巖土工程的可靠度分析

PAGE35巖土工程的可靠度分析與應用5.1結構可靠度的基本理論和研究概況5.1.1巖土工程結構可靠度是指巖土工程結構在規(guī)定的時間內，在規(guī)定的條件下完成預定功能的概率。應當指出，經(jīng)典可靠度理論與方法除了適合于一般意義上的結構以外，也適合于巖土工程結構的可靠度分析。為了敘述及學習經(jīng)典可靠度理論的方便，以下經(jīng)常將巖土工程結構簡稱為結構、工程、工程結構等。他包括以下三個方面的要求：（1）安全性。結構在正常施工和正常使用時就能承愛可能出現(xiàn)的各種作用，以及在偶然事件發(fā)生時及發(fā)生后應能保持必需的整體穩(wěn)定性。（2）適用性。結構在正常使用時就能滿足預定的使用功能。（3）耐久性。結構在正常維護下，材料性能隨時間變化，仍應能滿足預定的功能要求。結構的功能通常以極限狀態(tài)為標志，結構到達他不能完成預定功能之前的一種臨界狀態(tài)，稱為結構的極限狀態(tài)。極限狀態(tài)可以通過功能函數(shù)體現(xiàn)。功能函數(shù)中的隨機變量一般可以用兩個基本變量即抗力和荷載效應代表，通常是材料特性、單元或結構尺寸的函數(shù)，則是外荷載、材料密度、結構尺寸的函數(shù)。我們約定，大寫字母代表隨機變量，大寫黑體字母表示隨機向量，含下標的大寫字母表示隨機向量的一個分量，小寫字母代表隨機變量的一個實現(xiàn)或確定性變量，小寫黑體字母表示隨機向量的一個實現(xiàn)或確定性設計向量。巖土工程結構的功能函數(shù)可以寫為 （5-1）功能函數(shù)表示失效，表示安全。假設抗力和荷載效應都是連續(xù)隨機變量，概率密度函數(shù)分別用和表示，兩者的聯(lián)合概率密度函數(shù)寫作。結構的失效概率就定義為抗力小于作用在他上面的荷載效應的概率，即 （5-2）如果和相互獨立，則，從而 （5-3）實際工程中許多隨機參數(shù)不能簡單地歸結為抗力或荷載效應的變量，因此功能函數(shù)常表示為更一般的形式，其中代表基本隨機向量。于是巖土工程的失效概率可以寫成 （5-4）這里表示維基本隨機向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。因此，巖土工程結構可靠度分析的關鍵是聯(lián)合概率密度函數(shù)在失效域上的積分運算。他的求解方法包括解析法、近似數(shù)值法和模擬法。只有當積分域非常規(guī)則且被積函數(shù)比較簡單的情況下才可能由解析法得到準確的失效概率值，更多的時候需要利用數(shù)值方法近似求解。由于直接利用數(shù)值積分的辦法（如Simpson公式、Laguerre-Gauss積分公式、Gauss-Hermite積分公式等）需要花費大量的計算時間，其應用范圍也非常有限，所以一次/二次可靠度算法以及其他一些近似計算方法得到發(fā)展和完善。這些近似方法都要求概率密度函數(shù)連續(xù)，對于離散型的隨機變量則不再適用，而MonteCarlo模擬法則沒有這個限制。早在20世紀初，前蘇聯(lián)學者就開始應用統(tǒng)計數(shù)學的方法研究荷載及材料強度的離散性，從而開啟了概率方法在結構設計中的應用。隨后一批學者在他們的研究中建立了二階矩和失效概率的概念，在容許應力方法的框架內用統(tǒng)計的方法定量地分析安全系數(shù)的取值問題。然而一直到70年代，Cornell（1969）提出在結構可靠度分析中直接應用與失效概率相聯(lián)系的指標來衡量結構可靠度，并建立了結構可靠度分析的一次二階矩陣理論，這種方法才逐漸為人們所接受。在國內，以趙國藩為代表的許多學者開展了深入研究，為可靠度理論的研究和應用做出了重要貢獻（趙國藩，1996）。5.1.2MonteCarlo模擬法又稱隨機抽樣法或統(tǒng)計試驗法。采用MonteCarlo模擬法求可靠度時，首先生成０到１之間均勻分布的隨機數(shù)，根據(jù)各隨機變量的分布類型進行概率轉換，然后作為隨機變量的一個實現(xiàn)把他代入功能函數(shù)判斷是否小于０，小于０則認為失效，大于０則表示安全，最后定義失效概率等于導致結構失效的抽樣點數(shù)與總抽樣數(shù)的比值。MonteCarlo法的優(yōu)點是程序容易實現(xiàn)，穩(wěn)健性好，可以考慮任何分布類型，而且功能函數(shù)的形式對計算結果沒有影響。這種方法的最大缺點是效率比較低，為了獲得一定精度的結果通常需要進行大量抽樣，計算方面的花費比較多，特別是當功能函數(shù)的計算需要借助有限元分析時尤其費時。MonteCarlo法按照抽樣方式的不同可以分為直接抽樣法和改進抽樣法。改進抽樣法主要有重要抽樣法、方向抽樣法、條件期望法、軸正交抽樣法等等。5.1.3即使采用一些抽樣技巧提高效率，MonteCarlo法需要的計算量仍然比較大，所以工程界多采用近似的方法，一次/二次可靠度計算方法是應用最普遍的方法。他們源自20世紀40年代提出的二階矩模式。需要指出的是通常的二階矩模式僅利用了隨機變量的均值和標準差，而一次/二次可靠度計算方法則考慮了隨機變量的概率分布，是一種全概率的計算方法（Bjerager，1990）。1.Cornell可靠指標Cornell提出在結構可靠度分析中應用直接與失效概率相聯(lián)系的指標來衡量結構可靠度，并建立了結構可靠度分析的一次二階矩理論。由于當時的計算在隨機變量的均值點完成，而且僅僅考慮了隨機變量的均值和標準差，因而該方法通常被稱作均值點一次二階矩方法（meanvaluefirstordersecondmoment），或中心點一次二階矩方法。假定抗力和荷載效應都是服從正態(tài)分布的隨機變量，于是功能函數(shù)也是正態(tài)隨機變量。Cornell可靠指標定義為 （5-5）定義失效概率等于 （5-6）式中，是標準正態(tài)分布函數(shù)。將這種思想擴展到多個變量、功能函數(shù)非線性的情況。即將結構功能函數(shù)在各隨機變量的均值處線性展開，即 （5-7）他的均值和標準差為 （5-8）根據(jù)公式（5-5）可以得到他的Cornell可靠指標。2.HL可靠指標許多算例表明，Cornell定義的可靠指標，對于具有相同失效面而數(shù)學形式不同的功能函數(shù)，結果不具有唯一性。Hasofer和Lind（1974）從可靠指標的幾何意義出發(fā)對他進行了重新定義，保證他的不變性。把隨機向量轉換到標準形式（均值等于０，標準差等于１） （5-9）式中，表示標準差的對角矩陣；是對相關系數(shù)矩陣進行Cholesky分解得到的下三角矩陣，功能函數(shù)轉化為標準隨機向量的形式 （5-10）HL可靠指標就定義為在標準變換后的空間中坐標原點到失效面的最短距離 （5-11）該優(yōu)化問題的最優(yōu)解被稱作驗算點（設計點）或最可能失效概率點（mostprobablefailurepoint），因而該計算過程通常被稱作改進的一次二階矩方法（advancedfirstordersecondmoment）或驗算點一次二階矩方法。如果功能函數(shù)是標準變量的線性函數(shù)，則利用式（5-11）可以直接計算出HL可靠指標，如果他是非線性函數(shù)，則需要進行迭代求解。Shinozuka（1983）根據(jù)HL可靠指標的定義，利用優(yōu)化方法進行求解。Parkinson（1980）根據(jù)正態(tài)化的公式，把原本應該在標準正態(tài)空間迭代的計算過程轉化到原始空間，建立了在原始空間的迭代公式，該公式在形式上與Newton-Raphson公式是一致的。利用HL可靠指標計算結構的失效概率。定義新的隨機變量（是從坐標原點到驗算點的單位向量），他的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)假定分別為和（圖5-1），故結構的失效概率 （5-12）如果是標準正態(tài)向量，則根據(jù)概率論原理可知新的隨機變量是標準正態(tài)隨機變量，即 （5-13）圖5-1標準隨機空間中的HL可靠指標3.廣義可靠指標Ditlevsen（1979）指出HL可靠指標對線性的功能函數(shù)是精確的，對于非線性的功能函數(shù)，則可能與真實的可靠度不一致。從圖5-1可以看出，線性的功能函數(shù)和非線性的功能函數(shù)只要驗算點相同就具有相同的HL可靠指標，而他們的真實失效概率并不相等。為了克服這個困難，Ditlevsen提出了廣義可靠指標的概念。