2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)講明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)7分和0分兩檔；解答題的評閱，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分。一、填空題〔此題總分值56分，每題7分?！?．復(fù)數(shù)滿足，那么0．2．設(shè)，，那么的值域?yàn)椋?．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，假設(shè)，那么中最大的是．4．O是銳角△ABC的外心，，假設(shè)，且，那么．5．正方體的棱長為1，O為底面ABCD的中心，M，N分不是棱A1D1和CC1的中點(diǎn)．那么四面體的體積為．6．設(shè)，且，，那么符合條件的共有1600組．〔注：順序不同視為不同組．〕7．設(shè)，那么的最小值為．8．設(shè)p是給定的正偶數(shù)，集合的所有元素的和是．二、解答題〔此題總分值64分，第9題14分，第10題15分，第11題15分，第12題20分。〕9．設(shè)數(shù)列滿足，，其中．〔1〕證明：對一切，有；〔2〕證明：．證明〔1〕在關(guān)系式中，令，可得；令，可得①令，可得②由①得，，，，代入②，化簡得．------------------------------------------7分〔2〕由，得，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，因此．因此．因?yàn)椋虼耍?-----------------------------------------14分10．求不定方程的正整數(shù)解的組數(shù)．解令，，，那么．先考慮不定方程滿足的正整數(shù)解．，，．----------------------------------5分當(dāng)時，有，此方程滿足的正整數(shù)解為．當(dāng)時，有，此方程滿足的正整數(shù)解為．因此不定方程滿足的正整數(shù)解為．------------------------------------------10分又方程的正整數(shù)解的組數(shù)為，方程的正整數(shù)解的組數(shù)為，故由分步計(jì)數(shù)原理知，原不定方程的正整數(shù)解的組數(shù)為．------------------------------------------15分11．拋物線C：與直線l：沒有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為直線l上的動點(diǎn)，過P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點(diǎn)．(1)證明：直線AB恒過定點(diǎn)Q；(2)假設(shè)點(diǎn)P與〔1〕中的定點(diǎn)Q的連線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，證明：．證明(1)設(shè)，那么．由得，因此．因此拋物線C在A點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)，那么有．設(shè)，同理有．因此AB的方程為，即，因此直線AB恒過定點(diǎn)．------------------------------------------7分(2)PQ的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去y，得．設(shè)，，那么①要證，只需證明，即②由①知，②式左邊=．故②式成立，從而結(jié)論成立．------------------------------------------15分12．設(shè)為正實(shí)數(shù)，且．證明：．證明因?yàn)?，要證原不等式成立，等價于證明=1\*GB3①----------------5分事實(shí)上，=2\*GB3②----------------10分由柯西不等式知=3\*GB3③----------------15分又由知=4\*G