中考一元二次方程創(chuàng)新試題賞析

中考一元二次方程創(chuàng)新試題賞析眾所周知，一元二次方程是方程大家庭中的重中之重，歷年各地的中考試卷都少不了，而且試題的形式越來越趨于創(chuàng)新， 現(xiàn)就近年來中考中有關(guān)一元二次方程創(chuàng)新試題， 舉幾例供同學(xué)們賞析.一、開放型問題例1（1）已知一元二次方程有一個(gè)根為 1,那么這個(gè)方程可以是（只需寫出一個(gè)方程）.（2）寫出兩個(gè)一元二次方程，使每個(gè)方程都有一個(gè)根為 0,并且二次項(xiàng)系數(shù)都為1:_（3）若方程x2—m=0有整數(shù)根，則m的值可以是（只填一個(gè)） .解析（1）因?yàn)橐辉畏匠倘绻薪?，則它一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，所以有一個(gè)根為 1的一元二次方程有無數(shù)個(gè).如，x2=1,x2-2x+1=0,2x2-x-1=0,…等等.（2）和第（1）小題一樣，有一個(gè)根為0的一元二次方程有無數(shù)個(gè)，不過必須滿足二次項(xiàng)系數(shù)都為 1.如，x2=。,,x2-x=0,——x2=0,3x2-x=0,…等等.（3）對(duì)于方程x2-m=0要有整數(shù)根，則必須滿2足m是一個(gè)非負(fù)數(shù)的完全平方數(shù)，如，0,1,4,9,…等等.說明對(duì)于（1）所列舉的一元二次方程只要滿足系數(shù)之和為零，都有一個(gè)根為 1,即對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（awo）,如果a+b+c=0,則必有一根為1;反過來，也成立.對(duì)于（2）所列舉的一元二次方程只要滿足常數(shù)項(xiàng)為零，都有一根為 0,即對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（aw。，如果c=0,則必有一根為0;反過來，也成立.對(duì)于（3）,如果給定的方程是x2+m=0形式，則要使方程有整數(shù)根，則m必須滿足是非正數(shù)的完全平方數(shù).二、 辨別改錯(cuò)題例2閱讀下列解題過程:題目：已知方程x題目：已知方程x2+3x+1=0的兩個(gè)根為解：因?yàn)榉匠蘹2+3x+1解：因?yàn)榉匠蘹2+3x+1=0的兩個(gè)根為b.b24acx= 2a3一3241121所以a①，得口+爐一3,a伊1；②所以閱讀后回答問題：上面的解題過程是否正確？若不正確,指出錯(cuò)在哪一步，并寫出正確的解題過程.簡(jiǎn)析不正確.第(3)步錯(cuò).正確的解題過程是：因?yàn)榉匠趟詀①，得口+爐一3,a伊1；②所以閱讀后回答問題：上面的解題過程是否正確？若不正確,指出錯(cuò)在哪一步，并寫出正確的解題過程.簡(jiǎn)析不正確.第(3)步錯(cuò).正確的解題過程是：因?yàn)榉匠蘹2+3x+1=0的兩個(gè)根為x=b b24ac3\322a■±口=375,即1 2土屋.所以一.2 2得a+3=—3<0,a即1>0,所以a<0,3<0,所以a==3.說明由葉3=-3<0,a住1>0,得出a<0,3V0,是求解本題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，也最容易發(fā)生差錯(cuò)的地方，另外，在對(duì)二次根式問一，二化簡(jiǎn)時(shí)也應(yīng)特別要注意符號(hào)問題.例3已知關(guān)于x的一元二次方程x2—mx+2m—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為23,求m的值.某同學(xué)的解答如下：設(shè)x1設(shè)x1、x2是方程的兩根，由求根公式，得x=b b24ac2am.m2412m1m,m28m4 = 彳導(dǎo)x1+x2=—m,x1x2=2m—1;21 2由題意，得x12+x22=23;又x12+x22=(x1+x2)2—2x1x2；所以，m2-2(2m-1)=23.解之，得m1=7,m2=-3,所以，m的值為7或一3.上述解答中有錯(cuò)誤，請(qǐng)你指出錯(cuò)誤之處，并重新給出完整的解答 ^簡(jiǎn)析認(rèn)真分析某同學(xué)的解題過程發(fā)現(xiàn)有兩處錯(cuò)誤：一是 xI+x2=—m"，應(yīng)該是x1+x2=m";二是求得m的值應(yīng)滿足原方程的b2-4ac>Q即?^足m2-8m+4>0,此日^當(dāng)m=7時(shí)，

