第八章第四節(jié)圓的方程精選課件

第四節(jié)圓的方程第四節(jié)圓的方程1第八章第四節(jié)圓的方程精選課件2一、圓的定義及方程定義平面內(nèi)與

的距離等于

的點(diǎn)的集合(軌跡)限定條件標(biāo)準(zhǔn)方程圓心：(

)，半徑r>0一般方程圓心：()，半徑D2＋E2－4F>0定點(diǎn)定長(zhǎng)(x－a)2＋(y－b)2＝r2a，brx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一、圓的定義及方程定義平面內(nèi)與的距離等于3二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件是什么？提示：二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓4二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑r，

若點(diǎn)M(x0，y0)在圓上，則

；若點(diǎn)

M(x0，y0)在圓外，則

；若點(diǎn)M(x0，

y0)在圓內(nèi)，則

.(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(x0－a)2＋(y0－b)2<r2二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x51．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為(

)A．(x－2)2＋y2＝5

B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析：已知圓的圓心坐標(biāo)(－2,0)，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)．

答案：A

1．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程62．已知兩點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2＋y2－2x＝0上任

意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是(

)2．已知兩點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2＋y27解析：lAB：x－y＋2＝0，圓心(1,0)到l的距離∴AB邊上的高的最小值為答案：A解析：lAB：x－y＋2＝0，圓心(1,0)到l的距離答案：83．圓x2＋y2－2x＋2y＋1＝0的圓心到直線x－y＋1＝0的距離

是(

)解析：配方得(x－1)2＋(y＋1)2＝1，圓心(1，－1)到直線的距離d=答案：D3．圓x2＋y2－2x＋2y＋1＝0的圓心到直線x－y＋1＝94．圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，－

4)，B(0，－2)，則圓C的方程為_(kāi)_______．解析：圓心是AB的垂直平分線和2x－y－7＝0的交點(diǎn)，則圓心為E(2，－3)，r＝|EA|＝則圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝r2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝54．圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，10①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．1．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為()(1)形如μ＝形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是()1．(2009·重慶高考)圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的y0)在圓內(nèi)，則.則AB的中垂線方程為：3x－y－1＝0.＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.∴半徑r＝2，N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.(2)求x2＋y2的最大值和最小值．根據(jù)下列條件求圓的方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上；則AB的中垂線方程為：3x－y－1＝0.①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．5．已知點(diǎn)(0,0)在圓：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，

則a的取值范圍是________．解析：將(0,0)代入圓的方程得2a2＋a－1＞0，即(a＋1)(2a－1)＞0，a＞或a＜－1.又∵D2＋E2－4F＞0，∴a2＋a2－4(2a2＋a－1)＞0，答案：即：<a<-1或①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．5．已知點(diǎn)(0,011第八章第四節(jié)圓的方程精選課件121．方程選擇原則：求圓方程時(shí)，如果由已知條件易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需

要用圓心坐標(biāo)列方程，常選用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件與

圓心坐標(biāo)、半徑無(wú)直接關(guān)系，常選用一般方程．2．方程求法：求圓的方程，主要用待定系數(shù)法，有兩種求解方法：一是

利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑；二是利用圓的

一般方程求出系數(shù)D、E、F的值．1．方程選擇原則：13【注意】

用待定系數(shù)法求圓的方程要注意兩點(diǎn)：第一，究竟用標(biāo)準(zhǔn)方程還是用一般方程要根據(jù)題設(shè)條件選擇．選擇得好，解法就簡(jiǎn)捷，選擇得不好，會(huì)增加解答的難度，并注意盡量根據(jù)條件少設(shè)未知量．第二，要注意適時(shí)運(yùn)用幾何知識(shí)列方程，這樣可能大大減少計(jì)算量．【注意】用待定系數(shù)法求圓的方程要注意兩點(diǎn)：第一，究竟用標(biāo)準(zhǔn)14根據(jù)下列條件求圓的方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上；(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)；(3)過(guò)三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．