首先精確計算結構失效概率，然后用標準正態(tài)分布函數(shù)計算廣義可靠指標，即 （5-14）式中，代表標準正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)。4.一次/二次可靠度算法在標準正態(tài)空間計算結構的可靠度具有顯著優(yōu)點。正態(tài)分布概率密度函數(shù)值只與該點到原點的距離有關，而且隨距離的增大呈指數(shù)形式衰減，從而結構失效概率主要取決于功能函數(shù)在驗算點附近的性質，因此大量的可靠度計算都在標準正態(tài)空間進行。如果原始變量不是標準正態(tài)分布，則需要實施轉換。如果只知道隨機變量的均值向量和方差矩陣，通常假定他服從正態(tài)分布，線性變換公式（5-9）就建立在該假定基礎上。由于隨機變量并非都服從正態(tài)分布，僅僅利用他的均值和標準差是不充分的，有必要包含他的具體分布形式。從原始分布到標準正態(tài)分布的概率變換通常是非線性變換，他一般可以寫成 （5-15）利用該變換，如果可靠指標仍然表示為標準正態(tài)空間中坐標原點到失效面的最短距離，定義結構的失效概率為 （5-16）由于該計算失效面用一個超平面近似，又因為在標準化變換中依據(jù)的不僅是隨機變量的前兩階統(tǒng)計矩，還涉及他的概率分布函數(shù)，該計算過程被稱作一次可靠度算法FORM(FirstorderReliabilityMethod)。這里需要指出的是，F(xiàn)ORM是全概率方法，從原始隨機變量空間到標準正態(tài)空間的變換是精確的，而一次二階矩法FOSM僅僅利用了各隨機變量的均值和標準差，實際隱含了正態(tài)分布的假定（Bjerager，1990）。一次可靠度算法以其計算簡便，大多數(shù)情況下計算精度能滿足工程應用要求而被工程界接受。但在有些情況下，如結構功能函數(shù)在驗算點附近的非線性程度較高，或者隨機變量的分布偏離正態(tài)分布比較遠時，一次可靠度分析方法的結果與精確解相差過大。由于一些特別重要的結構對可靠度精度的要求較高，研究具有較高準確度的計算方法是非常必要的。最自然的做法是在驗算點處用功能函數(shù)的二次近似代替線性近似，這就是二次可靠度算法SORM(SecondorderReliabilityMethod)。但是，這些方法計算復雜，不便應用。近年來，一些學者應用數(shù)學逼近中的Laplace漸近方法研究結構的可靠度問題（Breitung，1991）。當標準正態(tài)空間內結構功能函數(shù)在驗算點附近的非線性程度較高時，漸近方法的結果能以較高的精度逼近精確結果。5.1.4對于大量的工程問題，功能函數(shù)不光滑，通?；谔荻鹊囊淮?二次可靠度算法不再適用，或者函數(shù)的計算需要花費大量的時間，這時利用一個簡單的函數(shù)近似原函數(shù)是非常必要的。應用最廣泛的近似函數(shù)生成方法是響應面法（responsesurfacemethod）。Faravelli（1989）根據(jù)實驗設計理論，在標準正態(tài)空間中確定采樣點位置，利用這些數(shù)據(jù)生成響應面，繼而進行可靠度計算。Bucher和Bourgund（1990）提出了一種通過改變中心點位置來改進響應面精度的構造方法，并且與MonteCarlo模擬法結合起來進行可靠度分析。Liu和Moses（1994）通過構造序列響應面逐漸獲得具有較好逼近效果的近似，用該方法分析了飛機結構體系可靠度問題。Wong（1985）為了提高精度，在響應面函數(shù)中增加了二次交叉項，利用這樣的響應面分析了邊坡的穩(wěn)定性可靠度問題。Zheng和Das（2000）首先構造功能函數(shù)的線性近似，隨后增加二次項以提高計算精度，最后對結果進行驗證。Wang和Grandhi（1994）充分借鑒優(yōu)化理論的成功經(jīng)驗，研究了利用前后兩點信息構造功能函數(shù)的近似形式，并利用該近似計算結構可靠度以提高計算效率。5.1.5從設計方法的發(fā)展來看，現(xiàn)行的設計法實質上只是結構構件的設計法。對于整個結構（結構體系）的可靠度，處理原則是：“如果結構的所有構件安全可靠，則結構（結構體系）同樣是安全可靠的”。但是，結構真實的可靠度只有通過結構體系可靠度分析才有可能合理解決。結構體系可靠度分析主要包括兩個方面的內容：主要失效模式的尋找和失效概率的計算。實際結構往往比較復雜，存在多個失效模式。進行可靠度分析時，人們期望能夠包括所有對體系可靠度貢獻比較大的失效模式。在應用體系可靠度方面一個比較大的困難就在于確定主要失效模式。確定主要失效模式有兩種方式：塑性模型和失效路徑法。基于塑性模型的方法來源于極限分析法（Gorman，1981）。Ditlevsen和Bjerager（1984）利用極限分析中的上下限定理，借助優(yōu)化計算確定理想剛塑性框架的主要失效模式，研究了他的體系可靠度問題。Corotist和Nafday（1989）利用線性規(guī)劃的辦法結合MonteCarlo模擬法研究了體系可靠度的計算問題。利用失效路徑法進行體系可靠度分析的有：Murotsu等（1980）利用矩陣分析方法研究超靜定桁架結構體系失效模式的生成，并計算失效概率。Moses（1982）在分析彈塑性桁架和框架的體系可靠度時提出生成失效模式的增量荷載法（incermentalloadmethod）。董聰和馮元生（1991）將廣度優(yōu)先搜索策略引入失效模式識別領域，建立了階段臨界強度分支約界方法。Thoft-Christensen和Murotsu（1996）在他們的論著中系統(tǒng)地介紹了失效模式的生成辦法以及失效概率的計算方法，特別詳細介紹了展開法和分支約界法。前面介紹的各種方法關注的焦點都是失效事件，與此相反的另一條途徑是穩(wěn)定構型法（stableconfiguration/survivalsetapproach），他可以估計體系失效概率的上限。這種方法在計算工作量方面要高于失效模式法。結構體系可靠度的計算過程與構件可靠度類似，都需要進行多維積分運算，不同之處在于積分域的限定，體系可靠度計算的積分域由多個失效模式根據(jù)一定的邏輯運算確定，而構件可靠度的積分域則依據(jù)一個函數(shù)確定。Hohenbichler和Rackwitz（1983）提出了該積分運算的一次近似方法，這種方法目前應用比較多。Gollwitzer和Rackwitz（1983）提出了更好的近似辦法，功能函數(shù)的展開點選擇在聯(lián)合驗算點，而且增加了一些校正因子以考慮二次項的影響。Pandey（1998）在前人工作的基礎上，發(fā)展了利用條件可靠指標的多維積分算法。Mori和Kato（2003）構造了重要抽樣法的多維積分計算方法。確定體系失效概率的上下界在某些情況下是非常必要的。Cornell（1967）開展了早期的串聯(lián)體系失效概率的簡單界限研究工作。Ditlevsen（1979）推導了二階界限公式。Grgig（1992）認為當失效模式間高度相關時，二階界限法的結果比較差，于是推導了三階甚至更高階的界限公式。對并聯(lián)體系的失效概率的界限計算方法則研究的比較少，只得到一些比較粗糙的界限。5.1.6有限元法作為20世紀發(fā)展起來并逐漸成熟的一種數(shù)值分析方法，已成為力學領域最重要和最輝煌的一個方面。以有限元方法為代表的計算力學極大地增強了經(jīng)典力學解決自然科學和工程問題的計算能力，實現(xiàn)了大量復雜力學問題的數(shù)值求解，擴展了力學研究的領域，逐漸成為與實驗、理論并列的力學研究三大支柱之一；另外，他的發(fā)展極大地改變了整個工程設計的面貌，不僅使許多過去無法實現(xiàn)的復雜工程分析成為現(xiàn)實，而且可以采用優(yōu)化設計的方法能動地優(yōu)選設計方案，提高了設計水平和產(chǎn)品性能，縮短了設計周期，并將力學與工程更緊密地聯(lián)系在一起。這里談及的一些數(shù)值計算方法均是以確定性方法進行分析的，也就是沒有考慮實際問題中的不確定因素。然而從前面的論述可以看到不計及不確定因素的分析方法無法正確地判斷結構的安全可靠度。因此把考慮不確定因素的方法引入到有效的數(shù)值分析方法中自然就具有重大的意義。把概率分析部分整合到有限元分析中，求解結構響應的概率分布特性及可靠度的辦法有兩種。一種是隨機有限元法（stochasticfiniteelementmethod）。他在隨機場概念的基礎上，把材料特性的變異性融入到有限元分析過程中，分析這些隨機性對結果的影響情況。早期在有限元中處理隨機變異性的方法是攝動法（Vanmarcke和Grigoriu，1983）。