中考數(shù)學(xué)考點總動員系列專題29尺規(guī)作圖(含解析)

/25考點二十九：尺規(guī)作圖聚焦考點☆溫習(xí)理解.尺規(guī)作圖的作圖工具限定只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺.基本作圖(1)作一條線段等于已知線段，以及線段的和、差；(2)作一個角等于已知角，以及角的和、差；(3)作角的平分線；(4)作線段的垂直平分線；(5)過一點作已知直線的垂線.3.利用基本作圖作三角形(1)已知三邊作三角形；(2)已知兩邊及其夾角作三角形；(3)已知兩角及其夾邊作三角形；(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形..與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖(1)過不在同一直線上的三點作圓 (即三角形的外接圓)；(2)作三角形的內(nèi)切圓；(3)作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形..有關(guān)中心對稱或軸對稱的作圖以及設(shè)計圖案是中考的常見類型.作圖的一般步驟尺規(guī)作圖的基本步驟：(1)已知：寫出已知的線段和角，畫出圖形；(2)求作：求作什么圖形，它符合什么條件，一一具體化；(3)作法：應(yīng)用“五種基本作圖”，敘述時不需重述基本作圖的過程，但圖中必須保留基本作圖的痕跡；(4)證明：為了驗證所作圖形的正確性，把圖作出后，必須再根據(jù)已知的定義、公理、定理等，結(jié)合作法來證明所作出的圖形完全符合題設(shè)條件；「；在哪些情況下，問題有一個解、多個解或者沒(5)討論：研究是不是在任何已知的條件下都能作出圖形

「；在哪些情況下，問題有一個解、多個解或者沒（6）結(jié)論：對所作圖形下結(jié)論.名師點睛☆典例分類考點典例一、應(yīng)用角平分線、線段的垂直平分線性質(zhì)畫圖【例1】（2017四川自貢第22題）兩個城鎮(zhèn)A,B與一條公路CR一條河流CE的位置如圖所示，某人要修建一避暑山莊，要求該山莊到 A,B的距離必須相等，至ijCD和CE的距離也必須相等，且在/DCE的內(nèi)部，請畫出該山莊的位置P.（不要求寫作法，保留作圖痕跡.）c\ a【答案】作圖見解析.【解析】c\ a【答案】作圖見解析.試題分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：到CD和CE的距離相等的點在/DCE的角平分線上，所以第一步作：/ECDB勺平分線CF;根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得：到 AB的距離相等的點在AB的垂直平分線上，所以第二步作線段 AB的垂直平分線MN其交點就是P點.試題解析：作法：①作/ECD勺平分線CF,②作線段AB的中垂線MN③MN與CF交于點P,則P就是山莊的位置.考點：作圖設(shè)計.【點睛】本題借助實際場景，考查了幾何基本作圖的能力，考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)及應(yīng)

用.【舉一反三】（2017黑龍江綏化第22題）如圖， 區(qū)）為某公園的三個景點，景點 田和景點可之間有一條筆直的小路，現(xiàn)要在小路上建一個涼亭，使景點0、景點」到?jīng)鐾た诘木嚯x之和等于景點|回到景點d的距離.請用直尺和圓規(guī)在所給的圖中作出點 Jd|.（不寫作法和證明，只保留作圖痕跡 ）■【答案】作圖見解析.【解析】試題分析:如圖,,連接加，作線段N的垂直平分線地，直線網(wǎng)交胡于F.點F艮防所求的點.試題解析：如圖p連接靛』作線段K的垂直平分線直線雙交業(yè)于P.點P即為所求的點.理由:二%垂直平分線段AC：，P后FC），氏玨上巴代屋二茯.考點：作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖.考點典例二、畫已知直線的平行線，垂線【例2】（北京市燕山區(qū)2017屆九年級一模）下面是“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.

