數(shù)值分析習題集及答案1.(優(yōu)選)

14/14數(shù)值分析習題集及答案[1].(優(yōu)選)數(shù)值分析習題集

（適合課程《數(shù)值方法A》和《數(shù)值方法B》）

長沙理工大學

第一章緒論

1.設x>0,x的相對誤差為δ,求lnx的誤差.

2.設x的相對誤差為2％,求n

x的相對誤差.

3.下列各數(shù)都是經過四舍五入得到的近似數(shù),即誤差限不超過最后一位的半個單位,試指出

它們是幾位有效數(shù)字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,71.0.xxxxx=====?

4.利用公式(3.3)求下列各近似值的誤差限:

********12412324(),(),()/,ixxxiixxxiiixx++其中****

1234

,,,xxxx均為第3題所給的數(shù).

5.計算球體積要使相對誤差限為1％,問度量半徑R時允許的相對誤差限是多少?

6.設028,Y=按遞推公式

1nnYY-=(n=1,2,…)

計算到100Y.27.982(五位有效數(shù)字),試問計算100Y將有多大誤差?

7.求方程2

5610xx-+=的兩個根,使它至少具有四位有效數(shù)字27.982).

8.當N充分大時,怎樣求2

1

1Ndxx+∞+??

9.正方形的邊長大約為100㎝,應怎樣測量才能使其面積誤差不超過1㎝2

?10.設

212Sgt=

假定g是準確的,而對t的測量有±0.1秒的誤差,證明當t增加時S的絕對

誤差增加,而相對誤差卻減小.

11.序列

{}ny滿足遞推關系1101nnyy-=-(n=1,2,…),若01.41y=≈(三位有效數(shù)字),

計算到

10y時誤差有多大?這個計算過程穩(wěn)定嗎?

12.計算6

1)f=,1.4≈,利用下列等式計算,哪一個得到的結果最好?

3

--

13.()ln(fxx=,求f(30)的值.若開平方用六位函數(shù)表,問求對數(shù)時誤差有多大?若

改用另一等價公式

ln(ln(xx=-

計算,求對數(shù)時誤差有多大?

14.試用消元法解方程組

{

101012121010;2.

xxxx+=+=假定只用三位數(shù)計算,問結果是否可靠?

15.已知三角形面積1sin,2sabc=

其中c為弧度,

02cπ+=

+xxa

xxk

kk

證明對一切axkk≥

=,,2,1且序列,,21xx是遞減的。

10.對于0)(=xf的牛頓公式)(/)(1kkkkxfxfxx'-=+，證明

2211)/()(=kkkkkxxxxR

收斂到))(2/()(*

*'''-xfxf，這里*

x為0)(=xf的根。

11.試就下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和收斂速度：

1)

????

?∑≠=稱A為對角優(yōu)勢陣。證明：若A

是對角優(yōu)勢陣，經過高斯消去法一步后，A具有形式

??????21110AaaT。

7.設A是對稱正定矩陣，經過高斯消去法一步后，A約化為

??????21110

AaaT，

其中

;)(,)(1)

2(2-==nij

nijaAaA

證明（1）A的對角元素);,,2,1(0niaii=>（2）A2是對稱正定矩陣；

（3）

);,,2,1(,)(niaaiinn=≤（4）A的絕對值最大的元素必在對角線上；（5）|;

|max||max,2)2(,2ijn

jiijn

jiaa≤≤≤≤≤

（6）從（2），（3），（5）推出，如果1

||,時，ijkijk

ILIL=~也是一個指標為k的初等下三角陣，其中ijI為初等排

列陣。

9.試推導矩陣A的Crout分解A=LU的計算公式，其中L為下三角陣，U為單位上三角陣。

10.設dUx=，其中U為三角矩陣。

(a)就U為上及下三角矩陣推導一般的求解公式，病寫出算法。(b)計算解三角形方程組dUx=的乘除法次數(shù)。(c)設U為非奇異陣，試推導求1

-U

的計算公式。

11.證明（a）如果A是對稱正定陣，則1

-A也是正定陣；

（b）如果A是對稱正定陣，則A可唯一寫成LLAT

=,其中L是具有正對角元的下三角陣。12.用高斯－約當方法求A的逆陣：

?????????

???=5101242170131312A

13.用追趕法解三對角方程組bAx=，其中

????

????????????=????????????????=00001,2100012100012100012100012bA

14.用改進的平方根法解方程組

.654131*********??????????=????????????????????xxx

15.下述矩陣能否分解為LU（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么

分解是否唯一？

.461561552621,133122111,764142321??

???

?????=??????????=??????????=CBA

16.試劃出部分選主元素三角分解法框圖，并且用此法解方程組

?????

?????=????????????????????-321212111430321xxx.

