巖土工程的可靠度分析

PAGE35巖土工程的可靠度分析與應(yīng)用5.1結(jié)構(gòu)可靠度的基本理論和研究概況5.1.1巖土工程結(jié)構(gòu)可靠度是指巖土工程結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，在規(guī)定的條件下完成預(yù)定功能的概率。應(yīng)當(dāng)指出，經(jīng)典可靠度理論與方法除了適合于一般意義上的結(jié)構(gòu)以外，也適合于巖土工程結(jié)構(gòu)的可靠度分析。為了敘述及學(xué)習(xí)經(jīng)典可靠度理論的方便，以下經(jīng)常將巖土工程結(jié)構(gòu)簡稱為結(jié)構(gòu)、工程、工程結(jié)構(gòu)等。他包括以下三個(gè)方面的要求：（1）安全性。結(jié)構(gòu)在正常施工和正常使用時(shí)就能承愛可能出現(xiàn)的各種作用，以及在偶然事件發(fā)生時(shí)及發(fā)生后應(yīng)能保持必需的整體穩(wěn)定性。（2）適用性。結(jié)構(gòu)在正常使用時(shí)就能滿足預(yù)定的使用功能。（3）耐久性。結(jié)構(gòu)在正常維護(hù)下，材料性能隨時(shí)間變化，仍應(yīng)能滿足預(yù)定的功能要求。結(jié)構(gòu)的功能通常以極限狀態(tài)為標(biāo)志，結(jié)構(gòu)到達(dá)他不能完成預(yù)定功能之前的一種臨界狀態(tài)，稱為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)。極限狀態(tài)可以通過功能函數(shù)體現(xiàn)。功能函數(shù)中的隨機(jī)變量一般可以用兩個(gè)基本變量即抗力和荷載效應(yīng)代表，通常是材料特性、單元或結(jié)構(gòu)尺寸的函數(shù)，則是外荷載、材料密度、結(jié)構(gòu)尺寸的函數(shù)。我們約定，大寫字母代表隨機(jī)變量，大寫黑體字母表示隨機(jī)向量，含下標(biāo)的大寫字母表示隨機(jī)向量的一個(gè)分量，小寫字母代表隨機(jī)變量的一個(gè)實(shí)現(xiàn)或確定性變量，小寫黑體字母表示隨機(jī)向量的一個(gè)實(shí)現(xiàn)或確定性設(shè)計(jì)向量。巖土工程結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)可以寫為 （5-1）功能函數(shù)表示失效，表示安全。假設(shè)抗力和荷載效應(yīng)都是連續(xù)隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)分別用和表示，兩者的聯(lián)合概率密度函數(shù)寫作。結(jié)構(gòu)的失效概率就定義為抗力小于作用在他上面的荷載效應(yīng)的概率，即 （5-2）如果和相互獨(dú)立，則，從而 （5-3）實(shí)際工程中許多隨機(jī)參數(shù)不能簡單地歸結(jié)為抗力或荷載效應(yīng)的變量，因此功能函數(shù)常表示為更一般的形式，其中代表基本隨機(jī)向量。于是巖土工程的失效概率可以寫成 （5-4）這里表示維基本隨機(jī)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。因此，巖土工程結(jié)構(gòu)可靠度分析的關(guān)鍵是聯(lián)合概率密度函數(shù)在失效域上的積分運(yùn)算。他的求解方法包括解析法、近似數(shù)值法和模擬法。只有當(dāng)積分域非常規(guī)則且被積函數(shù)比較簡單的情況下才可能由解析法得到準(zhǔn)確的失效概率值，更多的時(shí)候需要利用數(shù)值方法近似求解。由于直接利用數(shù)值積分的辦法（如Simpson公式、Laguerre-Gauss積分公式、Gauss-Hermite積分公式等）需要花費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間，其應(yīng)用范圍也非常有限，所以一次/二次可靠度算法以及其他一些近似計(jì)算方法得到發(fā)展和完善。這些近似方法都要求概率密度函數(shù)連續(xù)，對于離散型的隨機(jī)變量則不再適用，而MonteCarlo模擬法則沒有這個(gè)限制。早在20世紀(jì)初，前蘇聯(lián)學(xué)者就開始應(yīng)用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的方法研究荷載及材料強(qiáng)度的離散性，從而開啟了概率方法在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。隨后一批學(xué)者在他們的研究中建立了二階矩和失效概率的概念，在容許應(yīng)力方法的框架內(nèi)用統(tǒng)計(jì)的方法定量地分析安全系數(shù)的取值問題。然而一直到70年代，Cornell（1969）提出在結(jié)構(gòu)可靠度分析中直接應(yīng)用與失效概率相聯(lián)系的指標(biāo)來衡量結(jié)構(gòu)可靠度，并建立了結(jié)構(gòu)可靠度分析的一次二階矩陣?yán)碚?，這種方法才逐漸為人們所接受。在國內(nèi)，以趙國藩為代表的許多學(xué)者開展了深入研究，為可靠度理論的研究和應(yīng)用做出了重要貢獻(xiàn)（趙國藩，1996）。5.1.2MonteCarlo模擬法又稱隨機(jī)抽樣法或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法。采用MonteCarlo模擬法求可靠度時(shí)，首先生成０到１之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，根據(jù)各隨機(jī)變量的分布類型進(jìn)行概率轉(zhuǎn)換，然后作為隨機(jī)變量的一個(gè)實(shí)現(xiàn)把他代入功能函數(shù)判斷是否小于０，小于０則認(rèn)為失效，大于０則表示安全，最后定義失效概率等于導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效的抽樣點(diǎn)數(shù)與總抽樣數(shù)的比值。MonteCarlo法的優(yōu)點(diǎn)是程序容易實(shí)現(xiàn)，穩(wěn)健性好，可以考慮任何分布類型，而且功能函數(shù)的形式對計(jì)算結(jié)果沒有影響。這種方法的最大缺點(diǎn)是效率比較低，為了獲得一定精度的結(jié)果通常需要進(jìn)行大量抽樣，計(jì)算方面的花費(fèi)比較多，特別是當(dāng)功能函數(shù)的計(jì)算需要借助有限元分析時(shí)尤其費(fèi)時(shí)。MonteCarlo法按照抽樣方式的不同可以分為直接抽樣法和改進(jìn)抽樣法。改進(jìn)抽樣法主要有重要抽樣法、方向抽樣法、條件期望法、軸正交抽樣法等等。5.1.3即使采用一些抽樣技巧提高效率，MonteCarlo法需要的計(jì)算量仍然比較大，所以工程界多采用近似的方法，一次/二次可靠度計(jì)算方法是應(yīng)用最普遍的方法。他們源自20世紀(jì)40年代提出的二階矩模式。需要指出的是通常的二階矩模式僅利用了隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而一次/二次可靠度計(jì)算方法則考慮了隨機(jī)變量的概率分布，是一種全概率的計(jì)算方法（Bjerager，1990）。1.Cornell可靠指標(biāo)Cornell提出在結(jié)構(gòu)可靠度分析中應(yīng)用直接與失效概率相聯(lián)系的指標(biāo)來衡量結(jié)構(gòu)可靠度，并建立了結(jié)構(gòu)可靠度分析的一次二階矩理論。由于當(dāng)時(shí)的計(jì)算在隨機(jī)變量的均值點(diǎn)完成，而且僅僅考慮了隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，因而該方法通常被稱作均值點(diǎn)一次二階矩方法（meanvaluefirstordersecondmoment），或中心點(diǎn)一次二階矩方法。假定抗力和荷載效應(yīng)都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，于是功能函數(shù)也是正態(tài)隨機(jī)變量。Cornell可靠指標(biāo)定義為 （5-5）定義失效概率等于 （5-6）式中，是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。將這種思想擴(kuò)展到多個(gè)變量、功能函數(shù)非線性的情況。即將結(jié)構(gòu)功能函數(shù)在各隨機(jī)變量的均值處線性展開，即 （5-7）他的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為 （5-8）根據(jù)公式（5-5）可以得到他的Cornell可靠指標(biāo)。2.HL可靠指標(biāo)許多算例表明，Cornell定義的可靠指標(biāo)，對于具有相同失效面而數(shù)學(xué)形式不同的功能函數(shù)，結(jié)果不具有唯一性。Hasofer和Lind（1974）從可靠指標(biāo)的幾何意義出發(fā)對他進(jìn)行了重新定義，保證他的不變性。把隨機(jī)向量轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)形式（均值等于０，標(biāo)準(zhǔn)差等于１） （5-9）式中，表示標(biāo)準(zhǔn)差的對角矩陣；是對相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行Cholesky分解得到的下三角矩陣，功能函數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)向量的形式 （5-10）HL可靠指標(biāo)就定義為在標(biāo)準(zhǔn)變換后的空間中坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的最短距離 （5-11）該優(yōu)化問題的最優(yōu)解被稱作驗(yàn)算點(diǎn)（設(shè)計(jì)點(diǎn)）或最可能失效概率點(diǎn)（mostprobablefailurepoint），因而該計(jì)算過程通常被稱作改進(jìn)的一次二階矩方法（advancedfirstordersecondmoment）或驗(yàn)算點(diǎn)一次二階矩方法。如果功能函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)變量的線性函數(shù)，則利用式（5-11）可以直接計(jì)算出HL可靠指標(biāo)，如果他是非線性函數(shù)，則需要進(jìn)行迭代求解。Shinozuka（1983）根據(jù)HL可靠指標(biāo)的定義，利用優(yōu)化方法進(jìn)行求解。Parkinson（1980）根據(jù)正態(tài)化的公式，把原本應(yīng)該在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間迭代的計(jì)算過程轉(zhuǎn)化到原始空間，建立了在原始空間的迭代公式，該公式在形式上與Newton-Raphson公式是一致的。利用HL可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)構(gòu)的失效概率。