請回答：該作圖依據(jù)是.【答案】四邊相等的四邊形是菱形，菱形對邊平行， 兩點確定一條直線【解析】四邊相等的四邊形是菱形，菱形對邊平行， 兩點確定一條直線?！军c睛】尺規(guī)作圖經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的平行線，實際上就是基本作圖：作一個角等于已知角.【例3】(北京市海淀區(qū)2017-2018學(xué)年九年級上學(xué)期期中)下面是“作已知三角形的高”的尺規(guī)作圖過程.(1)分別以點怔和點可為圓心，大于國的長為半徑作弧，兩弧相交于 回，司兩點；(2)作直線四，交回于點H;(3)以目為圓心，|回為半徑。。，與CB的延長線交于點 D,連接AD,線段AD即為所作的高請回答；該尺規(guī)作圖的依據(jù)是 【答案】①到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上；②直徑所對的圓周角是直角；③兩點確定一條直線.【解析】由（1）（2）（3）可得OA=OC=OD所以AHC在以。為圓心，AC為直徑的圓上，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得/ADC=90,即AD為BC邊上白^高.故答案為：①到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上；②直徑所對的圓周角是直角；③兩點確定一條直線.【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖時在五種基本作圖的基礎(chǔ)上你進行作圖，一般是幾何了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作 .【舉一反三】（2017浙江衢州第7題）下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個角等于已知角；②作一個角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點 P作已知直線的垂線，則對應(yīng)選項中作法錯誤的是()A.①B.②C.③ D.④【答案】C.【解析】試題解析：①作一個角等于已知角的方法正確；②作一個角的平分線的作;去正確；劭￡一條線段的垂直平分線缺少另一個交點,作法錯誤j④過直線外一點P作已知直線的垂線的作;去正確.故選c.考點：基本作圖.考點典例三、畫三角形【例4】（2017江蘇無錫第24題）如圖，已知等邊△ABC請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）：（1）作△ABC的外心O;

（2）設(shè)D是AB邊上一點，在圖中作出一個正六邊形 DEFGHJ使點F,點H分別在邊BC和AC上.【答案】（1）作圖見解析；（.2）作圖見解析試題分析：（1）根據(jù)垂直平分線的作法作出 AB,AC的垂直平分線交于點。即為所求;（2）過D點作DI// BC交AC于I,分別以D, I為圓心，DI長為半徑作圓弧交 AB于E,交AC于H,過E點作EF//AC交BC于F,過H點作HG/AB交BC于G,六邊形DEFGHI即為所求正六邊形.試題解析：（1）如圖所示：點。即為所求.（2）如圖所示：六邊形DEFGHI即為所求正六邊形.考點：1.作圖一復(fù)雜作圖；2.等邊三「角形的性質(zhì)；3.三角形的外接圓與外心.【點睛】（1）作三角形包括：①已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；②已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；③已知三角形的三邊，求作三角形;（2）求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的頂點；而求作直角三角形時，一般先作出直角，然后根據(jù)條件作出所求的圖形.已知：線段a、c和（如圖），利用直尺和圓規(guī)作△ ABG使BC=aAB=c,/ABCN3.（不寫作法,保留作圖痕跡）【答案】作圖見解析.【解析】試題分析：先作/【答案】作圖見解析.【解析】試題分析：先作/MBN=3,再在/MBN勺兩邊上分別截取BC=a,AB=c,連接AC即可.考點典例四、通過畫圖確定圓心考點典例四、通過畫圖確定圓心【例【例5】（2017浙江嘉興同學(xué)19題）如圖，已知（1）在圖中，用尺規(guī)作出目的內(nèi)切圓,并標(biāo)出（1）在圖中，用尺規(guī)作出目的內(nèi)切圓,并標(biāo)出回與邊臼叵］的切點回，㈢，國（保留痕跡，不必寫作法）；(2)連接Ld【答案】（1）作圖見解析；（2）70。.