計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)第七講課件

計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)第七講：三維圖形變換第6章三維圖形變換客觀世界是三維世界表示三維物體的方法：（1）多邊形表面（2）自由曲線曲面三維幾何造型分支（1）曲面造型（2）實(shí)體造型6.1三維圖形變換概述如何用計算機(jī)表示三維物體？三維圖形的基本問題：（1）如何表示三維物體？（三維形體的表示）（2）如何在二維屏幕上顯示三維物體？（投影）（3）如何反映遮擋關(guān)系?(消除隱藏面與隱藏線)（4）如何產(chǎn)生真實(shí)感圖形？(建立光照明模型、真實(shí)感圖形繪制方法)采用投影的方法，可以將三維物體顯示在二維平面上。6.1.1幾何變換的分類點(diǎn)、線、面是三維形體的基礎(chǔ)復(fù)合變換一點(diǎn)透視二點(diǎn)透視三點(diǎn)透視正投影軸測投影平行投影透視投影基本幾何變換三維圖形變換三維幾何變換平面幾何投影6.1.2三維變換基礎(chǔ)1、圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三維點(diǎn)的坐標(biāo)：(x,y,z)齊次坐標(biāo)：(x,y,z,1)優(yōu)點(diǎn)：（1）齊次坐標(biāo)提供統(tǒng)一的矩陣運(yùn)算，能進(jìn)行簡便而有效的坐標(biāo)變換。（2）可以表示無窮遠(yuǎn)的三維點(diǎn)。三維坐標(biāo)變換矩陣：矩陣相乘不符合交換律2.坐標(biāo)系的右手法則右手法則：右手握住z軸，大拇指指向z軸正方向，其余4指從x軸到y(tǒng)軸形成一個弧形左手法則：左手握住z軸，大拇指指向z軸正方向，其余4指從x軸到y(tǒng)軸形成一個弧形一般三維坐標(biāo)采用右手法則。面的法向方向遵守右手法則。YZX0逆時針為正6.2三維基本幾何變換及其復(fù)合變換1、三維變換矩陣可表示為：產(chǎn)生比例、錯切、鏡象和旋轉(zhuǎn)等基本變換。產(chǎn)生沿x、y、z三軸方向上的平移變換。產(chǎn)生透視變換。(s)產(chǎn)生等比例縮放變換。2、（相對于原點(diǎn)）比例變換úúúú?ùêêêê?é=1000000000000zyxsss(),,zyxsssS3、錯切變換三維錯切變換矩陣：1bc0

d1f

0

gh1

0

0

00

1其中：b=c=f=h=0，沿X方向產(chǎn)生錯切T=4、旋轉(zhuǎn)變換繞x軸1(x,y,z)(x’,y’,z’)xyz2(x’’,y’’,z’’)4、旋轉(zhuǎn)變換繞y軸(x,y,z)(x’,y’,z’)xyz6.2.2三維幾何變換旋轉(zhuǎn)變換繞z軸xz(x’,y’,z’)(x,y,z)幾點(diǎn)說明1）平移變換只改變位置，不改變圖形的大小和形狀；2）旋轉(zhuǎn)變換保持圖形各部分間的線性關(guān)系和角度關(guān)系（剛性），變換后直線的長度不變；3）比例變換可改變圖形的大小和形狀；4）錯切變換引起圖形角度關(guān)系的改變，甚至導(dǎo)致圖形發(fā)生畸變；5)拓?fù)洳蛔兊膸缀巫儞Q不改變圖形的連續(xù)關(guān)系和平行關(guān)系；三維圖形變換中要注意的幾個問題：

1.(三維)采用s

來實(shí)現(xiàn)整體的比例變換。當(dāng)|s|<1時，三維圖形整體等比例放大；當(dāng)|s|>1時，三維圖形整體等比例縮小。

2.(三維)對稱變換是相對于各個坐標(biāo)平面進(jìn)行的。

3.(三維)旋轉(zhuǎn)變換是指繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)。規(guī)定：右手坐標(biāo)系下，繞坐標(biāo)軸逆時針為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)。

6.2.3三維復(fù)合變換

——實(shí)際的圖形對象的變換往往是由多個簡單變換復(fù)合而來。將相關(guān)的簡單變換的變換矩陣乘起來就可得到復(fù)合變換的變換矩陣。例6.1寫出基于參考點(diǎn)（xf,yf,zf）的比例變換矩陣。

