數(shù)學第一章數(shù)據(jù)描述性分析課件

第一章數(shù)據(jù)描述性分析數(shù)字特征分布特征多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與相關分析（位置特性、分散性、分布形狀）（反映數(shù)據(jù)整體結構）1第一章數(shù)據(jù)描述性分析數(shù)字特征分布特征多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特§1.1一維數(shù)據(jù)的數(shù)字特征設有n個一維數(shù)據(jù)：它們是從所研究的對象（總體）X中觀測得到的，這n個值稱為樣本觀測值，n稱為樣本容量。數(shù)據(jù)分析的任務：對樣本觀測值進行分析，提取數(shù)據(jù)中所包含的有用信息，進一步對總體的信息做出判斷。數(shù)字特征：數(shù)據(jù)的集中位置、分散程度、數(shù)據(jù)分布的形狀特征等2§1.1一維數(shù)據(jù)的數(shù)字特征設有n個一維數(shù)據(jù)：它們是從所研究§1.1.1表示位置的數(shù)字特征均值即的平均數(shù)表示數(shù)據(jù)的集中位置缺點：缺乏抗擾性（穩(wěn)健性）設是n個觀測值，將它們從小到大記為稱它們?yōu)榇涡蚪y(tǒng)計量。顯然，最小次序統(tǒng)計量x(1)與最大次序統(tǒng)計量x(n)分別為3§1.1.1表示位置的數(shù)字特征均值即§1.1.1表示位置的數(shù)字特征中位數(shù)表示數(shù)據(jù)的中心位置計算公式注意：1、對于對稱分布的數(shù)據(jù)，均值和中位數(shù)較接近；而其它分布的數(shù)據(jù)，二者不同。2、具有穩(wěn)健性4§1.1.1表示位置的數(shù)字特征中位數(shù)表示數(shù)據(jù)的中心位置計算§1.1.1表示位置的數(shù)字特征分位數(shù)其中[np]為np的整數(shù)部分。當p=1時，定義M1=x(n).對0≤p<1,數(shù)據(jù)x1,x2,……,xn的p分位數(shù)是注意：1、大體上整個樣本的100p%的觀測值不超過p分位數(shù)。2、0.5分位數(shù)M0.5（第50百分位數(shù)）就是中位數(shù)M。p分位數(shù)又稱為第100p百分數(shù)。5§1.1.1表示位置的數(shù)字特征分位數(shù)其中[np]為np的整常用的分位數(shù)它們分別稱為上、下四分位數(shù)，并分別簡記為

0.75分位數(shù)M0.75（第75百分位數(shù)）

0.25分位數(shù)M0.25（第25百分位數(shù)）總結：1、均值計算用到了樣本的全部信息；2、中位數(shù)M僅用到了數(shù)據(jù)分布中的部分信息；3、在正常情況下，均值比中位數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中位置要優(yōu)；4、當存在異常數(shù)據(jù)時，均值缺乏穩(wěn)健性，而中位數(shù)具有很強的穩(wěn)健性。6常用的分位數(shù)它們分別稱為上、下四分位數(shù)，并分別簡記為0三均值計算公式§1.1.1表示位置的數(shù)字特征7三均值計算公式§1.1.1表示位置的數(shù)字特征7例1.1考慮下列樣本：

53113178計算均值、中位數(shù)、上、下四分位數(shù)，M0.99，M0.95，M0.90，M0.10，M0.05，M0.01分位數(shù)及三均值。解：次序統(tǒng)計量133578118例1.1考慮下列樣本：解：次序統(tǒng)計量13次序統(tǒng)計量13357811M0.95=11，M0.90=11，M0.10=1，M0.05=19次序統(tǒng)計量13357例1.2某單位對100名女學生測定血清總蛋白含量（g/L）,具體數(shù)據(jù)見課本P5例1.2計算均值、中位數(shù)、上、下四分位數(shù)，M0.99，M0.95，M0.90，M0.10，M0.05，M0.01分位數(shù)及三均值。example1_210例1.2某單位對100名女學生測定血清總蛋白含量（g/L）方差、標準差、變異系數(shù)§1.1.2表示分散性的數(shù)字特征方差：相對于均值的偏差平方的平均標準差：方差的算術平方根變異系數(shù)：刻畫數(shù)據(jù)相對分散性11方差、標準差、變異系數(shù)§1.1.2表示分散性的數(shù)字特征方差極差、四分位極差§1.1.2表示分散性的數(shù)字特征極差四分位極差注意：以上兩種度量均具有抗擾性12極差、四分位極差§1.1.2表示分散性的數(shù)字特征極判斷異常值的方法稱為數(shù)據(jù)的上、下截斷點。大于上截斷點的數(shù)據(jù)為特大值，小于下截斷點的數(shù)據(jù)為特小值，兩者皆為異常值。13判斷異常值的方法稱為數(shù)據(jù)的上、下截斷點。大于上截斷點的數(shù)據(jù)為例1.3考慮下列樣本：

53113178方差、標準差、變異系數(shù)、極差、四分位極差，并分析是否由異常值。解：14例1.3考慮下列樣本：解：14次序統(tǒng)計量13357811上、下截斷點結論：該樣本數(shù)據(jù)中無異常值15次序統(tǒng)計量13357例1.4求數(shù)據(jù)（見課本P5例1.1）的方差、標準差、變異系數(shù)、極差、四分位極差，并分析是否由異常值。解：通過計算得結論：無異常值16例1.4求數(shù)據(jù)（見課本P5例1.1）的方差、標準差、變異系例1.5求數(shù)據(jù)（見課本P5例1.2）的方差、標準差、變異系數(shù)、極差、四分位極差，并分析是否由異常值。解：通過計算得結論：84.3為異常值17例1.5求數(shù)據(jù)（見課本P5例1.2）的方差、標準差、變異系將84.3剔除，再進行計算得比較未剔除前結論：剔除異常值后，均值與中位數(shù)更為接近；上、下四分位數(shù)與四分位極差未發(fā)生改變，說明其抗擾性好；方差、標準差缺乏抗擾性。18將84.3剔除，再進行計算得比較未剔除前結論：剔除異常值后，偏度§1.1.3表示分布形狀的數(shù)字特征計算公式k階原點矩k階中心矩顯然，一階原點矩ν1即均值其中s是標準差。偏度刻畫數(shù)據(jù)的對稱性。19偏度§1.1.3表示分布形狀的數(shù)字特征計算公式k階原點矩k注意：1、關于均值對稱的數(shù)據(jù)其偏度為0；2、正的偏度表示位于均值右側的數(shù)據(jù)較為分散；3、負的偏度說明位于均值左側的數(shù)據(jù)較為分散。見課本P3圖1.120注意：1、關于均值對稱的數(shù)據(jù)其偏度為0；見課本P3圖1.12峰度§1.1.3表示分布形狀的數(shù)字特征計算公式峰度以正態(tài)分布為標準，比較兩側極端數(shù)據(jù)分布情況的指標。21峰度§1.1.3表示分布形狀的數(shù)字特征計算公式峰若峰度大于零，則表示數(shù)據(jù)中含有較多遠離均值的極端數(shù)值，此時分布有一個沉重的尾巴（或稱粗尾）；若峰度小于零，則表示均值兩側的極端數(shù)據(jù)較少；峰度可作為偏離正態(tài)分布的尺度。22若峰度大于零，則表示數(shù)據(jù)中含有較多遠離均值的極端數(shù)值例1.6求數(shù)據(jù)（見課本P5例1.2）的偏度、峰度。解：通過計算得從結果看來，偏度和峰度的絕對值均較小，可以看作數(shù)據(jù)取自正態(tài)總體。23例1.6求數(shù)據(jù)（見課本P5例1.2）的偏度、峰度。解：通過設數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn是由總體X中得到的樣本觀測值，總體的分布函數(shù)是F(x)§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征當X為離散型時，總體的分布可由概率分布列描述：當X為連續(xù)型時，總體的分布可由概率函數(shù)f(x)刻畫舉例正態(tài)分布概率密度函數(shù)分布函數(shù)24設數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn是由總體X中得到的樣本觀設總體均值為μ=E(X)，由大數(shù)定律，當n較大時，樣本均值可以作為總體均值的估計，即當n充分大，的ξp為總體分布F(x)的p分位數(shù)。設總體分布F(x)是連續(xù)型分布，0<p<1，稱滿足考慮總體p分位數(shù)ξp唯一的情況，在一定條件下，樣本的p分位數(shù)Mp是總體p分位數(shù)ξp的相合估計，因此，當n充分大時§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征25設總體均值為μ=E(X)，由大數(shù)定律，當n較大時，樣本均§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征數(shù)據(jù)的方差s2、標準差s、變異系數(shù)CV分別是總體方差σ2=Var(X)、總體標準差σ=sqrt(Var(X))、總體變異系數(shù)r=σ/μ的相合估計：即當樣本容量n充分大時，有正態(tài)總體N(μ,σ2)的上、下四分位數(shù)