試題分析：（1）直接利用基本作圖即可得出結(jié)論;（2）利用四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)即可得出結(jié)論.試題解析：（1）如圖1,00即為所求.（2）如圖2,連接ODOE.ODLAR。aBG?./ODB=OEB=90,??/B=40°,./DOE=140,?./EFD=70.考點：1.作圖一復(fù)雜作圖；2.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.【點睛】本題考查了復(fù)雜的尺規(guī)作圖，角平分線，線段中垂線及圓，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)圓周心作出圓.【舉一反三】（浙江省杭州市余杭區(qū)2017屆九年級上學(xué)期期中）如圖，（1）作△ABC的外接。0（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若AB=6cmAC=BC=5cm求。0的半徑.【解析】試題分析：（1）作線段AB于△ABC的外接圓即可；（2）先根據(jù)勾股定理求出CD的長，設(shè)【解析】試題分析：（1）作線段AB于△ABC的外接圓即可；（2）先根據(jù)勾股定理求出CD的長，設(shè)即可.試題解析：（1）如圖，O。即為所求；OC=OA=r則OD=CD-g在Rt^AOD中，利用勾股定理求出r的值(2)..AB=6cmAC=BC=5cm?.AD=mAB=3cmCD= ==~*==-I =4cm.設(shè)OC=OA=r則OD=4-r,在RtAAOD^,AD2+oD=oA,即32+(4-r)2=r2,解得課時作業(yè)☆能力提升r=.』AB>AC,/CAD為4ABC的外角，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則下1.(2017廣西四市)如圖，△ABC中,AE//BCD./DAE=ZEACBC的垂直平分線相交于點 。，則點。即為圓心，OA為半徑，作【答案】D.【解析】試題分析：根據(jù)圖中尺規(guī)彳^圖的痕跡，可得/ DAEWB,故A選項正確，，AE//BG故C選項正確，EAC1C,故B選項正確，???AB>AC,，/C>ZB,/CAE>/DAE故D選項錯誤，故選D.考點：作圖一復(fù)雜作圖；平行線的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)..（2016-2017學(xué)年江蘇鹽城東臺市第二教育聯(lián)盟初二上 10月考）用尺規(guī)作圖，不能作出唯一直角三角形的是（）.A.已知兩條直角邊 B .已知兩個銳角C.已知一直角邊和直角邊所對的一銳角 D.已知斜邊和一直角邊【答案】B.1解析】試題分析：骨林能作出唯一直角三角形要看所給條件是否］醍全等三角形的單住條件.然后利用三角形全等的判定方海寸各選項進行判定.上已如兩條直角邊和直龜，可根堀作出唯一直角三龜形』所以以選項錯誤』小已知兩個銳角，不能出唯一的直角三角形j所以。選項之前J5已知一直角邊和直角邊所對的一鉗角，可用睡"皿力或‘」獨”作出唯一直角三角形，所以B選項錯誤35已知斜邊和一直角邊m可根據(jù),亂”作出唯一直角三角舟，所以D選項錯誤.故選；氏考點：作圖一一復(fù)雜作圖..（河南省駐馬店市確山縣2017-2018學(xué)年八年級上學(xué)期期中）如圖，已知鈍角？ABC依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡.步驟1:以C為圓心，CA為半徑畫弧①；步驟2:以B為圓心，BA為半徑畫弧②，交?、儆邳c D;步驟3:連接AD,交BC延長線于點H.卜列敘述正確的是（A.AC平分/BADB.BH垂直平分線段ADC.SiABC=BCAHD.AB=AD【答案】B【解析】解：①、錯誤. CA^一定平分/BAD②、正確.如圖連接CDBD?-CA=CQBA=BD,.??點C點B在線段AD的垂直.平分線上，，直線BC是線③、錯誤.應(yīng)該是&ab（=?BC?AH④、錯誤.根據(jù)條件AB不一定等于AD點睛：本題考查作圖-基本作圖、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握證明線段垂直平分線的證明方法.4.（福建省晉江市2017年初中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢查）已知點|兇點口都在直線1的上方，試用尺規(guī)作圖在直線二上求作一點|回，使得L山 的值最小，則下列作法正確的是（）.