（如：相對于參考點(diǎn)（1，2，3），分別在X、Y、Z方向上放大2倍、1.5倍、3倍）

變換方法步驟：

1）通過平移變換將參考點(diǎn)移到原點(diǎn)，使原點(diǎn)與參考點(diǎn)重合；

2）相對于原點(diǎn)進(jìn)行比例變換；

3）通過反平移將參考點(diǎn)移原來位置。繞空間任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換例6.2：有空間任意軸AB（用點(diǎn)A：[xA,yA,zA]，方向數(shù)a,b,c表示），現(xiàn)有空間點(diǎn)P（x,y,z）繞AB軸旋轉(zhuǎn)θ角后為P′（x′,y′,z′），求該變換矩陣。方法步驟如下：1)平移AB軸與原點(diǎn)重合；

2)AB繞X軸旋轉(zhuǎn)α角，使之落到ZX平面上；

3)將AB繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角，使之與Z軸重合；

4)此時AB與Z軸重合，繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角；

5)繞X軸反旋轉(zhuǎn)-β角；

6)繞X軸反旋轉(zhuǎn)-α角；7)反平移。預(yù)備知識：方向數(shù)與各坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面的關(guān)系（夾角、投影等）B點(diǎn)的方向數(shù)為（2，3，4）α-βYXZ繞X軸旋轉(zhuǎn)α角；繞Y軸旋轉(zhuǎn)-β角。習(xí)題

在坐標(biāo)系oxyz中，求一個變換將P(1,1,1)Q(2,2,2)變換到z軸上：P在坐標(biāo)原點(diǎn)，Q在z軸正半軸。（方向數(shù)為：？？）xyzPQoxyzQo(P)M隨堂練習(xí)4.假定空間直線AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0,0)B(2,2,2)，試寫出繞AB軸旋轉(zhuǎn)30度的三維復(fù)合變換矩陣。(問：方向數(shù)為？？)5.**在右手坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)到P（x,y,z）給出一直線，用三種方法將此直線旋轉(zhuǎn)到正的軸線上，并用代數(shù)證明所得的結(jié)果等價。

a.先繞X軸旋轉(zhuǎn)到XZ平面上，再繞Y軸到Z軸上；

b.先繞Y軸旋轉(zhuǎn)到Y(jié)Z平面上，再繞X軸到Z軸上；

c.先繞Z軸旋轉(zhuǎn)到XZ平面上，再繞Y軸到Z軸上.1)（毋需）2)AB繞X軸旋轉(zhuǎn)α角，使之落到ZX平面上；

3)將AB繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角，使之與Z軸重合；

4)此時AB與Z軸重合，繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角；

5)繞X軸反旋轉(zhuǎn)-β角；

6)繞X軸反旋轉(zhuǎn)-α角；7)（毋需）YXZ

三維形體的輸出流水線在用戶坐標(biāo)系中定義三維形體變換到觀察坐標(biāo)系在規(guī)格化投影空間中裁剪投影變換窗口到視區(qū)的變換圖形設(shè)備上輸出變換到規(guī)格化圖象空間裁剪6.3投影變換什么是投影法？

——對物體進(jìn)行投影并在投影面上產(chǎn)生圖形的方法。分類 中心投影法（燈光）透視投影 平行投影法（陽光） 斜投影法、正投影法透視投影最接近于視覺效果；正投影法是繪制工程圖樣的基礎(chǔ)。6.3.1平面幾何投影幾個術(shù)語投影將n維的點(diǎn)變換成小于n維的點(diǎn)

將3維的點(diǎn)變換成小于2維的點(diǎn)投影中心(COP:CenterofProjection)視覺系統(tǒng)—觀察點(diǎn)、視點(diǎn)電影放映機(jī)—光源投影面不經(jīng)過投影中心平面--照相機(jī)底片曲面—球幕電影,視網(wǎng)膜正投影平面幾何投影投影的概念及分類投影中心——

三維空間中的一個點(diǎn)。投影面——

不經(jīng)過投影中心的一個平面。投影線——

投影中心與被投影物體上某個點(diǎn)之間的連線。投影——投影線與投影面之間的交點(diǎn)，即為物體上某個點(diǎn)在投影面上的投影。ABA'B'ABA'B'投影中心投影線投影面投影中心在無窮遠(yuǎn)處平行投影正投影與斜投影6.3.2正投影——三視圖的形成將三個投影面畫在一個平面上：（1）V面投影圖保持不變（稱正投影面，主視圖）；（2）H面繞OX軸向下翻轉(zhuǎn)90度（稱水平投影面，俯視圖）；（3）W面繞OZ軸向后翻轉(zhuǎn)90度（稱側(cè)投影面，左視圖）；（4）省去投影面的邊框和投影軸。見下頁。規(guī)律 正面投影反映長、高；水平投影反映長、寬；側(cè)面投影反映高、寬。主、俯視圖長對正；主、左視圖高平齊；俯、左視圖寬相等。主視圖的形成：直接向V面（XOZ坐標(biāo)面）投影；俯視圖的形成：繞X軸向下旋轉(zhuǎn)90度，平移N距離；左視圖的形成：繞Z軸向后旋轉(zhuǎn)90度，平移L距離。（X—順時針，Z—逆時針）xZYx軸Z軸正投影的投影變換矩陣為：主視圖1000000000100001俯視圖1000 10001000010000-1001000000010000100001000100-N1左視圖0000010010000100-1000010000100010001000010001-L001