總體四分位極差26§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征數(shù)據(jù)的方差s§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征

總體偏度是度量總體分布是否偏向某一側的指標1、對稱分布的偏度為0；2、總體分布向右側擴展，偏度為正；3、總體分布向左側擴展，偏度為負；見課本P4圖1.2其中μ3=E(X-μ)3為總體X的3階中心矩。27§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征總體偏度是度§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征

總體峰度是以同方差的正態(tài)分布為標準，比較總體分布尾部分散性的指標1、當總體分布是正態(tài)分布時，總體峰度G2=0；2、當G2>0，總體分布中極端數(shù)值分布范圍較廣；3、當G2<0，總體分布中極端數(shù)值分布范圍較少；見課本P4圖1.3其中μ4=E(X-μ)4為總體X的4階中心矩。28§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征總體峰度是以例1.71952~1997年我國人均生產總值數(shù)據(jù)見課本P7表1.2(單位：元）,計算這批數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，并找出異常值。解：通過計算得1、s2、s較大，說明數(shù)據(jù)分散性較大；2、數(shù)據(jù)分布圖像明顯偏右，且右端出現(xiàn)很多極端值3、存在異常值：2287、2939、3923、4854、5576、607929例1.71952~1997年我國人均生產總值數(shù)據(jù)見課本P7設ξ1,ξ2,…是一列獨立同分布的隨機變量，且數(shù)學期望存在：Eξi=a，i=1,2,…則對任意的ε>0，有

成立。辛欽大數(shù)定律30設ξ1,ξ2,…是一列獨立同分布的隨機變量，且數(shù)學相合估計（一致估計）設對每個自然數(shù)n，是θ的估計量，若依概率收斂于θ，即對任意ε>0，有

則稱為θ的相合估計。31相合估計（一致估計）設對每個自然數(shù)n，§1.2數(shù)據(jù)的分布數(shù)據(jù)分布的描述方法直方圖、莖葉圖、理論分布分布擬合檢驗和正態(tài)性檢驗32§1.2數(shù)據(jù)的分布數(shù)據(jù)分布的描述方法32§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖首先將數(shù)據(jù)取值的范圍分成若干區(qū)間（一般是等間隔的），每個區(qū)間的長度稱為組距。考察數(shù)據(jù)落入每個區(qū)間的頻數(shù)或頻率，在每個區(qū)間上畫一矩形，相應寬度是組距，高度可以是頻數(shù)、頻率或頻率/組距。