m2-8m+4<0,所以m=7應(yīng)舍去.正確的解答是：設(shè)xi、x2是方程的兩根，由求根公式，得bb4acmm412m1mm8m4/口x= = = .得xi+X2=m,xiX2=2m—1;由題意，得xi2+x22=23;又xi2+x22=僅什劃2—2x1x2；所以，m2—2(2m—1)=23.解之，得m1=7,m2=—3,當(dāng)m=7時(shí)，m2-8m+4v0,即b2—4acv0,所以m=7應(yīng)舍去.,所以，m的值為一3.說明本題中的x1+x2=—m"這一錯(cuò)誤，雖然不影響求解的答案，但它畢竟是錯(cuò)誤，另外，在運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，必須保證原方程有實(shí)數(shù)根，即 b2-4ac>0.例4 閱讀下列解題過程：題目：已知方程 x2+mx+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是p、q,是否存在m的值，使得p、q滿足111?若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由pq1 1pqpqpq解：存在滿足題意的m1 1pqpqpqmm. —11,m=1.1 pq閱讀后回答下列問題:上面的解題過程是否正確？若不正確，寫出正確的解題過程簡(jiǎn)析不正解.認(rèn)真分析上面的解題過程發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤是 p+q=m"，應(yīng)該是p+q=—m"，這TOC\o"1-5"\h\z 1 1樣代入一一1即可求得m=-1,當(dāng)m=—1時(shí)，原方程求根公式中b2-4ac<0,沒有實(shí)pq數(shù)根，所以不存在m的值，使得p、q滿足工11.正確的解法是：不存在滿足題意的 mpq值.利用求根公式可求得 p+q=-m, pq=1.所以1 1 -p—q — m.因?yàn)閜 qpq 11 1——1,所以m=—1.而當(dāng)m=—1時(shí)，原方程的b2—4acv0,所以不存在m的值，使pq得p、q滿足——1.pq三、方法模擬型例5閱讀材料：

已知p2—p—1=0,1—q—q2=0,且pqw［求Rq_1的值.q1解：由p2—p—1=0及1—q—q2=0,可知pwQqwQ又因?yàn)閜qwl所以p一，所以1—2q—q2=0可變形為 1 1 10的特征，所以p與3是方程x2—x—1=0的兩個(gè)不相TOC\o"1-5"\h\zqq q等的實(shí)數(shù)根，則p11,即吼」1.q'q根據(jù)閱讀材料所提供的方法，完成下面的解答 .一，一 1 5 1 1已知：2m2-5m-1=0,——20,且m4，求：一一的值.nn mn簡(jiǎn)析通過閱讀題設(shè)提供的方法，我們可以仿照此法使問題獲解 .由2m2—5m—1=0知111 5 1 5 .15mwQ因?yàn)閙布，所以——,信一2 —20,根據(jù)一2 —2 0與一2 —20mnmm mm nn的特征，即工與。是方程x2+5x—2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以—— 5.mn mn1 5說明本題也可以這樣求解：由-2520得2n2—5n—1=0,根據(jù)2m2—5m—1=nn0與2n2—5n—1=0的特征.且m4,所以m與0與2n2—5n—1=0的特征.且m4,55.5 1 115.TOC\o"1-5"\h\z根，即mn—,mn一，所以 -22 2 mnmn 1四、猜想歸納題例四、猜想歸納題例6觀察下列方程:出關(guān)于x的第n個(gè)方程為一按此規(guī)律寫(1)x+Z=3;(2)x+—=5;(3)x+—=7;按此規(guī)律寫x x x—;此方程的解為.簡(jiǎn)析由左邊分式的分子2,6,12,…可知第n個(gè)方程的分子應(yīng)是 n(n+1),而右邊是3,5,7,是3,5,7,…可知第n個(gè)方程的右邊應(yīng)是2n+1,所以關(guān)于x的第n個(gè)方程為x+2n+1;解關(guān)于x的方程：x+nn1=2n+1可用兩種方法,即方法1,先分別求出方程(1)x+2=3;(2)x+—=5;(3)x+盤=7的解，然后找出其中的規(guī)律即得 x1=n,x2=n+1;方x x x

法2,法2,直接解關(guān)于x的方程：x+=2n+1同樣也可以獲解說明求解此類問題一定要根據(jù)已知條件， 從中找到規(guī)律，從而得到一般的結(jié)論使問題獲解.例7先閱讀下列一段文字，然后解答問題.下面是一類方程和它的解的情況：TOC\o"1-5"\h\z.1 1X——=1—的斛ZEx1=2,X2=——；x——=2一的解是X1=3X2=——；x3 3x——=3—的解是x1=4,x2=一一；x 4 4x——=4—的解是x1=5x2=——;x 5 51 10問題：觀察上述方程及其解，再猜想出方程x-1=1010的解，并寫出檢驗(yàn).x 11簡(jiǎn)析因?yàn)?1=2—1,22=3-1,3-=4-1,4,=5—1,而1010=11—」，2 23 34 45 5 11 111 10,,1所以由此可以狷想出方程x——=10W的斛ZEx1=11,x2=——.檢驗(yàn)：當(dāng)x1=11時(shí)，x—1 「 1 10小1g1 1 1 10—=11 =10—,當(dāng)x2=—一時(shí)，x = ;p=10—,所以x〔=11,x2=111工、- 1 10,.—：都是方程x-'=1010的解.說明處理這類問題一定要認(rèn)真閱讀分析，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)求解 ^五、自編應(yīng)用題例8實(shí)際生產(chǎn)、生活中存在大量如下關(guān)系式：路程=速度 刈寸間；工作量=工作效率X工作時(shí)間；……，即三個(gè)量a、b、c之間存在數(shù)量關(guān)系a=bc,現(xiàn)在請(qǐng)編一道含有這種關(guān)系的應(yīng)用題，要求：(1)用