12-數(shù)系的構(gòu)造理論課件

1.2數(shù)系的構(gòu)造理論

1.2數(shù)系的構(gòu)造理論11.2.1自然數(shù)的定義自然數(shù)嚴(yán)格的抽象定義是由peano公理給出的，它刻畫了自然數(shù)的本質(zhì)屬性，并導(dǎo)出了有關(guān)自然數(shù)的所有運(yùn)算和性質(zhì)。Peano公理陳述如下：（1）0是自然數(shù)；（2）每個(gè)自然數(shù)都有一個(gè)后繼，a的后繼記為a+；（3）沒有自然數(shù)的后繼為0；（4）不同的自然數(shù)有不同的后繼，即若a+=b+，則a=b；（5）（歸納公理）如果0有某個(gè)屬性，而且若自然數(shù)a有該屬性則a+也有該屬性，那么所有自然數(shù)都有該屬性。1.2.1自然數(shù)的定義自然數(shù)嚴(yán)格的抽象定義是由peano公理2例設(shè)m∈N,m≠0,那么，必有n∈N使得

n+=m

證明設(shè)集合A由所有這樣的自然數(shù)組成：它是某個(gè)自然數(shù)的后繼.設(shè)S={0}∪A.

顯然,0∈S.若x∈S,由A的定義有x+∈A,因而x+∈S.

由歸納公理知,S=N.

因此，若m∈N,m≠0,就必有m∈A,即存在n∈N,使得n+=m.該例題表明：每個(gè)不為0的自然數(shù)必為某個(gè)自然數(shù)的后繼。例設(shè)m∈N,m≠0,那么，必有n∈N使得3加法定義1自然數(shù)集N上的二元運(yùn)算“+”稱為加法，滿足條件：(1)對任何a∈N，a+0=a(2)對任何a,b∈Na+b+=(a+b)+

加法定義1自然數(shù)集N上的二元運(yùn)算“+”稱為加法，滿足條4例證明2+3=5證明：2+0=22+1=2+0+=(2+0)+=2+=32+2=2+1+=(2+1)+=3+=42+3=2+2+=(2+2)+=4+=5例證明2+3=55例對任何a∈N，證明0+a=a+0.證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)a=0時(shí)，結(jié)論顯然成立。假使a=n時(shí)，結(jié)論成立，即0+n=n+0，則當(dāng)a=n+時(shí)0+n+=(0+n)+=(n+0)+=n+=n++0

結(jié)論亦成立。例對任何a∈N，證明0+a=a+0.6乘法定義2自然數(shù)集N上的二元運(yùn)算“?”稱為乘法，滿足條件：(1)對任何a∈N，a?0=0(2)對任何a,b∈Na?b+=(a?b)+a

乘法定義2自然數(shù)集N上的二元運(yùn)算“?”稱為乘法，滿足條7例證明a·3=a+a+a證明:a·0=0a·1=a·0+=(a·0)+a=0+a=a+0=aa·2=a·1+=(a·1)+a=a+aa·3=a·2+=(a·2)+a=a+a+a例證明a·3=a+a+a8運(yùn)算律定理2對任何a,b,c∈N有①加法交換律a+b=b+a②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,則b=c.

若b+a=c+a,則b=c.④乘法交換律a·b=b·a⑤乘法結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠0,a·b=a·c,則b=c.

若a≠0,b·a=c·a,則b=c.⑦乘法對加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c運(yùn)算律定理2對任何a,b,c∈N有9代數(shù)結(jié)構(gòu)定理3自然數(shù)集關(guān)于加法和乘法都是一個(gè)可交換的半群，0是其零元，1是其單位元。0的負(fù)元是0，1的逆元是1，除此之外其他自然數(shù)都沒有負(fù)元和逆元。代數(shù)結(jié)構(gòu)定理3自然數(shù)集關(guān)于加法和乘法都是一個(gè)可交換的10減法加法的相消律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算——減法。定義3設(shè)a，b∈N，若存在x∈N，使x+b=a，則稱x=a-b.根據(jù)定義，有①(a-b)+b=a;②除零元之外其他自然數(shù)都沒有負(fù)元，這說明在整數(shù)集上減法不具有封閉性。減法加法的相消律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算——減法。11例證明不存在x∈N，使得x+2=1成立.證明：反證法假使存在x∈N,滿足x+2=1,則(x+1)+=0+x+1=0(x+0)+=0x+=0

這與0不是任何自然數(shù)的后繼相矛盾。例證明不存在x∈N，使得x+2=1成立.12除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。定義4設(shè)a，b∈N,b≠0,若存在x∈N，使x·b=a，則稱x=.根據(jù)定義，有