T主

=T俯

=T左

=

主視圖俯視圖左視圖三視圖的形成

主視圖側(cè)視圖俯視圖工程圖的繪制：(正投影)正平行投影(正投影)舉例：寫出下列三維圖形的正投影變換矩陣。

(顯示器中的坐標(biāo)選擇)投影結(jié)果：xzy主視圖右視圖俯視圖xy問題：

用程序?qū)崿F(xiàn)，繪制三視圖算法步驟如下：給定一個三維圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)（矩陣表示）；進(jìn)行主視圖投影變換（乘主視投影變換矩陣）；繪制主視圖；進(jìn)行俯視圖投影變換（乘俯視投影變換矩陣）；繪制俯視圖；進(jìn)行左視圖投影變換（乘左視投影變換矩陣）；繪制左視圖；（比較三個視圖的位置；結(jié)束）。正平行投影(正投影)特點(diǎn)正投影的投影面與某一坐標(biāo)軸垂直，而投影方向與該坐標(biāo)軸的方向一致。正投影的圖形，在長寬高三個方向上的比例與實(shí)物保持一致，因此，常用于工程制圖。規(guī)則為：“長對正，高平齊，寬相等”。6.3.3軸測投影軸測圖的形成長方體及坐標(biāo)軸一起按照投影方向向投影面做平行投影，得到同時反映長方體的長、寬、高的投影。

投影線與物體的主要平面呈傾斜。

沿軸測量軸測圖的投影變換矩陣推導(dǎo)：把形體繞Y軸旋轉(zhuǎn)角；繞X軸旋轉(zhuǎn)

角；最后投影到XY平面上。（見上圖）軸測圖推導(dǎo)推導(dǎo)：以下三個矩陣相乘T1：把形體繞Y軸旋轉(zhuǎn)角；T2：繞X軸旋轉(zhuǎn)

角；T3：投影到XY平面上。正等測推導(dǎo)過程：（X、Y、Z軸上的三個單位矢量在新投影面上的投影長度相同。）求單位矢量變換矩陣在求該單位矢量在投影面上的長度（模）（<1）正等測要求：p1=p2=p3解得：＝45o，＝35.264o投影后X軸與水平線的夾角：

=30oXZ正等測正等測的軸向變形系數(shù)、軸間角

p=q=r=0.82

（為了作圖方便，取p=q=r=1，實(shí)際上長度放大1.22）

<X1O1Y1=

<X1O1Z1=

<Y1O1Z1=120o例：平面立體的正等測畫法（正六棱柱為例）平行于坐標(biāo)面的圓的正等測圖以及回轉(zhuǎn)體的正等測畫法： （關(guān)鍵確定圓是在哪個坐標(biāo)面上）軸測圖術(shù)語軸測軸直角坐標(biāo)軸在軸測投影面上的投影，稱軸測投影軸。OX——O1X1、OY——O1Y1、OZ——O1Z1軸間角

——軸測軸之間的夾角

<X1O1Y1，<X1O1Z1，<Y1O1Z1軸向變形系數(shù)

在空間三個坐標(biāo)軸上，線段軸測投影長度與它們實(shí)際長度的比例：

p=O1A1/OA（X方向）

q=O1B1/OB（Y方向）

r=O1C1/OC（Z方向）平行投影特點(diǎn)空間平行線其投影仍然平行；正投影反映真實(shí)尺寸（至少需要兩個投影圖），但不直觀；軸測投影只需要一個投影圖，作用：輔助設(shè)計。6.3.4透視投影投影中心與投影平面之間的距離為有限例：室內(nèi)白熾燈的投影，視覺系統(tǒng)…問題：投影中心？投影面？投影線。

AB的投影是？？ABA'B'投影中心投影線投影面ABA'B'投影中心在無窮遠(yuǎn)處6.3.4透視投影1.滅點(diǎn)

對于透視投影，不平行于投影面的平行線的投影會匯聚到一個點(diǎn)，這個點(diǎn)就稱為滅點(diǎn).。透視投影的滅點(diǎn)有無限多個，與坐標(biāo)軸平行的平行線在投影面上形成的滅點(diǎn)稱為主滅點(diǎn)。主滅點(diǎn)最多有三個，其對應(yīng)的透視投影分別被稱為一點(diǎn)透視、二點(diǎn)透視、三點(diǎn)透視。

xyzz軸滅點(diǎn)x軸滅點(diǎn)6.3.4透視投影一點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視三點(diǎn)透視三點(diǎn)透視M.C.Esher作品：《上升與下降》二.透視投影(中心投影)