定義新的隨機(jī)變量（是從坐標(biāo)原點(diǎn)到驗(yàn)算點(diǎn)的單位向量），他的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)假定分別為和（圖5-1），故結(jié)構(gòu)的失效概率 （5-12）如果是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)向量，則根據(jù)概率論原理可知新的隨機(jī)變量是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，即 （5-13）圖5-1標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間中的HL可靠指標(biāo)3.廣義可靠指標(biāo)Ditlevsen（1979）指出HL可靠指標(biāo)對線性的功能函數(shù)是精確的，對于非線性的功能函數(shù)，則可能與真實(shí)的可靠度不一致。從圖5-1可以看出，線性的功能函數(shù)和非線性的功能函數(shù)只要驗(yàn)算點(diǎn)相同就具有相同的HL可靠指標(biāo)，而他們的真實(shí)失效概率并不相等。為了克服這個(gè)困難，Ditlevsen提出了廣義可靠指標(biāo)的概念。首先精確計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率，然后用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)計(jì)算廣義可靠指標(biāo)，即 （5-14）式中，代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)。4.一次/二次可靠度算法在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠度具有顯著優(yōu)點(diǎn)。正態(tài)分布概率密度函數(shù)值只與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離有關(guān)，而且隨距離的增大呈指數(shù)形式衰減，從而結(jié)構(gòu)失效概率主要取決于功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)附近的性質(zhì)，因此大量的可靠度計(jì)算都在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間進(jìn)行。如果原始變量不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則需要實(shí)施轉(zhuǎn)換。如果只知道隨機(jī)變量的均值向量和方差矩陣，通常假定他服從正態(tài)分布，線性變換公式（5-9）就建立在該假定基礎(chǔ)上。由于隨機(jī)變量并非都服從正態(tài)分布，僅僅利用他的均值和標(biāo)準(zhǔn)差是不充分的，有必要包含他的具體分布形式。從原始分布到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率變換通常是非線性變換，他一般可以寫成 （5-15）利用該變換，如果可靠指標(biāo)仍然表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的最短距離，定義結(jié)構(gòu)的失效概率為 （5-16）由于該計(jì)算失效面用一個(gè)超平面近似，又因?yàn)樵跇?biāo)準(zhǔn)化變換中依據(jù)的不僅是隨機(jī)變量的前兩階統(tǒng)計(jì)矩，還涉及他的概率分布函數(shù)，該計(jì)算過程被稱作一次可靠度算法FORM(FirstorderReliabilityMethod)。這里需要指出的是，F(xiàn)ORM是全概率方法，從原始隨機(jī)變量空間到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的變換是精確的，而一次二階矩法FOSM僅僅利用了各隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，實(shí)際隱含了正態(tài)分布的假定（Bjerager，1990）。一次可靠度算法以其計(jì)算簡便，大多數(shù)情況下計(jì)算精度能滿足工程應(yīng)用要求而被工程界接受。但在有些情況下，如結(jié)構(gòu)功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)附近的非線性程度較高，或者隨機(jī)變量的分布偏離正態(tài)分布比較遠(yuǎn)時(shí)，一次可靠度分析方法的結(jié)果與精確解相差過大。由于一些特別重要的結(jié)構(gòu)對可靠度精度的要求較高，研究具有較高準(zhǔn)確度的計(jì)算方法是非常必要的。最自然的做法是在驗(yàn)算點(diǎn)處用功能函數(shù)的二次近似代替線性近似，這就是二次可靠度算法SORM(SecondorderReliabilityMethod)。但是，這些方法計(jì)算復(fù)雜，不便應(yīng)用。近年來，一些學(xué)者應(yīng)用數(shù)學(xué)逼近中的Laplace漸近方法研究結(jié)構(gòu)的可靠度問題（Breitung，1991）。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)附近的非線性程度較高時(shí)，漸近方法的結(jié)果能以較高的精度逼近精確結(jié)果。5.1.4對于大量的工程問題，功能函數(shù)不光滑，通常基于梯度的一次/二次可靠度算法不再適用，或者函數(shù)的計(jì)算需要花費(fèi)大量的時(shí)間，這時(shí)利用一個(gè)簡單的函數(shù)近似原函數(shù)是非常必要的。應(yīng)用最廣泛的近似函數(shù)生成方法是響應(yīng)面法（responsesurfacemethod）。Faravelli（1989）根據(jù)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)理論，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中確定采樣點(diǎn)位置，利用這些數(shù)據(jù)生成響應(yīng)面，繼而進(jìn)行可靠度計(jì)算。Bucher和Bourgund（1990）提出了一種通過改變中心點(diǎn)位置來改進(jìn)響應(yīng)面精度的構(gòu)造方法，并且與MonteCarlo模擬法結(jié)合起來進(jìn)行可靠度分析。Liu和Moses（1994）通過構(gòu)造序列響應(yīng)面逐漸獲得具有較好逼近效果的近似，用該方法分析了飛機(jī)結(jié)構(gòu)體系可靠度問題。Wong（1985）為了提高精度，在響應(yīng)面函數(shù)中增加了二次交叉項(xiàng)，利用這樣的響應(yīng)面分析了邊坡的穩(wěn)定性可靠度問題。Zheng和Das（2000）首先構(gòu)造功能函數(shù)的線性近似，隨后增加二次項(xiàng)以提高計(jì)算精度，最后對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。Wang和Grandhi（1994）充分借鑒優(yōu)化理論的成功經(jīng)驗(yàn)，研究了利用前后兩點(diǎn)信息構(gòu)造功能函數(shù)的近似形式，并利用該近似計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度以提高計(jì)算效率。5.1.5從設(shè)計(jì)方法的發(fā)展來看，現(xiàn)行的設(shè)計(jì)法實(shí)質(zhì)上只是結(jié)構(gòu)構(gòu)件的設(shè)計(jì)法。對于整個(gè)結(jié)構(gòu)（結(jié)構(gòu)體系）的可靠度，處理原則是：“如果結(jié)構(gòu)的所有構(gòu)件安全可靠，則結(jié)構(gòu)（結(jié)構(gòu)體系）同樣是安全可靠的”。但是，結(jié)構(gòu)真實(shí)的可靠度只有通過結(jié)構(gòu)體系可靠度分析才有可能合理解決。結(jié)構(gòu)體系可靠度分析主要包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：主要失效模式的尋找和失效概率的計(jì)算。實(shí)際結(jié)構(gòu)往往比較復(fù)雜，存在多個(gè)失效模式。進(jìn)行可靠度分析時(shí)，人們期望能夠包括所有對體系可靠度貢獻(xiàn)比較大的失效模式。在應(yīng)用體系可靠度方面一個(gè)比較大的困難就在于確定主要失效模式。確定主要失效模式有兩種方式：塑性模型和失效路徑法?；谒苄阅Ｐ偷姆椒▉碓从跇O限分析法（Gorman，1981）。Ditlevsen和Bjerager（1984）利用極限分析中的上下限定理，借助優(yōu)化計(jì)算確定理想剛塑性框架的主要失效模式，研究了他的體系可靠度問題。Corotist和Nafday（1989）利用線性規(guī)劃的辦法結(jié)合MonteCarlo模擬法研究了體系可靠度的計(jì)算問題。利用失效路徑法進(jìn)行體系可靠度分析的有：Murotsu等（1980）利用矩陣分析方法研究超靜定桁架結(jié)構(gòu)體系失效模式的生成，并計(jì)算失效概率。Moses（1982）在分析彈塑性桁架和框架的體系可靠度時(shí)提出生成失效模式的增量荷載法（incermentalloadmethod）。董聰和馮元生（1991）將廣度優(yōu)先搜索策略引入失效模式識別領(lǐng)域，建立了階段臨界強(qiáng)度分支約界方法。Thoft-Christensen和Murotsu（1996）在他們的論著中系統(tǒng)地介紹了失效模式的生成辦法以及失效概率的計(jì)算方法，特別詳細(xì)介紹了展開法和分支約界法。前面介紹的各種方法關(guān)注的焦點(diǎn)都是失效事件，與此相反的另一條途徑是穩(wěn)定構(gòu)型法（stableconfiguration/survivalsetapproach），他可以估計(jì)體系失效概率的上限。這種方法在計(jì)算工作量方面要高于失效模式法。結(jié)構(gòu)體系可靠度的計(jì)算過程與構(gòu)件可靠度類似，都需要進(jìn)行多維積分運(yùn)算，不同之處在于積分域的限定，體系可靠度計(jì)算的積分域由多個(gè)失效模式根據(jù)一定的邏輯運(yùn)算確定，而構(gòu)件可靠度的積分域則依據(jù)一個(gè)函數(shù)確定。Hohenbichler和Rackwitz（1983）提出了該積分運(yùn)算的一次近似方法，這種方法目前應(yīng)用比較多。Gollwitzer和Rackwitz（1983）提出了更好的近似辦法，功能函數(shù)的展開點(diǎn)選擇在聯(lián)合驗(yàn)算點(diǎn)，而且增加了一些校正因子以考慮二次項(xiàng)的影響。Pandey（1998）在前人工作的基礎(chǔ)上，發(fā)展了利用條件可靠指標(biāo)的多維積分算法。Mori和Kato（2003）構(gòu)造了重要抽樣法的多維積分計(jì)算方法。確定體系失效概率的上下界在某些情況下是非常必要的。Cornell（1967）開展了早期的串聯(lián)體系失效概率的簡單界限研究工作。Ditlevsen（1979）推導(dǎo)了二階界限公式。Grgig（1992）認(rèn)為當(dāng)失效模式間高度相關(guān)時(shí)，二階界限法的結(jié)果比較差，于是推導(dǎo)了三階甚至更高階的界限公式。對并聯(lián)體系的失效概率的界限計(jì)算方法則研究的比較少，只得到一些比較粗糙的界限。5.1.6有限元法作為20世紀(jì)發(fā)展起來并逐漸成熟的一種數(shù)值分析方法，已成為力學(xué)領(lǐng)域最重要和最輝煌的一個(gè)方面。