已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)課件

第4章根軌跡法4-1根軌跡的基本概念4-2繪制根軌跡的基本法則4-3廣義根軌跡4-4系統(tǒng)性能的分析第4章根軌跡法4-1根軌跡的基本概念基本要求

1.正確理解開環(huán)零、極點和閉環(huán)零、極點以及主導極點、偶極子等概念。2.正確理解和熟記根軌跡方程(模方程及相角方程)。熟練運用模方程計算根軌跡上任一點的根軌跡增益和開環(huán)增益。3.正確理解根軌跡法則，法則的證明只需一般了解，熟練運用根軌跡法則按步驟繪制反饋系統(tǒng)開環(huán)增益K從零變化到正無窮時的閉環(huán)根軌跡。4.了解繪制廣義根軌跡的思路、要點和方法。

基本要求1.正確理解開環(huán)零、極點和閉環(huán)零、極點以及主導極點根軌跡法根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關系，直接由開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點求出閉環(huán)極點（閉環(huán)特征根）。這給系統(tǒng)的分析與設計帶來了極大的方便。閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標主要由閉環(huán)系統(tǒng)極點在復平面的位置決定，因此，分析或設計系統(tǒng)時確定出閉環(huán)極點位置是十分有意義的。根軌跡法根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關系，直接由定義：根軌跡是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個參數(shù)（如開環(huán)增益K）從零變到無窮時，閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡。4－1根軌跡法的基本概念當閉環(huán)系統(tǒng)為正反饋時，對應的軌跡為零度根軌跡；而負反饋系統(tǒng)的軌跡為根軌跡。1、根軌跡概念定義：根軌跡是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個參數(shù)（如開環(huán)增益K）從例4-1如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：例4-1如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點。

沒有零點，開環(huán)增益為K。閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征根為閉環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點從特征根的表達式中看出每個特征根都隨K的變化而變化。例如，設K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞從特征根的表達式中看出每個特征根都隨K的變化而變化。例如，設如果把不同K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成線，則可以畫出如圖所示系統(tǒng)的根軌跡。如果把不同K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成穩(wěn)定性

當K由0→∞，根軌跡不會進入s右半邊，即系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。穩(wěn)態(tài)特性坐標原點有一個開環(huán)極點，所以屬I型系統(tǒng)，根軌跡上的K值就是Kv。如果已知ess，則在根軌跡上可確定閉環(huán)極點取值范圍。動態(tài)特性當0<K1<0.5時，閉環(huán)極點位于實軸上，為過阻尼狀態(tài)；當K1=0.5時，兩個閉環(huán)實極點重合，為臨界阻尼系統(tǒng)；當K1>0.5時，閉環(huán)系統(tǒng)是復極點，為欠阻尼狀態(tài)，單位階躍響應為衰減振蕩過程。

2、根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性當K由0→∞，根軌跡不會進入s右半邊，即系統(tǒng)總3、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關系如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為（4－1）3、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關系如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞將前向通道傳遞函數(shù)G（s）表示為：（4－2）將前向通道傳遞函數(shù)G（s）表示為：（4－2）為前向通道增益，為前向通道根軌跡增益式中為反饋通道的根軌跡增益。（4－4）（4－3）為前向通道增益，為前向通道根軌跡增益（4－5）問：f與l、q與h有什么關系？（4－5）問：f與l、q與h有什么關系？閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為閉環(huán)零、極點。式中：（4－6）閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為閉環(huán)零、極點。式中：（4－6）比較式（4－2）和式（4－6）可得出以下結(jié)論閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益；閉環(huán)系統(tǒng)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點組成；閉環(huán)系統(tǒng)的極點與開環(huán)系統(tǒng)的極點、零點以及開環(huán)根軌跡增益有關。根軌跡法的任務是在已知開環(huán)零、極點分布的情況下，如何通過圖解法求出閉環(huán)極點。比較式（4－2）和式（4－6）可得出以下結(jié)論閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增4、根軌跡方程根軌跡方程G(s)H(s)=-1式中G(s)H(s)是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，該式明確表示出開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)極點的關系。

閉環(huán)特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0（4-7）閉環(huán)極點就是閉環(huán)特征方程的解，也稱為特征根。4、根軌跡方程根軌跡方程閉環(huán)特征方程設開環(huán)傳遞函數(shù)有m個零點，n個極點，并假定n≥m，這時根軌跡方程又可以寫成：（4－8）不難看出，式子為關于s的復數(shù)方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。設開環(huán)傳遞函數(shù)有m個零點，n個極點，并假定n≥m，這時根軌跡相角方程（4－9）模值方程（4－10）相角方程（4－9）模值方程（4－10）注意在實際應用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方程主要用來確定已知根軌跡上某一點的值。模值方程不但與開環(huán)零、極點有關，還與開環(huán)根軌跡增益有關；而相角方程只與開環(huán)零、極點有關。相角方程是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。注意在實際應用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方例4-2它們應滿足相角方程（4－9）已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):試證明復平面上點是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點。若系統(tǒng)閉環(huán)極點為證明：該系統(tǒng)的開環(huán)極點例4-2它們應滿足相角方程（4－9）已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):例4－1開環(huán)零、極點分布圖例4－1開環(huán)零、極點分布圖(k=0)以為試驗點，可得以為試驗點，觀察右圖，可得(k=0)以為試驗點，可得以為試驗點，觀察右證畢可見，都滿足相角方程，所以，點是閉環(huán)極點。證畢可見，都滿足相角方程，例4-3已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)當變化時其根軌跡如圖4-2所示，求根軌跡上點所對應的K值。解