在高度是頻率/組距的情況，每一矩形的面積恰是數(shù)據(jù)落入相應區(qū)間的頻率，這種直方圖可以估計總體的概率密度。直方圖proccapability過程33§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖首先將數(shù)例1.8利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),作直方圖。作直方圖的基本語句PROCCAPABILITYoptions;HISTOGRAMvariable/options;PROCCAPABILITYoptions,選項為①DATA=SASdataset:指定所分析的SAS數(shù)據(jù)集名稱；②GRAPHICS：指明作高分辨率圖形。缺省時將輸出由字符構成的低分辨率圖形；③NOPRINT：取消PROCUNIVARIATE過程統(tǒng)計量的輸出。(2)HISTOGRAMvariable/options,關于變量variable作出直方圖，其中選項為①MIDPOINTS=values:設置分組區(qū)間的中點值。（缺省自動設置）②VSCALE=scale：標注每個區(qū)間的高度，其中scale可選count、percent和proportion之一，缺省為percent。34例1.8利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),作直方圖。作直方圖的直方圖35直方圖35§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖參數(shù)分布擬合在限定的參數(shù)分布類（如正態(tài)分布）中通過對參數(shù)的估計，用估計的參數(shù)所對應的密度曲線去擬合直方圖頂部的形態(tài)。SAS系統(tǒng)提供的參數(shù)分布類型見課本P12，其中正態(tài)分布最為常見(2)HISTOGRAMvariable/options,關于變量variable作出直方圖，其中選項為③NORMAL/LOGNORMAL/EXPONENTIAL/GAMMA/WEIBULL/BETA之一：在直方圖上擬合指定分布的概率密度函數(shù)曲線36§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖參數(shù)分布擬合例1.8利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),擬合正態(tài)分布曲線。37例1.8利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),擬合正態(tài)分布曲線。3§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖設來自總體分布F(x)的樣本x1,x2,…,xn,其次序統(tǒng)計量是x(1),x(2),…,x(n).經(jīng)驗分布函數(shù)是經(jīng)驗分布函數(shù)注意：（1）Fn(x)是非降的階梯函數(shù)，在x(i)處的躍度是1/n（若x(i)重復取值k次，則躍度為k/n);（2）Fn(x)是總體分布函數(shù)的相合估計，即當n充分大時，F(xiàn)(x)≈Fn(x).38§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖設來自總例1.9利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),作經(jīng)驗分布函數(shù)圖，并擬合正態(tài)分布函數(shù)曲線作經(jīng)驗分布曲線及擬合的分布曲線的基本語句PROCCAPABILITYoptions;CDFPLOTvariable/options;(2)CDFPLOTvariable/options,關于變量variable作出經(jīng)驗分布曲線，其中選項為NORMAL/LOGNORMAL/EXPONENTIAL/GAMMA/WEIBULL/BETA之一。39例1.9利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),作經(jīng)驗分布函數(shù)圖，并經(jīng)驗分布函數(shù)及正態(tài)擬合曲線40經(jīng)驗分布函數(shù)及正態(tài)擬合曲線40§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖假定總體分布為正態(tài)分布N(μ,σ2),對于樣本是x1,x2,…,xn,其次序統(tǒng)計量是x(1),x(2),…,x(n).設Φ(x)是標準正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)，Φ-1(x)是其反函數(shù)，對應正態(tài)分布的QQ圖是由以下的點構成的散點圖：QQ圖41§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖假定總體分§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖若樣本數(shù)據(jù)近似于正態(tài)分布，在QQ圖上這些點近似在直線y=σx+μ附近。這里σ、μ分別是正態(tài)分布的標準差和期望。QQ圖42§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖若樣本數(shù)據(jù)例1.10利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),作正態(tài)QQ圖，并從直觀上鑒別樣本數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)分布總體；作QQ圖的基本語句PROCCAPABILITYoptions;QQPLOTvariable/options;(2)QQPLOTvariable/options,關于變量variable作出QQ圖，其中選項為NORMAL/LOGNORMAL/EXPONENTIAL/GAMMA/WEIBULL/BETA之一。43例1.10利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),作正態(tài)QQ圖，并從QQ圖44QQ圖44§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖從QQ圖觀察樣本偏度和峰度45§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖從QQ圖觀察樣本偏§1.2.2莖葉圖解：第一個數(shù)25的十位數(shù)字為2，個位數(shù)字為5，中間用“|”分開，即25--->2|5每個數(shù)都這樣處理。莖葉圖的制作步驟：將十位數(shù)字2,3,4,5,6,7,8,9,10按縱列從上到下排列，在縱列右側從上到下畫一豎線，再在豎線右側由小到大依次寫上具有相同十位數(shù)的原數(shù)據(jù)的相應個位數(shù)，在最后一列寫出位于同一行的數(shù)據(jù)的頻數(shù)。例1.11某班有31名學生，某門課程的考試成績見課本P16例1.11,作出莖葉圖。46§1.2.2莖葉圖解：第一個數(shù)25的十位數(shù)字為2，個位數(shù)字§1.2.2莖葉圖莖葉圖中，豎線左邊作為數(shù)據(jù)前導數(shù)位的串視為“莖”，每一行豎線右側尾隨的數(shù)字視為“葉”。頻數(shù)2513451504536148372558958134445666799913901124100147§1.2.2莖葉圖莖葉圖中，豎線左邊作為數(shù)據(jù)前§1.2.2莖葉圖總結：（1）莖葉圖與直方圖均可以直觀的反映數(shù)據(jù)的分布情況，在莖葉圖中，可以看出數(shù)據(jù)是否接近對稱、分散性如何、是否有異常數(shù)據(jù)、是否有間隙等；（2）利用莖葉圖可以看出由原始數(shù)據(jù)得到的次序統(tǒng)計量。48§1.2.2莖葉圖總結：（1）莖葉圖與直方圖均可以直觀§1.2.2莖葉圖例1.12鉛壓鑄件硬度數(shù)據(jù)見課本P16例1.12,作出數(shù)據(jù)的莖葉圖。PROCUNIVARIATEoptions;其中選項為49§1.2.2莖葉圖例1.12鉛壓鑄件硬度數(shù)據(jù)見課本P16§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗檢驗統(tǒng)計量為例1.13設x1,x2,…,xn是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)樣本，假設檢驗：在H0成立時，t服從自由度為n-1的t分布t(n-1).正態(tài)性檢驗50§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗檢驗統(tǒng)計量為例1.13§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗對給定的顯著水平α，設tα/2(n-1)是t(n-1)的上側α/2分位數(shù)，則當|t|>tα/2(n-1)時，拒絕H0；否則，接受H0。51§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗對給定的顯著水§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗tα/2(n-1)滿足P{|t|>tα/2(n-1)}=α對于具體計算得到的t值t0，若|t0|>tα/2(n-1)，拒絕H0；否則接受H0。對大量重復試驗，t是隨機變量，且服從t(n-1).當|t0|>tα/2(n-1)時，有P{|t|≥|t0|}<P{|t|>tα/2(n-1)}=α令p=P{|t|≥|t0|}

稱為上述檢驗問題的p值。52§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗tα/2(n-1)滿足§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗注意到：“|t0|>tα/2(n-1)”與“p<α”等價假設檢驗的P值方法對給定的顯著水平α，當p<α時，拒絕H0；否則接受H0。P值方法的優(yōu)點：避免了查檢驗統(tǒng)計量的臨界值表，由“p<α”或“p≥α”即可得到檢驗問題的結論。53§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗注意到：“|t0|>§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗χ2統(tǒng)計量1.

χ2檢驗法其中n為樣本容量，l是分組數(shù)，Oi=mi，Ei=npi為樣本落入第i組的頻數(shù)與樣本在第i組的理論頻數(shù)，pi是數(shù)據(jù)落入第i組的概率，其值可根據(jù)原假設指定的分布求得。分布擬合檢驗原理基于對數(shù)據(jù)按其取值范圍進行分組后計算頻數(shù)的基礎上，考察每個區(qū)間的實際頻數(shù){mi}與理論頻數(shù){npi}的差異作出判斷54§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗χ2統(tǒng)計量1.χ2檢設pi是原假設H0為真時，服從F0(x)的隨機變量取值于第i個區(qū)間(ai-1,ai]的概率，即1.

χ2檢驗法假設檢驗問題為將實軸分為l個區(qū)間，分點滿足得l個區(qū)間55設pi是原假設H0為真時，服從F0(x)的隨機變量取值于第i設k是F0(x)中待估計參數(shù)的個數(shù)，例如，原假設是正態(tài)分布，其中均值μ與方差σ2待估計，此時k=2.1.

χ2檢驗法從而得到檢驗統(tǒng)計量χ256設k是F0(x)中待估計參數(shù)的個數(shù)，1.χ2檢驗法統(tǒng)計學研究表明：當樣本容量n充分大且原假設H0為真時，χ2統(tǒng)計量近似服從自由度為l-k-1的χ2分布，即χ2～χ2（l-k-1)

1.

χ2檢驗法給定顯著水平α，設由樣本觀測值計算得到的χ2值是，令則當p<α時，拒絕H0；否則接受H0。一般來說，若H0為真，χ2值較小，否則有偏大的趨勢57統(tǒng)計學研究表明：當樣本容量n充分大且原假設H0為真時，χ2§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗2.

經(jīng)驗分布擬合檢驗方法檢驗分布函數(shù)Fn(x)是總體分布函數(shù)F(x)的估計。假設檢驗問題為目的尋找Fn(x)與假設的總體分布函數(shù)F0(x)之間的差異58§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗2.經(jīng)驗分布擬合檢驗2.

經(jīng)驗分布擬合檢驗常用統(tǒng)計量KolmogorovD統(tǒng)計量A-D統(tǒng)計量C-vonM統(tǒng)計量一般來說，若H0為真，上述統(tǒng)計量值均較小，否則有偏大的趨勢592.經(jīng)驗分布擬合檢驗常用統(tǒng)計量KolmogorovD統(tǒng)計2.

經(jīng)驗分布擬合檢驗P值方法設由樣本觀測x1,x2,…,xn求得的KolmogorovD統(tǒng)計量、A-D統(tǒng)計量、C-vonM統(tǒng)計量的值分別是.令則對給定顯著水平α，（1）K-S檢驗：當p1<α時，拒絕H0；否則接受H0。（2）A-D檢驗：當p2<α時，拒絕H0；否則接受H0。（3）C-M檢驗：當p3<α時，拒絕H0；否則接受H0。602.經(jīng)驗分布擬合檢驗P值方法設由樣本觀測x1,x2,…§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗3.