采用Taylor技術開展只能得到小隨機問題響應的前兩階攝動解，而且數(shù)值解不太穩(wěn)定，Yamazaki等（1988）利用Neumann級數(shù)展開推導出計算響應變異的有限元格式，提高了結果的精度和適應性。這種展開方法的缺點是他需要結合MonteCarlo抽樣計算響應的前兩階統(tǒng)計矩，而且更高階矩的計算仍然非常困難。Spanos和Ghanem（1989）提出了基于Galerkin形式的改進Neumann級數(shù)展開，并且在實際工程中得到應用。另外一種是把概率分析部分和現(xiàn)成的有限元程序相對獨立地連接起來。這種做法有一個明顯的優(yōu)點，他可以直接利用經(jīng)過實踐檢驗的已經(jīng)較為完善的有限元軟件，從而計算各種結構的可靠度問題。但其缺點是機時比較大，而且通常不能處理隨機場問題。因為有限元分析部分一般作為基本獨立的模塊，僅為概率計算提供功能函數(shù)值，功能函數(shù)對隨機變量的梯度需要采用有限差分的方法得到。Maymon（1994）在商用軟件ANSYS平臺上利用他的APDL語言成功地實現(xiàn)了利用確定性分析軟件計算驗算點位置。Borri和Speranzini（1997）同樣在ANSYS平臺上利用其優(yōu)化模塊計算驗算點位置，分析結構的可靠度。CALREL在有限元程序FEAP上集成了一次可靠度算法、二次可靠度算法、MonteCarlo模擬法，他既可以分析元件可靠度，也能夠分析體系可靠度。COSSAN(ComputationalStochasticStructuralAnalysis)提供了響應面分析和各種MonteCarlo抽樣方法（重要抽樣、自適應抽樣），在分析方面借助外界的有限元分析程序。PROBAN(PROBabilisticAnalysis)是VeritasSesamSystems公司推出的商用概率分析軟件，他可以分析構件和體系的可靠度及其靈敏度、確定響應的概率分布，主要分析方法有一次/二次可靠度算法、MonteCarlo模擬法、拉丁超立方抽樣和其他一些抽樣方法。NESSUS可以計算累積概率分布函數(shù)、失效概率、結構可靠度、體系可靠度、故障樹分析。COMPASS(ComputerMethodsforProbabilisticAnalysisofStructuresandSystems)是Martec公司開發(fā)的一個隨機體系可靠度和風險分析軟件，還可以計算疲勞累計損傷、隨機斷裂力學，建立復合失效準則。國內西北工業(yè)大學曾經(jīng)開發(fā)過一個結構靜強度可靠度計算程序，其中包含了桿單元、四邊形/三角形板單元、空間梁單元、三角形殼單元。構件失效定義為單元重心處的應力超過許用應力，體系失效定義為剛度陣奇異、結構變形超過限值。浙江大學的金偉良等基于海洋平臺結構分析軟件SACS開發(fā)了具有針對性的可靠度計算程序，可以進行FORM、SORM和重要抽樣法計算可靠度。5.2改進的一次可靠度迭代算法在所有可靠度分析方法中，一次迭代算法的應用最廣泛。該方法公式簡潔、計算效率高、需要存儲的數(shù)據(jù)較少，如果結構功能函數(shù)的性態(tài)良好、初始迭代點選擇得比較恰當，則迭代能夠很快收斂，而且結果精度基本滿足工程要求，已為國際結構安全聯(lián)合會所推薦使用。但是，某些情況下由于初始迭代點的位置選擇不合適，或者結構功能函數(shù)在靠近驗算點的區(qū)域線性近似的誤差較大，則不能保證迭代過程的收斂性。李剛等人（李剛等，2004）首先對該問題進行研究，提出了一種改進的計算方法，在不增加太多額外計算量的情況下拓展了算法的適用范圍。為了提高實際工程結構的可靠度計算效率，Wang和Grandhi（1994）將過去優(yōu)化理論的函數(shù)近似成功經(jīng)驗拓展應用到結構可靠度分析中，建立了兩點自適應結構功能函數(shù)近似方法，但是在具體實施過程中經(jīng)常遇到算法失效的困難。再者，原方法需要精確估計函數(shù)的非線性程度，而事實上這種在提高近似精度方面花費的計算與獲得的受益是不相稱的，也是不必要的。因此，李剛等人（李剛等，2004）采用整型指數(shù)替換原來的實指數(shù)，改進了確定該指數(shù)的具體過程，最終與一次可靠度迭代算法的改進結合起來，實現(xiàn)與通用有限元軟件的集成，形成可以對復雜結構進行可靠度分析的軟件系統(tǒng)，并應用于實際工程結構的可靠度評估。5.2.1一次可靠指標的計算可以按式（5-11）計算。如果隨機變量不服從標準正態(tài)分布，則需要進行概率變換。HL算法僅利用了原始隨機變量的均值和標準差，是一個線性變換，一次可靠度算法則考慮了原始隨機變量的分布，即Rosenblatt變換或Nataf變換 （5-17）通常情況下該過程是非線性的，只有當所有的原始隨機變量都服從正態(tài)分布時才是線性的。因此求解優(yōu)化模型式（5-11）一般需要進行迭代，計算過程可以采用常用的優(yōu)化算法，如梯度投影法、罰函數(shù)法、增廣Lagrangian法、序列規(guī)劃法等，也可以使用迭代方法。李剛等人（李剛等，2004）在計算中使用的一次可靠度迭代算法程序段是由丹麥Aalborg大學Sorensen教授編寫的Pradsr，其中包含了12種隨機變量分布類型，能夠處理具有相關性的問題，并可以計算可靠指標及其對各參量的靈敏度。一次可靠度迭代方法的基本步驟如下：（1）假定初始驗算點。（2）利用Nataf變換計算在原始隨機空間的對應點，計算功能函數(shù)值。（3）計算Jacobian矩陣在的值，即 （5-18）（4）計算當前點功能函數(shù)對隨機變量的梯度向量。（5）計算功能函數(shù)在處對標準正態(tài)隨機變量的梯度向量 （5-19）（6）在處把功能函數(shù)線性展開，即 （5-20）（7）計算驗算點位置，即 （5-21）（8）判斷驗算點的收斂性，不等式成立則計算可靠指標和失效概率，即 （5-22）退出迭代過程。（9），轉向第（2）步驟繼續(xù)下一輪迭代。5.2.2實際工程中許多問題的功能函數(shù)非線性程度不太高，特別是在靠近驗算點的附近比較平滑，基于迭代的一次算法可以很快收斂，而且結果精度基本能夠滿足工程要求。然而，一些問題的極限狀態(tài)曲面在驗算點附近的曲率比較大，反映在功能函數(shù)的梯度向量變化比較劇烈，此時功能函數(shù)的Taylor展開式中的二階項及更高階項與線性項相比已經(jīng)不再是高階小量，甚至可能比線性項更重要。對于這樣的問題，如果依舊采用上述基于Taylor線性近似的算法計算，迭代序列則可能在驗算點附近的一定區(qū)域內振蕩（周期或非周期）而不收斂。另外，如果初始迭代點的位置選擇得不合適，也可能導致迭代序列的振蕩，因此，合適的初始迭代點也是保證迭代過程收斂的必要條件。如何改進該一次可靠度迭代算法的迭代格式、改善收斂性質、拓寬適用范圍就變得非常必要。Rackwitz等提出了兩個解決辦法：其一是用前兩次的迭代點組合得到近似驗算點；其二是通過增加兩個子迭代過程來提高他的收斂性。但是前者不能保證迭代的收斂，后者需要花費的計算量比較大（LiuPL和Kiureghian，1991）。Liu和Kiureghian（1991）指出了該方法對某些問題不能收斂的困難，提出增加一個效益函數(shù) （5-23）來監(jiān)控迭代過程的收斂。由于該效益函數(shù)的極小值點可能不是原問題的解，Zhang和Kiureghian建議采用一種新的效益函數(shù)形式（Kiureghian和Dakessian，1998） （5-24）李剛等人（李剛等，2004）對一次算法迭代過程增加了一定的處理手段，改善了收斂性，增強了適用性。一個基本的解決思想是：在接近驗算點時，如果極限狀態(tài)曲面的曲率較大，則在迭代每一步根據(jù)當前迭代點處的功能函數(shù)值決定是否對當前點的位置進行調整，盡可能減小他與真實驗算點的偏離，使之逐漸靠攏真實驗算點。改進算法的具體過程是：（1）假定初始驗算點（在后邊算例中每個分量的初始值都取為0.1）。（2）利用Nataf變換計算在原始隨機空間的對應點（這里考慮了隨機變量的分布情況和相關變量間的獨立化），繼而計算功能函數(shù)。（3）計算Jacobian矩陣在的值，見式（5-18）。（4）計算當前點功能函數(shù)對隨機變量的梯度向量。（5）計算功能函數(shù)在處對標準正態(tài)隨機變量的梯度向量，見式（5-19）。（6）在處把功能函數(shù)線性展開，見式（5-20）。（7）計算和坐標原點在超平面上的投影點和，即 （5-25）（8）引入整型移動參量。