考研數(shù)學(xué)一真題解析 2007

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(本題共10小題,每小題4分,滿分40分,在每小題給的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后括號內(nèi))(1)當(dāng)時,與等價的無窮小量是(A) (B) (C) (D)【考點分析】：等價無窮小的定義和常用的等價無窮小【求解過程】：方法一：利用等價無窮小時，，，方法二：可用洛必達法則和等價無窮小的定義來求解驗證極限是否等于1，其中表示A，B，C，D四個選項中的式子。故選B【基礎(chǔ)回顧】：下面，我們就無窮小之比的極限存在或為無窮大時。來說明兩個無窮小之間的比較。應(yīng)當(dāng)注意，下面的及都是在同一個自變量的變化過程中的無窮小，且，也是在這個變化過程中的極限。定義：如果就說是比高階的無窮小，記作；如果，就說是比低階的無窮小。如果，就說與是同階無窮??；如果，就說是關(guān)于的階無窮小。如果，就說與是等價無窮小，記作。 顯然，等價無窮小是同階無窮小的特殊情形，即的情形。常用等價無窮小，當(dāng)時，， (2)曲線,漸近線的條數(shù)為(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【考點分析】：曲線的漸近線（水平、垂直、斜漸近線）的條數(shù)【求解過程】：計算垂直漸近線：求函數(shù)在其不連續(xù)點處的極限，若為則存在垂直漸近線函數(shù)只有間斷點，，故存在垂直漸近線計算水平漸近線：求函數(shù)在時的極限a，若a存在，則有水平漸近線，故存在水平漸近線計算斜漸近線：求在時的極限，若存在，且，求出在相應(yīng)處的極限b，則有斜漸近線故存在斜漸近線選D。【相關(guān)補充】：對于曲線，若沿方向有水平（或斜）漸近線，則沿同一方向必定沒有斜（或相應(yīng)地，必定沒有水平）漸近線，但沿另一方向仍可能有漸近線。(3)如圖,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設(shè).則下列結(jié)論正確的是(A) (B)(C) (D)【考點分析】：定積分的奇偶性，奇偶函數(shù)變上限積分函數(shù)的奇偶性【求解過程】：方法一：定積分的幾何意義注意：大小半圓的面積分別為是與線段所圍圖形的有向面積的代數(shù)和。，，，選C方法二：定積分幾何意義和奇偶性結(jié)合為奇函數(shù)為偶函數(shù)，故，其他同解法一。故選C【基礎(chǔ)回顧】：若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)。(4)設(shè)函數(shù)在處連續(xù),下列命題錯誤的是(A)若存在,則 (B)若存在,則(C)若存在,則存在 (D)若存在,則存在【考點分析】：由某極限的存在推出函數(shù)在指定點的可導(dǎo)性及在定點處的值，函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系【求解過程】：方法一：直接論證法對于A，由存在及在處連續(xù)，所以，A正確對于C，由A知，所以存在，C正確對于B，由在處連續(xù)，所以在處連續(xù)。所以，故。B正確。綜上，選D方法二：舉例法設(shè)，則（存在），但不存在，D錯誤，選D【方法小結(jié)】：考場上用舉例法很快速。(5)設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù),且,令則下列結(jié)論正確的是(A)若,則必收斂 (B)若,則必發(fā)散(C)若,則必收斂 (D)若,則必發(fā)散【考點分析】：數(shù)列的斂散性、拉格朗日中值定理的應(yīng)用【求解過程】：方法一：由拉格朗日中值定理證明由拉格朗日中值定理，有，由知嚴(yán)格單調(diào)增，故由于，若則，而是一個確定的正數(shù)，于是，故發(fā)散，選D方法二：級數(shù)的定義與性質(zhì)級數(shù)的前n項部分和為。存在的充要條件是級數(shù)收斂。而是一個確定的正數(shù)，故，從而級數(shù)發(fā)散，于是數(shù)列發(fā)散。方法三：特殊函數(shù)舉例排除法設(shè)，則，，但，從而發(fā)散，A錯誤設(shè)，則，，而，，則收斂，B錯誤設(shè)，則，且，而，，則發(fā)散，C錯誤。故選D方法四：利用函數(shù)單調(diào)性由在單調(diào)上升，有如下三種情形：在單調(diào)上升，又由凹函數(shù)的性質(zhì)時在單調(diào)上升，且在單調(diào)下降，則或A、B錯誤由①②C錯誤，選D【方法小結(jié)】：四種方法比較而言，第一種方法較為清晰易想。