除單位元之外其他自然數(shù)都沒有逆元，這說明在自然數(shù)集上除法不具有封閉性。除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。13例證明不存在x∈N，使得x·2=1成立.證明：反證法假使存在x∈N,滿足x·2=1,則

x+x=1

顯然x≠0,可設(shè)x=y+,所以

y++y+=1((y+y)+)+=0+

(y+y)+=0

這與0不是任何自然數(shù)的后繼相矛盾。例證明不存在x∈N，使得x·2=1成立.14自然數(shù)的序關(guān)系定義5對給定的a,b∈N,若存在x∈N，使得b=a+x,則稱a≤b,或b≥a.定理5關(guān)系“≤”(≥)是自然數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強(qiáng)連接性。定理6（最小自然數(shù)原理）(N,≤)是良序集，即N的每一個(gè)非空子集都有最小數(shù)。自然數(shù)的序關(guān)系定義5對給定的a,b∈N,若存在x∈15定理7對任何a∈N,a≥0定理8若a,b,c∈N,則①當(dāng)a≤b時(shí)，a+c≤b+c②當(dāng)a≤b時(shí)，a·c≤b·c所以，“≤”(≥)是自然數(shù)集上的大小關(guān)系。定理7對任何a∈N,a≥016定義6若a≤b,且a≠b,則稱a<b,或b>a.定理9“<”(>)也是自然數(shù)集上的大小關(guān)系。定理10（阿基米德性質(zhì)）對于任意a，b∈N，a>0，總存在n∈N，使n?a>b.定義6若a≤b,且a≠b,則稱a<b,或b>a.171.2.2從自然數(shù)到整數(shù)定義1N×N上的關(guān)系“~”規(guī)定如下：對于任意(a,b),(c,d)∈N×N,如果a+d＝b+c,則稱(a,b)~(c,d).定理1：關(guān)系“~”是N×N上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。定義2：N×N按等價(jià)關(guān)系“~”劃分的等價(jià)類（以[(a,b)]表示(a,b)所屬的等價(jià)類）叫做整數(shù)，一切整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記為Z.1.2.2從自然數(shù)到整數(shù)定義1N×N上的關(guān)系“~”規(guī)定18定理2設(shè)Z+={[(a,0)]|a∈N-{0}}Z-={[(0,a)]|a∈N-{0}}

則Z=Z+∪[(0,0)]∪Z-,且Z+,[(0,0)],Z-兩兩不相交.定義3稱Z+為正整數(shù)集，稱Z-為負(fù)整數(shù)集。定理2設(shè)Z+={[(a,0)]|a∈N-{0}}19整數(shù)集上的運(yùn)算定義4（整數(shù)加法）整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算加法“+”規(guī)定如下：對于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]上述定義是合理的，可以證明Z中的加法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無關(guān)。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),則(a1+c1,b1+d1)~(a2+c2,b2+d2).整數(shù)集上的運(yùn)算定義4（整數(shù)加法）整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算加法“20定義5（整數(shù)乘法）整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算加法“?”規(guī)定如下：對于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,[(a,b)]?[(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]上述定義是合理的，可以證明Z中的乘法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無關(guān)。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),則(a1c1+b1d1,a1d1+b1c1)~(a2c2+b2d2,a2d2+b2c2).定義5（整數(shù)乘法）整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算加法“?”規(guī)定如下21定理3對任何a,b,c∈Z有①加法交換律a+b=b+a②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,則b=c.

若b+a=c+a,則b=c.④乘法交換律a·b=b·a⑤乘法結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[0,0],a·b=a·c,則b=c.

若a≠[0,0],b·a=c·a,則b=c.⑦乘法對加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c定理3對任何a,b,c∈Z有22定理4整數(shù)集是一個(gè)交換環(huán)，[(a,a)]是其零元，[(a+1,a)]是其單位元。[(a,b)]的負(fù)元是[(b,a)],單位元的逆元是自身，除此之外其他整數(shù)都沒有逆元。定理4整數(shù)集是一個(gè)交換環(huán)，[(a,a)]是其零元，23減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算——減法。定義6設(shè)a，b∈Z，若存在x∈Z，使x+b=a，則稱x=a-b.整數(shù)都有負(fù)元保證了整數(shù)集上減法的封閉性。減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算——減法。24除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。定義7設(shè)a，b∈Z,b≠[(0,0)],若存在x∈Z，使x·b=a，則稱x=.除單位元之外其他整數(shù)都沒有逆元，這說明在整數(shù)集上除法不具有封閉性。除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。25整數(shù)集上的序關(guān)系定義8對于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,如果a+d≤b+c,則稱[(a,b)]≤[(c,d)])定理5關(guān)系“≤”是整數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強(qiáng)連接性。整數(shù)集上的序關(guān)系定義8對于任意[(a,b)],[26定理6若a,b,c∈Z,則①當(dāng)a≤b時(shí)，a+c≤b+c②當(dāng)a≤b,[(0,0)]≤c時(shí)，a·c≤b·c所以，“≤”是整數(shù)集上的大小關(guān)系。定理6若a,b,c∈Z,則27整數(shù)集是自然數(shù)集的擴(kuò)張定理7整數(shù)集Z是自然數(shù)集N的一個(gè)擴(kuò)張，即存在一個(gè)N到Z上的一個(gè)一一映射f，使得（1）對于任意a,b∈N,都有

f(a+b)=f(a)+f(b)f(a·b)=f(a)·f(b)（2）對于任意a,b∈N,若a≤b,則f(a)≤f(b).證明：構(gòu)造f:N→Z如下

f(a)=[(a,0)]

即可滿足定理要求。整數(shù)集是自然數(shù)集的擴(kuò)張定理7整數(shù)集Z是自然數(shù)集N的一28因此，以后我們可以對a與[(a,0)]不加區(qū)別地使用，從而有Z+=N-{0}.