根據(jù)模值方程求解值模值方程例4-3已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)圖可得所以根據(jù)圖可得所以上面兩個例子說明如何應用根軌跡方程確定復平面上一點是否是閉環(huán)極點以及確定根軌跡上一點對應的值。根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極點時，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時閉環(huán)特征方程所有根在復平面上的分布，即根軌跡。返回上面兩個例子說明如何應用根軌跡方程確定復平面上一點是否是閉環(huán)根軌跡起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。法則1、根軌跡的起點與終點由根軌跡方程有：4－2繪制根軌跡的基本法則根軌跡起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。法則1、根軌跡的起點與終點

若開環(huán)零點數(shù)m<開環(huán)極點數(shù)n(有個開環(huán)零點在無窮遠處)則有()條根軌跡趨于無窮遠點→→

起點→→終點若開環(huán)零點數(shù)m<開環(huán)極點數(shù)n(有一、根軌跡的分支數(shù)分支數(shù)＝開環(huán)極點數(shù)

＝開環(huán)特征方程的階數(shù)二、根軌跡對稱于實軸閉環(huán)極點為實數(shù)→在實軸上復數(shù)→共軛→對稱于實軸法則2根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性三、根軌跡具有連續(xù)性一、根軌跡的分支數(shù)二、根軌跡對稱于實軸法則2根軌跡的分支數(shù)法則3、根軌跡的漸近線漸近線與實軸正方向的夾角為：漸近線與實軸相交點的坐標為：法則3、根軌跡的漸近線漸近線與實軸正方向的夾角為：漸近線與實例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)法則3，求出根軌跡的漸近線。極點解：零點例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)法則3，求出根軌跡的漸近按照公式得按照公式得以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)課件對應的開環(huán)傳遞函數(shù)(a)(b)(c)(d)對應的開環(huán)傳遞函數(shù)(a)(b)(c)(d)法則4、根軌跡在實軸上的分布實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、極點數(shù)目之和應為奇數(shù)。證明：設一系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖。法則4、根軌跡在實軸上的分布實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、在實軸上任取一試驗點代入相角方程則所以相角方程成立，即是根軌跡上的點。在實軸上任取一試驗點代入相角方程則所以相角方程成立，即一般，設試驗點右側(cè)有L個開環(huán)零點，h個開環(huán)極點，則有關系式證畢如滿足相角條件必有所以，L-h必為奇數(shù)，當然L+h也為奇數(shù)。一般，設試驗點右側(cè)有L個開環(huán)零點，h個開環(huán)極點，則有關系式證例4-5設一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求時的閉環(huán)根軌跡。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點形式例4-5設一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+最后繪制出根軌跡圖。法則1，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點0、－2，一條終于有限零點－1，另一條趨于無窮遠處。法則2，有兩條根軌跡法則4，在負實軸上，0到－1區(qū)間和－2到負無窮區(qū)間是根軌跡。按繪制根規(guī)跡法則逐步進行：最后繪制出根軌跡圖。按繪制根規(guī)跡法則逐步進行：例4－4根軌跡例4－4根軌跡法則5、根軌跡的分離點與分離角定義：幾條（兩條或兩條以上）根軌跡在s平面上相遇又分開的點。若根軌跡位于實軸兩相鄰開環(huán)極點之間，則此二極點之間至少存在一個分離點。若根軌跡位于實軸兩相鄰開環(huán)零點之間，則此二極點之間至少存在一個會合點。法則5、根軌跡的分離點與分離角定義：幾條（兩條或兩條以上）根分離點的坐標d可由下面方程求得式中：為各開環(huán)零點的數(shù)值，為各開環(huán)極點的數(shù)值。分離點的坐標d可由下面方程求得式中：為各開環(huán)零點的數(shù)法則5、分離角與會合角所謂分離角是指根軌跡離開分離點處的切線與實軸正方向的夾角。分離角計算公式（4－45）法則5、分離角與會合角（4－45）所謂會合角是指根軌跡進入重極點處的切線與實軸正方向的夾角。所謂會合角是指根軌跡進入重極點處的切線與實軸正方向的夾角。會合角計算公式會合角計算公式分離角與會合角不必經(jīng)公式計算，可以用下列簡單法則來確定：若有條根軌跡進入d點，必有條根軌跡離開d點；條進入d點的根軌跡與條離開d點的根軌跡相間隔；任一條進入d點的根軌跡與相鄰的離開d點的根軌跡方向之間的夾角為；因此只要確定了d點附近的一條根軌跡的方向，由上述規(guī)律就可以方便地確定d點附近所有的根軌跡方向，而確定d點附近根軌跡方向的方法可根據(jù)法則2、法則4或取試驗點用相角條件來驗證。分離角與會合角不必經(jīng)公式計算，可以用下列簡單法則來確定：若有法則6、根軌跡的起始角和終止角根軌跡的終止角是指終止于某開環(huán)零點的根軌跡在該點處的切線與水平正方向的夾角。根軌跡的起始角是指根軌跡在起點處的切線與水平正方向的夾角。法則6、根軌跡的起始角和終止角根軌跡的終止角是指終止于某開環(huán)終止角計算公式：起始角計算公式：終止角計算公式：起始角計算公式：例4-6設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)概略根軌跡。解

