高考試題分類解析圓錐曲線方程

2006年高考試題分類解析（圓錐曲線方程2）31．(2006年重慶卷)已知一列橢圓Cn:x2+=1.0＜bn＜1,n=1,2..若橢圓C上有一點(diǎn)Pn使Pn到右準(zhǔn)線ln的距離d.是｜PnFn｜與｜PnCn｜的等差中項(xiàng)，其中Fn、Cn分別是Cn的左、右焦點(diǎn).（Ⅰ）試證：bn≤(n≥1);（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面積，試證：S1＜S1且Sn＜Sn+3(n≥3).圖(２２)圖證：（1）由題設(shè)及橢圓的幾何性質(zhì)有設(shè)因此，由題意應(yīng)滿足即即,從而對(duì)任意（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)得兩極，從而易知f(c)在（，）內(nèi)是增函數(shù)，而在（，1）內(nèi)是減函數(shù).現(xiàn)在由題設(shè)取是增數(shù)列.又易知故由前已證，知32．（2006年上海春卷）學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn).設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對(duì)稱軸、為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為.觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)跟蹤航天器.（1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；（2）試問：當(dāng)航天器在軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？解：（1）設(shè)曲線方程為，由題意可知，..……4分曲線方程為.……6分（2）設(shè)變軌點(diǎn)為，根據(jù)題意可知得，或（不合題意，舍去）..……9分得或（不合題意，舍去）.點(diǎn)的坐標(biāo)為，……11分.答：當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得距離分別為時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令.……14分33．（2006年全國卷II）已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))（λ＞0）．過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為Ｍ．（Ⅰ）證明EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))為定值；（Ⅱ）設(shè)△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值．解：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，EQ\b\lc\{(\a\al(－x\S\do(1)＝λx\S\do(2)①,1－y\S\do(1)＝λ(y\S\do(2)－1)②))將①式兩邊平方并把y1＝EQ\f(1,4)x12，y2＝EQ\f(1,4)x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝EQ\f(1,λ)，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，拋物線方程為y＝EQ\f(1,4)x2，求導(dǎo)得y′＝EQ\f(1,2)x．所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是y＝EQ\f(1,2)x1(x－x1)＋y1，y＝EQ\f(1,2)x2(x－x2)＋y2，即y＝EQ\f(1,2)x1x－EQ\f(1,4)x12，y＝EQ\f(1,2)x2x－EQ\f(1,4)x22．解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，EQ\f(x\S\do(1)x\S\do(2),4))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－1)．……4分所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝EQ\f(1,2)(x22－x12)－2(EQ\f(1,4)x22－EQ\f(1,4)x12)＝0所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))為定值，其值為0．……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S＝EQ\f(1,2)|AB||FM|．|FM|＝EQ\r(,(\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2))\S(2)＋(－2)\S(2))＝EQ\r(,\f(1,4)x\S\do(1)\S(2)＋\f(1,4)x\S\do(2)\S(2)＋\f(1,2)x\S\do(1)x\S\do(2)＋4)＝EQ\r(,y\S\do(1)＋y\S\do(2)＋\f(1,2)×(－4)＋4)＝EQ\r(,λ＋\f(1,λ)＋2)＝EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ))．因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y＝－1的距離，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝λ＋EQ\f(1,λ)＋2＝(EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ)))2．于是S＝EQ\f(1,2)|AB||FM|＝(EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ)))3，由EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ))≥2知S≥4，且當(dāng)λ＝1時(shí)，S取得最小值4．34．（2006年四川卷）已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)，如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積解析：本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分12分。解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知故曲線的方程為設(shè)，由題意建立方程組消去，得又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有解得又∵依題意得整理后得∴或但∴故直線的方程為設(shè)，由已知，得∴，又，∴點(diǎn)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得得，但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為到的距離為∴的面積35．（2006年全國卷I）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量。求：（Ⅰ）點(diǎn)M的軌跡方程；（Ⅱ）的最小值。解：（I）根據(jù)題意，橢圓半焦距長為，半長軸長為，半短軸長，即橢圓的方程為。設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）（其中），則切線C的方程為：點(diǎn)A坐標(biāo)為：（，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，）點(diǎn)M坐標(biāo)為：（，）所以點(diǎn)M的軌跡方程為：（且）（II）等價(jià)于求函數(shù)

（其中）的最小值當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)即。因此，點(diǎn)M坐標(biāo)為（，）時(shí)，所求最小值為。36．（2006年江蘇卷）已知三點(diǎn)P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。（Ⅰ）求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、、關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為、、，求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：（I）由題意，可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+，其半焦距。，∴，，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+；（II）點(diǎn)P（5，2）、（－6，0）、（6，0）關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為：、（0，-6）、（0，6）設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-，由題意知半焦距，，∴，，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力37.（2006年湖北卷）設(shè)、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線、分別與橢圓相交于異于、的點(diǎn)、，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).（此題不要求在答題卡上畫圖）解析：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力。解：（Ⅰ）依題意得a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.