因?yàn)閇(0,a)]是[(a,0)]的負(fù)元，所以我們也用-a表示[(0,a)].因此，以后我們可以對a與[(a,0)]不加區(qū)別地使用，從而有291.2.3從整數(shù)到有理數(shù)記Z0=Z+∪Z-.定義1Z×Z0上的關(guān)系“~”規(guī)定如下：對于任意(a,b),(c,d)∈Z×Z0,如果ad＝bc,則稱(a,b)~(c,d).定理1：關(guān)系“~”是Z×Z上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。定義2：Z×Z按等價(jià)關(guān)系“~”劃分的等價(jià)類（以[(a,b)]表示(a,b)所屬的等價(jià)類）叫做有理數(shù)，一切有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記為Q.1.2.3從整數(shù)到有理數(shù)記Z0=Z+∪Z-.30有理數(shù)集上的運(yùn)算定義3（有理數(shù)加法）有理數(shù)集Q上的二元運(yùn)算加法“+”規(guī)定如下：對于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]上述定義是合理的，可以證明Q中的加法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無關(guān)。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),則(a1d1+b1c1,b1d1)~(a2d2+b2c2,b2d2).有理數(shù)集上的運(yùn)算定義3（有理數(shù)加法）有理數(shù)集Q上的二元運(yùn)算加31定義4（有理數(shù)乘法）有理數(shù)集Q上的二元運(yùn)算加法“?”規(guī)定如下：對于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,[(a,b)]?[(c,d)]=[(ac,bd)]上述定義是合理的，可以證明Q中的乘法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無關(guān)。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),則(a1c1,b1d1)~(a2c2,b2d2).定義4（有理數(shù)乘法）有理數(shù)集Q上的二元運(yùn)算加法“?”規(guī)定如32定理2對任何a,b,c∈Q

有①加法交換律a+b=b+a②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,則b=c.

若b+a=c+a,則b=c.④乘法交換律a·b=b·a⑤乘法結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[(0,1)],a·b=a·c,則b=c.

若a≠[(0,1)],b·a=c·a,則b=c.⑦乘法對加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c定理2對任何a,b,c∈Q有33定理3有理數(shù)集是一個(gè)域，[(0,a)]是其零元，[(a,a)]是其單位元。[(a,b)]的負(fù)元是[(-a,b)],[(a,b)]的逆元是[(b,a)].定理3有理數(shù)集是一個(gè)域，[(0,a)]是其零元，34減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算—減法。定義5設(shè)a，b∈Q，若存在x∈Q，使x+b=a，則稱x=a-b.有理數(shù)都有負(fù)元保證了有理數(shù)集上減法的封閉性。減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算—減法。35除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。定義6設(shè)a，b∈Q,b≠[(0,1)],若存在x∈Q，使x·b=a，則稱x=.有理數(shù)都有逆元保證了有理數(shù)集上除法的封閉性。除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。36有理數(shù)集上的序關(guān)系定義7對于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,如果abd2≤cdb2,則稱[(a,b)]≤[(c,d)]).定理4關(guān)系“≤”是有理數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強(qiáng)連接性。有理數(shù)集上的序關(guān)系定義7對于任意[(a,b)],37定理5若a,b,c∈Q,則①當(dāng)a≤b時(shí)，a+c≤b+c②當(dāng)a≤b,[(0,1)]≤c時(shí)，a·c≤b·c所以，“≤”是有理數(shù)集上的大小關(guān)系。定理5若a,b,c∈Q,則38有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張定理6有理數(shù)Q是整數(shù)集Z的一個(gè)擴(kuò)張，即存在一個(gè)Z到Q上的一個(gè)一一映射f，使得（1）對于任意a,b∈Z,都有

f(a+b)=f(a)+f(b)f(a·b)=f(a)·f(b)（2）對于任意a,b∈Z,若a≤b,則f(a)≤f(b).證明：構(gòu)造f:Z→Q如下

f(a)=[(a,1)]

即可滿足定理要求。有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張定理6有理數(shù)Q是整數(shù)集Z的一39因此，以后我們可以對a與[(a,1)]不加區(qū)別地使用.因?yàn)閇(a,b)]=,所以我們也用表示[(a,b)].因此，以后我們可以對a與[(a,1)]不加區(qū)別地使用.401.2.4實(shí)數(shù)的構(gòu)造有理數(shù)集的缺陷有理數(shù)域缺乏連續(xù)性有理數(shù)域雖是稠密的，但它未鋪滿數(shù)軸，中間還有空隙。它不能與直線等量齊觀，因?yàn)橹本€是連續(xù)的。有理數(shù)域缺乏完備性盡管有理數(shù)集是一個(gè)域，在加減乘除運(yùn)算下都封閉，但它在極限運(yùn)算下并不是一個(gè)封閉的數(shù)域。因?yàn)楸M管某些有理序列本身收斂（cauchy序列意義下），但在有理數(shù)范圍內(nèi)找不到一個(gè)極限值。正是對有理數(shù)域的缺陷兩方面的思考，康托爾從完備性要求出發(fā)，戴德金從連續(xù)性要求（完備性的幾何性質(zhì)）出發(fā)，同時(shí)洞悉了無理數(shù)的本質(zhì)，并得到了表示它們的兩種形式，奠定了實(shí)數(shù)的構(gòu)造理論。1.2.4實(shí)數(shù)的構(gòu)造有理數(shù)集的缺陷41Cantor構(gòu)造定義1記所有有理數(shù)Cauchy序列的集合為?.實(shí)際上，?2N×Q定義2?上的關(guān)系“~”規(guī)定如下：對于任意(rn),(Sn)∈?,如果,則稱(rn)~(Sn).定理1：關(guān)系“~”是?上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。Cantor構(gòu)造定義1記所有有理數(shù)Cauchy序列的集42定義3：?按等價(jià)關(guān)系“~”劃分的等價(jià)類（以[(rn)]表示(rn)所屬的等價(jià)類）叫做實(shí)數(shù)，一切實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集，記為R.定義3：?按等價(jià)關(guān)系“~”劃分的等價(jià)類（以[(rn)]表示43實(shí)數(shù)集上的運(yùn)算定義4（實(shí)數(shù)加法）實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算加法“+”規(guī)定如下：對于任意[(rn)],[(sn)]∈R,[(rn)]+[(sn)]=[(rn+sn)]上述定義是合理的，這需要證明若(rn),(sn)是有理數(shù)Cauchy序列,則(rn+sn)也是有理數(shù)Cauchy序列.R中的加法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無關(guān)。即若(rn)~(xn),(sn)~(yn),則(rn+sn)~(xn+yn).實(shí)數(shù)集上的運(yùn)算定義4（實(shí)數(shù)加法）實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算加法“+44定義5（實(shí)數(shù)乘法）實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算乘法“?”規(guī)定如下：對于任意[(rn)],[(sn)]∈R,[(rn)]?[(sn)]=[(rn?sn)]上述定義是合理的，這需要證明若(rn),(sn)是有理數(shù)Cauchy序列,則(rn?sn)也是有理數(shù)Cauchy序列.R中的乘法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無關(guān)。即若(rn)~(xn),(sn)~(yn),則(rn?sn)~(xn?yn).定義5（實(shí)數(shù)乘法）實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算乘法“?”規(guī)定如下：對45定理2對任何a,b,c∈R有①加法交換律a+b=b+a②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,則b=c.