將開環(huán)零、極點畫在圖4－4的根平面上，逐步畫圖：例4-6設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)概略根軌跡。解將開環(huán)n=2，有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(-1-j2),(-1+j2)；終于開環(huán)零點(-2-j),(-2+j)確定起始角,終止角。如圖例4－6所示。n=2，有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(-1例4－6根軌跡例4－6根軌跡例4－6根軌跡的起始角和終止角例4－6根軌跡的起始角和終止角例4-7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點坐標d，并概略繪制出根軌跡圖。例4-7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點坐標解：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點按步驟：n=2,m=1,有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點和無窮遠零點實軸上根軌跡位于有限零點－1和無窮零點之間，因此判斷有分離點解：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點按步驟：離開復平面極點的初始角為離開復平面極點的初始角為漸近線（舍去）6、求分離點坐標d漸近線（舍去）6、求分離點坐標d此系統(tǒng)根軌跡如圖所示此系統(tǒng)根軌跡如圖所示法則7、根軌跡與虛軸的交點如根軌跡與虛軸相交，則交點上的值和值可用勞思判據(jù)判定，也可令閉環(huán)特征方程中的，然后分別令其實部和虛部為零求得。法則7、根軌跡與虛軸的交點如根軌跡與虛軸相交，則交點上的例4-8設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。例4-8設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為解：按步驟畫圖有4條根軌跡各條根軌跡分別起于開環(huán)極點0，-3，-1+j1,-1-j1；終于無窮遠實軸上的根軌跡在0到-3之間漸近線解：按步驟畫圖有4條根軌跡確定分離點d解方程得（舍去）確定分離點d解方程得（舍去）確定起始角確定起始角確定根軌跡與虛軸的交點。令代入上式解得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為確定根軌跡與虛軸的交點。令例4－7根軌跡例4－7根軌跡例4-9已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出時的閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡，并求出時的閉環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)極點。例4-9已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出解：根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計算：n=4，有四條根軌跡；起始于開環(huán)極點0，-20，-2-j4,-2+j4，終于無窮遠處；實軸上的根軌跡在（0，-20）區(qū)間；n=4,m=0,則有4條根軌跡趨于無窮遠，它們的漸近線與實軸的交點和夾角為解：根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計算：n=4，有四條根軌跡；取取根軌跡的起始角。解得分離點坐標d。舍根軌跡的起始角。解得分離點坐標d。舍根軌跡與虛軸交點。系統(tǒng)特征方程解得則兩個閉環(huán)極點令代入根軌跡與虛軸交點。系統(tǒng)特征方程解得則兩個閉環(huán)極點令代入此時特征方程為利用綜合除法，可求出其他兩個閉環(huán)極點此時特征方程為利用綜合除法，可求出其他兩個閉環(huán)極點例4－9根軌跡圖例4－9根軌跡圖法則8、根之和與根之積如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式閉環(huán)特征根的負值之和，等于閉環(huán)特征方程第二項系數(shù)。若根之和與開環(huán)根軌跡增益無關。法則8、根之和與根之積如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式閉環(huán)特征根Tips在開環(huán)極點已確定不變的情況下，其和為常值，因此，n-m2的系統(tǒng)，當增益Ｋ的變動使某些閉環(huán)極點在s平面上向左移動時，則必有另一些極點向右移動，這樣才能保證極點之和為常值。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。閉環(huán)特征根之積乘以，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項。Tips在開環(huán)極點已確定不變的情況下，其和為常值，因此，n-常見閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖返回返回4－3廣義根軌跡一、開環(huán)零點變化時的根軌跡設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(4-26)閉環(huán)特征方程為(4-27)等效變換成4－3廣義根軌跡一、開環(huán)零點變化時的根軌跡設系統(tǒng)開環(huán)傳遞令（4－29）顯然，利用式4－29就可以畫出關于零點變化的根軌跡，它就是廣義根軌跡。令（4－29）顯然，利用式4－29就可以畫出關于零點變化的根二、開環(huán)極點變化時的根軌跡設一負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為現(xiàn)在研究變化的根軌跡。等效開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)上式可畫出變化時的廣義根軌跡。二、開環(huán)極點變化時的根軌跡設一負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為現(xiàn)在已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制當開環(huán)增益K為時，時間常數(shù)變化時的根軌跡。例4-10解：題目顯然是求廣義根軌跡問題。已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例4-10解：題目顯然是求廣義根系統(tǒng)特征方程為等效開環(huán)傳遞函數(shù)為等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個零點，即0，0，-1；2個極點，不同K值可計算出不同極點。按照常規(guī)根軌跡的繪制法則可繪制出廣義根軌跡圖。系統(tǒng)特征方程為等效開環(huán)傳遞函數(shù)為等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個零點，例4-10根軌跡圖例4-10根軌跡圖分析復雜控制系統(tǒng)如圖，其中內(nèi)回路為正反饋。為了分析整個控制系統(tǒng)的性能，需求出內(nèi)回路的閉環(huán)零、極點。用根軌跡的方法繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。三、零度根軌跡分析復雜控制系統(tǒng)如圖，其中內(nèi)回路為正反饋。為了分析整個特征方程根軌跡方程研究內(nèi)回路特征方程根軌跡方程研究內(nèi)回路從而相角方程及模值方程相應為從而相角方程及模值方程相應為使用常規(guī)根軌跡法繪制零度根軌跡時，對于與相角方程有關的某些法則要修改實軸上某一區(qū)域，若其右方開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。根軌跡的漸近線計算公式不變。使用常規(guī)根軌跡法繪制零度根軌跡時，對于與相角方程有關的某些法根軌跡的起始角與終止角分離角與會合角除上述四個法則外，其他法則不變根軌跡的起始角與終止角分離角與會合角除上述四個法則外，其他法例4-11正反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-23所示，試繪制開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益變化時的根軌跡。其中例4-11正反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-23所示，試繪制開環(huán)系統(tǒng)解：該系統(tǒng)是正反饋系統(tǒng)。當變化時的根軌跡是零度根軌跡。利用零度根軌跡法則繪制該系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。終止于開環(huán)零點實軸根軌跡在區(qū)間內(nèi)。起始于開環(huán)極點解：該系統(tǒng)是正反饋系統(tǒng)。當例4-11根軌跡圖返回例4-11根軌跡圖返回4－4系統(tǒng)性能的分析由開環(huán)→閉環(huán)極點的根軌跡求閉環(huán)極點確定閉環(huán)傳函閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能主要任務：4－4系統(tǒng)性能的分析由開環(huán)→閉環(huán)極點的根軌跡求閉環(huán)極點一、用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式Ｎ階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：一、用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式Ｎ階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞設輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：假設(s)中無重極點，上式分解為部分分式設輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：假設(s)中無重已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)課件將C(s)表達式進行拉式反變換得：（4－74）從上式看出，系統(tǒng)單位階躍響應將由閉環(huán)極點及系數(shù)決定，而系數(shù)也與閉環(huán)零、極點分布有關。將C(s)表達式進行拉式反變換得：（4－74）從上式看出，系二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應的定性關系穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點位于s平面的左半部；復數(shù)極點設置在s平面中與負實軸成夾角線附近；平穩(wěn)性二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應的定性關系穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點位快速性閉環(huán)極點遠離虛軸；動態(tài)過程盡快消失小，閉環(huán)極點之間間距大,零點與極點間間距小?？焖傩蚤]環(huán)極點遠離虛軸；動態(tài)過程盡快消失小，閉環(huán)極點三、主導極點和偶極子主導極點：就是對動態(tài)過程影響占主導地位的極點，一般是離虛軸最近的極點。三、主導極點和偶極子主導極點：就是對動態(tài)過程影響占主導地位的偶極子：就是一對靠得很近的閉環(huán)零、極點。偶極子：就是一對靠得很近的閉環(huán)零、極點。四、利用主導極點估算系統(tǒng)的性能指標既然主導極點在動態(tài)過程中起主要作用，那么，計算性能指標時，在一定條件下就可以只考慮暫態(tài)分量中主導極點對應的分量，將高階系統(tǒng)近似看做一、二階系統(tǒng)，直接應用第三章中計算性能指標的公式和曲線。四、利用主導極點估算系統(tǒng)的性能指標既然主導極點在動態(tài)過程中起例4-12試近似計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。解：這是三階系統(tǒng)，有三個閉環(huán)極點其零、極點分布如圖所示。某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為例4-12試近似計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。解：某極點離虛軸最近，所以系統(tǒng)的主導極點為，而其他兩個極點可以忽略。極點離虛軸最近，所以系統(tǒng)的主導極這時系統(tǒng)可以看做是一階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)為式中：T=0.67s根據(jù)時域分析可知一階系統(tǒng)無超調(diào)，調(diào)節(jié)時間這時系統(tǒng)可以看做是一階系統(tǒng)。例4-13系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)試估計系統(tǒng)的性能指標。例4-13系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)解：閉環(huán)零、極點分布如圖所示解：閉環(huán)零、極點分布如圖所示系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)對應性能指標系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)對應性能指標例4-14已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試應用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計算閉環(huán)主導極點具有阻尼比0.5時的性能指標。例4-14已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為解：圖4-27根軌跡圖