(6)設(shè)曲線(具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)),過第2象限內(nèi)的點和第Ⅳ象限內(nèi)的點為上從點到的一段弧,則下列小于零的是(A) (B)(C) (D)【考點分析】：曲線積分【求解過程】：記，由條件知：，并注意在積分弧段上。于是A．B．C．為弧的長，D． D．由得，故 綜上，選B(7)設(shè)向量組線性無關(guān),則下列向量組線性相關(guān)的是(A) (B)(C) (D)【考點分析】：向量組線性相關(guān)性的判定【求解過程】：方法一：利用向量組線性相關(guān)的定義A中，由向量組線性相關(guān)的定義知A中的向量組線性相關(guān)，選A方法二：利用矩陣變換求解其中故，均是可逆陣，右乘時，不改變矩陣的秩，故有 故，向量組B、C、D都是線性無關(guān)的，由排除法，選A（或顯然，，則不可逆，，從而向量組A線性相關(guān)。選A）【方法小結(jié)】：方法一快速有效。(8)設(shè)矩陣,,則與(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似【考點分析】：相似矩陣、合同矩陣的概念和判定，及兩者的關(guān)系【求解過程】： 所以，A的特征值為3,3,0，B的特征值為1,1,0，A與B特征值不等，故不相似，但A，B對應(yīng)的二次型的正慣性指數(shù)均為2，負慣性指數(shù)均為0，故A與B合同，選B另外，也可用如下方法求A的特征值，記，則，因，故C有特征值，由矩陣特征值的和等于矩陣對角線元素之和得C有特征值。故A的特征值為，即3,3,0【基礎(chǔ)回顧】：實對稱矩陣相似的充要條件是具有相同的特征值實對稱矩陣合同的充要條件是有相同的正特征值個數(shù)和負特征值個數(shù)或者對應(yīng)的二次型有相同的正慣性指數(shù)和負慣性指數(shù)由①，②可知，實對稱矩陣相似必合同，反之，不一定成立(9)某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為,則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為(A) (B)(C) (D)【考點分析】：伯努利概型的計算【求解過程】：第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)即前三次擊中目標(biāo)一次，第4次射擊擊中目標(biāo)由伯努利概型，前三次射擊擊中一次的概率為，第4次擊中目標(biāo)的概率為，根據(jù)獨立性有，第4次射擊為第二次命中目標(biāo)的概率為，選C(10)設(shè)隨即變量服從二維正態(tài)分布,且與不相關(guān),,分別表示的概率密度,則在的條件下,的條件概率密度為(A) (B) (C) (D)【考點分析】：二維正態(tài)分布的概率密度、相關(guān)性、條件概率密度【基礎(chǔ)回顧】：二維正態(tài)分布中，不相關(guān)獨立?！厩蠼膺^程】：二維正態(tài)分布中，不相關(guān)獨立，故由條件概率密度的定義，在的條件下，如果，則，現(xiàn)顯然，故，選A二、填空題(11－16小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上)(11)=_______.【考點分析】：定積分的計算方法【求解過程】：方法一：直接用分部積分法方法二：先用換元法化簡定積分，再用分部積分法求解令，則(12)設(shè)為二元可微函數(shù),,則=______.【考點分析】：求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)【求解過程】：，填(13)二階常系數(shù)非齊次線性方程的通解為=____________.【考點分析】：二階常系數(shù)線性非齊次微分方程通解【求解過程】：對應(yīng)齊次微分方程：的特征方程為，特征根，故對應(yīng)齊次方程的通解為。因為2不是特征根，故方程的特解可設(shè)為：，代入方程可求得A=-2，故。原方程的通解為，填（為任意常數(shù)）。(14)設(shè)曲面,則=_____________.【考點分析】：第一類曲面積分的計算及利用奇偶性和輪換對稱性【求解過程】：曲面有八塊平面構(gòu)成，它在第一卦限中的圖像如圖所示，在其它卦限中的圖像與其對稱。 曲面關(guān)于yz面對稱，x為關(guān)于x的奇函數(shù)，所以?？捎孟铝腥N方法求解：方法一：利用關(guān)于x,y,z輪換對稱，（表示曲面的面積）而為8塊同樣的等邊三角形，每塊等邊三角形邊長為，所以，所以方法二：.化為二重積分，其中D為利用形心公式為在第一卦限內(nèi)的部分綜上，應(yīng)填【方法小結(jié)】：方法一最為快速，方法二三為此類問題的通法。