以有限元方法為代表的計(jì)算力學(xué)極大地增強(qiáng)了經(jīng)典力學(xué)解決自然科學(xué)和工程問題的計(jì)算能力，實(shí)現(xiàn)了大量復(fù)雜力學(xué)問題的數(shù)值求解，擴(kuò)展了力學(xué)研究的領(lǐng)域，逐漸成為與實(shí)驗(yàn)、理論并列的力學(xué)研究三大支柱之一；另外，他的發(fā)展極大地改變了整個(gè)工程設(shè)計(jì)的面貌，不僅使許多過去無法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜工程分析成為現(xiàn)實(shí)，而且可以采用優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法能動地優(yōu)選設(shè)計(jì)方案，提高了設(shè)計(jì)水平和產(chǎn)品性能，縮短了設(shè)計(jì)周期，并將力學(xué)與工程更緊密地聯(lián)系在一起。這里談及的一些數(shù)值計(jì)算方法均是以確定性方法進(jìn)行分析的，也就是沒有考慮實(shí)際問題中的不確定因素。然而從前面的論述可以看到不計(jì)及不確定因素的分析方法無法正確地判斷結(jié)構(gòu)的安全可靠度。因此把考慮不確定因素的方法引入到有效的數(shù)值分析方法中自然就具有重大的意義。把概率分析部分整合到有限元分析中，求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率分布特性及可靠度的辦法有兩種。一種是隨機(jī)有限元法（stochasticfiniteelementmethod）。他在隨機(jī)場概念的基礎(chǔ)上，把材料特性的變異性融入到有限元分析過程中，分析這些隨機(jī)性對結(jié)果的影響情況。早期在有限元中處理隨機(jī)變異性的方法是攝動法（Vanmarcke和Grigoriu，1983）。采用Taylor技術(shù)開展只能得到小隨機(jī)問題響應(yīng)的前兩階攝動解，而且數(shù)值解不太穩(wěn)定，Yamazaki等（1988）利用Neumann級數(shù)展開推導(dǎo)出計(jì)算響應(yīng)變異的有限元格式，提高了結(jié)果的精度和適應(yīng)性。這種展開方法的缺點(diǎn)是他需要結(jié)合MonteCarlo抽樣計(jì)算響應(yīng)的前兩階統(tǒng)計(jì)矩，而且更高階矩的計(jì)算仍然非常困難。Spanos和Ghanem（1989）提出了基于Galerkin形式的改進(jìn)Neumann級數(shù)展開，并且在實(shí)際工程中得到應(yīng)用。另外一種是把概率分析部分和現(xiàn)成的有限元程序相對獨(dú)立地連接起來。這種做法有一個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)，他可以直接利用經(jīng)過實(shí)踐檢驗(yàn)的已經(jīng)較為完善的有限元軟件，從而計(jì)算各種結(jié)構(gòu)的可靠度問題。但其缺點(diǎn)是機(jī)時(shí)比較大，而且通常不能處理隨機(jī)場問題。因?yàn)橛邢拊治霾糠忠话阕鳛榛惊?dú)立的模塊，僅為概率計(jì)算提供功能函數(shù)值，功能函數(shù)對隨機(jī)變量的梯度需要采用有限差分的方法得到。Maymon（1994）在商用軟件ANSYS平臺上利用他的APDL語言成功地實(shí)現(xiàn)了利用確定性分析軟件計(jì)算驗(yàn)算點(diǎn)位置。Borri和Speranzini（1997）同樣在ANSYS平臺上利用其優(yōu)化模塊計(jì)算驗(yàn)算點(diǎn)位置，分析結(jié)構(gòu)的可靠度。CALREL在有限元程序FEAP上集成了一次可靠度算法、二次可靠度算法、MonteCarlo模擬法，他既可以分析元件可靠度，也能夠分析體系可靠度。COSSAN(ComputationalStochasticStructuralAnalysis)提供了響應(yīng)面分析和各種MonteCarlo抽樣方法（重要抽樣、自適應(yīng)抽樣），在分析方面借助外界的有限元分析程序。PROBAN(PROBabilisticAnalysis)是VeritasSesamSystems公司推出的商用概率分析軟件，他可以分析構(gòu)件和體系的可靠度及其靈敏度、確定響應(yīng)的概率分布，主要分析方法有一次/二次可靠度算法、MonteCarlo模擬法、拉丁超立方抽樣和其他一些抽樣方法。NESSUS可以計(jì)算累積概率分布函數(shù)、失效概率、結(jié)構(gòu)可靠度、體系可靠度、故障樹分析。COMPASS(ComputerMethodsforProbabilisticAnalysisofStructuresandSystems)是Martec公司開發(fā)的一個(gè)隨機(jī)體系可靠度和風(fēng)險(xiǎn)分析軟件，還可以計(jì)算疲勞累計(jì)損傷、隨機(jī)斷裂力學(xué)，建立復(fù)合失效準(zhǔn)則。國內(nèi)西北工業(yè)大學(xué)曾經(jīng)開發(fā)過一個(gè)結(jié)構(gòu)靜強(qiáng)度可靠度計(jì)算程序，其中包含了桿單元、四邊形/三角形板單元、空間梁單元、三角形殼單元。構(gòu)件失效定義為單元重心處的應(yīng)力超過許用應(yīng)力，體系失效定義為剛度陣奇異、結(jié)構(gòu)變形超過限值。浙江大學(xué)的金偉良等基于海洋平臺結(jié)構(gòu)分析軟件SACS開發(fā)了具有針對性的可靠度計(jì)算程序，可以進(jìn)行FORM、SORM和重要抽樣法計(jì)算可靠度。5.2改進(jìn)的一次可靠度迭代算法在所有可靠度分析方法中，一次迭代算法的應(yīng)用最廣泛。該方法公式簡潔、計(jì)算效率高、需要存儲的數(shù)據(jù)較少，如果結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的性態(tài)良好、初始迭代點(diǎn)選擇得比較恰當(dāng)，則迭代能夠很快收斂，而且結(jié)果精度基本滿足工程要求，已為國際結(jié)構(gòu)安全聯(lián)合會所推薦使用。但是，某些情況下由于初始迭代點(diǎn)的位置選擇不合適，或者結(jié)構(gòu)功能函數(shù)在靠近驗(yàn)算點(diǎn)的區(qū)域線性近似的誤差較大，則不能保證迭代過程的收斂性。李剛等人（李剛等，2004）首先對該問題進(jìn)行研究，提出了一種改進(jìn)的計(jì)算方法，在不增加太多額外計(jì)算量的情況下拓展了算法的適用范圍。為了提高實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的可靠度計(jì)算效率，Wang和Grandhi（1994）將過去優(yōu)化理論的函數(shù)近似成功經(jīng)驗(yàn)拓展應(yīng)用到結(jié)構(gòu)可靠度分析中，建立了兩點(diǎn)自適應(yīng)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)近似方法，但是在具體實(shí)施過程中經(jīng)常遇到算法失效的困難。再者，原方法需要精確估計(jì)函數(shù)的非線性程度，而事實(shí)上這種在提高近似精度方面花費(fèi)的計(jì)算與獲得的受益是不相稱的，也是不必要的。因此，李剛等人（李剛等，2004）采用整型指數(shù)替換原來的實(shí)指數(shù)，改進(jìn)了確定該指數(shù)的具體過程，最終與一次可靠度迭代算法的改進(jìn)結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)與通用有限元軟件的集成，形成可以對復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度分析的軟件系統(tǒng)，并應(yīng)用于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的可靠度評估。5.2.1一次可靠指標(biāo)的計(jì)算可以按式（5-11）計(jì)算。如果隨機(jī)變量不服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則需要進(jìn)行概率變換。HL算法僅利用了原始隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，是一個(gè)線性變換，一次可靠度算法則考慮了原始隨機(jī)變量的分布，即Rosenblatt變換或Nataf變換 （5-17）通常情況下該過程是非線性的，只有當(dāng)所有的原始隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布時(shí)才是線性的。因此求解優(yōu)化模型式（5-11）一般需要進(jìn)行迭代，計(jì)算過程可以采用常用的優(yōu)化算法，如梯度投影法、罰函數(shù)法、增廣Lagrangian法、序列規(guī)劃法等，也可以使用迭代方法。李剛等人（李剛等，2004）在計(jì)算中使用的一次可靠度迭代算法程序段是由丹麥Aalborg大學(xué)Sorensen教授編寫的Pradsr，其中包含了12種隨機(jī)變量分布類型，能夠處理具有相關(guān)性的問題，并可以計(jì)算可靠指標(biāo)及其對各參量的靈敏度。一次可靠度迭代方法的基本步驟如下：（1）假定初始驗(yàn)算點(diǎn)。（2）利用Nataf變換計(jì)算在原始隨機(jī)空間的對應(yīng)點(diǎn)，計(jì)算功能函數(shù)值。（3）計(jì)算Jacobian矩陣在的值，即 （5-18）（4）計(jì)算當(dāng)前點(diǎn)功能函數(shù)對隨機(jī)變量的梯度向量。（5）計(jì)算功能函數(shù)在處對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的梯度向量 （5-19）（6）在處把功能函數(shù)線性展開，即 （5-20）（7）計(jì)算驗(yàn)算點(diǎn)位置，即 （5-21）（8）判斷驗(yàn)算點(diǎn)的收斂性，不等式成立則計(jì)算可靠指標(biāo)和失效概率，即 （5-22）退出迭代過程。（9），轉(zhuǎn)向第（2）步驟繼續(xù)下一輪迭代。5.2.2實(shí)際工程中許多問題的功能函數(shù)非線性程度不太高，特別是在靠近驗(yàn)算點(diǎn)的附近比較平滑，基于迭代的一次算法可以很快收斂，而且結(jié)果精度基本能夠滿足工程要求。然而，一些問題的極限狀態(tài)曲面在驗(yàn)算點(diǎn)附近的曲率比較大，反映在功能函數(shù)的梯度向量變化比較劇烈，此時(shí)功能函數(shù)的Taylor展開式中的二階項(xiàng)及更高階項(xiàng)與線性項(xiàng)相比已經(jīng)不再是高階小量，甚至可能比線性項(xiàng)更重要。對于這樣的問題，如果依舊采用上述基于Taylor線性近似的算法計(jì)算，迭代序列則可能在驗(yàn)算點(diǎn)附近的一定區(qū)域內(nèi)振蕩（周期或非周期）而不收斂。另外，如果初始迭代點(diǎn)的位置選擇得不合適，也可能導(dǎo)致迭代序列的振蕩，因此，合適的初始迭代點(diǎn)也是保證迭代過程收斂的必要條件。如何改進(jìn)該一次可靠度迭代算法的迭代格式、改善收斂性質(zhì)、拓寬適用范圍就變得非常必要。Rackwitz等提出了兩個(gè)解決辦法：其一是用前兩次的迭代點(diǎn)組合得到近似驗(yàn)算點(diǎn)；其二是通過增加兩個(gè)子迭代過程來提高他的收斂性。但是前者不能保證迭代的收斂，后者需要花費(fèi)的計(jì)算量比較大（LiuPL和Kiureghian，1991）。Liu和Kiureghian（1991）指出了該方法對某些問題不能收斂的困難，提出增加一個(gè)效益函數(shù) （5-23）來監(jiān)控迭代過程的收斂。