根軌跡圖按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖所示。解：圖4-27按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖所示。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性在平面上畫出時的阻尼線。阻尼線與根軌跡交點的坐標設為，從圖上測得，與之共軛的復數(shù)極點為。已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程及兩個極點，用長除法求出第三個極點。使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是分析系統(tǒng)穩(wěn)定性在平面上畫出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的性能指標：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的例4-15已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。試畫出當由時的閉環(huán)根軌跡，并分析對系統(tǒng)動態(tài)過程的影響。例4-15已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。試畫出當解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點0，－2；有一個零點－4。此類帶零點的二階系統(tǒng)的根軌跡，其復數(shù)部分為一個圓，其圓心在開環(huán)零點處，半徑為零點到分離點的距離。根軌跡如圖所示。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點0，－2；有一個零點－4。已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)課件當開環(huán)增益在（0～0.686）內(nèi)，閉環(huán)為兩個負實數(shù)極點，系統(tǒng)在階躍信號下響應為非周期的。當開環(huán)增益在（0.686～23.4）內(nèi)，閉環(huán)為一對共軛復數(shù)極點，其階躍響應為振蕩衰減過程。系統(tǒng)根軌跡分離點對應開環(huán)增益當開環(huán)增益在（0～0.686）內(nèi)，閉環(huán)為兩個負實數(shù)極點，系統(tǒng)下面求系統(tǒng)最小阻尼比對應的閉環(huán)極點。過原點做與根軌跡圓相切的直線，此切線與負實軸夾角的余弦即為系統(tǒng)的阻尼比。3.當開環(huán)增益在內(nèi)，閉環(huán)又為負實數(shù)極點，其階躍響應又為非周期的。下面求系統(tǒng)最小阻尼比對應的閉環(huán)極點。過原點做與根軌跡圓相切的對應閉環(huán)極點系統(tǒng)階躍響應具有較好的平穩(wěn)性。對應閉環(huán)極點系統(tǒng)階躍響應具有較好的平穩(wěn)性。例4－16單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。例4－16單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解：此系統(tǒng)開環(huán)有三個極點0，0，－10按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖所示。解：此系統(tǒng)開環(huán)有三個極點0，0，－10按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡圖中兩條根軌跡位于s平面右半部，即閉環(huán)始終有兩個右極點。說明開環(huán)增益無論取何值，系統(tǒng)均不穩(wěn)定。若在系統(tǒng)中附加一個負實數(shù)零點z1，用來改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，則系上統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖中兩條根軌跡位于s平面右半部，即閉環(huán)始終有兩個右附加零點后的根軌跡（1）附加零點后的根軌跡（1）已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)課件附加零點后的根軌跡（2）附加零點后的根軌跡（2）因此，引入的附加零點要恰當，才能使系統(tǒng)的性能有所改善。因此，引入的附加零點要恰當，才能使系統(tǒng)的性能有所改善。本章總線索T法則開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點pi,zi閉環(huán)根軌跡(加上閉環(huán)零點)簡化處理一、二階系統(tǒng)系統(tǒng)性能指標定性分析,求K的取值范圍“法則”是指繪制根軌跡的基本法則，“簡化處理”是指利用主導極點和偶極子的概念，將高階系統(tǒng)近似地看成一階或二階系統(tǒng)?！岸ㄐ苑治觥笨梢园A躍響應的不同形式對K取值的要求，例如階躍響應單調(diào)收斂，振蕩收斂，最佳阻尼比，系統(tǒng)穩(wěn)定等。返回本章總線索T法則開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點閉環(huán)根軌跡(加上閉環(huán)零第4章根軌跡法4-1根軌跡的基本概念4-2繪制根軌跡的基本法則4-3廣義根軌跡4-4系統(tǒng)性能的分析第4章根軌跡法4-1根軌跡的基本概念基本要求