若b+a=c+a,則b=c.④乘法交換律a·b=b·a⑤乘法結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[(0)],a·b=a·c,則b=c.

若a≠[(0)],b·a=c·a,則b=c.⑦乘法對加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c定理2對任何a,b,c∈R有46定理3實(shí)數(shù)集是一個(gè)域，[(0)]是其零元，[(1)]是其單位元。[(rn)]的負(fù)元是[(-rn)],[(rn)](rn≠0)的逆元是[(1/rn)].定理3實(shí)數(shù)集是一個(gè)域，[(0)]是其零元，[(147實(shí)數(shù)集上的序關(guān)系定義6對于任意[(rn)],[(sn)]∈R,如果存在有理數(shù)ε>0和自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，恒有rn+ε<

sn成立，則稱[(rn)][(sn)].

定義7對于任意[(rn)],[(sn)]∈R,如果[(rn)][(sn)]或[(rn)]=[(sn)],則稱[(rn)]≤[(sn)].

定理4關(guān)系“≤”是實(shí)數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強(qiáng)連接性。實(shí)數(shù)集上的序關(guān)系定義6對于任意[(rn)],[(sn48定理5若a,b,c∈R,則①當(dāng)a≤b時(shí)，a+c≤b+c②當(dāng)a≤b,[(0)]≤c時(shí)，a·c≤b·c所以，“≤”是實(shí)數(shù)集上的大小關(guān)系。定理5若a,b,c∈R,則49實(shí)數(shù)集是有理數(shù)集的擴(kuò)張定理6實(shí)數(shù)集R是有理數(shù)集Q的一個(gè)擴(kuò)張，即存在一個(gè)Q到R上的一個(gè)一一映射f，使得（1）對于任意a,b∈Q,都有

f(a+b)=f(a)+f(b)f(a·b)=f(a)·f(b)（2）對于任意a,b∈Q,若a≤b,則f(a)≤f(b).證明：構(gòu)造f:Q→R如下

f(a)=[(a)]

即可滿足定理要求。實(shí)數(shù)集是有理數(shù)集的擴(kuò)張定理6實(shí)數(shù)集R是有理數(shù)集Q的一個(gè)50定義8我們稱[(a)],a∈Q為有理數(shù)，其它實(shí)數(shù)稱為無理數(shù)。因此，以后我們對a與[(a)]可以不加區(qū)別地使用.定義8我們稱[(a)],a∈Q為有理數(shù)，其它實(shí)數(shù)稱為51定義9實(shí)數(shù)的絕對值規(guī)定如下：對于任意a∈R,當(dāng)a≥0時(shí),|a|=a當(dāng)a≤0時(shí),|a|=-a.定義10設(shè)(rn)是實(shí)數(shù)序列，如果存在有理數(shù)r,使得對于任意給定的實(shí)數(shù)ε>0,都存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，恒有|rn-

r|<ε成立,那么就稱實(shí)數(shù)r是(rn)的極限，記為.定義9實(shí)數(shù)的絕對值規(guī)定如下：對于任意a∈R,52定義11設(shè)(rn)是實(shí)數(shù)序列，如果對于任意給定的實(shí)數(shù)ε>0,都存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n,m>N時(shí)，恒有|rn-

rm|<ε成立，那么就稱(rn)為一個(gè)實(shí)數(shù)Cauchy序列。定理7實(shí)數(shù)序列極限存在的充要條件是它是實(shí)數(shù)Cauchy序列。定義11設(shè)(rn)是實(shí)數(shù)序列，如果對于任意給定的實(shí)數(shù)ε53Dedekind構(gòu)造定義1設(shè)A,BQ,二元組(A,B)稱為Dedekind分割,當(dāng)且僅當(dāng)滿足：1)A∪B=Q2)A∩B=?3)對于任意a∈A,b∈B,有a<b.