根據(jù)下列條件求圓的方15直接法或待定系數(shù)法.直接法或待定系數(shù)法.16解得a＝1，b＝－4，r＝2.解得b＝－2±根據(jù)下列條件求圓的方程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑r，2009年遼寧卷在選擇題中利用待定系數(shù)法考查了圓的方程的求法.研究與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(3)過(guò)三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(2)形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題；A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2(1)形如μ＝形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；4)，B(0，－2)，則圓C的方程為_(kāi)_______．則AB的中垂線方程為：3x－y－1＝0.(x0－a)2＋(y0－b)2>r2C．(x－1)2＋(y－1)2＝22a2＋a－1＞0，即(a＋1)(2a－1)＞0，a＞或a＜－1.ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程．∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.【解】

(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意列出方程組∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.解得a＝1，b＝－4，r＝2.【解】(1)17(2)法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解得a＝1，b＝－4，r＝2.∴圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.則有(2)法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r218法二：過(guò)切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)．∴半徑r＝2，∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二：過(guò)切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與19(3)法一：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則解得：D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95.∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.(3)法一：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，20法二：由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，kAB＝－則AB的中垂線方程為：3x－y－1＝0.同理得AC的中垂線方程為：x＋y－3＝0.聯(lián)立得即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.法二：由A(1,12)，B(7,10)，211．(2009·重慶高考)圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的

圓的方程是(

)A．x2＋(y－2)2＝1

B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：由題意知圓心為(0,2)．答案：A1．(2009·重慶高考)圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(122

研究與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．(1)形如μ＝形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；(2)形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題；(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2(t＞0)形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題．

23已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程24又∵D2＋E2－4F＞0，(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2法二：由A(1,12)，B(7,10)，(1)求y－x的最大值和最小值；x2＋y2＋Dx＋Ey＋F(x0－a)2＋(y0－b)2＝r21．(2009·重慶高考)圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的2a2＋a－1＞0，即(a＋1)(2a－1)＞0，a＞或a＜－1.∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.2a2＋a－1＞0，即(a＋1)(2a－1)＞0，a＞或a＜－1.因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，又∵D2＋E2－4F＞0，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程．ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程．解析：圓心是AB的垂直平分線和2x－y－7＝0的交點(diǎn)，則圓心為E(2，－3)，r＝|EA|＝則圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝r2＝5.C．(x－1)2＋(y－1)2＝2得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，kAB＝－圓的方程的求法在高考中一直是考查的熱點(diǎn)，多在選擇、填空中考查，常與圓的切線、弦長(zhǎng)計(jì)算相結(jié)合，有時(shí)涉及圓的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.研究與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助于平面幾何知識(shí),數(shù)形結(jié)合求解.根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助于平面幾何知識(shí),數(shù)形結(jié)合求解.又∵D2＋E2－4F＞0，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助于平面幾25

【解】

方程x2＋y2－4x＋1＝0變形為(x－2)2＋y2＝3表示的圖形是圓．(1)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)

解得b＝－2±所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－

26

(2)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為所以x2＋y2的最大值是x2＋y2的最小值是

272．在本例條件下，的最大值和最小值又為何值？2．在本例條件下，的最大值和最小值又為何28解：∵∴表示過(guò)點(diǎn)P(-1,0)與圓(x-2)2+y2=3上的點(diǎn)(x，y)的直線的斜率．由圖象知的最大值和最小值分別是過(guò)P與圓相切的直線PA、PB的斜率．即的最大值為，最小值為-.解：∵29第八章第四節(jié)圓的方程精選課件30求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下做法：①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．③幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程．④代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．此外還有交軌法、參數(shù)法等．不論哪種方法，充分利用圓與圓的幾何性質(zhì)，找出動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題31

(2009·上海高考)點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是(

)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1(2009·上海高考32利用相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求之.利用相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求之.33【解析】

設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則＝4，連線中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.【答案】

A【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則343．設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、

ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程．解：如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，3．設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以35故N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求P點(diǎn)的軌跡方程為：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點(diǎn)：()和()(點(diǎn)P在OM所在的直線上時(shí)的情況)．故36第八章第四節(jié)圓的方程精選課件37圓的方程的求法在高考中一直是考查的熱點(diǎn)，多在選擇、填空中考查，常與圓的切線、弦長(zhǎng)計(jì)算相結(jié)合，有時(shí)涉及圓的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.2009年遼寧卷在選擇題中利用待定系數(shù)法考查了圓的方程的求法.屬容易題.圓的方程的求法在高考中一直是考查的熱點(diǎn)38(2009·遼寧高考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為(

)A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2(2009·遼寧高考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝39[解析]

由圓心在直線x＋y＝0上，不妨設(shè)為C(a，－a)．∴a＝1，r＝∴圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝2.[答案]

B[解析]由圓心在直線x＋y＝0上，不妨設(shè)為C(a，－a)．40∴AB邊上的高的最小值為①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2即圓心坐標(biāo)為(1,2)，根據(jù)下列條件求圓的方程：一般方程求出系數(shù)D、E、F的值．(1)形如μ＝形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；∴a2＋a2－4(2a2＋a－1)＞0，(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2解得：D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95.2009年遼寧卷在選擇題中利用待定系數(shù)法考查了圓的方程的求法.是()又∵D2＋E2－4F＞0，此外還有交軌法、參數(shù)法等．不論哪種方法，充分利用圓與圓的幾何性質(zhì)，找出動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑r，(2009·遼寧高考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為()則AB的中垂線方程為：3x－y－1＝0.D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助于平面幾何知識(shí),數(shù)形結(jié)合求解.④代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．圓心：()，半徑法二：過(guò)切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)．(2009·上海高考)點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是()(2)形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題；(2)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑；2a2＋a－1＞0，即(a＋1)(2a－1)＞0，a＞或a＜－1.則AB的中垂線方程為：3x－y－1＝0.3．圓x2＋y2－2x＋2y＋1＝0的圓心到直線x－y＋1＝0的距離②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．∴半徑r＝2，3．設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、解析：將(0,0)代入圓的方程得∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題；1．(2009·重慶高考)圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的(2009·遼寧高考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為()(x0－a)2＋(y0－b)2＝r22009年遼寧卷在選擇題中利用待定系數(shù)法考查了圓的方程的求法.根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助于平面幾何知識(shí),數(shù)形結(jié)合求解.2a2＋a－1＞0，即(a＋1)(2a－1)＞0，a＞或a＜－1.∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.研究與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．∴AB邊上的高的最小值為(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2所以x2＋y2的最大值是(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(2)形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題；①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．4)，B(0，－2)，則圓C的方程為_(kāi)_______．2a2＋a－1＞0，即(a＋1)(2a－1)＞0，a＞或a＜－1.3．設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、C．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5(1)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)1．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為()∴AB邊上的高的最小值為利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑；充分利用幾何性質(zhì)確定圓心、半徑是求圓的方程的捷徑，可以減少錯(cuò)誤，避免復(fù)雜的計(jì)算．∴AB邊上的高的最小值為根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助于平面幾何41第四節(jié)圓的方程第四節(jié)圓的方程42第八章第四節(jié)圓的方程精選課件43一、圓的定義及方程定義平面內(nèi)與

的距離等于

的點(diǎn)的集合(軌跡)限定條件標(biāo)準(zhǔn)方程圓心：(

)，半徑r>0一般方程圓心：()，半徑D2＋E2－4F>0定點(diǎn)定長(zhǎng)(x－a)2＋(y－b)2＝r2a，brx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一、圓的定義及方程定義平面內(nèi)與的距離等于44二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件是什么？提示：二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓45二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑r，

若點(diǎn)M(x0，y0)在圓上，則

；若點(diǎn)