1.正確理解開環(huán)零、極點和閉環(huán)零、極點以及主導極點、偶極子等概念。2.正確理解和熟記根軌跡方程(模方程及相角方程)。熟練運用模方程計算根軌跡上任一點的根軌跡增益和開環(huán)增益。3.正確理解根軌跡法則，法則的證明只需一般了解，熟練運用根軌跡法則按步驟繪制反饋系統(tǒng)開環(huán)增益K從零變化到正無窮時的閉環(huán)根軌跡。4.了解繪制廣義根軌跡的思路、要點和方法。

基本要求1.正確理解開環(huán)零、極點和閉環(huán)零、極點以及主導極點根軌跡法根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關系，直接由開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點求出閉環(huán)極點（閉環(huán)特征根）。這給系統(tǒng)的分析與設計帶來了極大的方便。閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標主要由閉環(huán)系統(tǒng)極點在復平面的位置決定，因此，分析或設計系統(tǒng)時確定出閉環(huán)極點位置是十分有意義的。根軌跡法根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關系，直接由定義：根軌跡是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個參數(shù)（如開環(huán)增益K）從零變到無窮時，閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡。4－1根軌跡法的基本概念當閉環(huán)系統(tǒng)為正反饋時，對應的軌跡為零度根軌跡；而負反饋系統(tǒng)的軌跡為根軌跡。1、根軌跡概念定義：根軌跡是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個參數(shù)（如開環(huán)增益K）從例4-1如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：例4-1如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點。

沒有零點，開環(huán)增益為K。閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征根為閉環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點從特征根的表達式中看出每個特征根都隨K的變化而變化。例如，設K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞從特征根的表達式中看出每個特征根都隨K的變化而變化。例如，設如果把不同K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成線，則可以畫出如圖所示系統(tǒng)的根軌跡。如果把不同K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成穩(wěn)定性

當K由0→∞，根軌跡不會進入s右半邊，即系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。穩(wěn)態(tài)特性坐標原點有一個開環(huán)極點，所以屬I型系統(tǒng)，根軌跡上的K值就是Kv。如果已知ess，則在根軌跡上可確定閉環(huán)極點取值范圍。動態(tài)特性當0<K1<0.5時，閉環(huán)極點位于實軸上，為過阻尼狀態(tài)；當K1=0.5時，兩個閉環(huán)實極點重合，為臨界阻尼系統(tǒng)；當K1>0.5時，閉環(huán)系統(tǒng)是復極點，為欠阻尼狀態(tài)，單位階躍響應為衰減振蕩過程。