并稱集Ａ為分割的下類，集B為分割的上類。記所有Dedekind分割的集合為Θ.實(shí)際上，Θ2Q×2Q.Dedekind構(gòu)造定義1設(shè)A,BQ,二54定理1Dedekind分割(A,B)只有下述三種情形：A無最大數(shù)，B有最小數(shù)。A無最大數(shù)，B無最小數(shù)。A有最大數(shù)，B無最小數(shù)。定義2下類沒有最大數(shù)的Dedekind分割叫做實(shí)數(shù)，一切實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集，記為R.上類有最小數(shù)的實(shí)數(shù)稱為有理數(shù)，上類沒有最小數(shù)的實(shí)數(shù)稱為無理數(shù)。定理1Dedekind分割(A,B)只有下述三種情形：55實(shí)數(shù)集上的序關(guān)系定義3對于任意[(A,B)],[(C,D)]∈R,如果AC,則稱[(A,B)]≤[(C,D)].

定理2關(guān)系“≤”是實(shí)數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強(qiáng)連接性。實(shí)數(shù)集上的序關(guān)系定義3對于任意[(A,B)],[(56利用Dedekind分割定義實(shí)數(shù)集上的代數(shù)運(yùn)算比較復(fù)雜，請同學(xué)們自己試一試。利用Dedekind分割定義實(shí)數(shù)集上的代數(shù)運(yùn)算比較復(fù)雜，請同57復(fù)數(shù)的定義定義1（復(fù)數(shù)的序偶定義）將有序的實(shí)數(shù)對(a,b)稱為復(fù)數(shù)，并定義它們的運(yùn)算法則如下：定義2（復(fù)數(shù)的矩陣定義）將二階實(shí)數(shù)矩陣稱為復(fù)數(shù)．矩陣定義下復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則復(fù)數(shù)的定義定義1（復(fù)數(shù)的序偶定義）將有序的實(shí)數(shù)對(a,b)58定理1全體復(fù)數(shù)組成一個(gè)域.定理2復(fù)數(shù)集是完備的半序域．說明：(復(fù)數(shù)的半序結(jié)構(gòu))兩個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi,w=c+di有半序關(guān)系z≤w，當(dāng)且僅當(dāng)a≤c,b≤d.

復(fù)數(shù)在這樣的半序關(guān)系下，加法是保序的，乘法（乘數(shù)為正數(shù)）也是保序的．按照復(fù)數(shù)的模作為距離，復(fù)數(shù)系是完備的，即復(fù)數(shù)的康托爾序列都收斂于一個(gè)復(fù)數(shù)．

定理1全體復(fù)數(shù)組成一個(gè)域.59復(fù)數(shù)系還能再擴(kuò)充嗎？事實(shí)上，復(fù)數(shù)系還可以擴(kuò)充為四元數(shù)系、八元數(shù)系等．但是實(shí)數(shù)域上四元數(shù)系雖然是一個(gè)除環(huán)，但它的乘法并不滿足交換律，八元數(shù)系甚至連乘法的結(jié)合律都不再滿足，這些數(shù)系與傳統(tǒng)的數(shù)系的概念相去太遠(yuǎn)，我們不作討論．

復(fù)數(shù)系還能再擴(kuò)充嗎？601.2數(shù)系的構(gòu)造理論

1.2數(shù)系的構(gòu)造理論611.2.1自然數(shù)的定義自然數(shù)嚴(yán)格的抽象定義是由peano公理給出的，它刻畫了自然數(shù)的本質(zhì)屬性，并導(dǎo)出了有關(guān)自然數(shù)的所有運(yùn)算和性質(zhì)。Peano公理陳述如下：（1）0是自然數(shù)；（2）每個(gè)自然數(shù)都有一個(gè)后繼，a的后繼記為a+；（3）沒有自然數(shù)的后繼為0；（4）不同的自然數(shù)有不同的后繼，即若a+=b+，則a=b；（5）（歸納公理）如果0有某個(gè)屬性，而且若自然數(shù)a有該屬性則a+也有該屬性，那么所有自然數(shù)都有該屬性。1.2.1自然數(shù)的定義自然數(shù)嚴(yán)格的抽象定義是由peano公理62例設(shè)m∈N,m≠0,那么，必有n∈N使得

n+=m

證明設(shè)集合A由所有這樣的自然數(shù)組成：它是某個(gè)自然數(shù)的后繼.設(shè)S={0}∪A.

顯然,0∈S.若x∈S,由A的定義有x+∈A,因而x+∈S.

由歸納公理知,S=N.