（9）假定新的設計點位置為 （5-26）（10）計算功能函數(shù)在處的函數(shù)值，判斷其是否小于（是收斂因子，他的大小影響收斂速度，通?？扇?.5）。不小于，則說明取當前位置時函數(shù)值的下降程度不夠，于是轉到第（9）步改變設計點的位置。（11）判斷迭代收斂與否。收斂判據(jù)為（后邊算例中，該收斂判據(jù)中取。為了防止功能函數(shù)在接近坐標平面時曲面比較平緩從而可能導致可靠指標的誤差較大，我們在這些算例中加一個判據(jù)，判斷目標函數(shù)的絕對值是否小于）。滿足條件，則計算失效概率及其對分布參數(shù)的敏感度，然后退出迭代過程，否則進行下一步。（12），轉向第（2）步驟繼續(xù)下一輪迭代。如果公式（5-26）中，則，該方法退化為一次可靠度迭代方法；如果，，該過程就相當于一個求解非線性方程的迭代算法。該改進是兩者的結合。我們用圖5-2來做進一步說明：經(jīng)過幾次迭代得到當前點A，直線1就是；如果用一次可靠度迭代方法計算，B點就是下次的迭代點，C點就是我們這里的。隨著的增加，迭代點逐漸從B沿著直線1向C移動，從而逐漸靠近真實的驗算點。該改進算法可以有效地改善迭代過程的收斂性，降低算法對迭代初值的敏感性。盡管一些問題使一次可靠度迭代算法不收斂，但采用該改進方法求解都得到了比較理想的結果。對于許多用一次可靠度迭代算法求解收斂的算例，采用改進方法求解所需的迭代次數(shù)基本相同（即每次迭代都滿足步驟（11）的判據(jù)，從而使得），少數(shù)情況下所需的迭代次數(shù)有所增加（步驟（11）的條件不能滿足，需要增大值，調整近似驗算點位置）。圖5-2改進的一次可靠度迭代算法圖5-3例5-1的迭代過程5.2.3【例5-1】功能函數(shù)取為，隨機變量的統(tǒng)計特征見表5-1。表5-1隨機變量統(tǒng)計特征隨機變量分布函數(shù)均值標準值正態(tài)函數(shù)105.0正態(tài)函數(shù)5-95.0此例的極限狀態(tài)曲線在驗算點附近曲率比較大，而且他的外法向沿曲線改變較為劇烈。一次可靠度迭代算法不收斂，用上一節(jié)的改進算法14次后收斂，最終可靠指標等于2.226，在原空間驗算點為（2.086，2.074），迭代歷程如圖5-3所示（圖中圓圈及數(shù)字為每次迭代設計點）。Wang和Grandhi（1994）得到了同樣的結果。假定兩個隨機變量的均值都等于10，標準差都等于5，分別用兩種方法重新進行可靠度分析。如果給初始迭代點的兩分量賦相同的初值，用一次可靠度迭代算法求解能夠收斂，可靠指標等于2.24；如果兩分量的初值不同，則采用一次可靠度算法求解時迭代序列發(fā)生振蕩，不收斂。同樣的問題，同樣的非線性程度，僅僅由于初始迭代點的不同就導致了一次可靠度迭代算法完全不同的收斂特性，說明該方法對迭代初值比較敏感。采用上述改進算法計算則都能收斂，不同的初始迭代點僅僅影響收斂的速度，說明他減小了算法對初值的敏感性?！纠?-2】功能函數(shù)取為，隨機變量的統(tǒng)計特征見表5-2。表5-2隨機變量統(tǒng)計特征隨機變量分布函數(shù)均值標準值正態(tài)函數(shù)105.0正態(tài)函數(shù)105.0該算例用一次可靠度迭代算法不收斂，用上一節(jié)的方法迭代歷程如圖5-4所示。由于該算例的非線性程度較高，改進算法迭代25次，在原始空間的驗算點為（1.816，1.462）可靠指標為2.365。Wang和Grandhi（1994）在原始分布空間計算得到可靠指標等于2.365，在標準正態(tài)空間計算得到可靠指標2.363?！纠?-3】功能函數(shù)取為，隨機變量分布類型及統(tǒng)計特征同表5-2。此例用一次可靠迭代算法不收斂，用一節(jié)的改進算法迭代12次，收斂到（1.663，1.586）可靠指標為2.298，具體迭代過程如圖5-5。圖5-4例5-2的迭代過程圖5-5例5-3的迭代過程這些算例的計算結果表明：少數(shù)情況下，由于極限狀態(tài)曲面在驗算點附近的曲率比較大，功能函數(shù)的高階項不能忽略，如果仍然采用線性近似則誤差較大，從而導致迭代過程不能收斂。另外，如果初始迭代點的位置選擇得不合適，也有可能造成一次可靠度迭代過程的不收斂。使用5-2.2節(jié)的改進算法可以拓寬算法的適用范圍，效率也比較高，而且沒有增加太多的計算量，從而證明了改進算法的有效性。5.2.4上述一次可靠度迭代方法及其改進算法主要適用于功能函數(shù)能夠寫出數(shù)學解析表達式的情形。對于那些功能函數(shù)不能夠寫為隨機變量解析式的復雜結構來說，實際結構可靠度分析需要調用有限元程序計算結構的功能響應，這時雖然算法仍然適用，但是計算過程中每迭代一步都需要進行多次結構分析和梯度計算（如果梯度采用差分計算，則一次梯度計算相當于次結構分析，為功能函數(shù)中的隨機變量個數(shù)）。通常情況下結構有限元分析一次花費的時間要遠遠高于對一個具有解析表達式的功能函數(shù)進行可靠度計算所花費的時間，結構有限元分析次數(shù)是決定工程問題可靠度計算效率的關鍵因素，因此有必要研究減少結構分析次數(shù)，提高可靠度計算效率的辦法。過去30多年里，研究有效的函數(shù)近似方法是優(yōu)化界一直關注的焦點問題之一。高效的函數(shù)近似可以極大地減少有限元分析的次數(shù)，提高優(yōu)化的效率。而近年來在利用近似函數(shù)進行結構可靠度分析方面的研究也非常多，這是因為可靠度分析從本質上也是一個優(yōu)化過程，也存在著減少結構分析次數(shù)的需求。與結構優(yōu)化過程比較類似，采用這項技術進行可靠度分析的基本過程是，通過一系列確定性實驗即有限元結構分析構造一個近似函數(shù)來代替未知的真實功能函數(shù)，然后用各種可靠度計算方法確定近似函數(shù)的驗算點坐標及可靠指標，重復該過程直至收斂。Fadel等（1990）成功地利用前后兩點的分析結果，構造出了指數(shù)形式的近似，并把他應用到結構優(yōu)化問題中，提高了優(yōu)化計算的效率。Wang和Grandhi（1994）將該方法引用到結構可靠度分析問題中，用來擬合結構的功能函數(shù)：引入中間變量，把他表示成為標準正態(tài)隨機變量的冪函數(shù)形式，指數(shù)為，為了避免底數(shù)變?yōu)樨摂?shù)引起數(shù)值計算困難，用整型參數(shù)對坐標軸進行平移。寫成分量的形式為 （5-27）式中，表示第個標準正態(tài)隨機變量；與分別表示第個原始隨機變量的均值和標準值。在當前點將功能函數(shù)展開為中間變量的線性形式 （5-28）其中，下標表示當前點，而且 （5-29）根據(jù)功能函數(shù)在當前點的梯度信息和函數(shù)值及前一點的函數(shù)值求出非線性指數(shù)，即求解方程 （5-30）借助中間變量的橋梁作用可以寫出近似功能函數(shù)的解析表達式 （5-31）最后用一次可靠度迭代算法計算該近似功能函數(shù)的可靠指標。這種方法減少了結構分析次數(shù)，提高了運算效率，是一種局部近似方法。但是，通常的方法是，非線性指數(shù)用試算的辦法通過求解方程（5-30）來確定，實踐表明，并非所有情況下都可以求解出一個實型指數(shù)，即方程（5-30）可能無解，這妨礙了該方法的應用。而且，該處計算的目的僅僅在于得到功能函數(shù)的近似解析函數(shù)，該近似函數(shù)一般也不可能與真實功能函數(shù)完全相同，因此進行精確求解是不必要的?；谶@一點，我們可以把替換為整型數(shù)，構造近似函數(shù) （5-32）計算在前一點該近似函數(shù)的誤差為 （5-33）確定指數(shù)的具體過程如下：非零指數(shù)從1開始按照序列（）逐漸改變，指數(shù)每改變一次，重新計算近似函數(shù)在前一點處的誤差（式（5-33）），并與前一次的誤差進行比較，若兩誤差符號相反，則取絕對值較小者對應的指數(shù)作為該近似函數(shù)的非線性指數(shù)，退出該過程；否則，比較兩誤差的絕對值，保留絕對值較小者，繼續(xù)改變非線性指數(shù)，重復上面的過程。如果指數(shù)變?yōu)?0時所有誤差一直保持為正或負，則取存儲的指數(shù)為近似函數(shù)的非線性指數(shù)。最后，利用該近似函數(shù)進行可靠度計算。5.3 ANSYS軟件二次開發(fā)及其在巖土工程可靠度分析中的應用5.3.1A為了將逐漸成熟的可靠度分析方法應用于考慮幾何、材料特性、荷載以及邊界條件等不確定因素的實際工程結構問題，需要將可靠度計算過程與結構分析程序集成起來。