2、根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性當K由0→∞，根軌跡不會進入s右半邊，即系統(tǒng)總3、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關系如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為（4－1）3、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關系如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞將前向通道傳遞函數(shù)G（s）表示為：（4－2）將前向通道傳遞函數(shù)G（s）表示為：（4－2）為前向通道增益，為前向通道根軌跡增益式中為反饋通道的根軌跡增益。（4－4）（4－3）為前向通道增益，為前向通道根軌跡增益（4－5）問：f與l、q與h有什么關系？（4－5）問：f與l、q與h有什么關系？閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為閉環(huán)零、極點。式中：（4－6）閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為閉環(huán)零、極點。式中：（4－6）比較式（4－2）和式（4－6）可得出以下結(jié)論閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益；閉環(huán)系統(tǒng)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點組成；閉環(huán)系統(tǒng)的極點與開環(huán)系統(tǒng)的極點、零點以及開環(huán)根軌跡增益有關。根軌跡法的任務是在已知開環(huán)零、極點分布的情況下，如何通過圖解法求出閉環(huán)極點。比較式（4－2）和式（4－6）可得出以下結(jié)論閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增4、根軌跡方程根軌跡方程G(s)H(s)=-1式中G(s)H(s)是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，該式明確表示出開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)極點的關系。

閉環(huán)特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0（4-7）閉環(huán)極點就是閉環(huán)特征方程的解，也稱為特征根。4、根軌跡方程根軌跡方程閉環(huán)特征方程設開環(huán)傳遞函數(shù)有m個零點，n個極點，并假定n≥m，這時根軌跡方程又可以寫成：（4－8）不難看出，式子為關于s的復數(shù)方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。設開環(huán)傳遞函數(shù)有m個零點，n個極點，并假定n≥m，這時根軌跡相角方程（4－9）模值方程（4－10）相角方程（4－9）模值方程（4－10）注意在實際應用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方程主要用來確定已知根軌跡上某一點的值。模值方程不但與開環(huán)零、極點有關，還與開環(huán)根軌跡增益有關；而相角方程只與開環(huán)零、極點有關。相角方程是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。注意在實際應用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方例4-2它們應滿足相角方程（4－9）已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):試證明復平面上點是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點。若系統(tǒng)閉環(huán)極點為證明：該系統(tǒng)的開環(huán)極點例4-2它們應滿足相角方程（4－9）已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):例4－1開環(huán)零、極點分布圖例4－1開環(huán)零、極點分布圖(k=0)以為試驗點，可得以為試驗點，觀察右圖，可得(k=0)以為試驗點，可得以為試驗點，觀察右證畢可見，都滿足相角方程，所以，點是閉環(huán)極點。證畢可見，都滿足相角方程，例4-3已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)當變化時其根軌跡如圖4-2所示，求根軌跡上點所對應的K值。解

根據(jù)模值方程求解值模值方程例4-3已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)圖可得所以根據(jù)圖可得所以上面兩個例子說明如何應用根軌跡方程確定復平面上一點是否是閉環(huán)極點以及確定根軌跡上一點對應的值。根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極點時，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時閉環(huán)特征方程所有根在復平面上的分布，即根軌跡。返回上面兩個例子說明如何應用根軌跡方程確定復平面上一點是否是閉環(huán)根軌跡起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。法則1、根軌跡的起點與終點由根軌跡方程有：4－2繪制根軌跡的基本法則根軌跡起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。法則1、根軌跡的起點與終點

若開環(huán)零點數(shù)m<開環(huán)極點數(shù)n(有個開環(huán)零點在無窮遠處)則有()條根軌跡趨于無窮遠點→→

起點→→終點若開環(huán)零點數(shù)m<開環(huán)極點數(shù)n(有一、根軌跡的分支數(shù)分支數(shù)＝開環(huán)極點數(shù)