因此，若m∈N,m≠0,就必有m∈A,即存在n∈N,使得n+=m.該例題表明：每個(gè)不為0的自然數(shù)必為某個(gè)自然數(shù)的后繼。例設(shè)m∈N,m≠0,那么，必有n∈N使得63加法定義1自然數(shù)集N上的二元運(yùn)算“+”稱為加法，滿足條件：(1)對任何a∈N，a+0=a(2)對任何a,b∈Na+b+=(a+b)+

加法定義1自然數(shù)集N上的二元運(yùn)算“+”稱為加法，滿足條64例證明2+3=5證明：2+0=22+1=2+0+=(2+0)+=2+=32+2=2+1+=(2+1)+=3+=42+3=2+2+=(2+2)+=4+=5例證明2+3=565例對任何a∈N，證明0+a=a+0.證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)a=0時(shí)，結(jié)論顯然成立。假使a=n時(shí)，結(jié)論成立，即0+n=n+0，則當(dāng)a=n+時(shí)0+n+=(0+n)+=(n+0)+=n+=n++0

結(jié)論亦成立。例對任何a∈N，證明0+a=a+0.66乘法定義2自然數(shù)集N上的二元運(yùn)算“?”稱為乘法，滿足條件：(1)對任何a∈N，a?0=0(2)對任何a,b∈Na?b+=(a?b)+a

乘法定義2自然數(shù)集N上的二元運(yùn)算“?”稱為乘法，滿足條67例證明a·3=a+a+a證明:a·0=0a·1=a·0+=(a·0)+a=0+a=a+0=aa·2=a·1+=(a·1)+a=a+aa·3=a·2+=(a·2)+a=a+a+a例證明a·3=a+a+a68運(yùn)算律定理2對任何a,b,c∈N有①加法交換律a+b=b+a②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,則b=c.

若b+a=c+a,則b=c.④乘法交換律a·b=b·a⑤乘法結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠0,a·b=a·c,則b=c.

若a≠0,b·a=c·a,則b=c.⑦乘法對加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c運(yùn)算律定理2對任何a,b,c∈N有69代數(shù)結(jié)構(gòu)定理3自然數(shù)集關(guān)于加法和乘法都是一個(gè)可交換的半群，0是其零元，1是其單位元。0的負(fù)元是0，1的逆元是1，除此之外其他自然數(shù)都沒有負(fù)元和逆元。代數(shù)結(jié)構(gòu)定理3自然數(shù)集關(guān)于加法和乘法都是一個(gè)可交換的70減法加法的相消律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算——減法。定義3設(shè)a，b∈N，若存在x∈N，使x+b=a，則稱x=a-b.根據(jù)定義，有①(a-b)+b=a;②除零元之外其他自然數(shù)都沒有負(fù)元，這說明在整數(shù)集上減法不具有封閉性。減法加法的相消律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算——減法。71例證明不存在x∈N，使得x+2=1成立.證明：反證法假使存在x∈N,滿足x+2=1,則(x+1)+=0+x+1=0(x+0)+=0x+=0

這與0不是任何自然數(shù)的后繼相矛盾。例證明不存在x∈N，使得x+2=1成立.72除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。定義4設(shè)a，b∈N,b≠0,若存在x∈N，使x·b=a，則稱x=.根據(jù)定義，有

除單位元之外其他自然數(shù)都沒有逆元，這說明在自然數(shù)集上除法不具有封閉性。除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。73例證明不存在x∈N，使得x·2=1成立.證明：反證法假使存在x∈N,滿足x·2=1,則

x+x=1

顯然x≠0,可設(shè)x=y+,所以

y++y+=1((y+y)+)+=0+

(y+y)+=0

這與0不是任何自然數(shù)的后繼相矛盾。例證明不存在x∈N，使得x·2=1成立.74自然數(shù)的序關(guān)系定義5對給定的a,b∈N,若存在x∈N，使得b=a+x,則稱a≤b,或b≥a.定理5關(guān)系“≤”(≥)是自然數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強(qiáng)連接性。定理6（最小自然數(shù)原理）(N,≤)是良序集，即N的每一個(gè)非空子集都有最小數(shù)。自然數(shù)的序關(guān)系定義5對給定的a,b∈N,若存在x∈75定理7對任何a∈N,a≥0定理8若a,b,c∈N,則①當(dāng)a≤b時(shí)，a+c≤b+c②當(dāng)a≤b時(shí)，a·c≤b·c所以，“≤”(≥)是自然數(shù)集上的大小關(guān)系。定理7對任何a∈N,a≥076定義6若a≤b,且a≠b,則稱a<b,或b>a.定理9“<”(>)也是自然數(shù)集上的大小關(guān)系。定理10（阿基米德性質(zhì)）對于任意a，b∈N，a>0，總存在n∈N，使n?a>b.定義6若a≤b,且a≠b,則稱a<b,或b>a.771.2.2從自然數(shù)到整數(shù)定義1N×N上的關(guān)系“~”規(guī)定如下：對于任意(a,b),(c,d)∈N×N,如果a+d＝b+c,則稱(a,b)~(c,d).定理1：關(guān)系“~”是N×N上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。定義2：N×N按等價(jià)關(guān)系“~”劃分的等價(jià)類（以[(a,b)]表示(a,b)所屬的等價(jià)類）叫做整數(shù)，一切整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記為Z.1.2.2從自然數(shù)到整數(shù)定義1N×N上的關(guān)系“~”規(guī)定78定理2設(shè)Z+={[(a,0)]|a∈N-{0}}Z-={[(0,a)]|a∈N-{0}}

則Z=Z+∪[(0,0)]∪Z-,且Z+,[(0,0)],Z-兩兩不相交.定義3稱Z+為正整數(shù)集，稱Z-為負(fù)整數(shù)集。定理2設(shè)Z+={[(a,0)]|a∈N-{0}}79整數(shù)集上的運(yùn)算定義4（整數(shù)加法）整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算加法“+”規(guī)定如下：對于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]上述定義是合理的，可以證明Z中的加法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無關(guān)。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),則(a1+c1,b1+d1)~(a2+c2,b2+d2).整數(shù)集上的運(yùn)算定義4（整數(shù)加法）整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算加法“80定義5（整數(shù)乘法）整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算加法“?”規(guī)定如下：對于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,[(a,b)]?[(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]上述定義是合理的，可以證明Z中的乘法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無關(guān)。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),則(a1c1+b1d1,a1d1+b1c1)~(a2c2+b2d2,a2d2+b2c2).定義5（整數(shù)乘法）整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算加法“?”規(guī)定如下81定理3對任何a,b,c∈Z有①加法交換律a+b=b+a②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,則b=c.

