2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3講函數(shù)的定義域解析式值域考點講義【含答案】

函數(shù)的定義域、解析式、值域一、函數(shù)的定義域定義域特指的值。函數(shù)題的解答不能不考慮函數(shù)的定義域，拋棄函數(shù)的定義域解決函數(shù)問題沒有任何意義。但大部分學(xué)生都會忽視這一問題，所以被稱為隱形殺手，一定要確立定義域優(yōu)先的思想。基本解題思路：①注意“定義域優(yōu)先”；②不要對解析式化簡變形；③在解不等式組時要細心、快而準，分類討論要全面，取交集時需要借助數(shù)軸；④要注意端點值或邊界值能否取到；⑤定義域要用集合或者區(qū)間的形式寫出；⑥換元法要注意新變量的取值范圍；⑦注意對于指數(shù)不等式、對數(shù)不等式和分式不等式的解法的通用方法。（一）單一函數(shù)經(jīng)過四則運算結(jié)合求函數(shù)的定義域。1、基本函數(shù)定義域的要求：(1)分式函數(shù)，分母不為；(2)偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù)；(不要忘記等號)(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為；(4)中的底數(shù)不等于；(中的底數(shù)也不等于)(5)指數(shù)函數(shù)定義域為，對數(shù)函數(shù)定義域為；(注意且)(6)、的定義域為；的定義域為；的定義域為；(7)實際問題應(yīng)考慮實際限制。2、剝洋蔥原理一層一層交集(同時成立)最后把求定義域轉(zhuǎn)化成解不等式。例1-1．函數(shù)的定義域為()。A、B、C、D、C，解得，故選C。例1-2．函數(shù)的定義域為。且且解得。（二）單一函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換。1、單一到復(fù)合，類比聯(lián)想，整體代入。由的定義域為求的定義域?qū)嵸|(zhì)是，求的取值范圍。例2-1．函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為。，則。復(fù)合到單一，方法：換元法。規(guī)避易錯點：新變量的取值范圍。由的定義域，求的定義域，實質(zhì)是，求的取值范圍，此取值范圍就是的定義域。實質(zhì)就是換元法。例2-2．已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為。設(shè)，∵，∴，故的定義域為。3、復(fù)合到復(fù)合，找到“橋梁”。由的定義域，求的定義域，須先求的定義域。例2-3．若的定義域是，則函數(shù)的定義域為。先求的定義域，設(shè)，∵，∴，即的定義域為，再求的定義域，，解得或。（三）函數(shù)定義域逆向性問題。例3-1．若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)取值范圍是()。A、B、C、D、A∵的定義域為，∴在上恒成立，即方程至多有一個解，∴，解得，則實數(shù)取值范圍是，故選A。例3-2．已知函數(shù)的定義域是，則實數(shù)的取值范圍是()。A、B、C、D、B∵的定義域為，∴只需分母不為即可，∴或，可得，故選B。二、函數(shù)的解析式（一）已知函數(shù)類型，可設(shè)參，用待定系數(shù)法求解析式。若已知函數(shù)形式(一次函數(shù)，；二次函數(shù)，；反比例函數(shù)，；指數(shù)函數(shù)，且；，且；冪函數(shù))，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進而求出函數(shù)解析式。已知函數(shù)圖象，也用待定系數(shù)法求解析式。如果圖象是分段的，要用分段函數(shù)表示。例4-1．已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則()。A、B、C、D、C∵是指數(shù)函數(shù)，∴，即，解得(可取)或(舍)，∴，∴，故選C。[多選]例4-2．已知函數(shù)是一次函數(shù)，且，則的解析式為()。A、B、C、D、AC設(shè)()，則，∴，解得或，∴或，故選AC。例4-3．已知二次函數(shù)滿足，且，則的解析式為()。A、B、C、D、B設(shè)，，∵，則，又∵，令，則，∴，即，，令，則，，即，，∴，，，，故選B。（二）方程組法求函數(shù)解析式。若出現(xiàn)與的關(guān)系式、與的關(guān)系式或一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的關(guān)系式，可構(gòu)造另一個等式，通過解方程組求解。(1)互為倒數(shù)：；(2)互為相反數(shù)：或(為奇函數(shù)，為偶函數(shù))。例5-1．已知，則的解析式為()。A、B、C、D、B聯(lián)立，解方程組得，故選A。例5-2．已知，則的解析式為。，()聯(lián)立，解方程組得，()。例5-3．設(shè)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，求與的解析式。，，∴，與原題中方程聯(lián)立，解得(、、)，(、、)。（三）已知求復(fù)合函數(shù)，或已知復(fù)合函數(shù)的解析式求的解析式，可用換元法、配湊法。即令，反解出，然后代入中求出，從而求出，注意新變量的取值范圍。例6-1．已知，則的解析式為。()令，則，∴，即()。例6-2．已知，則的解析式為。()令，則，，∴，∴()，∴()。（四）代入法：求已知函數(shù)關(guān)于某點或者某條直線的對稱函數(shù)時，一般用代入法。1、關(guān)于點對稱：關(guān)于點對稱的；特殊點：點關(guān)于原點對稱的點奇函數(shù)。2、關(guān)于線對稱(1)特殊線：關(guān)于軸對稱；關(guān)于軸對稱偶函數(shù)；關(guān)于對稱反函數(shù)；關(guān)于對稱。(2)一般直線：構(gòu)建等量關(guān)系抓兩個關(guān)鍵點：垂直和中點。點關(guān)于直線對稱的點，則；。例7-1．函數(shù)關(guān)于原點對稱且當時，，求函數(shù)在時的解析式。()∵時，∴。例7-2．與方程()的曲線關(guān)于直線對稱的曲線的方程是()。A、()B、()C、()D、()A，，∴，∴，即，∴()，故選A。