如圖，由作圖可知， B,B，關(guān)于直線對稱，所以BP=B，P,此時AP+PBT=AP+PB直最小.（2017湖北隨州）如圖，用尺規(guī)作圖作/ AOC/AOB的第一步是以點O為圓心，以任意長為半徑畫?、?，分別交OAOBF點EA.以點①，分別交OAOBF點EA.以點F為圓心,B.以點F為圓心,C.以點E為圓心,D.以點E為圓心,【答案】DOE長為半徑畫弧EF長為半徑畫弧OE長為半徑畫弧EF長為半徑畫弧【解析】解：用尺規(guī)作圖作/ AOC/AOB勺第一步是以點O為圓心，以任意長為半彳5畫?、伲謩e交OAOB于點E、F,第二步的作圖痕跡②的作法是以點 E為圓心，EF長為半徑畫弧.故選D.（浙江省溫州市鹿城區(qū)第二十三中學(xué) 2017學(xué)年H上八年級期中）如圖，用尺規(guī)作圖作“一個角等于已

知角”的原理是：因「為日全等的依據(jù)是（），所以.由這種作圖方法得到的知角”的原理是：因「為日全等的依據(jù)是（），所以.由這種作圖方法得到的【答案】A【解析】根據(jù)作圖方法可知： D'O'=DO,O'C'=OC,D'C'=DC,根據(jù)SSS即可得 ,故選A.（2017屆浙江省杭州市淳安縣中考模擬）尺規(guī)作圖特有的魅力曾使無數(shù)人沉湎期中，連當(dāng)年叱咤風(fēng)云的拿破侖也不例外，我們可以只用圓規(guī)將圓等分。例如可將圓 6等分，如圖只需在。0上任取點A,從點A開始，以。0的半徑為半徑，在。0 上依次截取點B,C,D,E,F.從而點A,B,C,D,E,F把。0六等分。下列可以只用圓規(guī)等分的是（ ）①兩等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分A.②B.①②C.①②③D.①②③④【答案】D【解析】經(jīng)過圓心的直徑可將圓周兩等分；畫一條直徑，以直徑的一個端點為圓心，以圓的半徑為半徑畫弧，與原有圓有兩個交點，這兩個交點與直徑另一個端點就是圓的三等分點；畫兩條互相垂直的直徑就可以將圓四等分；五等分圓如下圖所示：擊8.（山東省日照巾總縣2016-2017擊8.（山東省日照巾總縣2016-2017學(xué)年期末）卜列尺規(guī)作圖，能判斷 AD是△ABC邊上的「高是（ ）【解析】試題分析：過點C.D.A作BC的垂線，垂足為D,故選【解析】試題分析：過點C.D.A作BC的垂線，垂足為D,故選B.考點：作圖一基本作圖.9.（浙江省麗水市青田縣八校聯(lián)盟 2017屆九年級上學(xué)期第二次教學(xué)效果調(diào)研）已知線段 AB下列尺規(guī)作圖中，PQ與AB的交點O不一一定是AB的中點的是（）A.AB.BC.CD.D【答案】C【解析】從根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進行判斷氏根據(jù)福亍級的性質(zhì)進行判斷iC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)迸行判斷；D.根據(jù)線毆垂直平分線的性質(zhì)進行判斷.解：以由圖可得，PQ垂直平分AE，故。是行的中點J日、由圖可得『四邊形QFQ是平行四邊形，故。是AB的中點,C,由圖可得,，AAEP^AAEQ,FQ與AB的交點不一定是AE的中點j認由圖可得，PQ垂直平分故。是AE的中點.改送C.10.（2017湖北宜昌卷）如圖，在L=J中，尺規(guī)作圖如下：分別以點?，點,為圓心，大于目的長為半徑作弧，兩弧相交于 以I兩點，作直線|回|,交回于點日,連接|國|,則下列結(jié)論正確的是（）

回垂直平分山W平分回垂直平分山W平分回C.臼垂直平分D【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)線段垂直平分線的作法可得， GH^直平分線段EF.故選：C.考點：1、作圖一基本作圖；2、線段垂直平分線的性質(zhì).（浙江省杭州市青春中學(xué) 2016-2017學(xué)年八年級上學(xué)期期中）如圖，用尺規(guī)作圖作“一個角等于已知 ...'''''' '''一角的原理是：因為△!）OC^ADOC所以/DOC=/DOC由這種作圖萬法得到的△!） OC和ADOC全等的彳^據(jù)是—（寫出全等判定方法的簡寫）【答案】SSS【答案】SSSOD=OD（）OC=OC【解析】由題意得，1C口=CD',得△!）’OCH^DOC..（2017年初中畢業(yè)升學(xué)考試河北卷）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算/a【解析】試題分析：如圖，根據(jù)作圖痕跡可知， GH垂直平分AC,AG平分/CAD..?四邊形ABCD^矩形,?.AD//BG /CAD=ABC=68。L.AG平分/CAD，/CAG=3/CAD=34。??GH垂直平分AC,，/AHG=90,../AGH=90-34°=56°。???/a=/AGH.1./a=56°?？键c：尺規(guī)作圖，矩形的性質(zhì)，角平分的定義，直角三角形的性質(zhì)^13.考點：尺規(guī)作圖，矩形的性質(zhì)，角平分的定義，直角三角形的性質(zhì)^13.(2017年北京懷柔初三數(shù)學(xué)二模)下面是一道確定點 P位置的尺規(guī)作圖題的作圖過程.如圖，直線L1與L2相交于點QAB是L2上兩點，點P是直線L1上的點，且/APE=30出符合條件的點P.,請在圖中作作法：如圖,作法：如圖,(1)(1)以AB為邊在L2上方作等邊△ABC(2)以C為圓心，AB長為半彳5作。C交直線L1于Pi,P2兩點.則R、F2就是所作出的符合條件的點P.請回答：該作圖的依據(jù)是 【答案】一條弧所對圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半 ^【解析】ABC^等邊三角形,/C=60,???/APB=30,/AP2B=30依據(jù)是：一條弧所對圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半 ^14.（2017甘肅慶陽第21題）如圖，已知△ABG請用圓規(guī)和直尺作出^ABC的一條中位線EF（不寫作法，保留作圖痕跡）.【解析】試題分析：作線段AB的垂直平分線得到AB的中點E,彳AC的垂直平分線得到線段AC的中點F.線段EF即為所求.試題解析：如圖，△ABC的一條中位線EF如圖所示，方法：作線段AB的垂直平分線得到AB的中點E,彳AC的垂直平分線得到線段AC的中點F.線段EF即為已知線段?和日一點引在叵！上（如圖所示）（1）在回邊上作點回，使三I