由于該效益函數(shù)的極小值點(diǎn)可能不是原問題的解，Zhang和Kiureghian建議采用一種新的效益函數(shù)形式（Kiureghian和Dakessian，1998） （5-24）李剛等人（李剛等，2004）對一次算法迭代過程增加了一定的處理手段，改善了收斂性，增強(qiáng)了適用性。一個(gè)基本的解決思想是：在接近驗(yàn)算點(diǎn)時(shí)，如果極限狀態(tài)曲面的曲率較大，則在迭代每一步根據(jù)當(dāng)前迭代點(diǎn)處的功能函數(shù)值決定是否對當(dāng)前點(diǎn)的位置進(jìn)行調(diào)整，盡可能減小他與真實(shí)驗(yàn)算點(diǎn)的偏離，使之逐漸靠攏真實(shí)驗(yàn)算點(diǎn)。改進(jìn)算法的具體過程是：（1）假定初始驗(yàn)算點(diǎn)（在后邊算例中每個(gè)分量的初始值都取為0.1）。（2）利用Nataf變換計(jì)算在原始隨機(jī)空間的對應(yīng)點(diǎn)（這里考慮了隨機(jī)變量的分布情況和相關(guān)變量間的獨(dú)立化），繼而計(jì)算功能函數(shù)。（3）計(jì)算Jacobian矩陣在的值，見式（5-18）。（4）計(jì)算當(dāng)前點(diǎn)功能函數(shù)對隨機(jī)變量的梯度向量。（5）計(jì)算功能函數(shù)在處對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的梯度向量，見式（5-19）。（6）在處把功能函數(shù)線性展開，見式（5-20）。（7）計(jì)算和坐標(biāo)原點(diǎn)在超平面上的投影點(diǎn)和，即 （5-25）（8）引入整型移動參量。（9）假定新的設(shè)計(jì)點(diǎn)位置為 （5-26）（10）計(jì)算功能函數(shù)在處的函數(shù)值，判斷其是否小于（是收斂因子，他的大小影響收斂速度，通?？扇?.5）。不小于，則說明取當(dāng)前位置時(shí)函數(shù)值的下降程度不夠，于是轉(zhuǎn)到第（9）步改變設(shè)計(jì)點(diǎn)的位置。（11）判斷迭代收斂與否。收斂判據(jù)為（后邊算例中，該收斂判據(jù)中取。為了防止功能函數(shù)在接近坐標(biāo)平面時(shí)曲面比較平緩從而可能導(dǎo)致可靠指標(biāo)的誤差較大，我們在這些算例中加一個(gè)判據(jù)，判斷目標(biāo)函數(shù)的絕對值是否小于）。滿足條件，則計(jì)算失效概率及其對分布參數(shù)的敏感度，然后退出迭代過程，否則進(jìn)行下一步。（12），轉(zhuǎn)向第（2）步驟繼續(xù)下一輪迭代。如果公式（5-26）中，則，該方法退化為一次可靠度迭代方法；如果，，該過程就相當(dāng)于一個(gè)求解非線性方程的迭代算法。該改進(jìn)是兩者的結(jié)合。我們用圖5-2來做進(jìn)一步說明：經(jīng)過幾次迭代得到當(dāng)前點(diǎn)A，直線1就是；如果用一次可靠度迭代方法計(jì)算，B點(diǎn)就是下次的迭代點(diǎn)，C點(diǎn)就是我們這里的。隨著的增加，迭代點(diǎn)逐漸從B沿著直線1向C移動，從而逐漸靠近真實(shí)的驗(yàn)算點(diǎn)。該改進(jìn)算法可以有效地改善迭代過程的收斂性，降低算法對迭代初值的敏感性。盡管一些問題使一次可靠度迭代算法不收斂，但采用該改進(jìn)方法求解都得到了比較理想的結(jié)果。對于許多用一次可靠度迭代算法求解收斂的算例，采用改進(jìn)方法求解所需的迭代次數(shù)基本相同（即每次迭代都滿足步驟（11）的判據(jù)，從而使得），少數(shù)情況下所需的迭代次數(shù)有所增加（步驟（11）的條件不能滿足，需要增大值，調(diào)整近似驗(yàn)算點(diǎn)位置）。圖5-2改進(jìn)的一次可靠度迭代算法圖5-3例5-1的迭代過程5.2.3【例5-1】功能函數(shù)取為，隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征見表5-1。表5-1隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征隨機(jī)變量分布函數(shù)均值標(biāo)準(zhǔn)值正態(tài)函數(shù)105.0正態(tài)函數(shù)5-95.0此例的極限狀態(tài)曲線在驗(yàn)算點(diǎn)附近曲率比較大，而且他的外法向沿曲線改變較為劇烈。一次可靠度迭代算法不收斂，用上一節(jié)的改進(jìn)算法14次后收斂，最終可靠指標(biāo)等于2.226，在原空間驗(yàn)算點(diǎn)為（2.086，2.074），迭代歷程如圖5-3所示（圖中圓圈及數(shù)字為每次迭代設(shè)計(jì)點(diǎn)）。Wang和Grandhi（1994）得到了同樣的結(jié)果。假定兩個(gè)隨機(jī)變量的均值都等于10，標(biāo)準(zhǔn)差都等于5，分別用兩種方法重新進(jìn)行可靠度分析。如果給初始迭代點(diǎn)的兩分量賦相同的初值，用一次可靠度迭代算法求解能夠收斂，可靠指標(biāo)等于2.24；如果兩分量的初值不同，則采用一次可靠度算法求解時(shí)迭代序列發(fā)生振蕩，不收斂。同樣的問題，同樣的非線性程度，僅僅由于初始迭代點(diǎn)的不同就導(dǎo)致了一次可靠度迭代算法完全不同的收斂特性，說明該方法對迭代初值比較敏感。采用上述改進(jìn)算法計(jì)算則都能收斂，不同的初始迭代點(diǎn)僅僅影響收斂的速度，說明他減小了算法對初值的敏感性?！纠?-2】功能函數(shù)取為，隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征見表5-2。表5-2隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征隨機(jī)變量分布函數(shù)均值標(biāo)準(zhǔn)值正態(tài)函數(shù)105.0正態(tài)函數(shù)105.0該算例用一次可靠度迭代算法不收斂，用上一節(jié)的方法迭代歷程如圖5-4所示。由于該算例的非線性程度較高，改進(jìn)算法迭代25次，在原始空間的驗(yàn)算點(diǎn)為（1.816，1.462）可靠指標(biāo)為2.365。Wang和Grandhi（1994）在原始分布空間計(jì)算得到可靠指標(biāo)等于2.365，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間計(jì)算得到可靠指標(biāo)2.363?！纠?-3】功能函數(shù)取為，隨機(jī)變量分布類型及統(tǒng)計(jì)特征同表5-2。此例用一次可靠迭代算法不收斂，用一節(jié)的改進(jìn)算法迭代12次，收斂到（1.663，1.586）可靠指標(biāo)為2.298，具體迭代過程如圖5-5。圖5-4例5-2的迭代過程圖5-5例5-3的迭代過程這些算例的計(jì)算結(jié)果表明：少數(shù)情況下，由于極限狀態(tài)曲面在驗(yàn)算點(diǎn)附近的曲率比較大，功能函數(shù)的高階項(xiàng)不能忽略，如果仍然采用線性近似則誤差較大，從而導(dǎo)致迭代過程不能收斂。另外，如果初始迭代點(diǎn)的位置選擇得不合適，也有可能造成一次可靠度迭代過程的不收斂。使用5-2.2節(jié)的改進(jìn)算法可以拓寬算法的適用范圍，效率也比較高，而且沒有增加太多的計(jì)算量，從而證明了改進(jìn)算法的有效性。5.2.4上述一次可靠度迭代方法及其改進(jìn)算法主要適用于功能函數(shù)能夠?qū)懗鰯?shù)學(xué)解析表達(dá)式的情形。對于那些功能函數(shù)不能夠?qū)憺殡S機(jī)變量解析式的復(fù)雜結(jié)構(gòu)來說，實(shí)際結(jié)構(gòu)可靠度分析需要調(diào)用有限元程序計(jì)算結(jié)構(gòu)的功能響應(yīng)，這時(shí)雖然算法仍然適用，但是計(jì)算過程中每迭代一步都需要進(jìn)行多次結(jié)構(gòu)分析和梯度計(jì)算（如果梯度采用差分計(jì)算，則一次梯度計(jì)算相當(dāng)于次結(jié)構(gòu)分析，為功能函數(shù)中的隨機(jī)變量個(gè)數(shù)）。通常情況下結(jié)構(gòu)有限元分析一次花費(fèi)的時(shí)間要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于對一個(gè)具有解析表達(dá)式的功能函數(shù)進(jìn)行可靠度計(jì)算所花費(fèi)的時(shí)間，結(jié)構(gòu)有限元分析次數(shù)是決定工程問題可靠度計(jì)算效率的關(guān)鍵因素，因此有必要研究減少結(jié)構(gòu)分析次數(shù)，提高可靠度計(jì)算效率的辦法。過去30多年里，研究有效的函數(shù)近似方法是優(yōu)化界一直關(guān)注的焦點(diǎn)問題之一。高效的函數(shù)近似可以極大地減少有限元分析的次數(shù)，提高優(yōu)化的效率。而近年來在利用近似函數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度分析方面的研究也非常多，這是因?yàn)榭煽慷确治鰪谋举|(zhì)上也是一個(gè)優(yōu)化過程，也存在著減少結(jié)構(gòu)分析次數(shù)的需求。與結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程比較類似，采用這項(xiàng)技術(shù)進(jìn)行可靠度分析的基本過程是，通過一系列確定性實(shí)驗(yàn)即有限元結(jié)構(gòu)分析構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù)來代替未知的真實(shí)功能函數(shù)，然后用各種可靠度計(jì)算方法確定近似函數(shù)的驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)及可靠指標(biāo)，重復(fù)該過程直至收斂。Fadel等（1990）成功地利用前后兩點(diǎn)的分析結(jié)果，構(gòu)造出了指數(shù)形式的近似，并把他應(yīng)用到結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中，提高了優(yōu)化計(jì)算的效率。Wang和Grandhi（1994）將該方法引用到結(jié)構(gòu)可靠度分析問題中，用來擬合結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)：引入中間變量，把他表示成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的冪函數(shù)形式，指數(shù)為，為了避免底數(shù)變?yōu)樨?fù)數(shù)引起數(shù)值計(jì)算困難，用整型參數(shù)對坐標(biāo)軸進(jìn)行平移。寫成分量的形式為 （5-27）式中，表示第個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量；與分別表示第個(gè)原始隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)值。在當(dāng)前點(diǎn)將功能函數(shù)展開為中間變量的線性形式 （5-28）其中，下標(biāo)表示當(dāng)前點(diǎn)，而且 （5-29）根據(jù)功能函數(shù)在當(dāng)前點(diǎn)的梯度信息和函數(shù)值及前一點(diǎn)的函數(shù)值求出非線性指數(shù)，即求解方程 （5-30）借助中間變量的橋梁作用可以寫出近似功能函數(shù)的解析表達(dá)式 （5-31）最后用一次可靠度迭代算法計(jì)算該近似功能函數(shù)的可靠指標(biāo)。這種方法減少了結(jié)構(gòu)分析次數(shù)，提高了運(yùn)算效率，是一種局部近似方法。