若b+a=c+a,則b=c.④乘法交換律a·b=b·a⑤乘法結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[0,0],a·b=a·c,則b=c.

若a≠[0,0],b·a=c·a,則b=c.⑦乘法對加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c定理3對任何a,b,c∈Z有82定理4整數(shù)集是一個(gè)交換環(huán)，[(a,a)]是其零元，[(a+1,a)]是其單位元。[(a,b)]的負(fù)元是[(b,a)],單位元的逆元是自身，除此之外其他整數(shù)都沒有逆元。定理4整數(shù)集是一個(gè)交換環(huán)，[(a,a)]是其零元，83減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算——減法。定義6設(shè)a，b∈Z，若存在x∈Z，使x+b=a，則稱x=a-b.整數(shù)都有負(fù)元保證了整數(shù)集上減法的封閉性。減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算——減法。84除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。定義7設(shè)a，b∈Z,b≠[(0,0)],若存在x∈Z，使x·b=a，則稱x=.除單位元之外其他整數(shù)都沒有逆元，這說明在整數(shù)集上除法不具有封閉性。除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。85整數(shù)集上的序關(guān)系定義8對于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,如果a+d≤b+c,則稱[(a,b)]≤[(c,d)])定理5關(guān)系“≤”是整數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強(qiáng)連接性。整數(shù)集上的序關(guān)系定義8對于任意[(a,b)],[86定理6若a,b,c∈Z,則①當(dāng)a≤b時(shí)，a+c≤b+c②當(dāng)a≤b,[(0,0)]≤c時(shí)，a·c≤b·c所以，“≤”是整數(shù)集上的大小關(guān)系。定理6若a,b,c∈Z,則87整數(shù)集是自然數(shù)集的擴(kuò)張定理7整數(shù)集Z是自然數(shù)集N的一個(gè)擴(kuò)張，即存在一個(gè)N到Z上的一個(gè)一一映射f，使得（1）對于任意a,b∈N,都有

f(a+b)=f(a)+f(b)f(a·b)=f(a)·f(b)（2）對于任意a,b∈N,若a≤b,則f(a)≤f(b).證明：構(gòu)造f:N→Z如下

f(a)=[(a,0)]

即可滿足定理要求。整數(shù)集是自然數(shù)集的擴(kuò)張定理7整數(shù)集Z是自然數(shù)集N的一88因此，以后我們可以對a與[(a,0)]不加區(qū)別地使用，從而有Z+=N-{0}.

因?yàn)閇(0,a)]是[(a,0)]的負(fù)元，所以我們也用-a表示[(0,a)].因此，以后我們可以對a與[(a,0)]不加區(qū)別地使用，從而有891.2.3從整數(shù)到有理數(shù)記Z0=Z+∪Z-.定義1Z×Z0上的關(guān)系“~”規(guī)定如下：對于任意(a,b),(c,d)∈Z×Z0,如果ad＝bc,則稱(a,b)~(c,d).定理1：關(guān)系“~”是Z×Z上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。定義2：Z×Z按等價(jià)關(guān)系“~”劃分的等價(jià)類（以[(a,b)]表示(a,b)所屬的等價(jià)類）叫做有理數(shù)，一切有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記為Q.1.2.3從整數(shù)到有理數(shù)記Z0=Z+∪Z-.90有理數(shù)集上的運(yùn)算定義3（有理數(shù)加法）有理數(shù)集Q上的二元運(yùn)算加法“+”規(guī)定如下：對于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]上述定義是合理的，可以證明Q中的加法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無關(guān)。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),則(a1d1+b1c1,b1d1)~(a2d2+b2c2,b2d2).有理數(shù)集上的運(yùn)算定義3（有理數(shù)加法）有理數(shù)集Q上的二元運(yùn)算加91定義4（有理數(shù)乘法）有理數(shù)集Q上的二元運(yùn)算加法“?”規(guī)定如下：對于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,[(a,b)]?[(c,d)]=[(ac,bd)]上述定義是合理的，可以證明Q中的乘法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無關(guān)。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),則(a1c1,b1d1)~(a2c2,b2d2).定義4（有理數(shù)乘法）有理數(shù)集Q上的二元運(yùn)算加法“?”規(guī)定如92定理2對任何a,b,c∈Q

有①加法交換律a+b=b+a②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,則b=c.

若b+a=c+a,則b=c.④乘法交換律a·b=b·a⑤乘法結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[(0,1)],a·b=a·c,則b=c.