故橢圓的方程為.（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）.∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y0＝（4－x02）.eq\o\ac(○,1)又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴－2<x0<2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P（4，）.從而＝（x0－2，y0），＝（2，）.∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.eq\o\ac(○,2)將eq\o\ac(○,1)代入eq\o\ac(○,2)，化簡(jiǎn)得·＝（2－x0）.∵2－x0>0，∴·>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則－2<x1<2，－2<x2<2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝（x1－2)(x2－2)＋y1y1eq\o\ac(○,3)又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上，∴，即y2＝eq\o\ac(○,4)又點(diǎn)M在橢圓上，則，即eq\o\ac(○,5)于是將eq\o\ac(○,4)、eq\o\ac(○,5)代入eq\o\ac(○,3)，化簡(jiǎn)后可得－＝.從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。38．（2006年江西卷）如圖，橢圓Q：（ab0）的右焦點(diǎn)F（c，0），過點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)求點(diǎn)P的軌跡H的方程在Q的方程中，令a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0），確定的值，使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)，此時(shí)，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形ABD的面積最大？解：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（ab0）上的點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則1當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x1x2，由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0 b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）2當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3）故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b2x2＋a2y2－b2cx＝0（2）因?yàn)?，橢圓 Q右準(zhǔn)線l方程是x＝，原點(diǎn)距l(xiāng)的距離為，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0）則＝＝2sin（＋）當(dāng)＝時(shí)，上式達(dá)到最大值。此時(shí)a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1設(shè)橢圓Q：上的點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面積S＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|設(shè)直線m的方程為x＝ky＋1，代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0由韋達(dá)定理得y1＋y2＝，y1y2＝，4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝令t＝k2＋11，得4S2＝，當(dāng)t＝1，k＝0時(shí)取等號(hào)。因此，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時(shí)，三角形ABD的面積最大。39．（2006年天津卷）如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)．連結(jié)交小圓于點(diǎn)．設(shè)直線是小圓的切線．（1）證明，并求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，證明．（1）證明：由題設(shè)條件知，，故，即．因此，，解：在中，．于是，直線的斜率．設(shè)直線的斜率為，則． 這時(shí)，直線的方程為，令，則．所以直線與軸的交點(diǎn)為．（2）證明：由（1），得直線的方程為，且．②由已知，設(shè)，，則它們的坐標(biāo)滿足方程組③ 由方程組③消去，并整理得．④由式①、②和④，． 由方程組③消去，并整理得．⑤由式②和⑤，．綜上，得到．注意到，得 ．40．（2006年遼寧卷）已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為(=1\*ROMANI)證明線段是圓的直徑;(=2\*ROMANII)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求p的值。(=1\*ROMANI)證明1:整理得:設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即整理得:故線段是圓的直徑證明2:整理得:……..(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得:點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3:整理得:……(1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(=2\*ROMANII)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得.解法2:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則因?yàn)閤-2y+2=0與無公共點(diǎn),所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則又因當(dāng)時(shí),d有最小值,由題設(shè)得.點(diǎn)評(píng)：本小題考查了平面向量的基本運(yùn)算,圓與拋物線的方程.點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問題的能力.41．（2006年北京卷）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.解：（Ⅰ）由知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長． 又半焦距，故虛半軸長． 所以的方程為．（Ⅱ）設(shè)的坐標(biāo)分別為， 當(dāng)軸時(shí)，，從而． 當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，與的方程聯(lián)立，消去得 ． 故． 所以 又因?yàn)椋?，從而?綜上，當(dāng)軸時(shí)，取得最小值2．42．（2006年上海卷）在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點(diǎn)．（1）求證：“如果直線過點(diǎn)T（3，0），那么＝3”是真命題；（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．證明：（1）設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線與拋物線相交于點(diǎn)，．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，其中．由得，則．又，．綜上所述，命題“如果直線過點(diǎn)，那么”是真命題．解：（2）逆命題是：設(shè)直線交拋物線于兩點(diǎn)，如果，那么該直線過點(diǎn)．該命題是一個(gè)假命題．例如：取拋物線上的點(diǎn)，此時(shí)，直線的方程是，而不在直線上．說明：由拋物線上的點(diǎn)滿足，可得或．如果，可證得直線過點(diǎn)；如果，可證得直線過點(diǎn)，而不過點(diǎn)．43．（2006年浙江卷）如圖，橢圓＝1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=.(Ⅰ)求橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AFT.解（1）過點(diǎn)的直線方程為，由題意得有唯一解，即有唯一解，，故．，即，．從而得，．故所求的橢圓方程為．（2）由（1）得，故，．從而由解得，所以．因?yàn)?，又，，得．因此．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．44.(2006年湖南卷）已知橢圓C1:,拋物線C2:,且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點(diǎn).(Ⅰ)當(dāng)AB⊥軸時(shí),求、的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上；(Ⅱ)是否存在、的值，使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m＝0，直線AB的方程為x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，