M(x0，y0)在圓外，則

；若點(diǎn)M(x0，

y0)在圓內(nèi)，則

.(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(x0－a)2＋(y0－b)2<r2二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x461．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為(

)A．(x－2)2＋y2＝5

B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析：已知圓的圓心坐標(biāo)(－2,0)，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)．

答案：A

1．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程472．已知兩點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2＋y2－2x＝0上任

意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是(

)2．已知兩點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2＋y248解析：lAB：x－y＋2＝0，圓心(1,0)到l的距離∴AB邊上的高的最小值為答案：A解析：lAB：x－y＋2＝0，圓心(1,0)到l的距離答案：493．圓x2＋y2－2x＋2y＋1＝0的圓心到直線x－y＋1＝0的距離

是(

)解析：配方得(x－1)2＋(y＋1)2＝1，圓心(1，－1)到直線的距離d=答案：D3．圓x2＋y2－2x＋2y＋1＝0的圓心到直線x－y＋1＝504．圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，－

4)，B(0，－2)，則圓C的方程為_(kāi)_______．解析：圓心是AB的垂直平分線和2x－y－7＝0的交點(diǎn)，則圓心為E(2，－3)，r＝|EA|＝則圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝r2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝54．圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，51①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．1．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為()(1)形如μ＝形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是()1．(2009·重慶高考)圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的y0)在圓內(nèi)，則.則AB的中垂線方程為：3x－y－1＝0.＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.∴半徑r＝2，N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.(2)求x2＋y2的最大值和最小值．根據(jù)下列條件求圓的方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上；則AB的中垂線方程為：3x－y－1＝0.①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．5．已知點(diǎn)(0,0)在圓：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，

則a的取值范圍是________．解析：將(0,0)代入圓的方程得2a2＋a－1＞0，即(a＋1)(2a－1)＞0，a＞或a＜－1.又∵D2＋E2－4F＞0，∴a2＋a2－4(2a2＋a－1)＞0，答案：即：<a<-1或①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．5．已知點(diǎn)(0,052第八章第四節(jié)圓的方程精選課件531．方程選擇原則：求圓方程時(shí)，如果由已知條件易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需

要用圓心坐標(biāo)列方程，常選用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件與

圓心坐標(biāo)、半徑無(wú)直接關(guān)系，常選用一般方程．2．方程求法：求圓的方程，主要用待定系數(shù)法，有兩種求解方法：一是

利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑；二是利用圓的

一般方程求出系數(shù)D、E、F的值．1．方程選擇原則：54【注意】

用待定系數(shù)法求圓的方程要注意兩點(diǎn)：第一，究竟用標(biāo)準(zhǔn)方程還是用一般方程要根據(jù)題設(shè)條件選擇．選擇得好，解法就簡(jiǎn)捷，選擇得不好，會(huì)增加解答的難度，并注意盡量根據(jù)條件少設(shè)未知量．第二，要注意適時(shí)運(yùn)用幾何知識(shí)列方程，這樣可能大大減少計(jì)算量．【注意】用待定系數(shù)法求圓的方程要注意兩點(diǎn)：第一，究竟用標(biāo)準(zhǔn)55根據(jù)下列條件求圓的方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上；(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)；(3)過(guò)三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．

根據(jù)下列條件求圓的方56直接法或待定系數(shù)法.直接法或待定系數(shù)法.57解得a＝1，b＝－4，r＝2.解得b＝－2±根據(jù)下列條件求圓的方程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑r，2009年遼寧卷在選擇題中利用待定系數(shù)法考查了圓的方程的求法.研究與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(3)過(guò)三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(2)形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題；A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2(1)形如μ＝形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；4)，B(0，－2)，則圓C的方程為_(kāi)_______．則AB的中垂線方程為：3x－y－1＝0.(x0－a)2＋(y0－b)2>r2C．(x－1)2＋(y－1)2＝22a2＋a－1＞0，即(a＋1)(2a－1)＞0，a＞或a＜－1.ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程．∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.【解】