ANSYS軟件是通過ISO9001質量認證的國際著名結構分析通用軟件，可以進行結構分析（包括線性分析和非線性分析）、流體動力學分析、電磁場分析、聲場分析、電壓分析以及多物理場的耦合分析，可模擬多種物理介質的相互作用。軟件提供了100多種單元類型，用來模擬工程中的各種結構和材料。軟件由四部分組成：前處理模塊、分析計算模塊、后處理模塊以及其他輔助模塊。ANSYS程序具有開放性，用戶可以根據(jù)自身的需要在標準版本上進行功能擴充和系統(tǒng)集成，生成符合用戶特殊需要的用戶版本的程序。李剛等人（李剛等，2004）選擇ANSYS作為結構分析模塊，把改進后的基于兩點函數(shù)近似的一次可靠度分析算法集成到ANSYS程序中。ANSYS軟件有四種方式可以實現(xiàn)開發(fā)功能：參數(shù)化程序設計語言APDL（AnsysParametricDesignLanguage）；用戶界面設計語言UIDL(UserInterfaceDesignLanguage)；用戶可編程特性UPFs(UserProgrammableFeatures)；ANSYS數(shù)據(jù)接口。截止到目前的版本，ANSYS尚不具有可靠度分析的功能，僅僅可以實現(xiàn)一些簡單的隨機性分析，所采用的分析工具是模擬的方法，不能滿足工程的要求。因此我們利用他的UPFs，通過修改用戶自定義優(yōu)化userop子模塊，使其具有可靠度分析的功能?？煽慷扔嬎氵^程所需的結構分析結果及重分析時所需要的結構模型數(shù)據(jù)以參數(shù)的形式與可靠度分析模塊進行交互。二次開發(fā)的基本過程為（李剛等，2004）：首先在Userop子模塊中實現(xiàn)可靠度計算的基本過程；其次將userop子模塊連接到ANSYS程序中，在當前工作目錄下運行批處理文件ANSCUST，把該模塊與ANSYS的已有庫文件、目標代碼連接起來生成一個新的ANSYS可執(zhí)行程序；最后對重新生成的程序進行驗證。為了確保userop子模塊沒有影響ANSYS的其他模塊，應當找相當?shù)乃憷齺砜己顺绦颍駝t可能出現(xiàn)不可預知的后果。需要特別指出的是：（1）userop子模塊的編制可以修改ANSYS提供的框架模塊得到，即subroutineuserop(ioot,nterm,maxparm,optvar)cincomingarguments:iottistheansysoutputunitcntermispassedbacktoroutineopterm.Thisvariableshouldbesetasfollows:cnterm=0ifoptimizationloopingshouldstopcnterm=1ifoptimizationloopingshouldcontinue#include“impcom.inc”integeriott,nterm#include“cmopt.inc”!definearraysneeded.lopt=lopt+1!incrementoptimizationiterationcountercallbetael(……)!calculatereliabilityindexcallsenana(……)!calculatethesensitivityofthereliabilityindexif(lopt.gt.maxusr)then!wedefinemaxusr=1cterminateoptimizationanalysisnterm=0lopt=0elseccontinuetorunoptimizationanalysisnterm=1endifend（2）功能函數(shù)對隨機變量的梯度可以利用有限差分的方式計算。（3）用戶利用重新生成的ANSYS進行可靠度計算需要準備三個文件：ANSYS優(yōu)化輸入文件；結構分析文件；包含隨機變量概率分布類型、均值、標準差的數(shù)據(jù)文件。（4）如果兩次迭代得到的可靠指標差別很小，則程序清除緩存、關閉文件，退出ANSYS，結束迭代。運算過程及結果可以查看輸出文件。利用ANSYS進行可靠度分析的基本過程是：（1）用ANSYS命令編制結構分析文件和優(yōu)化文件，填寫描述隨機變量概率分布及統(tǒng)計特征的數(shù)據(jù)文件。（2）隨機變量取均值，利用分析文件建立模型，進行結構分析與靈敏度計算。（3）進行一次可靠度迭代計算，確定驗算點及可靠指標的近似值。（4）更新隨機變量的取值，重新建立模型，進行結構分析與靈敏度計算。（5）根據(jù)兩點結構分析函數(shù)值和梯度值，用上一節(jié)介紹的兩點函數(shù)近似辦法建立實際結構功能函數(shù)的近似表達式。（6）用一次可靠度算法的改進方法計算近似函數(shù)的可靠指標及驗算點位置。（7）比較兩次計算收斂與否。收斂，則結束迭代，輸出結果；不收斂，則轉到第（4）步，進行下一輪迭代。5.3.2李剛等人（李剛等，2004）選擇多個算例考核了程序和算法，其中包括專門構造的高度非線性的例題以及一些實際工程結構問題等，計算結果與已知的其他算法進行了比較。下面是其部分算例的計算結果?！纠?-4】5-2.3節(jié)的例5-1。采用兩點函數(shù)近似辦法，迭代2次（一共3次梯度計算，2次曲面擬合，功能函數(shù)計算9次）。兩次的非線性指數(shù)都等于3，同原問題完全一致?？煽恐笜说牡鷼v程見表5-2。表5-2例5-4的迭代歷程迭代次數(shù)123可靠指標2.0072.2262.226驗算點位置2.9042.0862.086驗算點位置2.8042.0742.074此例的功能函數(shù)具有解析表達式，5-2.3節(jié)已經(jīng)直接利用一次可靠度的改進算法進行了求解，并且列出了迭代結果和歷程。采用兩點函數(shù)近似方法進行分析極大地減少了原始功能函數(shù)的計算次數(shù)?！纠?-5】薄殼屈曲可靠度分析如圖5-6所示圓柱殼，長度等于508mm，中心角度0.2rad，兩直線邊鉸支，受到集中力作用，需要考慮結構屈曲破壞的失效概率。圖5-6圓柱殼屈曲模型由于結構的對稱性，選取他的計算，其中殼的厚度、曲率半徑和材料楊氏模量是正態(tài)分布隨機變量，統(tǒng)計參數(shù)見表5-3。工程要求他的屈曲荷載不能小于520N，定義功能函數(shù)為 （5-34）通常情況下，特征值屈曲方法計算的誤差較大，這里直接應用靜力非線性分析計算屈曲荷載。該殼抗屈曲破壞的可靠度指標等于3.160，失效概率等于7.88E-4，驗算點坐標（）=（6.292，2645-811，2640.757）。表5-3隨機變量統(tǒng)計特征隨機變量分布類型均值標準差彈性模量正態(tài)分布3102.75N/mm2155.1375N/mm2厚度正態(tài)分布6.35mm0.0635mm半徑正態(tài)分布2540mm127.0mm【例5-6】大連新港碼頭棧橋的可靠度評估大連港棧橋1976年建成投入使用，至今已經(jīng)20多年了。由于各種內在或外在因素的影響，一些構件產(chǎn)生一定程度的損傷，使橋跨產(chǎn)生各種病害。其間還經(jīng)歷過意外情況，如不及時檢查與維修，天長日久，病害逐步發(fā)展，維修起來不僅要花費大量的人力和物力，而且影響輸油碼頭的正常營運，甚至危及橋梁的安全。他的承載能力和安全性對安全生產(chǎn)有極大的影響，因此對棧橋的目前狀況做出評定非常重要。評估其安全性的最適當?shù)姆绞绞谴_定他的可靠度。一跨鋼棧橋自重（包括木車道）約315-9t，管道重156.12t，燈具電纜重3.6t。管道中流動的原油或成品油作為恒載重208.98t。用ANSYS的Beam空間梁單元和Mass質量塊單元建立空間計算模型并計算。在可靠度評估中，鋼材彈性模量服從正態(tài)分布，均值等于2.1E11Pa，變異系數(shù)為0.05；人群荷載（單位平方米人群重量）服從極值I型分布，均值2.0542kN/m2，標準差0.44088kN/m2；計算模式的不定性，服從正態(tài)分布，無量綱均值等于1.15，標準差等于0.13；設計基準期內最大風荷載服從極值I型分布，平均值等于1.171WOK，變異系數(shù)為0.444，其中WOK是風壓標值，大連地區(qū)的基本風壓為50kg/m2；材料性能服從正態(tài)分布，對于16Mn鋼，無量綱均值等于1.04，標準差等于0.066，對于235鋼，無量綱均值等于1.14，標準差等于0.073（常大民等，1995，李揚海等，1997）。其中，風載強度77.35kg/m2，風力0.4276t?？紤]三種極限狀態(tài)：跨中撓度不超過預拱度0.2m，主桁各桿件的應力不能超過屈服應力，橫梁及聯(lián)結系的應力不能超過屈服應力。