＝開環(huán)特征方程的階數(shù)二、根軌跡對稱于實軸閉環(huán)極點為實數(shù)→在實軸上復數(shù)→共軛→對稱于實軸法則2根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性三、根軌跡具有連續(xù)性一、根軌跡的分支數(shù)二、根軌跡對稱于實軸法則2根軌跡的分支數(shù)法則3、根軌跡的漸近線漸近線與實軸正方向的夾角為：漸近線與實軸相交點的坐標為：法則3、根軌跡的漸近線漸近線與實軸正方向的夾角為：漸近線與實例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)法則3，求出根軌跡的漸近線。極點解：零點例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)法則3，求出根軌跡的漸近按照公式得按照公式得以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)課件對應的開環(huán)傳遞函數(shù)(a)(b)(c)(d)對應的開環(huán)傳遞函數(shù)(a)(b)(c)(d)法則4、根軌跡在實軸上的分布實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、極點數(shù)目之和應為奇數(shù)。證明：設一系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖。法則4、根軌跡在實軸上的分布實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、在實軸上任取一試驗點代入相角方程則所以相角方程成立，即是根軌跡上的點。在實軸上任取一試驗點代入相角方程則所以相角方程成立，即一般，設試驗點右側(cè)有L個開環(huán)零點，h個開環(huán)極點，則有關系式證畢如滿足相角條件必有所以，L-h必為奇數(shù)，當然L+h也為奇數(shù)。一般，設試驗點右側(cè)有L個開環(huán)零點，h個開環(huán)極點，則有關系式證例4-5設一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求時的閉環(huán)根軌跡。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點形式例4-5設一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+最后繪制出根軌跡圖。法則1，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點0、－2，一條終于有限零點－1，另一條趨于無窮遠處。法則2，有兩條根軌跡法則4，在負實軸上，0到－1區(qū)間和－2到負無窮區(qū)間是根軌跡。按繪制根規(guī)跡法則逐步進行：最后繪制出根軌跡圖。按繪制根規(guī)跡法則逐步進行：例4－4根軌跡例4－4根軌跡法則5、根軌跡的分離點與分離角定義：幾條（兩條或兩條以上）根軌跡在s平面上相遇又分開的點。若根軌跡位于實軸兩相鄰開環(huán)極點之間，則此二極點之間至少存在一個分離點。若根軌跡位于實軸兩相鄰開環(huán)零點之間，則此二極點之間至少存在一個會合點。法則5、根軌跡的分離點與分離角定義：幾條（兩條或兩條以上）根分離點的坐標d可由下面方程求得式中：為各開環(huán)零點的數(shù)值，為各開環(huán)極點的數(shù)值。分離點的坐標d可由下面方程求得式中：為各開環(huán)零點的數(shù)法則5、分離角與會合角所謂分離角是指根軌跡離開分離點處的切線與實軸正方向的夾角。分離角計算公式（4－45）法則5、分離角與會合角（4－45）所謂會合角是指根軌跡進入重極點處的切線與實軸正方向的夾角。所謂會合角是指根軌跡進入重極點處的切線與實軸正方向的夾角。會合角計算公式會合角計算公式分離角與會合角不必經(jīng)公式計算，可以用下列簡單法則來確定：若有條根軌跡進入d點，必有條根軌跡離開d點；條進入d點的根軌跡與條離開d點的根軌跡相間隔；任一條進入d點的根軌跡與相鄰的離開d點的根軌跡方向之間的夾角為；因此只要確定了d點附近的一條根軌跡的方向，由上述規(guī)律就可以方便地確定d點附近所有的根軌跡方向，而確定d點附近根軌跡方向的方法可根據(jù)法則2、法則4或取試驗點用相角條件來驗證。分離角與會合角不必經(jīng)公式計算，可以用下列簡單法則來確定：若有法則6、根軌跡的起始角和終止角根軌跡的終止角是指終止于某開環(huán)零點的根軌跡在該點處的切線與水平正方向的夾角。根軌跡的起始角是指根軌跡在起點處的切線與水平正方向的夾角。法則6、根軌跡的起始角和終止角根軌跡的終止角是指終止于某開環(huán)終止角計算公式：起始角計算公式：終止角計算公式：起始角計算公式：例4-6設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)概略根軌跡。解