17.如果方陣A有

)

|(|0tjiaij>-=，則稱A為帶寬2t+1的帶狀矩陣，設A滿足三角分

解條件，試推導LUA=的計算公式，對.,,2,1nr=

1）

∑--=-

=1

)

,1max(rtikki

rkririu

l

au)),min(,,1,(trnrri++=；

2）

rr

rtikkr

ikiriruul

al/)(1

)

,1max(∑--=-

=)),min(,,1(trnri++=.

18.設

?

??

???=3.01.05.06.0A，

計算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2-范數(shù)及F-范數(shù)。19.求證

(a)∞∞≤≤||||||||||||1xnxx，

(b)

F

FAcAAn

||||||||||||1

22≤≤。

20.設n

nR

P?∈且非奇異，又設||||x為n

R上一向量范數(shù)，定義

||

||||||Pxxp=。

試證明

p

x||||是n

R上的一種向量范數(shù)。21.設n

nR

A?∈為對稱正定陣，定義

2/1),(||||xAxxA=，

試證明Ax||||為n

R上向量的一種范數(shù)。22.設T

nnxxxxRx),,(,21=∈，求證

∞

≤≤=∞

→==∑||||max)||||(lim11

/1xxxn

iin

ippiy。

23.證明：當且盡當x和y線性相關且0≤yxT

時，才有

222||||||||||||yxyx+=+。

24.分別描述2

R中（畫圖）

),2,1(},,1|||||{2∞=∈==vRxxxSvv。

25.令

?是nR（或nC）上的任意一種范數(shù)，而P是任意非奇異實（或復）矩陣，定義范

數(shù)||||||||Pxx='，證明||||||||1

-='PAPA。

26.設tsAA||||,||||為n

nR?上任意兩種矩陣算子范數(shù)，證明存在常數(shù)0,21>cc，使對一切

nnRA?∈滿足

stsAcAAc||||||||||||21≤≤

27.設nnRA?∈，求證AAT與TAA特征值相等，即求證

)()(TTAAAAλλ=。28.設A為非奇異矩陣，求證

∞∞

≠∞-=||||||||min

||||1

01yAAy。

29.設A為非奇異矩陣，且1||||||||1=∞AA級數(shù)+++++kAAAI2也收斂．3.證明對于任意選擇的A,序列

,!41

,!31,21,,432AAAAI

收斂于零．

４.設方程組

??

?=+=+;;

22221211212111bxaxabxaxa);0,(1211≠aa

迭代公式為

??????

?-=-=--);(1);(1)1(121222)(2)

1(212111)(1kkkkxabaxxabax).,2,1(=k

求證:由上述迭代公式產生的向量序列

}{)(kx收斂的充要條件是.122

1121

12時，δ

時，值為22133aa+，1a≤時，值為1，1a=='?，

迭代公式發(fā)散。

4.1)二分14次得0.0905456；2)迭代5次得0.0905246。

5.迭代函數(shù))()(xfxx?-=λ?，)(1)(xfx'?-='λ?，

由已知

λ2

)(0

+-∑

(2)1

11111112,2,2,2,//n

n

n

n

ijijijijij

jji

jji

jji

jji

aaaaaaaaa=≠=≠=≠=≠>

+≥

-=

∑

∑

∑

∑

，則2A

是對角

優(yōu)勢陣，故高斯消去法與部分選主元高斯消去法對于對稱的對角優(yōu)勢陣每一步均選取同樣的主元，得出的是同樣的結果。

7．(1)0T

iiiiaeAe=>，(2)

(2)(2)11111111//ijijjijiijjiaaaaaaaaaa=-=-=，又有當2i?≥時

1111211121

0()()00T

T

TT

i

iiiininnaaeAeeeeAebIA????==>?

?????，故2A是對稱正

定矩陣，(3)(2)2

1111111//iiijiiiiiiiaaaaaaaaa=-=-≤，(4)若max,xyijaaxy=≠，

令11'yy

AIAI=，由于'A和2'A也是對稱正定矩陣，代入得(2)21111111''''/'''/'0xxxxxxxxxaaaaaaaa=-=-≤，矛盾，故A的絕對值最大的元素

必在對角線上，(5)(2)(2)

2,2,maxmaxijxxxxij

ijnijn

aaaa≤≤≤≤=≤≤，(6)對所有k均有kA對稱正

定，

()(1)

1

kkijijijaaa-≤≤

≤，由此可知1A-也是對稱正定矩陣，

(b)/,

nnnininnLLAL=

=,,,,,,1

()/ni

iiijijikiiikii

kLLALLL-++===-∑，得

出唯一正對角元的下三角陣L使得T

ALL=。

12．

14/8510/1723/8516/1733/856/1741/8513/1719/855/173/858/173/851/174/855/17A???-

?=??--??。13．(5/6,2/3,1/2,1/3,1/6)Tx=。14．

(10/9,7/9,23/9)Tx=。

15．

按高斯消去法，A無法進行第二次消去，換行后可以分解，B第二次消去可乘任意系數(shù)，分解不唯一，C可唯一分解。

16．131

002121/21003/20021004IA???????=-??????-????，解得

1711(3,,2),(,,)2632TT

yx==-。17．高斯消去法公式中去掉0()ijaijt=->即可推出該公式。

18．

121.1,0.8,0.827853,0.842615FAAAA∞====。

19．

(a)