(2)作巨］的平分線；(3)過點回作回的垂線.【答案】作圖見解析.【解析】試題分析：(1)在OA上截取OP=2a即可求出點P的位置；(2)根據(jù)角平分線的作法即可作出/AOB的平分線；D點,(3)以M為圓心，作一圓與射線OBD點,連接MD即為OB的垂線；試題解析：(1)點P為所求作；OC為所求作；MD為所求作；考點：作圖一復(fù)雜作圖.16.考點：作圖一復(fù)雜作圖.16.(2017湖北孝感第20題)如圖，已知矩形 I1 .(1)請用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：①以點」為圓心，以|W的長為半徑畫弧交邊|巴于點國,連接|Ld;②作|L=J的平分線交叵］于點用|;③連接；(2)在(1)作出的圖形中，若I ,則的值為.【答案】（1）畫圖見解析；（2）>【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目要求作圖即可;(2)由(1)知AE=AD=10/DAF=ZEAF,【答案】（1）畫圖見解析；（2）>【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目要求作圖即可;(2)由(1)知AE=AD=10/DAF=ZEAF,可證^DA障△EAF得/D=ZAEF=90『即可得/FEC=ZBAE,從而由tan/FEC=tan/BAE=三］可得答案.試題解析：（1）如圖所示;(2)由(1)知健=松=10、ZdAJ^ZeAF*'.'AB=3,/-BE=sJaE1-ABT=6,=AF在AMF和ZkEAF中/ZDAF-AEAFr/.ADAF^AEAFCn與):/2/蚯廣90'AF^AFeejl+Nfec=go。，X'/ZBEA+ZBAE=90.\ZFEC=ZBAE,.tanZFECs-tanZBAEs—=AB84考點：1.作圖-基本作圖；2.全等三角形的判定與性質(zhì)； 3.解直角三角形17.（2017貴州六盤水第25題）如圖,Ld是勺的直徑， XI，點■在巴日的中點，,是直徑LrJ上一動點.).（1）利用尺規(guī)作圖，確定當(dāng)L=J最小時H點的位置（不寫作法，但要保留作圖痕跡).（2）求L=J的最小值.

【答案】（1）詳見解析；（2）2回.試題分析：（1）畫出A點關(guān)于MN的稱點回，連接0B,就可以得到P點；（2）利用 1得/AONWLrl=60°,又?為弧AN的中點,BON=30,所以/回ON=90,再求最小值也！.試題解析：（1）如圖，點P即為所求作的點.（2）由（1）可知，L=J的最小值為LJ的長,連接回，OB、OA.「A點關(guān)于MN的稱點回，/AMN=30,又為囚的中點又「MN=4

在RtA國中,即 —J的最小值為2回.考點：圓，最短路線問題.18.（2017江蘇鹽城第24題）如圖，△ABC是一塊直角三角板，且/C=90,/A=30°,現(xiàn)將圓心為點O的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部.（1）如圖①，當(dāng)圓形紙片與兩直角邊 ACBCfB相切時，試用直尺與圓規(guī)作出射線 CO（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）1周，回到起點位置時停止，若 BC=9,1周，回到起點位置時停止，若 BC=9,圓形紙片的半徑為2,求圓心。運動的路徑長.【解析】【解析】試題分析：（1）作/ACB的平分線得出圓的一條弦，再作此弦的中垂線可得圓心 O,作射線CO即可;（2）添加如圖所示輔助線，圓心 。的運動路徑長為dOOO2,先求出△ABC的三邊長度，得出其周長，證四邊形OEDO四邊形OQHG四邊形OOIF均為矩形、四邊形OEC叨正方形，得出/OOQ=60°=/ABG/000=90°,從而知△OOQs^cba利用相似三角形的性質(zhì)即可得出答案.試題解析：（1）如圖①所示，射線OC即為所求；

(2)如圖，圓心O(2)如圖，圓心O的運動路徑長為 QaOOC2,S②F、G過點O作ODLBGOF^AGOGJ±ARF、G過點O作OHBC,垂足為點E,連接QB,過點Q作QH,AB,C2