正態(tài)性W檢驗方法設樣本觀測值為x1,x2,…,xn,其次序統(tǒng)計量是x(1),x(2),…,x(n).計算校正平方和又計算一般的當n是偶數(shù)時,1≤i≤k=n/2;當n是奇數(shù)時,1≤i≤k=n-1/261§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗3.正態(tài)性W檢驗方法3.

正態(tài)性W檢驗方法將di與系數(shù)ai（有表可查）相乘并求和，得計算注意W統(tǒng)計量總滿足0<W≤1.當H0成立時，W值接近1，否則趨近0。給定顯著水平α，設由樣本觀測值計算得到的W值是，令則當p<α時，拒絕H0；否則接受H0。623.正態(tài)性W檢驗方法將di與系數(shù)ai（有表可查）相乘§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗4.

SAS實現(xiàn)（1）正態(tài)性W檢驗方法procunivariate（2）χ2檢驗法proccapability（3）經(jīng)驗分布擬合檢驗proccapability63§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗4.SAS實現(xiàn)（1）例1.14對P5例1.2的數(shù)據(jù)作:（1）正態(tài)性W檢驗；（2）關于正態(tài)分布假設的χ2檢驗；（3）關于正態(tài)分布假設的幾種經(jīng)驗分布擬合檢驗。64例1.14對P5例1.2的數(shù)據(jù)作:64例1.15對P16例1.11的數(shù)據(jù)作:（1）正態(tài)性W檢驗；（2）若不接受總體為正態(tài)分布，選取一種合適的分布類型，作經(jīng)驗分布擬合檢驗。65例1.15對P16例1.11的數(shù)據(jù)作:65§1.3多維數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與相關分析多元總體：§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)設(X,Y)T是二元總體，樣本觀測值為(x1,y1)T,(x2,y2)T,…,(xn,yn)T，引進數(shù)據(jù)觀測矩陣66§1.3多維數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與相關分析多元總體：§1.3.1§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)記記則，稱為二元觀測數(shù)據(jù)的均值向量。稱sxx為變量X的觀測數(shù)據(jù)的方差，稱syy為變量Y的觀測數(shù)據(jù)的方差，稱sxy為變量X,Y的觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差。67§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)記記則§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)稱為觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣。注意：(1)協(xié)方差矩陣總是對稱的(2)協(xié)方差矩陣總是非負定的，一般是正定的由Schwarz不等式68§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)稱為觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方相關系數(shù)計算公式（2）相關系數(shù)rxy是隨機變量X,Y的觀測數(shù)據(jù)的兩個分量線性相關性密切程度的度量?！?.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)注意：（1）當rxy=0(或rxy≈0)時，稱X,Y的觀測數(shù)據(jù)不相關（或近似不相關）當0<rxy<1時，稱X,Y的觀測數(shù)據(jù)線性正相關當-1<rxy<0時，稱X,Y的觀測數(shù)據(jù)線性負相關當|rxy|=1時，稱X,Y的觀測數(shù)據(jù)完全線性相關69相關系數(shù)計算公式（2）相關系數(shù)rxy是隨機變量X,Y7070§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)設二元總體(X,Y)T的分布函數(shù)是F(x,y)，總體協(xié)方差是Cov(X,Y)，Var(X),Var(Y)是X,Y的方差，總體的相關系數(shù)是ρxy由于觀測數(shù)據(jù)的相關系數(shù)rxy是總體相關系數(shù)ρxy的相合估計，故當n充分大時，有ρxy≈rxy71§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)設二元總§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)假設檢驗可以證明，當(X,Y)T是二元正態(tài)總體，且H0成立時，統(tǒng)計量服從自由度為n-2的t分布t(n-2)72§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)假設檢驗可以§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)對給定的顯著水平α，當p<α時，拒絕H0；否則接受H0。當拒絕H0時，認為算得的相關系數(shù)rxy有實際意義。以上定義的觀測數(shù)據(jù)的相關系數(shù)rxy稱為Pearson相關系數(shù)。設由實際觀測數(shù)據(jù)算得的相關系數(shù)值為，按上述公式算得的t值為t0，則p值為p=P{|t|≥|t0|}73§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)對給定的Spearman相關系數(shù)§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)設是從一元總體抽取的容量為n的樣本，其次序統(tǒng)計量是若xi=x(k)，則稱k是xi在樣本中的秩，記作Ri，對每一個i=1,2,…,n，稱為Ri是第i個秩統(tǒng)計量，R1,R2,…,Rn總稱為秩統(tǒng)計量。74Spearman相關系數(shù)§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及Spearman相關系數(shù)§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)例如，對樣本數(shù)據(jù)-0.8-3.11.1-5.24.2次序統(tǒng)計量是-5.2-3.1-0.81.14.2秩統(tǒng)計量是32415注意：當觀測數(shù)據(jù)中有兩個觀測值相等，則相應的秩統(tǒng)計量不能唯一確定。75Spearman相關系數(shù)§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)例如，對樣本數(shù)據(jù)-0.8-3.1-0.8次序統(tǒng)計量是-3.1-0.8-0.8秩統(tǒng)計量是213或312注意：通常對相同的觀測值，其秩取它們秩的平均值故上述樣本的秩統(tǒng)計量是