（五）賦值法：當題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。例5-1．已知，對于任意實數(shù)、，恒成立，則的解析式為。令，則有，再令，則。三、函數(shù)的值域（一）直接法1、觀察法：通過觀察如，或等函數(shù)的定義域及性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的解析式，應(yīng)用不等式性質(zhì)，可直接求得函數(shù)的值域。例6-1．函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、D，故，∴值域為，故選D。注意：算術(shù)平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數(shù)的非負性，(2)值的非負性。2、利用配方法：型如()型或可轉(zhuǎn)化為二次型的函數(shù)，用此種方法，注意自變量的范圍。例6-2．函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、A，∴值域為，故選A。3、數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于圖象的直觀性來求函數(shù)的值域，是一種常見的方法，如何將給定函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型是解答此類問題的關(guān)鍵。例6-3．函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、D原函數(shù)化為，其圖像如圖，原函數(shù)值域為，故選D。注意：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點，利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，是解決問題的重要方法。例6-4．在實數(shù)的原有運算中定義新運算“”如下：當時，；當時，。設(shè)函數(shù)，，則的值域為()。A、B、C、D、B由題意知，即當時，即當時，∴當，則的值域為，故選B。（二）利用分離常數(shù)法：1、型如時，可化簡成的格式，∵分母不為零，∴。例7-1．函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、C，∴原函數(shù)的值域為，故選C。2、型如的函數(shù)，可化簡成的格式，再求值域。例7-2．函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、B，∵，∴，∴原函數(shù)的值域為，故選B。（三）利用基本不等式：1、型如時，直接應(yīng)用不等式性質(zhì)。例8-1．函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、B∵，∴，∴值域為，故選B。2、(1)型如：①若，則(當且僅當即當時取“=”)，②若，則(當且僅當即時取“=”)；(2)型如(，)：①若，則(當且僅當即時取“=”)，②若，則(當且僅當即時取“=”)；例8-2．函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、A若，，若，，∴值域為，故選A。3、型如時，應(yīng)先應(yīng)用分離常數(shù)法化簡成的格式，再利用均值不等式求值域。例8-3．函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、B，∴值域為，故選B。4、型如時，應(yīng)討論時的值域，再討論化簡成型，最后利用均值不等式求值域。例8-4．函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、D當時，，當時，，時，，時，，∴的值域為，故選D。（四）利用換元法：型如型，可用此法求其值域。例9-1．函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、B法一(換元法)：令，則且，則，∵，∴，∴的值域為，故選D。法二(單調(diào)性法)：容易判斷為增函數(shù)，而其定義域應(yīng)滿足，即，∴，∴的值域為，故選B。（五）利用函數(shù)的單調(diào)性：若函數(shù)是上的單調(diào)增(減)函數(shù)，則、分別是在區(qū)間上取得最小(大)值、最大(小)值。例10-1．已知，且滿足，則函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、A∵，則原式與同解，解之得，又，將代入中，得且，函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)遞增，故只需比較邊界的大小，當時，；當時，，∴函數(shù)的值域為，故選A。（六）判別式法：型如(、不同時為零)及的函數(shù)求值域，通常把其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元二次方程，由判別式，求得的取值范圍，即為原函數(shù)的值域。例11-1．函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、C法一(配方法)：，又，∴，∴，∴值域為，故選C。法二(判別式法)：由，，得，∵時，∴，又∵，∴，∴，∴值域為，故選C。（七）反函數(shù)法：1、直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例12-1．函數(shù)值域為()。A、B、C、D、B設(shè)，則，分母不等于，即。即函數(shù)的值域為。注意：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。2、直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。例12-2．函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、B設(shè)，由原式得，∴，即函數(shù)的值域為，故選B。（八）倒數(shù)法：有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另一番境況。例13-1．函數(shù)的值域為()。A、B、C、D、C設(shè)，當時，，當時，，∴，∴綜上，即函數(shù)的值域為，故選C。（九）導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求