1111

maxmaxn

iiiin

in

ix

xxxnxnx

∞

∞

≤≤≤≤==≤=≤=∑

,(b)A∞=

2AA∞

=

≤=≤

=

=。

20．

0,000

PPxPxxPxx=≥=?=?=，PP

xPxPxx

αααα===，

()P

PPxy

PxyPxPyxy+=+≤+=+，故Px是nR上的向量范數(shù)。

21．

112

2

(,)0,000,(,)T

A

A

A

A

x

Axxx

xAxxx

Axxx

αααα=≥=?=?===，

T

ALL

=故

1122

2

2

2

2

2222

222(,)2A

xy

LxLxLyLyLxLxLyLy????

+=++≤++???

?

112

2

(,)(,)AAAxxAyyxy=+=+，故Ax是nR上的向量范數(shù)。

22．

1/1/1111

1

lim()

maxlim((/max))maxn

n

pp

ppiiiiippin

in

in

iixxxxxx

∞

→∞

→∞

≤≤≤≤≤≤=====∑∑。

23．充分性：若有x和y線性相關且0T

xy≥，即(0)xkyk=≥，代入得

2222(1)xykyxy+=+=+；唯一性：若有222yxyx+=+，由于

222

xyxy+===+，兩邊同時平方可得出

0Txy≥

，消去共同項可得Txy=x和y線性相關時等號成

立。

24．

以上圖像分別為11=x，12

=x

，1=∞

x

。

25．

11

'0

''max

max

max

'

yPyxPAPxAyPAyAPAPyPy

x

--≠≠≠====。

26．由向量范數(shù)的相容性可知存在常數(shù)12,0aa>，使得12stsaxxax≤≤，

于是令112/caa=>0，221/caa=>0，則對任意nn

AR?∈，均有不等式12120

21max

max

max

stss

t

s

sts

xxxs

t

s

aAxAxaAxcAAcA

ax

x

ax

≠≠≠=≤=≤=。

27．若()T

AAλλ∈，則0,,TxAAxxλ?≠=就有

()TAAAxAxλ=，可推出()TAAλλ∈即()()TTAAAAλλ∈，同理可以推出()()TTAAAAλλ∈，綜合這兩

點即可得

()()TTAAAAλλ=。28．1

11

10

11/max

minmin

y

xAxAxx

Ayx

y

AAx

-∞

∞∞

-∞

∞∞--≠≠≠∞

∞

∞

∞

===。

29．

111

AAAAδδ--≤-=aaa0)1)(21(||>--=aaA，所以A正定。

Jacobi迭代矩陣譜半徑為||2)(aB=ρ，所以只對212

1++==nTTTaaAxAxxAAx，AAT為對稱正定陣。

(b)因為AAT

為對稱陣，所以

左

)()

()(minmax2AAAAAAcondT

TT

λλ==右

=?

?????===-2

minmax2

21

2

22)()()())((AAAAAA

AcondTTλλ左。

20.證：A為嚴格對角占優(yōu)，則1

-A存在。

∞

∞

-∞

-=x

xAA11

max

第九章矩陣的特征值與特征向量計算習題參考答案

1

2．(),0Txλσ?∈?≠，使得()0TIxλ-=，即

1

niiiTITIλλ=-=-=∏，一定存在

i使得0iiTIλ-=，則()iiTλσ∈，

1

()()

n

iiiTTσσ=?

，反之

1

()()

n

iiiTTσσ=?，故

1

()()

n

iiiTTσσ==

。

3．114/2711/275/27(6)11/272/271/275/271/274/27AI-???

-=--?

?--??，由冪法得1

max(6)0.750741AIλ--=，原矩陣最接近6的特征值為max7.33202Aλ=，對應的特征向量為

(1,0.485551,0.185986)Tx=。

4．設特征向量為(,,)Txabc=，則有44,34,34aabcbbcc=+=+=，解得對應的特征向量為

12(1,0,0),(0,1,1)TT

xx==。5．雅可比迭代進行五步可得1232.53652,0.0166474,1.48023λλλ==-=，對應的

特征向量分別為

1(0.531632,0.461334,0.710313)Tx=，

2(0.721102,0.686454,0.0938701)Tx=-，3(0.444293,0.562111,0.697592)Tx=--，

最優(yōu)值1.26658p=。

6．(a)1Pxe=，P正交，則TP第一列

1T

Px=，111T

BPAPPAxPxeλλ====，又TBPAP=是對稱矩陣，B的第一行和第一列除λ外均為零。(b)P為反射陣，11PxePex=?=，解得

2/31/32/31/32/32/32/32/31/3P???=-??--??，9000180