2.512.576§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)例如，對樣本數(shù)據(jù)Spearman相關系數(shù)§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)對于二元總體(X,Y)T的樣本觀測數(shù)據(jù)(x1,y1)T,(x2,y2)T,…,(xn,yn)T，可得各分量X,Y的一元樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn與y1,y2,…,yn.設x1,x2,…,xn的秩統(tǒng)計量是R1，R2，…，Rny1,y2,…,yn的秩統(tǒng)計量是S1，S2，…，Sn當X,Y聯(lián)系比較緊密時，這兩組秩統(tǒng)計量聯(lián)系也緊密77Spearman相關系數(shù)§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及Spearman相關系數(shù)計算公式§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)其中由秩的定義可知，78Spearman相關系數(shù)計算公式§1.3.1二元數(shù)Spearman相關系數(shù)§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)同理，經(jīng)過整理化簡這里di=Ri-Si，i=1，2，…，n.假設檢驗79Spearman相關系數(shù)§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及例1.16對P37例1.22的數(shù)據(jù)作:（1）求二維觀測數(shù)據(jù)的均值向量和協(xié)方差矩陣S；（2）計算Pearson相關系數(shù)并檢驗假設（3）計算Spearman相關系數(shù)并檢驗上述假設。PROCCORRoptions;選項為①DATA=SASdataset:指定所分析的SAS數(shù)據(jù)集名稱；②PEARSON：輸出Pearson相關系數(shù)（默認）；③SPEARMAN：輸出Spearman秩相關系數(shù)；④COV：計算協(xié)方差矩陣；⑤NOSIMPLE：不輸出每個變量的簡單描述統(tǒng)計量的值。80例1.16對P37例1.22的數(shù)據(jù)作:PROCCOR§1.3多維數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與相關分析§1.3.2多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關矩陣設是p元總體，樣本觀測數(shù)據(jù)第i個觀測數(shù)據(jù)記為稱為樣品。81§1.3多維數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與相關分析§1.3.2多元數(shù)據(jù)§1.3.2多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關矩陣引進數(shù)據(jù)觀測矩陣記有82§1.3.2多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關矩陣引進數(shù)據(jù)觀測矩陣記（1）第j行x(j)的均值§1.3.2多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關矩陣（2）第j行x(j)的方差注意：（3）x(j),x(k)的協(xié)方差83（1）第j行x(j)的均值§1.3.2多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及均值向量§1.3.2多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關矩陣協(xié)方差矩陣有84均值向量§1.3.2多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關矩陣協(xié)方差矩陣§1.3.2多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關矩陣注意：rjj=1,|rjk|≤1（4）x(j)與x(k)的相關系數(shù)相關矩陣85§1.3.2多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關矩陣注意：rjj=1,§1.3.2多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關矩陣記注意：①相關矩陣R刻畫了變量之間線性聯(lián)系的密切程度；②S及R為非負定的，通常是正定的則86§1.3.2多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關矩陣記注意：則86§1.3.2多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關矩陣（5）Spearman相關矩陣注意：①Spearman相關矩陣Q適于研究具有一般分布的p元總體，且對有異常值的觀測數(shù)據(jù)，具有穩(wěn)健性；②Q為非負定的，通常是正定的87§1.3.2多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關矩陣（5）Spearm§1.3.3總體的數(shù)字特征及相關矩陣設是p元總體，其總體分布函數(shù)是F(x1,x2,…,xp)=F(x)，其中x=(x1,x2,…,xp)T.在連續(xù)型總體存在概率密度f(x1,x2,…,xp)=f(x),其中x=(x1,x2,…,xp)T.總體均值令μi=E(Xi),i=1,2,…,pμ=(μ1,μ2,…,μp)T總體協(xié)方差矩陣其中特別的，當j=k時88§1.3.3總體的數(shù)字特征及相關矩陣設Xj,Xk的相關系數(shù)計算公式§1.3.3總體的數(shù)字特征及相關矩陣相關矩陣注意：ρjj=1,|ρjk|≤189Xj,Xk的相關系數(shù)計算公式§1.3.3總體的數(shù)字記注意：Σ及ρ為非負定的，通常是正定的則§1.3.3總體的數(shù)字特征及相關矩陣90記注意：Σ及ρ為非負定的，通常是正定的則§1.3.3總體的§1.3.3總體的數(shù)字特征及相關矩陣在多元數(shù)據(jù)分析中，樣本數(shù)據(jù)的均值向量、協(xié)方差矩陣S及相關矩陣R分別是總體的均值向量μ、協(xié)方差矩陣Σ及相關矩陣ρ的相合估計，即當樣本容量n充分大時，有91§1.3.3總體的數(shù)字特征及相關矩陣在多元數(shù)據(jù)分析§1.3.3總體的數(shù)字特征及相關矩陣在統(tǒng)計學中，當μ、Σ未知時，均值向量、協(xié)方差矩陣S為μ、Σ的無偏估計。92§1.3.3總體的數(shù)字特征及相關矩陣在統(tǒng)計學中中位數(shù)向量令Mj表示Xj的中位數(shù)§1.3.3總體的數(shù)字特征及相關矩陣M=(M1,M2,…,Mp)T注意：M為均值向量μ的穩(wěn)健性估計Spearman相關矩陣是總體相關矩陣ρ的穩(wěn)健性估計93中位數(shù)向量令Mj表示Xj的中位數(shù)§1.3.3總體的例1.17對P40例1.25的數(shù)據(jù)作:（1）計算均值向量、中位數(shù)向量M；（2）計算Pearson相關矩陣R及Spearman相關矩陣Q及對應的p值，并作相關統(tǒng)計分析；PROCCORRoptions;94例1.17對P40例1.25的數(shù)據(jù)作:PROCCOR小結?基本內容：?數(shù)據(jù)的數(shù)字特征：位置特征（均值、中位數(shù)、分位數(shù)、三均值），分散性特征（方差、標準差、極差及四分位極差），分布形狀特征（偏度、峰度），關聯(lián)性（Pearson相關系數(shù)、Spearman相關系數(shù)）等；?數(shù)據(jù)的分布特征：直方圖，莖葉圖，經(jīng)驗分布函數(shù)；?多維正態(tài)分布及性質；?分布擬合檢驗：QQ圖檢驗，Pearson卡方檢驗、

Kolmogorov-Smirnov檢驗、Anderson-Darling檢驗、Cramer-vonMises檢驗等。95小結95?重點或難點：?學會利用數(shù)據(jù)的描述性分析對數(shù)據(jù)的各種特性作初步了解，尤其是結合SAS軟件學會數(shù)據(jù)分布的擬合檢驗；?QQ圖：將數(shù)據(jù)按由小到大的順序排列得次序統(tǒng)計量，設某個給定的分布的分位數(shù)為則以

為點的坐標的散點圖稱為該分布的QQ圖。若數(shù)據(jù)來自該分布，則這些點應大致在一條直線上。以此檢驗數(shù)據(jù)是否服從某一給定的分布。

96?重點或難點：96?檢驗p-值：設檢驗某對假設的檢驗統(tǒng)計量為,其觀察值為t，則檢驗的p-值定義為

在原假設為真時，檢驗統(tǒng)計量取其觀察值或更有利于被擇假設的值的概率?！纾喝魴z驗統(tǒng)計量的值越大（?。?，越應拒絕原假設（即越有利于被擇假設），則檢驗p-值為或

▲若檢驗統(tǒng)計量的零分布對稱，且其絕對值越大，越應拒絕原假設，則檢驗p-值為97?檢驗p-值：設檢驗某對假設的檢驗第一章數(shù)據(jù)描述性分析數(shù)字特征分布特征多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與相關分析（位置特性、分散性、分布形狀）（反映數(shù)據(jù)整體結構）98第一章數(shù)據(jù)描述性分析數(shù)字特征分布特征多元數(shù)據(jù)的數(shù)字特§1.1一維數(shù)據(jù)的數(shù)字特征設有n個一維數(shù)據(jù)：它們是從所研究的對象（總體）X中觀測得到的，這n個值稱為樣本觀測值，n稱為樣本容量。數(shù)據(jù)分析的任務：對樣本觀測值進行分析，提取數(shù)據(jù)中所包含的有用信息，進一步對總體的信息做出判斷。數(shù)字特征：數(shù)據(jù)的集中位置、分散程度、數(shù)據(jù)分布的形狀特征等99§1.1一維數(shù)據(jù)的數(shù)字特征設有n個一維數(shù)據(jù)：它們是從所研究§1.1.1表示位置的數(shù)字特征均值即的平均數(shù)表示數(shù)據(jù)的集中位置缺點：缺乏抗擾性（穩(wěn)健性）設是n個觀測值，將它們從小到大記為稱它們?yōu)榇涡蚪y(tǒng)計量。顯然，最小次序統(tǒng)計量x(1)與最大次序統(tǒng)計量x(n)分別為100§1.1.1表示位置的數(shù)字特征均值即§1.1.1表示位置的數(shù)字特征中位數(shù)表示數(shù)據(jù)的中心位置計算公式注意：1、對于對稱分布的數(shù)據(jù)，均值和中位數(shù)較接近；而其它分布的數(shù)據(jù)，二者不同。2、具有穩(wěn)健性101§1.1.1表示位置的數(shù)字特征中位數(shù)表示數(shù)據(jù)的中心位置計算§1.1.1表示位置的數(shù)字特征分位數(shù)其中[np]為np的整數(shù)部分。當p=1時，定義M1=x(n).對0≤p<1,數(shù)據(jù)x1,x2,……,xn的p分位數(shù)是注意：1、大體上整個樣本的100p%的觀測值不超過p分位數(shù)。2、0.5分位數(shù)M0.5（第50百分位數(shù)）就是中位數(shù)M。p分位數(shù)又稱為第100p百分數(shù)。102§1.1.1表示位置的數(shù)字特征分位數(shù)其中[np]為np的整常用的分位數(shù)它們分別稱為上、下四分位數(shù)，并分別簡記為