但是，通常的方法是，非線性指數(shù)用試算的辦法通過求解方程（5-30）來確定，實(shí)踐表明，并非所有情況下都可以求解出一個(gè)實(shí)型指數(shù)，即方程（5-30）可能無解，這妨礙了該方法的應(yīng)用。而且，該處計(jì)算的目的僅僅在于得到功能函數(shù)的近似解析函數(shù)，該近似函數(shù)一般也不可能與真實(shí)功能函數(shù)完全相同，因此進(jìn)行精確求解是不必要的?；谶@一點(diǎn)，我們可以把替換為整型數(shù)，構(gòu)造近似函數(shù) （5-32）計(jì)算在前一點(diǎn)該近似函數(shù)的誤差為 （5-33）確定指數(shù)的具體過程如下：非零指數(shù)從1開始按照序列（）逐漸改變，指數(shù)每改變一次，重新計(jì)算近似函數(shù)在前一點(diǎn)處的誤差（式（5-33）），并與前一次的誤差進(jìn)行比較，若兩誤差符號相反，則取絕對值較小者對應(yīng)的指數(shù)作為該近似函數(shù)的非線性指數(shù)，退出該過程；否則，比較兩誤差的絕對值，保留絕對值較小者，繼續(xù)改變非線性指數(shù)，重復(fù)上面的過程。如果指數(shù)變?yōu)?0時(shí)所有誤差一直保持為正或負(fù)，則取存儲的指數(shù)為近似函數(shù)的非線性指數(shù)。最后，利用該近似函數(shù)進(jìn)行可靠度計(jì)算。5.3 ANSYS軟件二次開發(fā)及其在巖土工程可靠度分析中的應(yīng)用5.3.1A為了將逐漸成熟的可靠度分析方法應(yīng)用于考慮幾何、材料特性、荷載以及邊界條件等不確定因素的實(shí)際工程結(jié)構(gòu)問題，需要將可靠度計(jì)算過程與結(jié)構(gòu)分析程序集成起來。ANSYS軟件是通過ISO9001質(zhì)量認(rèn)證的國際著名結(jié)構(gòu)分析通用軟件，可以進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析（包括線性分析和非線性分析）、流體動力學(xué)分析、電磁場分析、聲場分析、電壓分析以及多物理場的耦合分析，可模擬多種物理介質(zhì)的相互作用。軟件提供了100多種單元類型，用來模擬工程中的各種結(jié)構(gòu)和材料。軟件由四部分組成：前處理模塊、分析計(jì)算模塊、后處理模塊以及其他輔助模塊。ANSYS程序具有開放性，用戶可以根據(jù)自身的需要在標(biāo)準(zhǔn)版本上進(jìn)行功能擴(kuò)充和系統(tǒng)集成，生成符合用戶特殊需要的用戶版本的程序。李剛等人（李剛等，2004）選擇ANSYS作為結(jié)構(gòu)分析模塊，把改進(jìn)后的基于兩點(diǎn)函數(shù)近似的一次可靠度分析算法集成到ANSYS程序中。ANSYS軟件有四種方式可以實(shí)現(xiàn)開發(fā)功能：參數(shù)化程序設(shè)計(jì)語言APDL（AnsysParametricDesignLanguage）；用戶界面設(shè)計(jì)語言UIDL(UserInterfaceDesignLanguage)；用戶可編程特性UPFs(UserProgrammableFeatures)；ANSYS數(shù)據(jù)接口。截止到目前的版本，ANSYS尚不具有可靠度分析的功能，僅僅可以實(shí)現(xiàn)一些簡單的隨機(jī)性分析，所采用的分析工具是模擬的方法，不能滿足工程的要求。因此我們利用他的UPFs，通過修改用戶自定義優(yōu)化userop子模塊，使其具有可靠度分析的功能?？煽慷扔?jì)算過程所需的結(jié)構(gòu)分析結(jié)果及重分析時(shí)所需要的結(jié)構(gòu)模型數(shù)據(jù)以參數(shù)的形式與可靠度分析模塊進(jìn)行交互。二次開發(fā)的基本過程為（李剛等，2004）：首先在Userop子模塊中實(shí)現(xiàn)可靠度計(jì)算的基本過程；其次將userop子模塊連接到ANSYS程序中，在當(dāng)前工作目錄下運(yùn)行批處理文件ANSCUST，把該模塊與ANSYS的已有庫文件、目標(biāo)代碼連接起來生成一個(gè)新的ANSYS可執(zhí)行程序；最后對重新生成的程序進(jìn)行驗(yàn)證。為了確保userop子模塊沒有影響ANSYS的其他模塊，應(yīng)當(dāng)找相當(dāng)?shù)乃憷齺砜己顺绦?，否則可能出現(xiàn)不可預(yù)知的后果。需要特別指出的是：（1）userop子模塊的編制可以修改ANSYS提供的框架模塊得到，即subroutineuserop(ioot,nterm,maxparm,optvar)cincomingarguments:iottistheansysoutputunitcntermispassedbacktoroutineopterm.Thisvariableshouldbesetasfollows:cnterm=0ifoptimizationloopingshouldstopcnterm=1ifoptimizationloopingshouldcontinue#include“impcom.inc”integeriott,nterm#include“cmopt.inc”!definearraysneeded.lopt=lopt+1!incrementoptimizationiterationcountercallbetael(……)!calculatereliabilityindexcallsenana(……)!calculatethesensitivityofthereliabilityindexif(lopt.gt.maxusr)then!wedefinemaxusr=1cterminateoptimizationanalysisnterm=0lopt=0elseccontinuetorunoptimizationanalysisnterm=1endifend（2）功能函數(shù)對隨機(jī)變量的梯度可以利用有限差分的方式計(jì)算。（3）用戶利用重新生成的ANSYS進(jìn)行可靠度計(jì)算需要準(zhǔn)備三個(gè)文件：ANSYS優(yōu)化輸入文件；結(jié)構(gòu)分析文件；包含隨機(jī)變量概率分布類型、均值、標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)文件。（4）如果兩次迭代得到的可靠指標(biāo)差別很小，則程序清除緩存、關(guān)閉文件，退出ANSYS，結(jié)束迭代。運(yùn)算過程及結(jié)果可以查看輸出文件。利用ANSYS進(jìn)行可靠度分析的基本過程是：（1）用ANSYS命令編制結(jié)構(gòu)分析文件和優(yōu)化文件，填寫描述隨機(jī)變量概率分布及統(tǒng)計(jì)特征的數(shù)據(jù)文件。（2）隨機(jī)變量取均值，利用分析文件建立模型，進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析與靈敏度計(jì)算。（3）進(jìn)行一次可靠度迭代計(jì)算，確定驗(yàn)算點(diǎn)及可靠指標(biāo)的近似值。（4）更新隨機(jī)變量的取值，重新建立模型，進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析與靈敏度計(jì)算。（5）根據(jù)兩點(diǎn)結(jié)構(gòu)分析函數(shù)值和梯度值，用上一節(jié)介紹的兩點(diǎn)函數(shù)近似辦法建立實(shí)際結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的近似表達(dá)式。（6）用一次可靠度算法的改進(jìn)方法計(jì)算近似函數(shù)的可靠指標(biāo)及驗(yàn)算點(diǎn)位置。（7）比較兩次計(jì)算收斂與否。收斂，則結(jié)束迭代，輸出結(jié)果；不收斂，則轉(zhuǎn)到第（4）步，進(jìn)行下一輪迭代。5.3.2李剛等人（李剛等，2004）選擇多個(gè)算例考核了程序和算法，其中包括專門構(gòu)造的高度非線性的例題以及一些實(shí)際工程結(jié)構(gòu)問題等，計(jì)算結(jié)果與已知的其他算法進(jìn)行了比較。下面是其部分算例的計(jì)算結(jié)果。【例5-4】5-2.3節(jié)的例5-1。采用兩點(diǎn)函數(shù)近似辦法，迭代2次（一共3次梯度計(jì)算，2次曲面擬合，功能函數(shù)計(jì)算9次）。兩次的非線性指數(shù)都等于3，同原問題完全一致。可靠指標(biāo)的迭代歷程見表5-2。表5-2例5-4的迭代歷程迭代次數(shù)123可靠指標(biāo)2.0072.2262.226驗(yàn)算點(diǎn)位置2.9042.0862.086驗(yàn)算點(diǎn)位置2.8042.0742.074此例的功能函數(shù)具有解析表達(dá)式，5-2.3節(jié)已經(jīng)直接利用一次可靠度的改進(jìn)算法進(jìn)行了求解，并且列出了迭代結(jié)果和歷程。采用兩點(diǎn)函數(shù)近似方法進(jìn)行分析極大地減少了原始功能函數(shù)的計(jì)算次數(shù)。【例5-5】薄殼屈曲可靠度分析如圖5-6所示圓柱殼，長度等于508mm，中心角度0.2rad，兩直線邊鉸支，受到集中力作用，需要考慮結(jié)構(gòu)屈曲破壞的失效概率。圖5-6圓柱殼屈曲模型由于結(jié)構(gòu)的對稱性，選取他的計(jì)算，其中殼的厚度、曲率半徑和材料楊氏模量是正態(tài)分布隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表5-3。工程要求他的屈曲荷載不能小于520N，定義功能函數(shù)為 （5-34）通常情況下，特征值屈曲方法計(jì)算的誤差較大，這里直接應(yīng)用靜力非線性分析計(jì)算屈曲荷載。該殼抗屈曲破壞的可靠度指標(biāo)等于3.160，失效概率等于7.88E-4，驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)（）=（6.292，2645-811，2640.757）。表5-3隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征隨機(jī)變量分布類型均值標(biāo)準(zhǔn)差彈性模量正態(tài)分布3102.75N/mm2155.1375N/mm2厚度正態(tài)分布6.35mm0.0635mm半徑正態(tài)分布2540mm127.0mm【例5-6】大連新港碼頭棧橋的可靠度評估大連港棧橋1976年建成投入使用，至今已經(jīng)20多年了。由于各種內(nèi)在或外在因素的影響，一些構(gòu)件產(chǎn)生一定程度的損傷，使橋跨產(chǎn)生各種病害。其間還經(jīng)歷過意外情況，如不及時(shí)檢查與維修，天長日久，病害逐步發(fā)展，維修起來不僅要花費(fèi)大量的人力和物力，而且影響輸油碼頭的正常營運(yùn)，甚至危及橋梁的安全。他的承載能力和安全性對安全生產(chǎn)有極大的影響，因此對棧橋的目前狀況做出評定非常重要。評估其安全性的最適當(dāng)?shù)姆绞绞谴_定他的可靠度。一跨鋼棧橋自重（包括木車道）約315-9t，管道重156.12t，燈具電纜重3.6t。管道中流動的原油或成品油作為恒載重208.98t。用ANSYS的Beam空間梁單元和Mass質(zhì)量塊單元建立空間計(jì)算模型并計(jì)算。在可靠度評估中，鋼材彈性模量服從正態(tài)分布，均值等于2.1E11Pa，變異系數(shù)為0.05；人群荷載（單位平方米人群重量）服從極值I型分布，均值2.0542kN/m2，標(biāo)準(zhǔn)差0.44088kN/m2；計(jì)算模式的不定性，服從正態(tài)分布，無量綱均值等于1.15，標(biāo)準(zhǔn)差等于0.13；設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)最大風(fēng)荷載服從極值I型分布，平均值等于1.171WOK，變異系數(shù)為0.444，其中WOK是風(fēng)壓標(biāo)值，大連地區(qū)的基本風(fēng)壓為50kg/m2；材料性能服從正態(tài)分布，對于16Mn鋼，無量綱均值等于1.04，標(biāo)準(zhǔn)差等于0.066，對于235鋼，無量綱均值等于1.14，標(biāo)準(zhǔn)差等于0.073（常大民等，1995，李揚(yáng)海等，1997）。