結構功能函數(shù)可以寫成 （5-35） （5-35） （5-35）其中，是跨中撓度；代表鋼材彈性模量；代表人群荷載；表示16Mn鋼的最大Mises應力；表示235的最大Mises應力；表示計算模式不定性；表示16Mn鋼的材料不定性；表示235鋼的材料不定性。第2和第3個功能函數(shù)采用各桿件最大應力不超過屈服應力，并沒有特別指定某個桿件，這在一定程度上反映了整個結構的可靠度，只不過把他理想化為簡單的串聯(lián)體系。因為個元件組成的串聯(lián)體系的功能函數(shù)可以用各元件功能函數(shù)表示為，這是一個非光滑函數(shù)。當運用一次可靠度算法計算時，最終的可靠度等于各元件可靠度中最小的一個。如果采用MonteCarlo模擬方法計算，那么計算結果就是理想串聯(lián)模型的體系可靠度?；蛘呖梢哉f，利用一次可靠度算法計算，在結果的精度方面可能會有所損失。根據(jù)前面介紹的可靠度計算過程，按照設計時的荷載，我們首先計算設計時三個功能函數(shù)對應的可靠度，得到三個可靠指標分別等于4.424、4.449、4.853。按照隨機變量的順序，在標準正態(tài)空間，三個極限狀態(tài)對應的驗算點分別是（-4.2142，1.3471，0，-5.524E-3，0，0）、（-5.490E-2，0.7148，3.1907，-8.081E-3，-3.0171，0）、(2.602E-3，0.5693，3.4019，-1.081E-2，0，-3.4139)?？梢钥闯觯缰袚隙葮O限狀態(tài)的可靠指標最小，而強度極限狀態(tài)的可靠指標稍高一些。其余問題的討論這里從略。【例5-7】筒倉頂蓋結構可靠度分析某大型國家儲備糧庫包括20個鋼筋混凝土筒倉，每個筒倉可儲糧3×104t。筒倉標高為51.6m（包括頂蓋），直徑為32m。筒倉頂蓋結構為圓錐形頂蓋，直徑32m，由18片鋼桁架及頂?shù)變蓚€圈梁支持，頂圈梁上還有四個立柱的支架，傳遞糧食輸送系統(tǒng)的荷載和風力。頂蓋為軸對稱空間結構，而荷載為非軸對稱。屋面鋼筋混凝土板與鋼桁架有效地焊接起來，使面板既能承載抗彎，又能在桁架間起傳遞剪力的作用，而且施工比較方便；另外，對于頂圈梁，在原來的開口截面上添焊上、下兩塊蓋板成為封閉截面，以提高其剛度，特別是抗扭和抗彎的剛度。頂蓋結構功能要求包括：（1）頂蓋上部運糧設備正常運行的功能。由于筒倉頂蓋結構上部需要架設運輸糧食的廊道及設備，頂蓋上壓力環(huán)的豎向變形應滿足一定的要求，因此結構變形的功能函數(shù)為 （5-36）式中，為包括結構特性和荷載的基本隨機變量向量；為上壓力環(huán)節(jié)點的豎向位移要求，取值為2cm；為上壓力環(huán)節(jié)點的豎向最大位移。（2）頂蓋結構鋼桁架抵抗外部荷載的強度要求。由于鋼桁架上弦受壓桿與頂蓋鋼筋混凝土板焊接在一起，因此，鋼桁架受拉桿的應力成為結構的主要控制應力，結構強度的功能函數(shù)為 （5-37）式中，鋼桁架構件軸向應力允許值，取值為215MPa；鋼桁架構件最大軸向拉應力值。其余問題的討論這里從略。5.4基于優(yōu)化算法的結構體系可靠度分析根據(jù)一次二階矩理論，結構的可靠指標定義為在標準正態(tài)空間內坐標原點到功能函數(shù)曲面的最短距離，如式（5-11）。一次二階矩法中的HL—RF算法常用來計算可靠指標，對于非線性程度較低的功能函數(shù)，該方法十分有效，經(jīng)過數(shù)次迭代就能夠得到較好精度的結果；然而如果極限狀態(tài)曲面在驗算點附近曲率較大時，該方法在迭代過程中就會在驗算點附近的一定區(qū)域內左右擺動而不收斂。從式（5-11）可以看出，基于一次二階矩理論的可靠指標的計算，實際上就是求解優(yōu)化問題，因此我們可以采用比較成熟的優(yōu)化算法來解優(yōu)化問題式（5-11），而且許多有限元分析軟件都有優(yōu)化功能，這樣就可以方便地進行大型復雜結構的可靠度分析。李剛等人（李剛等，2004）引入了結構體系的等效功能函數(shù)概念，采用優(yōu)化算法進行結構體系可靠度分析，并且與其他算法（HL-RF法、MonteCarlo法和重要性抽樣法）的結果以及一些精確解進行了比較。5.4.1圖5-7體系可靠度結構體系一般可以分為串聯(lián)體系、并聯(lián)體系和混合體系。串聯(lián)體系實際上是一種最弱連接體系，只要其中一個單元失效，則整個體系失效。并聯(lián)體系是冗余體系，一個單元安全整個系統(tǒng)就安全。圖5-7給出了有兩個功能函數(shù)的串聯(lián)體系和并聯(lián)體系的幾何解釋。串聯(lián)體系的失效域相當于各功能函數(shù)失效域的并集，可以表示為 （5-38）我們把串聯(lián)體系的多個功能函數(shù)轉化為一個等效的功能函數(shù) （5-39）因此，式（5-38）可以寫為 （5-40）并聯(lián)體系的失效域相當于各功能函數(shù)失效域的交集，可以表示為 （5-41）類似地，我們可以定義并聯(lián)體系的等效功能函數(shù) （5-42）式（5-42）可以寫為 （5-43）因此，通過引入體系可靠度的等效功能函數(shù)，實際上就把體系可靠度問題轉化為等效的單元可靠度問題。5.4.2一般的優(yōu)化問題可以表示為 （5-44）式中，為設計變量向量；為目標函數(shù)；為約束條件，、為設計變量的上下限。對于優(yōu)化問題，式（5-44）有很多的算法可以求解。這里我們分別采用改進的可行方向法、序列線性規(guī)劃和序列二次規(guī)劃法進行結構可靠度分析。●改進的可行方向法可行方向法屬于直接搜索算法，可以表示為 （5-45）式中，和分別為設計空間中第和第個設計點；為兩個設計點之間的步長。選擇合適的搜索方向與步長是可行方向法的主要任務，我們采用共軛方向法，搜索方向可以表示為 （5-46）搜索方向確定以后，優(yōu)化問題就轉化為簡單的一維搜索問題（使最?。?，可以采用牛頓法、平分法、0.618法、拋物線法等求解?！裥蛄芯€性規(guī)則法（SLP）序列線性規(guī)劃法的思想很簡單：首先，利用在當前設計點的目標和約束函數(shù)值和他們的梯度值，建立目標函數(shù)和約束條件的線性近似Taylor級數(shù)展開，即 （5-47） （5-48）然后，用以上近似的線性問題代替原優(yōu)化問題進行求解，通過迭代逼近原問題的解。●序列二次規(guī)劃法（SQP）序列二次規(guī)劃法的思想與序列線性規(guī)劃法的思想類似，即首先建立目標函數(shù)的二次近似以及約束條件的線性近似，建立近似二次規(guī)劃子問題。 （5-48）對以上優(yōu)化問題求解來逼近原問題。5.4.3以下這些算例將基于優(yōu)化算法的可靠度分析方法與其他算法（如HL-RF法、Monte-carlo法、重要性抽樣法）進行了比較。對比算例選自有關討論可靠度分析算法的文獻，包括單元可靠度和體系可靠度分析問題（串聯(lián)和并聯(lián)體系）等?！纠?-8】單元可靠度。，。，表5-4計算結果（）Monte-carlo重要性抽樣法HL-RF法優(yōu)化算法1可靠指標1.7871.8081.4861.661誤差%7.6518.91610.4820.0852可靠指標2.5982.5811.6792.125誤差%20.25915-46822.2691.6383可靠指標2.6612.7161.8582.285誤差%16.71115-11818.5090.232表5-5計算結果（）Monte-carlo重要性抽樣法HL-RF法優(yōu)化算法1可靠指標1.7141.7261.3101.696誤差%0.8241.54122.9410.2552可靠指標2.3162.2751.3262.137誤差%8.2106.29038.0370.1423可靠指標2.5072.4931.4872.305誤差%8.5157.93135.6280.222【例5-9】串聯(lián)可靠度。。，表5-6計算結果Melchers結果Monte-carlo重要性抽樣法HL-RF法優(yōu)化算法可靠指標2.5262.2242.2272.1362.526誤差%11.96811.82515.4390.004【例5-10】并聯(lián)可靠度。。，表5-7計算結果Karamchandani結果Monte-carlo重要性抽樣法HL-RF法優(yōu)化算法可靠指標2.5262.3496.097-10.8402.000誤差%0.014155-640561.59814.834【例5-11】串聯(lián)可靠度。。