0.75分位數(shù)M0.75（第75百分位數(shù)）

0.25分位數(shù)M0.25（第25百分位數(shù)）總結：1、均值計算用到了樣本的全部信息；2、中位數(shù)M僅用到了數(shù)據(jù)分布中的部分信息；3、在正常情況下，均值比中位數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中位置要優(yōu)；4、當存在異常數(shù)據(jù)時，均值缺乏穩(wěn)健性，而中位數(shù)具有很強的穩(wěn)健性。103常用的分位數(shù)它們分別稱為上、下四分位數(shù)，并分別簡記為0三均值計算公式§1.1.1表示位置的數(shù)字特征104三均值計算公式§1.1.1表示位置的數(shù)字特征7例1.1考慮下列樣本：

53113178計算均值、中位數(shù)、上、下四分位數(shù)，M0.99，M0.95，M0.90，M0.10，M0.05，M0.01分位數(shù)及三均值。解：次序統(tǒng)計1.1考慮下列樣本：解：次序統(tǒng)計量13次序統(tǒng)計量13357811M0.95=11，M0.90=11，M0.10=1，M0.05=1106次序統(tǒng)計量13357例1.2某單位對100名女學生測定血清總蛋白含量（g/L）,具體數(shù)據(jù)見課本P5例1.2計算均值、中位數(shù)、上、下四分位數(shù)，M0.99，M0.95，M0.90，M0.10，M0.05，M0.01分位數(shù)及三均值。example1_2107例1.2某單位對100名女學生測定血清總蛋白含量（g/L）方差、標準差、變異系數(shù)§1.1.2表示分散性的數(shù)字特征方差：相對于均值的偏差平方的平均標準差：方差的算術平方根變異系數(shù)：刻畫數(shù)據(jù)相對分散性108方差、標準差、變異系數(shù)§1.1.2表示分散性的數(shù)字特征方差極差、四分位極差§1.1.2表示分散性的數(shù)字特征極差四分位極差注意：以上兩種度量均具有抗擾性109極差、四分位極差§1.1.2表示分散性的數(shù)字特征極判斷異常值的方法稱為數(shù)據(jù)的上、下截斷點。大于上截斷點的數(shù)據(jù)為特大值，小于下截斷點的數(shù)據(jù)為特小值，兩者皆為異常值。110判斷異常值的方法稱為數(shù)據(jù)的上、下截斷點。大于上截斷點的數(shù)據(jù)為例1.3考慮下列樣本：

53113178方差、標準差、變異系數(shù)、極差、四分位極差，并分析是否由異常值。解：111例1.3考慮下列樣本：解：14次序統(tǒng)計量13357811上、下截斷點結論：該樣本數(shù)據(jù)中無異常值112次序統(tǒng)計量13357例1.4求數(shù)據(jù)（見課本P5例1.1）的方差、標準差、變異系數(shù)、極差、四分位極差，并分析是否由異常值。解：通過計算得結論：無異常值113例1.4求數(shù)據(jù)（見課本P5例1.1）的方差、標準差、變異系例1.5求數(shù)據(jù)（見課本P5例1.2）的方差、標準差、變異系數(shù)、極差、四分位極差，并分析是否由異常值。解：通過計算得結論：84.3為異常值114例1.5求數(shù)據(jù)（見課本P5例1.2）的方差、標準差、變異系將84.3剔除，再進行計算得比較未剔除前結論：剔除異常值后，均值與中位數(shù)更為接近；上、下四分位數(shù)與四分位極差未發(fā)生改變，說明其抗擾性好；方差、標準差缺乏抗擾性。115將84.3剔除，再進行計算得比較未剔除前結論：剔除異常值后，偏度§1.1.3表示分布形狀的數(shù)字特征計算公式k階原點矩k階中心矩顯然，一階原點矩ν1即均值其中s是標準差。偏度刻畫數(shù)據(jù)的對稱性。116偏度§1.1.3表示分布形狀的數(shù)字特征計算公式k階原點矩k注意：1、關于均值對稱的數(shù)據(jù)其偏度為0；2、正的偏度表示位于均值右側的數(shù)據(jù)較為分散；3、負的偏度說明位于均值左側的數(shù)據(jù)較為分散。見課本P3圖1.1117注意：1、關于均值對稱的數(shù)據(jù)其偏度為0；見課本P3圖1.12峰度§1.1.3表示分布形狀的數(shù)字特征計算公式峰度以正態(tài)分布為標準，比較兩側極端數(shù)據(jù)分布情況的指標。118峰度§1.1.3表示分布形狀的數(shù)字特征計算公式峰若峰度大于零，則表示數(shù)據(jù)中含有較多遠離均值的極端數(shù)值，此時分布有一個沉重的尾巴（或稱粗尾）；若峰度小于零，則表示均值兩側的極端數(shù)據(jù)較少；峰度可作為偏離正態(tài)分布的尺度。119若峰度大于零，則表示數(shù)據(jù)中含有較多遠離均值的極端數(shù)值例1.6求數(shù)據(jù)（見課本P5例1.2）的偏度、峰度。解：通過計算得從結果看來，偏度和峰度的絕對值均較小，可以看作數(shù)據(jù)取自正態(tài)總體。120例1.6求數(shù)據(jù)（見課本P5例1.2）的偏度、峰度。解：通過設數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn是由總體X中得到的樣本觀測值，總體的分布函數(shù)是F(x)§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征當X為離散型時，總體的分布可由概率分布列描述：當X為連續(xù)型時，總體的分布可由概率函數(shù)f(x)刻畫舉例正態(tài)分布概率密度函數(shù)分布函數(shù)121設數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn是由總體X中得到的樣本觀設總體均值為μ=E(X)，由大數(shù)定律，當n較大時，樣本均值可以作為總體均值的估計，即當n充分大，的ξp為總體分布F(x)的p分位數(shù)。設總體分布F(x)是連續(xù)型分布，0<p<1，稱滿足考慮總體p分位數(shù)ξp唯一的情況，在一定條件下，樣本的p分位數(shù)Mp是總體p分位數(shù)ξp的相合估計，因此，當n充分大時§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征122設總體均值為μ=E(X)，由大數(shù)定律，當n較大時，樣本均§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征數(shù)據(jù)的方差s2、標準差s、變異系數(shù)CV分別是總體方差σ2=Var(X)、總體標準差σ=sqrt(Var(X))、總體變異系數(shù)r=σ/μ的相合估計：即當樣本容量n充分大時，有正態(tài)總體N(μ,σ2)的上、下四分位數(shù)

總體四分位極差123§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征數(shù)據(jù)的方差s§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征

總體偏度是度量總體分布是否偏向某一側的指標1、對稱分布的偏度為0；2、總體分布向右側擴展，偏度為正；3、總體分布向左側擴展，偏度為負；見課本P4圖1.2其中μ3=E(X-μ)3為總體X的3階中心矩。124§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征總體偏度是度§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征