將開環(huán)零、極點畫在圖4－4的根平面上，逐步畫圖：例4-6設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)概略根軌跡。解將開環(huán)n=2，有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(-1-j2),(-1+j2)；終于開環(huán)零點(-2-j),(-2+j)確定起始角,終止角。如圖例4－6所示。n=2，有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(-1例4－6根軌跡例4－6根軌跡例4－6根軌跡的起始角和終止角例4－6根軌跡的起始角和終止角例4-7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點坐標d，并概略繪制出根軌跡圖。例4-7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點坐標解：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點按步驟：n=2,m=1,有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點和無窮遠零點實軸上根軌跡位于有限零點－1和無窮零點之間，因此判斷有分離點解：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點按步驟：離開復平面極點的初始角為離開復平面極點的初始角為漸近線（舍去）6、求分離點坐標d漸近線（舍去）6、求分離點坐標d此系統(tǒng)根軌跡如圖所示此系統(tǒng)根軌跡如圖所示法則7、根軌跡與虛軸的交點如根軌跡與虛軸相交，則交點上的值和值可用勞思判據(jù)判定，也可令閉環(huán)特征方程中的，然后分別令其實部和虛部為零求得。法則7、根軌跡與虛軸的交點如根軌跡與虛軸相交，則交點上的例4-8設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。例4-8設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為解：按步驟畫圖有4條根軌跡各條根軌跡分別起于開環(huán)極點0，-3，-1+j1,-1-j1；終于無窮遠實軸上的根軌跡在0到-3之間漸近線解：按步驟畫圖有4條根軌跡確定分離點d解方程得（舍去）確定分離點d解方程得（舍去）確定起始角確定起始角確定根軌跡與虛軸的交點。令代入上式解得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為確定根軌跡與虛軸的交點。令例4－7根軌跡例4－7根軌跡例4-9已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出時的閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡，并求出時的閉環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)極點。例4-9已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出解：根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計算：n=4，有四條根軌跡；起始于開環(huán)極點0，-20，-2-j4,-2+j4，終于無窮遠處；實軸上的根軌跡在（0，-20）區(qū)間；n=4,m=0,則有4條根軌跡趨于無窮遠，它們的漸近線與實軸的交點和夾角為解：根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計算：n=4，有四條根軌跡；取取根軌跡的起始角。解得分離點坐標d。舍根軌跡的起始角。解得分離點坐標d。舍根軌跡與虛軸交點。系統(tǒng)特征方程解得則兩個閉環(huán)極點令代入根軌跡與虛軸交點。系統(tǒng)特征方程解得則兩個閉環(huán)極點令代入此時特征方程為利用綜合除法，可求出其他兩個閉環(huán)極點此時特征方程為利用綜合除法，可求出其他兩個閉環(huán)極點例4－9根軌跡圖例4－9根軌跡圖法則8、根之和與根之積如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式閉環(huán)特征根的負值之和，等于閉環(huán)特征方程第二項系數(shù)。若根之和與開環(huán)根軌跡增益無關。法則8、根之和與根之積如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式閉環(huán)特征根Tips在開環(huán)極點已確定不變的情況下，其和為常值，因此，n-m2的系統(tǒng)，當增益Ｋ的變動使某些閉環(huán)極點在s平面上向左移動時，則必有另一些極點向右移動，這樣才能保證極點之和為常值。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。閉環(huán)特征根之積乘以，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項。Tips在開環(huán)極點已確定不變的情況下，其和為常值，因此，n-常見閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖返回返回4－3廣義根軌跡一、開環(huán)零點變化時的根軌跡設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(4-26)閉環(huán)特征方程為(4-27)等效變換成4－3廣義根軌跡一、開環(huán)零點變化時的根軌跡設系統(tǒng)開環(huán)傳遞令（4－29）顯然，利用式4－29就可以畫出關于零點變化的根軌跡，它就是廣義根軌跡。令（4－29）顯然，利用式4－29就可以畫出關于零點變化的根二、開環(huán)極點變化時的根軌跡設一負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為現(xiàn)在研究變化的根軌跡。等效開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)上式可畫出變化時的廣義根軌跡。二、開環(huán)極點變化時的根軌跡設一負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為現(xiàn)在已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制當開環(huán)增益K為時，時間常數(shù)變化時的根軌跡。例4-10解：題目顯然是求廣義根軌跡問題。已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例4-10解：題目顯然是求廣義根系統(tǒng)特征方程為等效開環(huán)傳遞函數(shù)為等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個零點，即0，0，-1；2個極點，不同K值可計算出不同極點。按照常規(guī)根軌跡的繪制法則可繪制出廣義根軌跡圖。系統(tǒng)特征方程為等效開環(huán)傳遞函數(shù)為等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個零點，例4-10根軌跡圖例4-10根軌跡圖分析復雜控制系統(tǒng)如圖，其中內(nèi)回路為正反饋。為了分析整個控制系統(tǒng)的性能，需求出內(nèi)回路的閉環(huán)零、極點。用根軌跡的方法繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。三、零度根軌跡分析復雜控制系統(tǒng)如圖，其中內(nèi)回路為正反饋。為了分析整個特征方程根軌跡方程研究內(nèi)回路特征方程根軌跡方程研究內(nèi)回路從而相角方程及模值方程相應為從而相角方程及模值方程相應為使用常規(guī)根軌跡法繪制零度根軌跡時，對于與相角方程有關的某些法則要修改實軸上某一區(qū)域，若其右方開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。根軌跡的漸近線計算公式不變。使用常規(guī)根軌跡法繪制零度根軌跡時，對于與相角方程有關的某些法根軌跡的起始角與終止角分離角與會合角除上述四個法則外，其他法則不變根軌跡的起始角與終止角分離角與會合角除上述四個法則外，其他法例4-11正反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-23所示，試繪制開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益變化時的根軌跡。其中例4-11正反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-23所示，試繪制開環(huán)系統(tǒng)解：該系統(tǒng)是正反饋系統(tǒng)。當變化時的根軌跡是零度根軌跡。利用零度根軌跡法則繪制該系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。終止于開環(huán)零點實軸根軌跡在區(qū)間內(nèi)。起始于開環(huán)極點解：該系統(tǒng)是正反饋系統(tǒng)。當例4-11根軌跡圖返回例4-11根軌跡圖返回4－4系統(tǒng)性能的分析由開環(huán)→閉環(huán)極點的根軌跡求閉環(huán)極點確定閉環(huán)傳函閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能主要任務：4－4系統(tǒng)性能的分析由開環(huán)→閉環(huán)極點的根軌跡求閉環(huán)極點一、用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式Ｎ階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：一、用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式Ｎ階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞設輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：假設(s)中無重極點，上式分解為部分分式設輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：假設(s)中無重已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)課件將C(s)表達式進行拉式反變換得：（4－74）從上式看出，系統(tǒng)單位階躍響應將由閉環(huán)極點及系數(shù)決定，而系數(shù)也與閉環(huán)零、極點分布有關。將C(s)表達式進行拉式反變換得：（4－74）從上式看出，系二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應的定性關系穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點位于s平面的左半部；復數(shù)極點設置在s平面中與負實軸成夾角線附近；平穩(wěn)性二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應的定性關系穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點位快速性閉環(huán)極點遠離虛軸；動態(tài)過程盡快消失小，閉環(huán)極點之間間距大,零點與極點間間距小?？焖傩蚤]環(huán)極點遠離虛軸；動態(tài)過程盡快消失小，閉環(huán)極點三、主導極點和偶極子主導極點：就是對動態(tài)過程影響占主導地位的極點，一般是離虛軸最近的極點。三、主導極點和偶極子主導極點：就是對動態(tài)過程影響占主導地位的偶極子：就是一對靠得很近的閉環(huán)零、極點。偶極子：就是一對靠得很近的閉環(huán)零、極點。四、利用主導極點估算系統(tǒng)的性能指標既然主導極點在動態(tài)過程中起主要作用