其中，風(fēng)載強(qiáng)度77.35kg/m2，風(fēng)力0.4276t?？紤]三種極限狀態(tài)：跨中撓度不超過預(yù)拱度0.2m，主桁各桿件的應(yīng)力不能超過屈服應(yīng)力，橫梁及聯(lián)結(jié)系的應(yīng)力不能超過屈服應(yīng)力。結(jié)構(gòu)功能函數(shù)可以寫成 （5-35） （5-35） （5-35）其中，是跨中撓度；代表鋼材彈性模量；代表人群荷載；表示16Mn鋼的最大Mises應(yīng)力；表示235的最大Mises應(yīng)力；表示計(jì)算模式不定性；表示16Mn鋼的材料不定性；表示235鋼的材料不定性。第2和第3個(gè)功能函數(shù)采用各桿件最大應(yīng)力不超過屈服應(yīng)力，并沒有特別指定某個(gè)桿件，這在一定程度上反映了整個(gè)結(jié)構(gòu)的可靠度，只不過把他理想化為簡單的串聯(lián)體系。因?yàn)閭€(gè)元件組成的串聯(lián)體系的功能函數(shù)可以用各元件功能函數(shù)表示為，這是一個(gè)非光滑函數(shù)。當(dāng)運(yùn)用一次可靠度算法計(jì)算時(shí)，最終的可靠度等于各元件可靠度中最小的一個(gè)。如果采用MonteCarlo模擬方法計(jì)算，那么計(jì)算結(jié)果就是理想串聯(lián)模型的體系可靠度。或者可以說，利用一次可靠度算法計(jì)算，在結(jié)果的精度方面可能會有所損失。根據(jù)前面介紹的可靠度計(jì)算過程，按照設(shè)計(jì)時(shí)的荷載，我們首先計(jì)算設(shè)計(jì)時(shí)三個(gè)功能函數(shù)對應(yīng)的可靠度，得到三個(gè)可靠指標(biāo)分別等于4.424、4.449、4.853。按照隨機(jī)變量的順序，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間，三個(gè)極限狀態(tài)對應(yīng)的驗(yàn)算點(diǎn)分別是（-4.2142，1.3471，0，-5.524E-3，0，0）、（-5.490E-2，0.7148，3.1907，-8.081E-3，-3.0171，0）、(2.602E-3，0.5693，3.4019，-1.081E-2，0，-3.4139)?？梢钥闯?，跨中撓度極限狀態(tài)的可靠指標(biāo)最小，而強(qiáng)度極限狀態(tài)的可靠指標(biāo)稍高一些。其余問題的討論這里從略?！纠?-7】筒倉頂蓋結(jié)構(gòu)可靠度分析某大型國家儲備糧庫包括20個(gè)鋼筋混凝土筒倉，每個(gè)筒倉可儲糧3×104t。筒倉標(biāo)高為51.6m（包括頂蓋），直徑為32m。筒倉頂蓋結(jié)構(gòu)為圓錐形頂蓋，直徑32m，由18片鋼桁架及頂?shù)變蓚€(gè)圈梁支持，頂圈梁上還有四個(gè)立柱的支架，傳遞糧食輸送系統(tǒng)的荷載和風(fēng)力。頂蓋為軸對稱空間結(jié)構(gòu)，而荷載為非軸對稱。屋面鋼筋混凝土板與鋼桁架有效地焊接起來，使面板既能承載抗彎，又能在桁架間起傳遞剪力的作用，而且施工比較方便；另外，對于頂圈梁，在原來的開口截面上添焊上、下兩塊蓋板成為封閉截面，以提高其剛度，特別是抗扭和抗彎的剛度。頂蓋結(jié)構(gòu)功能要求包括：（1）頂蓋上部運(yùn)糧設(shè)備正常運(yùn)行的功能。由于筒倉頂蓋結(jié)構(gòu)上部需要架設(shè)運(yùn)輸糧食的廊道及設(shè)備，頂蓋上壓力環(huán)的豎向變形應(yīng)滿足一定的要求，因此結(jié)構(gòu)變形的功能函數(shù)為 （5-36）式中，為包括結(jié)構(gòu)特性和荷載的基本隨機(jī)變量向量；為上壓力環(huán)節(jié)點(diǎn)的豎向位移要求，取值為2cm；為上壓力環(huán)節(jié)點(diǎn)的豎向最大位移。（2）頂蓋結(jié)構(gòu)鋼桁架抵抗外部荷載的強(qiáng)度要求。由于鋼桁架上弦受壓桿與頂蓋鋼筋混凝土板焊接在一起，因此，鋼桁架受拉桿的應(yīng)力成為結(jié)構(gòu)的主要控制應(yīng)力，結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的功能函數(shù)為 （5-37）式中，鋼桁架構(gòu)件軸向應(yīng)力允許值，取值為215MPa；鋼桁架構(gòu)件最大軸向拉應(yīng)力值。其余問題的討論這里從略。5.4基于優(yōu)化算法的結(jié)構(gòu)體系可靠度分析根據(jù)一次二階矩理論，結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)定義為在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)坐標(biāo)原點(diǎn)到功能函數(shù)曲面的最短距離，如式（5-11）。一次二階矩法中的HL—RF算法常用來計(jì)算可靠指標(biāo)，對于非線性程度較低的功能函數(shù)，該方法十分有效，經(jīng)過數(shù)次迭代就能夠得到較好精度的結(jié)果；然而如果極限狀態(tài)曲面在驗(yàn)算點(diǎn)附近曲率較大時(shí)，該方法在迭代過程中就會在驗(yàn)算點(diǎn)附近的一定區(qū)域內(nèi)左右擺動而不收斂。從式（5-11）可以看出，基于一次二階矩理論的可靠指標(biāo)的計(jì)算，實(shí)際上就是求解優(yōu)化問題，因此我們可以采用比較成熟的優(yōu)化算法來解優(yōu)化問題式（5-11），而且許多有限元分析軟件都有優(yōu)化功能，這樣就可以方便地進(jìn)行大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠度分析。李剛等人（李剛等，2004）引入了結(jié)構(gòu)體系的等效功能函數(shù)概念，采用優(yōu)化算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)體系可靠度分析，并且與其他算法（HL-RF法、MonteCarlo法和重要性抽樣法）的結(jié)果以及一些精確解進(jìn)行了比較。5.4.1圖5-7體系可靠度結(jié)構(gòu)體系一般可以分為串聯(lián)體系、并聯(lián)體系和混合體系。串聯(lián)體系實(shí)際上是一種最弱連接體系，只要其中一個(gè)單元失效，則整個(gè)體系失效。并聯(lián)體系是冗余體系，一個(gè)單元安全整個(gè)系統(tǒng)就安全。圖5-7給出了有兩個(gè)功能函數(shù)的串聯(lián)體系和并聯(lián)體系的幾何解釋。串聯(lián)體系的失效域相當(dāng)于各功能函數(shù)失效域的并集，可以表示為 （5-38）我們把串聯(lián)體系的多個(gè)功能函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)等效的功能函數(shù) （5-39）因此，式（5-38）可以寫為 （5-40）并聯(lián)體系的失效域相當(dāng)于各功能函數(shù)失效域的交集，可以表示為 （5-41）類似地，我們可以定義并聯(lián)體系的等效功能函數(shù) （5-42）式（5-42）可以寫為 （5-43）因此，通過引入體系可靠度的等效功能函數(shù)，實(shí)際上就把體系可靠度問題轉(zhuǎn)化為等效的單元可靠度問題。5.4.2一般的優(yōu)化問題可以表示為 （5-44）式中，為設(shè)計(jì)變量向量；為目標(biāo)函數(shù)；為約束條件，、為設(shè)計(jì)變量的上下限。對于優(yōu)化問題，式（5-44）有很多的算法可以求解。這里我們分別采用改進(jìn)的可行方向法、序列線性規(guī)劃和序列二次規(guī)劃法進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度分析?！窀倪M(jìn)的可行方向法可行方向法屬于直接搜索算法，可以表示為 （5-45）式中，和分別為設(shè)計(jì)空間中第和第個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)；為兩個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)之間的步長。選擇合適的搜索方向與步長是可行方向法的主要任務(wù)，我們采用共軛方向法，搜索方向可以表示為 （5-46）搜索方向確定以后，優(yōu)化問題就轉(zhuǎn)化為簡單的一維搜索問題（使最小），可以采用牛頓法、平分法、0.618法、拋物線法等求解?！裥蛄芯€性規(guī)則法（SLP）序列線性規(guī)劃法的思想很簡單：首先，利用在當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)的目標(biāo)和約束函數(shù)值和他們的梯度值，建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件的線性近似Taylor級數(shù)展開，即 （5-47） （5-48）然后，用以上近似的線性問題代替原優(yōu)化問題進(jìn)行求解，通過迭代逼近原問題的解?！裥蛄卸我?guī)劃法（SQP）序列二次規(guī)劃法的思想與序列線性規(guī)劃法的思想類似，即首先建立目標(biāo)函數(shù)的二次近似以及約束條件的線性近似，建立近似二次規(guī)劃子問題。 （5-48）對以上優(yōu)化問題求解來逼近原問題。5.4.3以下這些算例將基于優(yōu)化算法的可靠度分析方法與其他算法（如HL-RF法、Monte-carlo法、重要性抽樣法）進(jìn)行了比較。對比算例選自有關(guān)討論可靠度分析算法的文獻(xiàn)，包括單元可靠度和體系可靠度分析問題（串聯(lián)和并聯(lián)體系）等?！纠?-8】單元可靠度。，。，表5-4計(jì)算結(jié)果（）Monte-carlo重要性抽樣法HL-RF法優(yōu)化算法1可靠指標(biāo)1.7871.8081.4861.661誤差%7.6518.91610.4820.0852可靠指標(biāo)2.5982.5811.6792.125誤差%20.25915-46822.2691.6383可靠指標(biāo)2.6612.7161.8582.285誤差%16.71115-11818.5090.232表5-5計(jì)算結(jié)果（）Monte-carlo重要性抽樣法HL-RF法優(yōu)化算法1可靠指標(biāo)1.7141.7261.3101.696誤差%0.8241.54122.9410.2552可靠指標(biāo)2.3162.2751.3262.137誤差%8.2106.29038.0370.1423可靠指標(biāo)2.5072.4931.4872.305誤差%8.5157.93135.6280.222【例5-9】串聯(lián)可靠度。。，表5-6計(jì)算結(jié)果Melchers結(jié)果Monte-carlo重要性抽樣法HL-RF法優(yōu)化算法可靠指標(biāo)2.5262.2242.2272.1362.526誤差%11.96811.82515.4390.004【例5-10】并聯(lián)可靠度。。，表5-7計(jì)算結(jié)果Karamchandani結(jié)果Monte-carlo重要性抽樣法HL-RF法優(yōu)化算法可靠指標(biāo)2.5262.3496.097-10.8402.000誤差%0.014155-640561.59814.834【例5-11】串聯(lián)可靠度。。