(15)設(shè)矩陣,則的秩為________.【考點分析】：矩陣冪的運算，矩陣的秩【求解過程】：直接計算，再求，所以，(16)在區(qū)間中隨機地取兩個數(shù),則這兩個數(shù)之差的絕對值小于的概率為________.【考點分析】：幾何型概率。【求解過程】：不妨假定隨機地取出兩個數(shù)分別為X和Y，它們相互獨立。X與Y兩個數(shù)之差的絕對值小于對應(yīng)于下圖正方形中的區(qū)域D。根據(jù)幾何概率（表示區(qū)域D的面積，S表示單位正方形的面積）【基礎(chǔ)回顧】：幾何概型問題中事件的概率其中，維空間的n維體積，維區(qū)域的維體積。所謂維體積，在時的一維體積維為長度，二維時維為面積，三維時則是通常說的體積。幾何概型問題中的主要計算工具是用幾何方法計算長度、面積等，也會用到微積分計算。三、解答題(15－23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(17)求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值【考點】函數(shù)最值的得求法【思路】所給的是一個區(qū)域，要分別求在區(qū)域內(nèi)部及邊界上的最值再比較得函數(shù)在區(qū)域上的最大值最小值。注意這里邊界上的最值形式比較簡單，可以不用拉格朗日乘子數(shù)法【題解】先求函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的最值，令解得，所以在D內(nèi)有又兩個駐點，對應(yīng)的函數(shù)值均為2。再求邊界上的最值，的邊界有兩部分，一部分是上半圓弧，另一部分是軸。在圓弧上有，代入：記作，則，令則或。在直線段上，最小值為0，最大值為4。又，所以在上的最大值為8，最小值為0。(18)計算曲面積分，其中為曲面的上側(cè)?！究键c】第二型曲面積分，高斯公式【思路】很典型的題目，所給的曲面不封閉，加輔助面取下側(cè)得到區(qū)域，再應(yīng)用高斯公式簡化計算?！绢}解】加輔助面，取下側(cè)，與圍成的區(qū)域記作。用高斯公式，有其中，其面積為，又由對稱性，有，所以。(19)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，，，證明：存在，使得?！究键c】羅爾中值定理【思路】要求一點使得二階導(dǎo)數(shù)相等，最直接的想法是找到三個函數(shù)值相等的點再兩次應(yīng)用羅爾定理，再由題意，問題轉(zhuǎn)化為再找一個函數(shù)值相同的點即可?！绢}解】由條件，在內(nèi)存在相等的最大值，設(shè)，則有若，令其為，則有。若，不妨設(shè)，則有。令，則，又在內(nèi)連續(xù)，所以由零點存在定理，有使得，也即。因為，在上連續(xù)，由羅爾定理，有使得，同理有使得。再由羅爾定理，有，使得，即證。(20)設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)滿足證明求得表達式【考點】冪級數(shù)，微分方程【思路】冪級數(shù)收斂因此可以逐項求導(dǎo)，再代入所給的微分方程即可證明，第二問只需用第一問的結(jié)論即可化簡?！绢}解】（1）因為在內(nèi)收斂，所以可以逐項求任意次導(dǎo)，有所以又，所以，，所以即證因為，所以，也即又，所以 所以(21)設(shè)線性方程組與方程有公共解，求得值及所有的公共解?！究键c】線性方程組的解【思路】將方程組與方程聯(lián)立求解即得公共解【題解】將方程組與方程聯(lián)立則此方程組的解就是原方程組的公共解，對其增廣矩陣做初等航變換，有所以若有解，則，即或。當(dāng)時，方程組的通解為，即為方程組與方程的公共解。當(dāng)時，方程組的解維，即為方程組與方程的公共解。(22)設(shè)三階實對稱矩陣的特征值，是的屬于特征值的一個特征向量，記，其中為三階單位矩陣。驗證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量。求矩陣【考點】特征值與特征向量的性質(zhì)【思路】最直觀的想法就是應(yīng)用性質(zhì),是矩陣的特征值，是對應(yīng)的特征向量。還要注意的是對于實對稱矩陣，其對應(yīng)不同特征值的特征向量相互正交?！绢}解】（1）由題意，，又所以是屬于特征值的特征向量。又由令的屬于的特征值分別為（因為是三階實對稱矩陣所以對應(yīng)三個不同特征值的特征向量都只有一個）。又所以是對應(yīng)的特征值1的特征向量。又是三階實對稱矩陣，所以它的三個特征向量兩兩正交，也即，解得，。綜上，屬于特征值的特征向量是，是不為0的常數(shù)；B屬于特征值的特征向量是，是不全