩個不同平面內(nèi)的元素，位置和數(shù)量關(guān)系要發(fā)生變化，翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。關(guān)鍵要抓不變的量.考點六球體與多面體的組合問題10．設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.分析：關(guān)鍵是找出球心所在的三角形，求出內(nèi)切圓半徑.解：∵AB⊥AD，AB⊥MA，∴AB⊥平面MAD，由此，面MAD⊥面AC.記E是AD的中點，從而ME⊥AD.∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.設(shè)球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.不妨設(shè)O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的內(nèi)心.設(shè)球O的半徑為r，則r＝設(shè)AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.∴ME＝.MF＝,r＝≤＝-1。當且僅當a＝，即a＝時，等號成立.∴當AD＝ME＝時，滿足條件的球最大半徑為-1.點評：涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長間的關(guān)系；多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系。方法總結(jié)高考預(yù)測（一）方法總結(jié)1．位置關(guān)系：（1）．兩條異面直線相互垂直證明方法：eq\o\ac(○,1)證明兩條異面直線所成角為90o；eq\o\ac(○,2)證明兩條異面直線的方向量相互垂直。（2）．直線和平面相互平行證明方法：eq\o\ac(○,1)證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行；eq\o\ac(○,2)證明這條直線的方向向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行；eq\o\ac(○,3)證明這條直線的方向向量和這個平面的法向量相互垂直。（3）．直線和平面垂直證明方法：eq\o\ac(○,1)證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，eq\o\ac(○,2)證明直線的方向量與這個平面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直；eq\o\ac(○,3)證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行。（4）．平面和平面相互垂直證明方法：eq\o\ac(○,1)證明這兩個平面所成二面角的平面角為90o；eq\o\ac(○,2)證明一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面；eq\o\ac(○,3)證明兩個平面的法向量相互垂直。2．求距離：求距離的重點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點到這個平面的距離。（1）．兩條異面直線的距離求法：利用公式（其中A、B分別為兩條異面直線上的一點，為這兩條異面直線的法向量）（2）．點到平面的距離求法：eq\o\ac(○,1)“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。eq\o\ac(○,2)等體積法。eq\o\ac(○,3)向量法，利用公式（其中A為已知點，B為這個平面內(nèi)的任意一點，這個平面的法向量）3．求角（1）．兩條異面直線所成的角求法：eq\o\ac(○,1)先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；eq\o\ac(○,2)通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。（2）．直線和平面所成的角求法：eq\o\ac(○,1)“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。eq\o\ac(○,2)向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角為或。（3）．平面與平面所成的角求法：eq\o\ac(○,1)“一找二證三求”，找出這個二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。eq\o\ac(○,2)通過射影面積來求（在其中一個平面內(nèi)找出一個三角形，然后找這個三角形在另外一個平面的射影，那么這個三角形的射影面積與原三角形面積之比即為cosα，注意到我們要求的角為α或π－α）；eq\o\ac(○,3)向量法，先求兩個平面的法向量所成的角為α，那么這兩個平面所成的二面角的平面角為α或π－α。我們現(xiàn)在來解決立體幾何的有關(guān)問題的時候，注意到向量知識的應(yīng)用，如果可以比較容易建立坐標系，找出各點的坐標，那么剩下的問題基本上就可以解決了，如果建立坐標系不好做的話，有時求距離、角的時候也可以用向量，運用向量不是很方便的時候，就用傳統(tǒng)的方法了！4．解題注意點（1）．我們現(xiàn)在提倡用向量來解決立體幾何的有關(guān)問題，但是當運用向量不是很方便的時候，傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運用自如。（2）．我們?nèi)绻峭ㄟ^解三角形去求角、距離的時候，做到“一找二證三求