，，，表5-8計(jì)算結(jié)果Karamchandani結(jié)果Monte-carlo重要性抽樣法HL-RF法優(yōu)化算法可靠指標(biāo)3.5293.5543.5091.8932.7.5誤差%0.7080.57046.35622.3575.4.4相對于其他算法，優(yōu)化算法計(jì)算可靠度在收斂性和魯棒性等方面具有明顯的優(yōu)勢，而且基本不受初始點(diǎn)的影響。算例結(jié)果表明，采用優(yōu)化方法可以收斂到滿意的可靠指標(biāo)（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)坐標(biāo)原點(diǎn)到功能函數(shù)曲面的最短距離），特別是對于單元可靠度和串聯(lián)體系可靠度，結(jié)果的精度很高，誤差非常小。在結(jié)構(gòu)可靠度理論中，有兩種度量結(jié)構(gòu)可靠性的指標(biāo)：失效概率（或可靠度，）和可靠指標(biāo)。例如，MonteCarlo法和重要性抽樣法計(jì)算得到的是失效概率，一次二階矩法則是計(jì)算可靠指標(biāo)。失效概率和可靠指標(biāo)有以下轉(zhuǎn)換關(guān)系： （5-49）然而，這種轉(zhuǎn)換關(guān)系只有當(dāng)功能函數(shù)是正態(tài)分布隨機(jī)變量的線性函數(shù)才是精確的。當(dāng)不滿足這些條件時(shí)，這種轉(zhuǎn)換會有誤差。隨著功能函數(shù)的非線性程度（特別是在驗(yàn)算點(diǎn)附近）的提高，這兩種方法得到的可靠指標(biāo)的差別會越來越大。如圖5-8所示，三個(gè)不同的功能函數(shù)、和，如果按照可靠指標(biāo)的定義計(jì)算，則得到相同的可靠指標(biāo)。事實(shí)上，這三個(gè)功能函數(shù)的失效概率是不同的（例如可以采用積分算法或MonteCarlo法計(jì)算），最小，最大，居中，即。因此，如果采用轉(zhuǎn)換關(guān)系式（5-49），則會得到的結(jié)論。圖5-8可靠指標(biāo)與失效概率因此，以上算例中的誤差實(shí)際包含兩部分：一是算法本身引起的誤差（如優(yōu)化方法與一次二階矩法的比較）；二是由于可靠指標(biāo)與失效概率的轉(zhuǎn)換導(dǎo)致的誤差（如優(yōu)化方法與MonteCarlo法和重要性抽樣法的比較）。應(yīng)當(dāng)指出，以上算例中給出的誤差大小受到所引文獻(xiàn)中可靠指標(biāo)采用的方法的影響，如果文獻(xiàn)中采用可靠指標(biāo)的定義計(jì)算可靠指標(biāo)，那么計(jì)算結(jié)果中優(yōu)化方法的誤差就很小，MonteCarlo法和重要性抽樣法結(jié)果誤差則大（盡管實(shí)際上這兩種方法給出較精確的失效概率），單元和串聯(lián)體系可靠度算例分析大多屬于這種情況。如果文獻(xiàn)中是采用轉(zhuǎn)換關(guān)系計(jì)算可靠指標(biāo)，那么結(jié)論正好相反，優(yōu)化方法的誤差較大，MonteCarlo法和重要性抽樣法結(jié)果誤差很小，并聯(lián)體系可靠度算例屬于這種情況?？傊?，采用優(yōu)化算法進(jìn)行可靠度分析，可以較精確的求出功能函數(shù)曲面上到坐標(biāo)原點(diǎn)距離最短的點(diǎn)（驗(yàn)算點(diǎn)），也就是可能很好的求出可靠指標(biāo)；而根據(jù)這個(gè)可靠指標(biāo)是否得到滿意的失效概率（或可靠度）還取決于功能函數(shù)的曲面形狀，特別是在驗(yàn)算點(diǎn)附近的形狀。對于非線性程度較低的功能函數(shù)，采用轉(zhuǎn)換關(guān)系式（5-49）就可以得到誤差較小的失效概率。對于非線性程度較高的功能函數(shù)，采用轉(zhuǎn)換關(guān)系式（5-49）計(jì)算失效概率就會誤差較大，必須考慮非線性的影響，如采用二次二階矩法。5.5災(zāi)害荷載下的結(jié)構(gòu)體系可靠度近似計(jì)算我們可以把作用在工程或結(jié)構(gòu)上的荷載分為非災(zāi)害荷載和災(zāi)害荷載兩種類型。非災(zāi)害荷載包括恒載、活載、常遇風(fēng)載、雪載及多遇地震作用等；災(zāi)害荷載包括罕遇地震作用、颶風(fēng)和特大洪水等。巖土工程在災(zāi)害荷載下的結(jié)構(gòu)體系可靠度研究顯得尤其重要。5.5.1荷載粗糙度指標(biāo)LRI（LoadRoughnessIndex）是衡量結(jié)構(gòu)抗力與荷載作用效應(yīng)離散程度的相對關(guān)系的一個(gè)無量綱指標(biāo)，定義為（王善等，1993） （5-50）式中，、分別為結(jié)構(gòu)抗力與荷載作用效應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)時(shí)，的值很小，稱為光滑荷載；當(dāng)時(shí)，的值很大，稱為粗糙荷載；當(dāng)、為同一量級時(shí)，稱為一般粗糙荷載。特別地，對于兩種極限情況，時(shí)，稱為無限光滑荷載；時(shí)，稱為無限粗糙荷載。對于土木工程結(jié)構(gòu)特別是巖土工程結(jié)構(gòu)，必須對災(zāi)害荷載和非災(zāi)害荷載加以區(qū)別。由于一般的文獻(xiàn)資料中所給出的荷載和抗力的統(tǒng)計(jì)參數(shù)主要為變異系數(shù)，為便于討論，將式（5-50）轉(zhuǎn)化為以下形式 （5-51）式中，、分別為抗力和荷載效應(yīng)的均值；、為變異系數(shù)。對于抗力與荷載效應(yīng)的均值之比，可按下述方法確定。抗力與荷載效應(yīng)的功能函數(shù)可以寫為 （5-52）即抗力與荷載效應(yīng)均服從正態(tài)分布（對于非正態(tài)分布，可以化為當(dāng)量正態(tài)分布處理），則相應(yīng)的可靠指標(biāo)的表達(dá)式為 （5-53）由式（5-53）可得方程 （5-54）解此方程，得 （5-55）一般情況下，，從而有，這樣可以確定兩個(gè)解中的一個(gè)。5.5.2荷載粗糙度指標(biāo)反映了構(gòu)件抗力和荷載效應(yīng)離散程度的相對關(guān)系，其大小必然對結(jié)構(gòu)構(gòu)件的可靠指標(biāo)產(chǎn)生影響。下面推導(dǎo)荷載粗糙度指標(biāo)與結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠指標(biāo)之間的關(guān)系式，仍然假設(shè)構(gòu)件抗力與荷載效應(yīng)均服從正態(tài)分布（對于非正態(tài)分布，可以化為當(dāng)量正態(tài)分布處理），相應(yīng)的功能函數(shù)為式（5-52）。●對于一般粗糙荷載（圖5-9（））（）一般粗糙荷載（）無限光滑荷載（）無限粗糙荷載圖5-9結(jié)構(gòu)抗力和荷載效應(yīng)的概率分布特性、為同一數(shù)量級，，則構(gòu)件可靠指標(biāo)為 （5-56）即在一般粗糙荷載作用下，構(gòu)件的可靠指標(biāo)由荷載粗糙指標(biāo)以及構(gòu)件抗力和荷載效應(yīng)的變異系數(shù)決定?！駥τ跓o限光滑荷載（圖5-9（）），荷載效應(yīng)成為一個(gè)確定性的量，則可靠指標(biāo)的表達(dá)式為 （5-57）即在無限光滑荷載作用下，構(gòu)件的可靠指標(biāo)主要由構(gòu)件抗力的概率統(tǒng)計(jì)特性決定?！駥τ跓o限粗糙荷載（圖5-9（）），構(gòu)件抗力成為一個(gè)確定性的量，則可靠指標(biāo)的表達(dá)式為 （5-58）即在無限粗糙荷載作用下，構(gòu)件的可靠指標(biāo)主要由荷載效應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)特性決定。災(zāi)害荷載可近似處理為無限粗糙荷載，這樣，在災(zāi)害荷載作用下結(jié)構(gòu)的可靠度主要由災(zāi)害荷載的特性決定，而結(jié)構(gòu)的失效主要是由災(zāi)害荷載的過大引起。實(shí)際上，在災(zāi)害荷載作用下，結(jié)構(gòu)目標(biāo)性能水平中的最優(yōu)可靠度與最優(yōu)荷載設(shè)防水平是統(tǒng)一的，他們之間的關(guān)系由式（5-58）給出，也可以化為以下形式 （5-59）5.5.3引入荷載粗糙度指標(biāo)后，可以對荷載粗糙度指標(biāo)與結(jié)構(gòu)失效模式間相關(guān)系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行討論?？紤]到災(zāi)害荷載下的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中災(zāi)害荷載為控制荷載，因此在討論結(jié)構(gòu)失效模式的相關(guān)性時(shí)，可以忽略其他非災(zāi)害荷載的作用，從而簡化為單一荷載（災(zāi)害荷載）的情況。考慮兩個(gè)線性功能函數(shù) （5-60）式中，為構(gòu)件抗力；為荷載效應(yīng)。兩個(gè)線性功能函數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)為 （5-61）式中，、分別為抗力和荷載效應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差 （5-62）其中，為抗力與荷載效應(yīng)的荷載粗糙度指標(biāo)。將此式代入式（5-61），得到荷載粗糙度指標(biāo)與結(jié)構(gòu)失效模式間相關(guān)系數(shù)的關(guān)系為 （5-63）由式（5-63）可以看出，結(jié)構(gòu)失效模式間的相關(guān)系數(shù)除了與功能函數(shù)中的系數(shù)有關(guān)外，還與荷載粗糙度指標(biāo)有關(guān)。隨著荷載粗糙度指標(biāo)LRI的增大，結(jié)構(gòu)體系失效模式間的相關(guān)系數(shù)也隨之增大。特別是，當(dāng)LRI=1時(shí)，結(jié)構(gòu)體系失效模式間的相關(guān)系數(shù)也為1，即他們之間完全相關(guān)。5.5.4（1）災(zāi)害荷載下結(jié)構(gòu)體系失效模式相關(guān)性的討論在災(zāi)害荷載作用下，荷載粗糙度指標(biāo)近似為1（即），這樣，由5-5.3節(jié)式（5-63）可得：結(jié)構(gòu)任意兩個(gè)失效模式之間近似完全相關(guān)，；確切地講，這種相關(guān)性指的是線性相關(guān)性。根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)理論知：兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y完全線性相關(guān)（）的充分必要條件是，隨機(jī)變量X、Y以概率1存在線性關(guān)系，即 （5-64）式中，表示隨機(jī)事件的概率；、為常數(shù)，（正相關(guān)）。設(shè)結(jié)構(gòu)體系的任意兩個(gè)失效模式為 （5-65）式中，、分別表示抗力項(xiàng)和荷載效應(yīng)項(xiàng)。在災(zāi)害荷載下，結(jié)構(gòu)體系在任意兩個(gè)失效模式和完全（線性）相關(guān)，根據(jù)式（5-64）得，存在常數(shù)、，，使 （5-66）需要強(qiáng)調(diào)，兩個(gè)失效模式完全（線性）相關(guān)并不是指兩個(gè)失效模式完全等價(jià)，而是表示兩個(gè)失效模式的失效域之間存在隸屬關(guān)系。