，，，表5-8計算結果Karamchandani結果Monte-carlo重要性抽樣法HL-RF法優(yōu)化算法可靠指標3.5293.5543.5091.8932.7.5誤差%0.7080.57046.35622.3575.4.4相對于其他算法，優(yōu)化算法計算可靠度在收斂性和魯棒性等方面具有明顯的優(yōu)勢，而且基本不受初始點的影響。算例結果表明，采用優(yōu)化方法可以收斂到滿意的可靠指標（標準正態(tài)空間內坐標原點到功能函數(shù)曲面的最短距離），特別是對于單元可靠度和串聯(lián)體系可靠度，結果的精度很高，誤差非常小。在結構可靠度理論中，有兩種度量結構可靠性的指標：失效概率（或可靠度，）和可靠指標。例如，MonteCarlo法和重要性抽樣法計算得到的是失效概率，一次二階矩法則是計算可靠指標。失效概率和可靠指標有以下轉換關系： （5-49）然而，這種轉換關系只有當功能函數(shù)是正態(tài)分布隨機變量的線性函數(shù)才是精確的。當不滿足這些條件時，這種轉換會有誤差。隨著功能函數(shù)的非線性程度（特別是在驗算點附近）的提高，這兩種方法得到的可靠指標的差別會越來越大。如圖5-8所示，三個不同的功能函數(shù)、和，如果按照可靠指標的定義計算，則得到相同的可靠指標。事實上，這三個功能函數(shù)的失效概率是不同的（例如可以采用積分算法或MonteCarlo法計算），最小，最大，居中，即。因此，如果采用轉換關系式（5-49），則會得到的結論。圖5-8可靠指標與失效概率因此，以上算例中的誤差實際包含兩部分：一是算法本身引起的誤差（如優(yōu)化方法與一次二階矩法的比較）；二是由于可靠指標與失效概率的轉換導致的誤差（如優(yōu)化方法與MonteCarlo法和重要性抽樣法的比較）。應當指出，以上算例中給出的誤差大小受到所引文獻中可靠指標采用的方法的影響，如果文獻中采用可靠指標的定義計算可靠指標，那么計算結果中優(yōu)化方法的誤差就很小，MonteCarlo法和重要性抽樣法結果誤差則大（盡管實際上這兩種方法給出較精確的失效概率），單元和串聯(lián)體系可靠度算例分析大多屬于這種情況。如果文獻中是采用轉換關系計算可靠指標，那么結論正好相反，優(yōu)化方法的誤差較大，MonteCarlo法和重要性抽樣法結果誤差很小，并聯(lián)體系可靠度算例屬于這種情況?？傊捎脙?yōu)化算法進行可靠度分析，可以較精確的求出功能函數(shù)曲面上到坐標原點距離最短的點（驗算點），也就是可能很好的求出可靠指標；而根據(jù)這個可靠指標是否得到滿意的失效概率（或可靠度）還取決于功能函數(shù)的曲面形狀，特別是在驗算點附近的形狀。對于非線性程度較低的功能函數(shù)，采用轉換關系式（5-49）就可以得到誤差較小的失效概率。對于非線性程度較高的功能函數(shù)，采用轉換關系式（5-49）計算失效概率就會誤差較大，必須考慮非線性的影響，如采用二次二階矩法。5.5災害荷載下的結構體系可靠度近似計算我們可以把作用在工程或結構上的荷載分為非災害荷載和災害荷載兩種類型。非災害荷載包括恒載、活載、常遇風載、雪載及多遇地震作用等；災害荷載包括罕遇地震作用、颶風和特大洪水等。巖土工程在災害荷載下的結構體系可靠度研究顯得尤其重要。5.5.1荷載粗糙度指標LRI（LoadRoughnessIndex）是衡量結構抗力與荷載作用效應離散程度的相對關系的一個無量綱指標，定義為（王善等，1993） （5-50）式中，、分別為結構抗力與荷載作用效應的標準差。當時，的值很小，稱為光滑荷載；當時，的值很大，稱為粗糙荷載；當、為同一量級時，稱為一般粗糙荷載。特別地，對于兩種極限情況，時，稱為無限光滑荷載；時，稱為無限粗糙荷載。對于土木工程結構特別是巖土工程結構，必須對災害荷載和非災害荷載加以區(qū)別。由于一般的文獻資料中所給出的荷載和抗力的統(tǒng)計參數(shù)主要為變異系數(shù)，為便于討論，將式（5-50）轉化為以下形式 （5-51）式中，、分別為抗力和荷載效應的均值；、為變異系數(shù)。對于抗力與荷載效應的均值之比，可按下述方法確定?？沽εc荷載效應的功能函數(shù)可以寫為 （5-52）即抗力與荷載效應均服從正態(tài)分布（對于非正態(tài)分布，可以化為當量正態(tài)分布處理），則相應的可靠指標的表達式為 （5-53）由式（5-53）可得方程 （5-54）解此方程，得 （5-55）一般情況下，，從而有，這樣可以確定兩個解中的一個。5.5.2荷載粗糙度指標反映了構件抗力和荷載效應離散程度的相對關系，其大小必然對結構構件的可靠指標產(chǎn)生影響。下面推導荷載粗糙度指標與結構構件可靠指標之間的關系式，仍然假設構件抗力與荷載效應均服從正態(tài)分布（對于非正態(tài)分布，可以化為當量正態(tài)分布處理），相應的功能函數(shù)為式（5-52）?！駥τ谝话愦植诤奢d（圖5-9（））（）一般粗糙荷載（）無限光滑荷載（）無限粗糙荷載圖5-9結構抗力和荷載效應的概率分布特性、為同一數(shù)量級，，則構件可靠指標為 （5-56）即在一般粗糙荷載作用下，構件的可靠指標由荷載粗糙指標以及構件抗力和荷載效應的變異系數(shù)決定。●對于無限光滑荷載（圖5-9（）），荷載效應成為一個確定性的量，則可靠指標的表達式為 （5-57）即在無限光滑荷載作用下，構件的可靠指標主要由構件抗力的概率統(tǒng)計特性決定?！駥τ跓o限粗糙荷載（圖5-9（）），構件抗力成為一個確定性的量，則可靠指標的表達式為 （5-58）即在無限粗糙荷載作用下，構件的可靠指標主要由荷載效應的概率統(tǒng)計特性決定。災害荷載可近似處理為無限粗糙荷載，這樣，在災害荷載作用下結構的可靠度主要由災害荷載的特性決定，而結構的失效主要是由災害荷載的過大引起。實際上，在災害荷載作用下，結構目標性能水平中的最優(yōu)可靠度與最優(yōu)荷載設防水平是統(tǒng)一的，他們之間的關系由式（5-58）給出，也可以化為以下形式 （5-59）5.5.3引入荷載粗糙度指標后，可以對荷載粗糙度指標與結構失效模式間相關系數(shù)的關系進行討論?？紤]到災害荷載下的結構設計中災害荷載為控制荷載，因此在討論結構失效模式的相關性時，可以忽略其他非災害荷載的作用，從而簡化為單一荷載（災害荷載）的情況。考慮兩個線性功能函數(shù) （5-60）式中，為構件抗力；為荷載效應。兩個線性功能函數(shù)之間的相關系數(shù)為 （5-61）式中，、分別為抗力和荷載效應的標準差 （5-62）其中，為抗力與荷載效應的荷載粗糙度指標。將此式代入式（5-61），得到荷載粗糙度指標與結構失效模式間相關系數(shù)的關系為 （5-63）由式（5-63）可以看出，結構失效模式間的相關系數(shù)除了與功能函數(shù)中的系數(shù)有關外，還與荷載粗糙度指標有關。隨著荷載粗糙度指標LRI的增大，結構體系失效模式間的相關系數(shù)也隨之增大。特別是，當LRI=1時，結構體系失效模式間的相關系數(shù)也為1，即他們之間完全相關。5.5.4（1）災害荷載下結構體系失效模式相關性的討論在災害荷載作用下，荷載粗糙度指標近似為1（即），這樣，由5-5.3節(jié)式（5-63）可得：結構任意兩個失效模式之間近似完全相關，；確切地講，這種相關性指的是線性相關性。根據(jù)概率統(tǒng)計理論知：兩個隨機變量X、Y完全線性相關（）的充分必要條件是，隨機變量X、Y以概率1存在線性關系，即 （5-64）式中，表示隨機事件的概率；、為常數(shù)，（正相關）。設結構體系的任意兩個失效模式為 （5-65）式中，、分別表示抗力項和荷載效應項。在災害荷載下，結構體系在任意兩個失效模式和完全（線性）相關，根據(jù)式（5-64）得，存在常數(shù)、，，使 （5-66）需要強調，兩個失效模式完全（線性）相關并不是指兩個失效模式完全等價，而是表示兩個失效模式的失效域之間存在隸屬關系。若設Z＞0、Z≤0分別表示結構處于可靠狀態(tài)和失效狀態(tài)，則根據(jù)常數(shù)的不同取值，兩個失效模式的失效域之間存在隸屬關系可分為以下三種情況。①當時（圖（）），有 （5-67） （5-67）式中，表示條件概率。由以上關系可以看出，失效模式和同時失效或同時可靠，失效模式和為等價關系。②當時（圖（）），有 （5-68） （5-68）③當時（圖（）），有 （5-69） （5-69）失效模式的失效必然導致的失效，反之則不然。或失效模式的可靠必然導致的可靠，反之則不然。因此，失效模式的失效域包含失效模式的失效域。