總體峰度是以同方差的正態(tài)分布為標準，比較總體分布尾部分散性的指標1、當總體分布是正態(tài)分布時，總體峰度G2=0；2、當G2>0，總體分布中極端數(shù)值分布范圍較廣；3、當G2<0，總體分布中極端數(shù)值分布范圍較少；見課本P4圖1.3其中μ4=E(X-μ)4為總體X的4階中心矩。125§1.1.4由樣本的數(shù)字特征推廣到總體的特征總體峰度是以例1.71952~1997年我國人均生產總值數(shù)據(jù)見課本P7表1.2(單位：元）,計算這批數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，并找出異常值。解：通過計算得1、s2、s較大，說明數(shù)據(jù)分散性較大；2、數(shù)據(jù)分布圖像明顯偏右，且右端出現(xiàn)很多極端值3、存在異常值：2287、2939、3923、4854、5576、6079126例1.71952~1997年我國人均生產總值數(shù)據(jù)見課本P7設ξ1,ξ2,…是一列獨立同分布的隨機變量，且數(shù)學期望存在：Eξi=a，i=1,2,…則對任意的ε>0，有

成立。辛欽大數(shù)定律127設ξ1,ξ2,…是一列獨立同分布的隨機變量，且數(shù)學相合估計（一致估計）設對每個自然數(shù)n，是θ的估計量，若依概率收斂于θ，即對任意ε>0，有

則稱為θ的相合估計。128相合估計（一致估計）設對每個自然數(shù)n，§1.2數(shù)據(jù)的分布數(shù)據(jù)分布的描述方法直方圖、莖葉圖、理論分布分布擬合檢驗和正態(tài)性檢驗129§1.2數(shù)據(jù)的分布數(shù)據(jù)分布的描述方法32§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖首先將數(shù)據(jù)取值的范圍分成若干區(qū)間（一般是等間隔的），每個區(qū)間的長度稱為組距。考察數(shù)據(jù)落入每個區(qū)間的頻數(shù)或頻率，在每個區(qū)間上畫一矩形，相應寬度是組距，高度可以是頻數(shù)、頻率或頻率/組距。

在高度是頻率/組距的情況，每一矩形的面積恰是數(shù)據(jù)落入相應區(qū)間的頻率，這種直方圖可以估計總體的概率密度。直方圖proccapability過程130§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖首先將數(shù)例1.8利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),作直方圖。作直方圖的基本語句PROCCAPABILITYoptions;HISTOGRAMvariable/options;PROCCAPABILITYoptions,選項為①DATA=SASdataset:指定所分析的SAS數(shù)據(jù)集名稱；②GRAPHICS：指明作高分辨率圖形。缺省時將輸出由字符構成的低分辨率圖形；③NOPRINT：取消PROCUNIVARIATE過程統(tǒng)計量的輸出。(2)HISTOGRAMvariable/options,關于變量variable作出直方圖，其中選項為①MIDPOINTS=values:設置分組區(qū)間的中點值。（缺省自動設置）②VSCALE=scale：標注每個區(qū)間的高度，其中scale可選count、percent和proportion之一，缺省為percent。131例1.8利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),作直方圖。作直方圖的直方圖132直方圖35§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖參數(shù)分布擬合在限定的參數(shù)分布類（如正態(tài)分布）中通過對參數(shù)的估計，用估計的參數(shù)所對應的密度曲線去擬合直方圖頂部的形態(tài)。SAS系統(tǒng)提供的參數(shù)分布類型見課本P12，其中正態(tài)分布最為常見(2)HISTOGRAMvariable/options,關于變量variable作出直方圖，其中選項為③NORMAL/LOGNORMAL/EXPONENTIAL/GAMMA/WEIBULL/BETA之一：在直方圖上擬合指定分布的概率密度函數(shù)曲線133§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖參數(shù)分布擬合例1.8利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),擬合正態(tài)分布曲線。134例1.8利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),擬合正態(tài)分布曲線。3§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖設來自總體分布F(x)的樣本x1,x2,…,xn,其次序統(tǒng)計量是x(1),x(2),…,x(n).經(jīng)驗分布函數(shù)是經(jīng)驗分布函數(shù)注意：（1）Fn(x)是非降的階梯函數(shù)，在x(i)處的躍度是1/n（若x(i)重復取值k次，則躍度為k/n);（2）Fn(x)是總體分布函數(shù)的相合估計，即當n充分大時，F(xiàn)(x)≈Fn(x).135§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖設來自總例1.9利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),作經(jīng)驗分布函數(shù)圖，并擬合正態(tài)分布函數(shù)曲線作經(jīng)驗分布曲線及擬合的分布曲線的基本語句PROCCAPABILITYoptions;CDFPLOTvariable/options;(2)CDFPLOTvariable/options,關于變量variable作出經(jīng)驗分布曲線，其中選項為NORMAL/LOGNORMAL/EXPONENTIAL/GAMMA/WEIBULL/BETA之一。136例1.9利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),作經(jīng)驗分布函數(shù)圖，并經(jīng)驗分布函數(shù)及正態(tài)擬合曲線137經(jīng)驗分布函數(shù)及正態(tài)擬合曲線40§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖假定總體分布為正態(tài)分布N(μ,σ2),對于樣本是x1,x2,…,xn,其次序統(tǒng)計量是x(1),x(2),…,x(n).設Φ(x)是標準正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)，Φ-1(x)是其反函數(shù)，對應正態(tài)分布的QQ圖是由以下的點構成的散點圖：QQ圖138§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖假定總體分§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖若樣本數(shù)據(jù)近似于正態(tài)分布，在QQ圖上這些點近似在直線y=σx+μ附近。這里σ、μ分別是正態(tài)分布的標準差和期望。QQ圖139§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖若樣本數(shù)據(jù)例1.10利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),作正態(tài)QQ圖，并從直觀上鑒別樣本數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)分布總體；作QQ圖的基本語句PROCCAPABILITYoptions;QQPLOTvariable/options;(2)QQPLOTvariable/options,關于變量variable作出QQ圖，其中選項為NORMAL/LOGNORMAL/EXPONENTIAL/GAMMA/WEIBULL/BETA之一。140例1.10利用課本P5例1.2的數(shù)據(jù),作正態(tài)QQ圖，并從QQ圖141QQ圖44§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖從QQ圖觀察樣本偏度和峰度142§1.2.1直方圖、經(jīng)驗分布函數(shù)與QQ圖從QQ圖觀察樣本偏§1.2.2莖葉圖解：第一個數(shù)25的十位數(shù)字為2，個位數(shù)字為5，中間用“|”分開，即25--->2|5每個數(shù)都這樣處理。莖葉圖的制作步驟：將十位數(shù)字2,3,4,5,6,7,8,9,10按縱列從上到下排列，在縱列右側從上到下畫一豎線，再在豎線右側由小到大依次寫上具有相同十位數(shù)的原數(shù)據(jù)的相應個位數(shù)，在最后一列寫出位于同一行的數(shù)據(jù)的頻數(shù)。例1.11某班有31名學生，某門課程的考試成績見課本P16例1.11,作出莖葉圖。143§1.2.2莖葉圖解：第一個數(shù)25的十位數(shù)字為2，個位數(shù)字§1.2.2莖葉圖莖葉圖中，豎線左邊作為數(shù)據(jù)前導數(shù)位的串視為“莖”，每一行豎線右側尾隨的數(shù)字視為“葉”。頻數(shù)25134515045361483725589581344456667999139011241001144§1.2.2莖葉圖莖葉圖中，豎線左邊作為數(shù)據(jù)前§1.2.2莖葉圖總結：（1）莖葉圖與直方圖均可以直觀的反映數(shù)據(jù)的分布情況，在莖葉圖中，可以看出數(shù)據(jù)是否接近對稱、分散性如何、是否有異常數(shù)據(jù)、是否有間隙等；（2）利用莖葉圖可以看出由原始數(shù)據(jù)得到的次序統(tǒng)計量。145§1.2.2莖葉圖總結：（1）莖葉圖與直方圖均可以直觀§1.2.2莖葉圖例1.12鉛壓鑄件硬度數(shù)據(jù)見課本P16例1.12,作出數(shù)據(jù)的莖葉圖。PROCUNIVARIATEoptions;其中選項為146§1.2.2莖葉圖例1.12鉛壓鑄件硬度數(shù)據(jù)見課本P16§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗檢驗統(tǒng)計量為例1.13設x1,x2,…,xn是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)樣本，假設檢驗：在H0成立時，t服從自由度為n-1的t分布t(n-1).正態(tài)性檢驗147§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗檢驗統(tǒng)計量為例1.13§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗對給定的顯著水平α，設tα/2(n-1)是t(n-1)的上側α/2分位數(shù)，則當|t|>tα/2(n-1)時，拒絕H0；否則，接受H0。148§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗對給定的顯著水§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗tα/2(n-1)滿足P{|t|>tα/2(n-1)}=α對于具體計算得到的t值t0，若|t0|>tα/2(n-1)，拒絕H0；否則接受H0。對大量重復試驗，t是隨機變量，且服從t(n-1).當|t0|>tα/2(n-1)時，有P{|t|≥|t0|}<P{|t|>tα/2(n-1)}=α令p=P{|t|≥|t0|}