1.透視變換原理設(shè)投影中心S在z=-d的位置，投影面為XOY平面（與Z軸垂直），點(diǎn)

P(x,y,z)在投影面上的投影為

P‘(x’,y’,z’)。試推導(dǎo)一點(diǎn)透視變換的矩陣，并求某一空間點(diǎn)的一點(diǎn)透視投影。

dP’P2.透視投影的特點(diǎn)由透視投影的計算公式

xd+zyd+z可知：①透視坐標(biāo)與z值成反比，即z值越大，其透視坐標(biāo)值越小。符合近大遠(yuǎn)小的視覺效果。②d的取值不同，可對形成的透視投影圖起放大和縮小的作用。一點(diǎn)透視的推導(dǎo)過程：x’=y’=·d·dozyp1p2p1'p2'P(x,y,z)(x’,y’)透視投影＝透視變換＋正投影一點(diǎn)透視繪圖方法（為了獲得較好的視覺效果，確定三維形體與畫面的相對位置）平移三維形體到（l、m、n）。確定d的值（視距——投影中心到投影面距離）。（為了繪圖方便）向xoy平面作正投影變換（在xoy平面繪制圖形）。舉例：

單位立方體的一點(diǎn)透視投影，已知:

l(=0.8),m(=-1.6),n(=-2),d(=-2.5)請寫出變換矩陣，并上機(jī)繪制該投影圖。分析（簡單）單位立方體：T1：平移到（0.8，-1.6，-2）（二點(diǎn)透視加上旋轉(zhuǎn)）T2

：d為（負(fù)向）2.5T3：投影到XOY平面上。變換矩陣為三個矩陣相乘：T1*T2*T3兩點(diǎn)透視繪圖方法（試寫出該變換矩陣）為了獲得較好的視覺效果，確定與畫面的相對位置：平移三維形體到適當(dāng)位置（l、m、n），使視點(diǎn)有一定高度，使形體主要表面不會積聚成線；將形體繞y軸旋轉(zhuǎn)α角度（右手法則，α<90）；進(jìn)行透視變換（選擇p與r值），一般p<0,r<0，使變換后立體越遠(yuǎn)越小，符合視覺向xoy平面作正投影變換。練習(xí)：完成上例的兩點(diǎn)透視的推導(dǎo)，并上機(jī)實(shí)現(xiàn)該程序。yx兩點(diǎn)透視繪圖：（l＝n＝0，m

＝-1.4，p＝-0.1,r＝-0.45，q=0,α＝30)-2.51.94三點(diǎn)透視繪圖方法平移三維形體到適當(dāng)位置（l、m、n）；進(jìn)行透視變換:將形體繞y軸旋轉(zhuǎn)α角度;將形體繞x軸旋轉(zhuǎn)β角度；向xoy平面作正投影變換。視向變換在透視變換中，簡單透視變換把視點(diǎn)位置設(shè)定在某一坐標(biāo)軸上，將投影面設(shè)為坐標(biāo)系中的一個坐標(biāo)平面。這是通常使用的笛卡爾坐標(biāo)系，這種坐標(biāo)系一般稱為“世界坐標(biāo)系”或“用戶坐標(biāo)系”。為方便用戶在空間任意位置的透視變換，引入觀察坐標(biāo)系。以觀察點(diǎn)（即視點(diǎn)）為原點(diǎn)，以觀察點(diǎn)到物體的方向?yàn)閦軸，以水平向右且與z軸垂直的方向?yàn)閤軸，與x軸和z軸垂直向上的方向做為y軸，這樣所成的坐標(biāo)系稱為觀察坐標(biāo)系。在觀察坐標(biāo)系中，觀察視點(diǎn)的位置為觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)，讓觀察坐標(biāo)系中的z軸從該原點(diǎn)出發(fā)順著觀察方向指向遠(yuǎn)方，該軸上的值反映觀察深度，確定與z軸垂直的平面為觀察平面，此時的觀察系是左手系。yzWCSxxyzoVCS此時透視投影變換的過程是：先把用戶坐標(biāo)系下的點(diǎn)變換成觀察坐標(biāo)系下的點(diǎn)，再把觀察坐標(biāo)系下的點(diǎn)經(jīng)過簡單透視投影變換，投影到投影面上。視向變換矩陣把用戶坐標(biāo)系下的點(diǎn)Qw(xw,yw,zw)轉(zhuǎn)換為觀察坐標(biāo)