(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意列出方程組∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.解得a＝1，b＝－4，r＝2.【解】(1)58(2)法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解得a＝1，b＝－4，r＝2.∴圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.則有(2)法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r259法二：過(guò)切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)．∴半徑r＝2，∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二：過(guò)切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與60(3)法一：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則解得：D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95.∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.(3)法一：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，61法二：由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，kAB＝－則AB的中垂線方程為：3x－y－1＝0.同理得AC的中垂線方程為：x＋y－3＝0.聯(lián)立得即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.法二：由A(1,12)，B(7,10)，621．(2009·重慶高考)圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的

圓的方程是(

)A．x2＋(y－2)2＝1

B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：由題意知圓心為(0,2)．答案：A1．(2009·重慶高考)圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(163

研究與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．(1)形如μ＝形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；(2)形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題；(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2(t＞0)形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題．

64已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程65又∵D2＋E2－4F＞0，(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2法二：由A(1,12)，B(7,10)，(1)求y－x的最大值和最小值；x2＋y2＋Dx＋Ey＋F(x0－a)2＋(y0－b)2＝r21．(2009·重慶高考)圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的2a2＋a－1＞0，即(a＋1)(2a－1)＞0，a＞或a＜－1.∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.2a2＋a－1＞0，即(a＋1)(2a－1)＞0，a＞或a＜－1.因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，又∵D2＋E2－4F＞0，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程．ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程．解析：圓心是AB的垂直平分線和2x－y－7＝0的交點(diǎn)，則圓心為E(2，－3)，r＝|EA|＝則圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝r2＝5.C．(x－1)2＋(y－1)2＝2得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，kAB＝－圓的方程的求法在高考中一直是考查的熱點(diǎn)，多在選擇、填空中考查，常與圓的切線、弦長(zhǎng)計(jì)算相結(jié)合，有時(shí)涉及圓的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.研究與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助于平面幾何知識(shí),數(shù)形結(jié)合求解.根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助于平面幾何知識(shí),數(shù)形結(jié)合求解.又∵D2＋E2－4F＞0，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助于平面幾66

【解】

方程x2＋y2－4x＋1＝0變形為(x－2)2＋y2＝3表示的圖形是圓．(1)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)

解得b＝－2±所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－

67

(2)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為所以x2＋y2的最大值是x2＋y2的最小值是

682．在本例條件下，的最大值和最小值又為何值？2．在本例條件下，的最大值和最小值又為何69解：∵∴表示過(guò)點(diǎn)P(-1,0)與圓(x-2)2+y2=3上的點(diǎn)(x，y)的直線的斜率．由圖象知的最大值和最小值分別是過(guò)P與圓相切的直線PA、PB的斜率．即的最大值為，最小值為-.解：∵70第八章第四節(jié)圓的方程精選課件71求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下做法：①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．③幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程．④代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．此外還有交軌法、參數(shù)法等．不論哪種方法，充分利用圓與圓的幾何性質(zhì)，找出動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題72

(2009·上海高考)點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是(

)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1(2009·上海高考73利用相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求之.利用相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求之.74【解析】

設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則＝4，連線中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.【答案】

A【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則753．設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、

ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程．解：如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，3．設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以76故N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求P點(diǎn)的軌跡方程為：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點(diǎn)：()和()(點(diǎn)P在OM所在的直線上時(shí)的情況)．故77第八章第四節(jié)圓的方程精選課件78圓的方程的求法在高考中一直是考查的熱點(diǎn)，多在選擇、填空中考查，常與圓的切線、弦長(zhǎng)計(jì)算相結(jié)合，有時(shí)涉及圓的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.2009年遼寧卷在選擇題中利用待定系數(shù)法考查了圓的方程的求法.屬容易題.圓的方程的求法在高考中一直是考查的熱點(diǎn)79(2009·遼寧高考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為(

)A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2(2009·遼寧高考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝80[解析]

由圓心在直線x＋y＝0