若設(shè)Z＞0、Z≤0分別表示結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)和失效狀態(tài)，則根據(jù)常數(shù)的不同取值，兩個(gè)失效模式的失效域之間存在隸屬關(guān)系可分為以下三種情況。①當(dāng)時(shí)（圖（）），有 （5-67） （5-67）式中，表示條件概率。由以上關(guān)系可以看出，失效模式和同時(shí)失效或同時(shí)可靠，失效模式和為等價(jià)關(guān)系。②當(dāng)時(shí)（圖（）），有 （5-68） （5-68）③當(dāng)時(shí)（圖（）），有 （5-69） （5-69）失效模式的失效必然導(dǎo)致的失效，反之則不然?；蚴Ｊ降目煽勘厝粚?dǎo)致的可靠，反之則不然。因此，失效模式的失效域包含失效模式的失效域。（）（）（）圖5-10結(jié)構(gòu)抗力和荷載效應(yīng)的概率分布特性（2）災(zāi)害荷載下結(jié)構(gòu)體系可靠度的近似計(jì)算由可靠指標(biāo)的計(jì)算公式，可得結(jié)構(gòu)體系的任意兩個(gè)失效模式和的可靠指標(biāo)為（對于失效模式和的功能函數(shù)為非線性表達(dá)式及有關(guān)隨機(jī)變量為非正態(tài)分布的情況，可利用JC法進(jìn)行功能函數(shù)的線性化和隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化處理） （5-70）式中，、、、、、分別為失效模式和的可靠指標(biāo)、均值和標(biāo)準(zhǔn)差。在災(zāi)害荷載作用下，失效模式和存在式（5-66）的關(guān)系，因此，他們之間的均值和標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)系 （5-71）將式（5-71）代入式（5-70），可得 （5-72）因?yàn)?，，故由式?-72）可得：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，。結(jié)合式（5-67）、（5-68）和（5-69），可以得到以下結(jié)論，在災(zāi)害荷載作用下，結(jié)構(gòu)體系的失效模式中失效概率小的失效模式失效時(shí)，失效概率大的失效模式必然已失效（即失效概率大的失效模式先失效）；反之則不然。結(jié)構(gòu)體系的主要失效模式中，定義最弱失效模式為失效概率最大的失效模式，則以上結(jié)論又可以表述為：在災(zāi)害荷載作用下，結(jié)構(gòu)體系的主要失效模式中，任一失效模式失效時(shí)，最弱失效模式必然已失效（即最弱失效模式先失效）；反之則不然。或從失效模式可靠的角度看，在災(zāi)害荷載作用下，結(jié)構(gòu)體系的主要失效模式中，最弱失效模式可靠時(shí)，其他失效模式必然可靠；反之則不然。將結(jié)構(gòu)體系的個(gè)主要失效模式，按可靠指標(biāo)由小到大排列，即為最弱失效模式。結(jié)構(gòu)體系是這個(gè)主要失效模式的串聯(lián)體系，結(jié)構(gòu)體系可靠的條件是這個(gè)失效模式都可靠（，），因此，災(zāi)害荷載下結(jié)構(gòu)的可靠度為 （5-73）利用概率論的乘法公式，上式化為 （5-74）由以上“災(zāi)害荷載下最弱失效模式可靠時(shí)，其他失效模式必然可靠”的結(jié)論，可得 （5-75）將式（5-75）代入式（5-74），得 （5-76）這樣，在災(zāi)害荷載作用下，結(jié)構(gòu)體系可靠度近似由他的最弱失效模式?jīng)Q定，使計(jì)算得到很大的簡化。5.6基于混沌動力學(xué)的一次可靠度方法收斂性探討一般認(rèn)為，如果功能函數(shù)的非線性程度較低，F(xiàn)ORM經(jīng)過數(shù)次迭代即可獲得較好精度的計(jì)算結(jié)果。然而，如果極限狀態(tài)曲面在設(shè)計(jì)點(diǎn)附近曲率較大時(shí)，該方法在迭代過程中就會在設(shè)計(jì)點(diǎn)附近的一定區(qū)域內(nèi)左右擺動而不收斂。多年來，混沌理論已經(jīng)有效地解決了工程等多學(xué)科領(lǐng)域一些離散和連續(xù)動力系統(tǒng)的強(qiáng)非線性問題；對于非線性功能函數(shù)，利用FORM迭代求解可靠指標(biāo)形成非線性映射，在適當(dāng)條件下，在一定的參數(shù)區(qū)間上可能出現(xiàn)不收斂現(xiàn)象，一定迭代次數(shù)后的可靠指標(biāo)會陷入周期解，經(jīng)過倍周期分叉等途徑走向混沌（李剛等，2004）。5.6.1（1）混沌的概念通俗地說，混沌是一種表面上的“亂七八糟”，而從科學(xué)和技術(shù)的層面上理解，他是在一個(gè)確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似不規(guī)則的、內(nèi)在的無規(guī)律運(yùn)動，或內(nèi)在的隨機(jī)運(yùn)動，既不是純粹的“有序”，也非純粹的“無序”，而是兩者的統(tǒng)一，即有序與無序的統(tǒng)一，確定性和隨機(jī)性的統(tǒng)一，其內(nèi)部包含一層層嵌套的自相似幾何結(jié)構(gòu)（所謂分形特性，維數(shù)是一個(gè)分?jǐn)?shù)，而不是整數(shù)），具有一定的規(guī)律性和普適性?；煦?、分形、孤立子（或孤波）構(gòu)成非線性動力學(xué)研究的核心內(nèi)容。定量地刻畫和表征非線性動力學(xué)系統(tǒng)混沌特性的物理量為Lyapunov指數(shù)、拓?fù)潇亍y度熵和分維等?？茖W(xué)史上，最早了解混沌行為的人可以追溯到19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Poincare。20世紀(jì)50年代，混沌理論在天體力學(xué)領(lǐng)域里取得第一次突破性進(jìn)展，Kolrnogolov等提出了KAM定理，該定理被認(rèn)為是創(chuàng)建混沌學(xué)理論的歷史性貢獻(xiàn)。1963年美國氣象學(xué)家Lorenz取得了現(xiàn)代混沌學(xué)研究的第二個(gè)突破性進(jìn)展，他在大氣對流模型的計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬中發(fā)現(xiàn)了“蝴蝶效應(yīng)”，即系統(tǒng)長期行為對初值微小變化的高度敏感依賴性，所謂“差之毫厘，謬以千里”，產(chǎn)生確定性系統(tǒng)的非周期性和長期行為的不可預(yù)測性等混沌特性，從而開辟了耗散系統(tǒng)混沌研究的嶄新道路。1975年李天巖和Yorke聯(lián)名發(fā)表了一篇論文“周期三則蘊(yùn)涵混沌”，著名的Li-Yorke定理描述了混沌的數(shù)學(xué)特征，率先引入“混沌”一詞，該篇論文以其通俗性和趣味性在數(shù)學(xué)和物理學(xué)界引起了廣泛興趣，在混沌學(xué)的研究中獨(dú)樹一幟。1978年美國物理學(xué)家Feigenbaum利用重正化群方法發(fā)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)倍周期分岔現(xiàn)象的普適標(biāo)度行為，計(jì)算出Feigenbaum常數(shù)，把混沌學(xué)從定性分析推進(jìn)到了定量計(jì)算的階段，成為混沌學(xué)研究的一個(gè)重要里程碑。20世紀(jì)七八十年代全球掀起了混沌熱，1977年在意大利召開的第一次國際混沌會議標(biāo)志著混沌學(xué)正式誕生。20世紀(jì)90年代初以美國科學(xué)家Ott、Grebogi、Yorke和Pecora、Carroll為代表，學(xué)術(shù)界在混沌控制和混沌取得突破性進(jìn)展后，在全世界掀起了混沌熱（方錦清，2002，郝柏林，1993，MaCauley，1993，唐巍等，2000）。（2）Logistic映射的混沌動力學(xué)行為Logistic映射是一個(gè)簡單的一維非線性映射，也是一個(gè)典型的混沌模型，他幾乎具有所有混沌模型所擁有的特征和性質(zhì)，其非線性行為豐富多彩。Logistic映射表達(dá)式為 （5-77）式中，為控制參數(shù)。有限差分方程（5-77）是一個(gè)離散時(shí)間演化動力學(xué)系統(tǒng)。值確定后，由任意初值，可迭代出一個(gè)確定的時(shí)間序列，對于不同的值，系統(tǒng)式（5-77）將呈現(xiàn)不同的特性，如圖5-11所示。圖5-11（）的縱坐標(biāo)為變量，所屬區(qū)間為[0，1]，橫坐標(biāo)為控制參數(shù)，所屬區(qū)間為[1，4]。將參數(shù)空間分成500步，對每個(gè)固定的參數(shù)值，變量從某一個(gè)初值（統(tǒng)一用）開始迭代，舍去最初瞬間過程的300個(gè)迭代值，再把后繼400個(gè)軌道點(diǎn)都畫到所選參數(shù)的縱方向上，這樣掃過全部的參數(shù)區(qū)間。圖5-11（）為圖5-11（）中小矩形區(qū)域的放大圖。由圖5-11（），當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)式（5-77）的解為不動點(diǎn)，即周期1解；當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)式（5-77）的解由周期1變?yōu)橹芷?，這是一個(gè)一分為二的分叉過程；當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)式（5-77）的解由周期4分叉為周期8；…，當(dāng)達(dá)到極限值時(shí)，系統(tǒng)式（5-77）的解是周期解，即系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。從以上分析可知，隨著參數(shù)的增加，系統(tǒng)式（5-77）不斷地經(jīng)歷倍周期分叉，最終達(dá)到混沌。稱當(dāng)時(shí)由系統(tǒng)產(chǎn)生的序列{}為混沌序列，混沌序列{}的動力學(xué)性質(zhì)有如下特征：（）（）圖5-11Logistic映射分叉圖①隨機(jī)性當(dāng)時(shí)，Logistic映射在有限區(qū)間[0，1]內(nèi)不穩(wěn)定運(yùn)動，其長時(shí)間的動態(tài)行為將顯示隨機(jī)性質(zhì)。②規(guī)律性盡管{}體現(xiàn)出隨機(jī)性質(zhì)，但他是由確定性方程（5-77）導(dǎo)出的，初值確定后{}便已確定，即其隨機(jī)性是內(nèi)在的，這就是混沌運(yùn)動的規(guī)律性。③遍歷性混沌運(yùn)動的遍歷性是指混沌變量可以在一定范圍內(nèi)按其自身規(guī)律不重復(fù)地遍歷所有狀態(tài)。④對初值的敏感性初值的微小變化將導(dǎo)致序列{}長期行為的巨大差異。對初值的敏感性是混沌的一個(gè)十分鮮明的特征，Lorenz曾十分形象地稱其為蝴蝶效應(yīng)。⑤具有分形的性質(zhì)如圖5-11（）所示，混沌的奇異吸引子在微小尺度上具有與整體自相似的幾何結(jié)構(gòu)，對他的空間描述只能采用分維。⑥普適性是指混沌系統(tǒng)中存在著一些普遍適用的常數(shù)，如在Logistic映射的倍周期分叉點(diǎn)有如下一個(gè)普適常數(shù) （5-78）無理數(shù)被稱為Feigenbaum數(shù)，他可以由物理學(xué)相變理論中的重正化群方法精確求出。Feigenbaum數(shù)是如同圓周率一樣的常數(shù)，對于許多由倍周期分叉導(dǎo)致混沌的動力系統(tǒng)，其值不變。此外，圖5-11的分叉高度也在不斷縮小，且縮小的比例也趨于一個(gè)極限值。在許多包含耗散的高維非線性系統(tǒng)中，只要出現(xiàn)倍周期分叉序列，就會遇到同樣的普