稱為上述檢驗問題的p值。149§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗tα/2(n-1)滿足§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗注意到：“|t0|>tα/2(n-1)”與“p<α”等價假設檢驗的P值方法對給定的顯著水平α，當p<α時，拒絕H0；否則接受H0。P值方法的優(yōu)點：避免了查檢驗統(tǒng)計量的臨界值表，由“p<α”或“p≥α”即可得到檢驗問題的結論。150§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗注意到：“|t0|>§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗χ2統(tǒng)計量1.

χ2檢驗法其中n為樣本容量，l是分組數(shù)，Oi=mi，Ei=npi為樣本落入第i組的頻數(shù)與樣本在第i組的理論頻數(shù)，pi是數(shù)據(jù)落入第i組的概率，其值可根據(jù)原假設指定的分布求得。分布擬合檢驗原理基于對數(shù)據(jù)按其取值范圍進行分組后計算頻數(shù)的基礎上，考察每個區(qū)間的實際頻數(shù){mi}與理論頻數(shù){npi}的差異作出判斷151§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗χ2統(tǒng)計量1.χ2檢設pi是原假設H0為真時，服從F0(x)的隨機變量取值于第i個區(qū)間(ai-1,ai]的概率，即1.

χ2檢驗法假設檢驗問題為將實軸分為l個區(qū)間，分點滿足得l個區(qū)間152設pi是原假設H0為真時，服從F0(x)的隨機變量取值于第i設k是F0(x)中待估計參數(shù)的個數(shù)，例如，原假設是正態(tài)分布，其中均值μ與方差σ2待估計，此時k=2.1.

χ2檢驗法從而得到檢驗統(tǒng)計量χ2153設k是F0(x)中待估計參數(shù)的個數(shù)，1.χ2檢驗法統(tǒng)計學研究表明：當樣本容量n充分大且原假設H0為真時，χ2統(tǒng)計量近似服從自由度為l-k-1的χ2分布，即χ2～χ2（l-k-1)

1.

χ2檢驗法給定顯著水平α，設由樣本觀測值計算得到的χ2值是，令則當p<α時，拒絕H0；否則接受H0。一般來說，若H0為真，χ2值較小，否則有偏大的趨勢154統(tǒng)計學研究表明：當樣本容量n充分大且原假設H0為真時，χ2§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗2.

經(jīng)驗分布擬合檢驗方法檢驗分布函數(shù)Fn(x)是總體分布函數(shù)F(x)的估計。假設檢驗問題為目的尋找Fn(x)與假設的總體分布函數(shù)F0(x)之間的差異155§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗2.經(jīng)驗分布擬合檢驗2.

經(jīng)驗分布擬合檢驗常用統(tǒng)計量KolmogorovD統(tǒng)計量A-D統(tǒng)計量C-vonM統(tǒng)計量一般來說，若H0為真，上述統(tǒng)計量值均較小，否則有偏大的趨勢1562.經(jīng)驗分布擬合檢驗常用統(tǒng)計量KolmogorovD統(tǒng)計2.

經(jīng)驗分布擬合檢驗P值方法設由樣本觀測x1,x2,…,xn求得的KolmogorovD統(tǒng)計量、A-D統(tǒng)計量、C-vonM統(tǒng)計量的值分別是.令則對給定顯著水平α，（1）K-S檢驗：當p1<α時，拒絕H0；否則接受H0。（2）A-D檢驗：當p2<α時，拒絕H0；否則接受H0。（3）C-M檢驗：當p3<α時，拒絕H0；否則接受H0。1572.經(jīng)驗分布擬合檢驗P值方法設由樣本觀測x1,x2,…§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗3.

正態(tài)性W檢驗方法設樣本觀測值為x1,x2,…,xn,其次序統(tǒng)計量是x(1),x(2),…,x(n).計算校正平方和又計算一般的當n是偶數(shù)時,1≤i≤k=n/2;當n是奇數(shù)時,1≤i≤k=n-1/2158§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗3.正態(tài)性W檢驗方法3.

正態(tài)性W檢驗方法將di與系數(shù)ai（有表可查）相乘并求和，得計算注意W統(tǒng)計量總滿足0<W≤1.當H0成立時，W值接近1，否則趨近0。給定顯著水平α，設由樣本觀測值計算得到的W值是，令則當p<α時，拒絕H0；否則接受H0。1593.正態(tài)性W檢驗方法將di與系數(shù)ai（有表可查）相乘§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗4.

SAS實現(xiàn)（1）正態(tài)性W檢驗方法procunivariate（2）χ2檢驗法proccapability（3）經(jīng)驗分布擬合檢驗proccapability160§1.2.3正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗4.SAS實現(xiàn)（1）例1.14對P5例1.2的數(shù)據(jù)作:（1）正態(tài)性W檢驗；（2）關于正態(tài)分布假設的χ2檢驗；（3）關于正態(tài)分布假設的幾種經(jīng)驗分布擬合檢驗。161例1.14對P5例1.2的數(shù)據(jù)作:64例1.15對P16例1.11的數(shù)據(jù)作:（1）正態(tài)性W檢驗；（2）若不接受總體為正態(tài)分布，選取一種合適的分布類型，作經(jīng)驗分布擬合檢驗。162例1.15對P16例1.11的數(shù)據(jù)作:65§1.3多維數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與相關分析多元總體：§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)設(X,Y)T是二元總體，樣本觀測值為(x1,y1)T,(x2,y2)T,…,(xn,yn)T，引進數(shù)據(jù)觀測矩陣163§1.3多維數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與相關分析多元總體：§1.3.1§1.3.1二元數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及相關系數(shù)記記則，稱為二元觀測數(shù)據(jù)的均值向量。稱