若a≠[(0,1)],b·a=c·a,則b=c.⑦乘法對加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c定理2對任何a,b,c∈Q有93定理3有理數(shù)集是一個(gè)域，[(0,a)]是其零元，[(a,a)]是其單位元。[(a,b)]的負(fù)元是[(-a,b)],[(a,b)]的逆元是[(b,a)].定理3有理數(shù)集是一個(gè)域，[(0,a)]是其零元，94減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算—減法。定義5設(shè)a，b∈Q，若存在x∈Q，使x+b=a，則稱x=a-b.有理數(shù)都有負(fù)元保證了有理數(shù)集上減法的封閉性。減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算—減法。95除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。定義6設(shè)a，b∈Q,b≠[(0,1)],若存在x∈Q，使x·b=a，則稱x=.有理數(shù)都有逆元保證了有理數(shù)集上除法的封閉性。除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。96有理數(shù)集上的序關(guān)系定義7對于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,如果abd2≤cdb2,則稱[(a,b)]≤[(c,d)]).定理4關(guān)系“≤”是有理數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強(qiáng)連接性。有理數(shù)集上的序關(guān)系定義7對于任意[(a,b)],97定理5若a,b,c∈Q,則①當(dāng)a≤b時(shí)，a+c≤b+c②當(dāng)a≤b,[(0,1)]≤c時(shí)，a·c≤b·c所以，“≤”是有理數(shù)集上的大小關(guān)系。定理5若a,b,c∈Q,則98有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張定理6有理數(shù)Q是整數(shù)集Z的一個(gè)擴(kuò)張，即存在一個(gè)Z到Q上的一個(gè)一一映射f，使得（1）對于任意a,b∈Z,都有

f(a+b)=f(a)+f(b)f(a·b)=f(a)·f(b)（2）對于任意a,b∈Z,若a≤b,則f(a)≤f(b).證明：構(gòu)造f:Z→Q如下

f(a)=[(a,1)]

即可滿足定理要求。有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張定理6有理數(shù)Q是整數(shù)集Z的一99因此，以后我們可以對a與[(a,1)]不加區(qū)別地使用.因?yàn)閇(a,b)]=,所以我們也用表示[(a,b)].因此，以后我們可以對a與[(a,1)]不加區(qū)別地使用.1001.2.4實(shí)數(shù)的構(gòu)造有理數(shù)集的缺陷有理數(shù)域缺乏連續(xù)性有理數(shù)域雖是稠密的，但它未鋪滿數(shù)軸，中間還有空隙。它不能與直線等量齊觀，因?yàn)橹本€是連續(xù)的。有理數(shù)域缺乏完備性盡管有理數(shù)集是一個(gè)域，在加減乘除運(yùn)算下都封閉，但它在極限運(yùn)算下并不是一個(gè)封閉的數(shù)域。因?yàn)楸M管某些有理序列本身收斂（cauchy序列意義下），但在有理數(shù)范圍內(nèi)找不到一個(gè)極限值。正是對有理數(shù)域的缺陷兩方面的思考，康托爾從完備性要求出發(fā)，戴德金從連續(xù)性要求（完備性的幾何性質(zhì)）出發(fā)，同時(shí)洞悉了無理數(shù)的本質(zhì)，并得到了表示它們的兩種形式，奠定了實(shí)數(shù)的構(gòu)造理論。1.2.4實(shí)數(shù)的構(gòu)造有理數(shù)集的缺陷101Cantor構(gòu)造定義1記所有有理數(shù)Cauchy序列的集合為?.實(shí)際上，?2N×Q定義2?上的關(guān)系“~”規(guī)定如下：對于任意(rn),(Sn)∈?,如果,則稱(rn)~(Sn).定理1：關(guān)系“~”是?上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。Cantor構(gòu)造定義1記所有有理數(shù)Cauchy序列的集102定義3：?按等價(jià)關(guān)系“~”劃分的等價(jià)類（以[(rn)]表示(rn)所屬的等價(jià)類）叫做實(shí)數(shù)，一切實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集，記為R.定義3：?按等價(jià)關(guān)系“~”劃分的等價(jià)類（以[(rn)]表示103實(shí)數(shù)集上的運(yùn)算定義4（實(shí)數(shù)加法）實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算加法“+”規(guī)定如下：對于任意[(rn)],[(sn)]∈R,[(rn)]+[(sn)]=[(rn+sn)]上述定義是合理的，這需要證明若(rn),(sn)是有理數(shù)Cauchy序列,則(rn+sn)也是有理數(shù)Cauchy序列.R中的加法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無關(guān)。即若(rn)~(xn),(sn)~(yn),則(rn+sn)~(xn+yn).實(shí)數(shù)集上的運(yùn)算定義4（實(shí)數(shù)加法）實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算加法“+104定義5（實(shí)數(shù)乘法）實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算乘法“?”規(guī)定如下：對于任意[(rn)],[(sn)]∈R,[(rn)]?[(sn)]=[(rn?sn)]上述定義是合理的，這需要證明若(rn),(sn)是有理數(shù)Cauchy序列,則(rn?sn)也是有理數(shù)Cauchy序列.R中的乘法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無關(guān)。即若(rn)~(xn),(sn)~(yn),則(rn?sn)~(xn?yn).定義5（實(shí)數(shù)乘法）實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算乘法“?”規(guī)定如下：對105定理2對任何a,b,c∈R有①加法交換律a+b=b+a②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,則b=c.

若b+a=c+a,則b=c.④乘法交換律a·b=b·a⑤乘法結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[(0)],a·b=a·c,則b=c.

若a≠[(0)],b·a=c·a,則b=c.⑦乘法對加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c定理2對任何a,b,c∈R有106定理3實(shí)數(shù)集是一個(gè)域，[(0)]