（）（）（）圖5-10結構抗力和荷載效應的概率分布特性（2）災害荷載下結構體系可靠度的近似計算由可靠指標的計算公式，可得結構體系的任意兩個失效模式和的可靠指標為（對于失效模式和的功能函數(shù)為非線性表達式及有關隨機變量為非正態(tài)分布的情況，可利用JC法進行功能函數(shù)的線性化和隨機變量的當量正態(tài)化處理） （5-70）式中，、、、、、分別為失效模式和的可靠指標、均值和標準差。在災害荷載作用下，失效模式和存在式（5-66）的關系，因此，他們之間的均值和標準差有關系 （5-71）將式（5-71）代入式（5-70），可得 （5-72）因為，，故由式（5-72）可得：①當時，；②當時，；③當時，。結合式（5-67）、（5-68）和（5-69），可以得到以下結論，在災害荷載作用下，結構體系的失效模式中失效概率小的失效模式失效時，失效概率大的失效模式必然已失效（即失效概率大的失效模式先失效）；反之則不然。結構體系的主要失效模式中，定義最弱失效模式為失效概率最大的失效模式，則以上結論又可以表述為：在災害荷載作用下，結構體系的主要失效模式中，任一失效模式失效時，最弱失效模式必然已失效（即最弱失效模式先失效）；反之則不然?；驈氖Ｊ娇煽康慕嵌瓤?，在災害荷載作用下，結構體系的主要失效模式中，最弱失效模式可靠時，其他失效模式必然可靠；反之則不然。將結構體系的個主要失效模式，按可靠指標由小到大排列，即為最弱失效模式。結構體系是這個主要失效模式的串聯(lián)體系，結構體系可靠的條件是這個失效模式都可靠（，），因此，災害荷載下結構的可靠度為 （5-73）利用概率論的乘法公式，上式化為 （5-74）由以上“災害荷載下最弱失效模式可靠時，其他失效模式必然可靠”的結論，可得 （5-75）將式（5-75）代入式（5-74），得 （5-76）這樣，在災害荷載作用下，結構體系可靠度近似由他的最弱失效模式?jīng)Q定，使計算得到很大的簡化。5.6基于混沌動力學的一次可靠度方法收斂性探討一般認為，如果功能函數(shù)的非線性程度較低，F(xiàn)ORM經(jīng)過數(shù)次迭代即可獲得較好精度的計算結果。然而，如果極限狀態(tài)曲面在設計點附近曲率較大時，該方法在迭代過程中就會在設計點附近的一定區(qū)域內左右擺動而不收斂。多年來，混沌理論已經(jīng)有效地解決了工程等多學科領域一些離散和連續(xù)動力系統(tǒng)的強非線性問題；對于非線性功能函數(shù)，利用FORM迭代求解可靠指標形成非線性映射，在適當條件下，在一定的參數(shù)區(qū)間上可能出現(xiàn)不收斂現(xiàn)象，一定迭代次數(shù)后的可靠指標會陷入周期解，經(jīng)過倍周期分叉等途徑走向混沌（李剛等，2004）。5.6.1（1）混沌的概念通俗地說，混沌是一種表面上的“亂七八糟”，而從科學和技術的層面上理解，他是在一個確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似不規(guī)則的、內在的無規(guī)律運動，或內在的隨機運動，既不是純粹的“有序”，也非純粹的“無序”，而是兩者的統(tǒng)一，即有序與無序的統(tǒng)一，確定性和隨機性的統(tǒng)一，其內部包含一層層嵌套的自相似幾何結構（所謂分形特性，維數(shù)是一個分數(shù)，而不是整數(shù)），具有一定的規(guī)律性和普適性。混沌、分形、孤立子（或孤波）構成非線性動力學研究的核心內容。定量地刻畫和表征非線性動力學系統(tǒng)混沌特性的物理量為Lyapunov指數(shù)、拓撲熵、測度熵和分維等?？茖W史上，最早了解混沌行為的人可以追溯到19世紀法國數(shù)學家和天文學家Poincare。20世紀50年代，混沌理論在天體力學領域里取得第一次突破性進展，Kolrnogolov等提出了KAM定理，該定理被認為是創(chuàng)建混沌學理論的歷史性貢獻。1963年美國氣象學家Lorenz取得了現(xiàn)代混沌學研究的第二個突破性進展，他在大氣對流模型的計算機數(shù)值模擬中發(fā)現(xiàn)了“蝴蝶效應”，即系統(tǒng)長期行為對初值微小變化的高度敏感依賴性，所謂“差之毫厘，謬以千里”，產(chǎn)生確定性系統(tǒng)的非周期性和長期行為的不可預測性等混沌特性，從而開辟了耗散系統(tǒng)混沌研究的嶄新道路。1975年李天巖和Yorke聯(lián)名發(fā)表了一篇論文“周期三則蘊涵混沌”，著名的Li-Yorke定理描述了混沌的數(shù)學特征，率先引入“混沌”一詞，該篇論文以其通俗性和趣味性在數(shù)學和物理學界引起了廣泛興趣，在混沌學的研究中獨樹一幟。1978年美國物理學家Feigenbaum利用重正化群方法發(fā)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)倍周期分岔現(xiàn)象的普適標度行為，計算出Feigenbaum常數(shù)，把混沌學從定性分析推進到了定量計算的階段，成為混沌學研究的一個重要里程碑。20世紀七八十年代全球掀起了混沌熱，1977年在意大利召開的第一次國際混沌會議標志著混沌學正式誕生。20世紀90年代初以美國科學家Ott、Grebogi、Yorke和Pecora、Carroll為代表，學術界在混沌控制和混沌取得突破性進展后，在全世界掀起了混沌熱（方錦清，2002，郝柏林，1993，MaCauley，1993，唐巍等，2000）。（2）Logistic映射的混沌動力學行為Logistic映射是一個簡單的一維非線性映射，也是一個典型的混沌模型，他幾乎具有所有混沌模型所擁有的特征和性質，其非線性行為豐富多彩。Logistic映射表達式為 （5-77）式中，為控制參數(shù)。有限差分方程（5-77）是一個離散時間演化動力學系統(tǒng)。值確定后，由任意初值，可迭代出一個確定的時間序列，對于不同的值，系統(tǒng)式（5-77）將呈現(xiàn)不同的特性，如圖5-11所示。圖5-11（）的縱坐標為變量，所屬區(qū)間為[0，1]，橫坐標為控制參數(shù)，所屬區(qū)間為[1，4]。將參數(shù)空間分成500步，對每個固定的參數(shù)值，變量從某一個初值（統(tǒng)一用）開始迭代，舍去最初瞬間過程的300個迭代值，再把后繼400個軌道點都畫到所選參數(shù)的縱方向上，這樣掃過全部的參數(shù)區(qū)間。圖5-11（）為圖5-11（）中小矩形區(qū)域的放大圖。由圖5-11（），當時，系統(tǒng)式（5-77）的解為不動點，即周期1解；當時，系統(tǒng)式（5-77）的解由周期1變?yōu)橹芷?，這是一個一分為二的分叉過程；當時，系統(tǒng)式（5-77）的解由周期4分叉為周期8；…，當達到極限值時，系統(tǒng)式（5-77）的解是周期解，即系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。從以上分析可知，隨著參數(shù)的增加，系統(tǒng)式（5-77）不斷地經(jīng)歷倍周期分叉，最終達到混沌。稱當時由系統(tǒng)產(chǎn)生的序列{}為混沌序列，混沌序列{}的動力學性質有如下特征：（）（）圖5-11Logistic映射分叉圖①隨機性當時，Logistic映射在有限區(qū)間[0，1]內不穩(wěn)定運動，其長時間的動態(tài)行為將顯示隨機性質。②規(guī)律性盡管{}體現(xiàn)出隨機性質，但他是由確定性方程（5-77）導出的，初值確定后{}便已確定，即其隨機性是內在的，這就是混沌運動的規(guī)律性。③遍歷性混沌運動的遍歷性是指混沌變量可以在一定范圍內按其自身規(guī)律不重復地遍歷所有狀態(tài)。④對初值的敏感性初值的微小變化將導致序列{}長期行為的巨大差異。對初值的敏感性是混沌的一個十分鮮明的特征，Lorenz曾十分形象地稱其為蝴蝶效應。⑤具有分形的性質如圖5-11（）所示，混沌的奇異吸引子在微小尺度上具有與整體自相似的幾何結構，對他的空間描述只能采用分維。⑥普適性是指混沌系統(tǒng)中存在著一些普遍適用的常數(shù)，如在Logistic映射的倍周期分叉點有如下一個普適常數(shù) （5-78）無理數(shù)被稱為Feigenbaum數(shù)，他可以由物理學相變理論中的重正化群方法精確求出。Feigenbaum數(shù)是如同圓周率一樣的常數(shù)，對于許多由倍周期分叉導致混沌的動力系統(tǒng)，其值不變。此外，圖5-11的分叉高度也在不斷縮小，且縮小的比例也趨于一個極限值。在許多包含耗散的高維非線性系統(tǒng)中，只要出現(xiàn)倍周期分叉序列，就會遇到同樣的普