二維傅里葉變換課件

1傅里葉變換的存在條件要保證函數(shù)存在二維傅里葉變換對(duì)，函數(shù)就應(yīng)該滿足狄里赫利條件和絕對(duì)可積條件，這個(gè)條件是從純數(shù)學(xué)的角度來考慮的，是數(shù)學(xué)理論研究的范疇，信息光學(xué)來說，應(yīng)該從應(yīng)用的觀點(diǎn)來考慮：在應(yīng)用傅里葉變換的各個(gè)領(lǐng)域的大量事實(shí)表明，作為時(shí)間或空間函數(shù)而實(shí)際存在的物理量，總具備保證其傅里葉變換存在的基本條件。從應(yīng)用的角度看，可以認(rèn)為，傅里葉變換實(shí)際上總是存在的。在應(yīng)用問題中，也會(huì)遇到一些理想化的函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)、階躍函數(shù)等光學(xué)領(lǐng)域中常用的函數(shù)，但是他們不滿足保證其傅里葉變換存在的充分條件；同時(shí)他們?cè)谖锢砩弦膊荒軌驀?yán)格實(shí)現(xiàn)，對(duì)這類數(shù)學(xué)難以討論其經(jīng)典意義下的傅里葉變換。但是可以借助函數(shù)序列極限概念得到這類函數(shù)的廣義傅里葉變換。物理上所用到的函數(shù)總存在FT1傅里葉變換的存在條件要保證函數(shù)存在二維傅里葉變換對(duì)，函數(shù)就2可分離變量的傅立葉變換如果一個(gè)二維函數(shù)可以分離，那么他的傅立葉變換可以表示成兩個(gè)一維傅立葉變換的乘積：如果那么2可分離變量的傅立葉變換如果一個(gè)二維函數(shù)可以分離，那么他的傅33.極坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅立葉變換空域頻域具有圓對(duì)稱的函數(shù)在極坐標(biāo)下描述起來更加方便r33.極坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅立葉變換具有圓對(duì)稱的函數(shù)在極坐標(biāo)44556極坐標(biāo)系下的Fouriertransformation6極坐標(biāo)系下的Fouriertransformation本節(jié)給出一些重要的FT性質(zhì)，間或加以推導(dǎo)利用這些性質(zhì)，只要知道不多的幾個(gè)函數(shù)的FT，就很容易求出其他函數(shù)的FT，起到化難為簡的作用這些性質(zhì)和定理在線性系統(tǒng)分析，信號(hào)處理，圖像處理等領(lǐng)域經(jīng)常使用。71.5FT的基本性質(zhì)和有關(guān)定理本節(jié)給出一些重要的FT性質(zhì)，間或加以推導(dǎo)71.5FT的基81.5.1FT的基本性質(zhì)線性性質(zhì)設(shè)有a.和的FT等于FT的和————疊加性b.幅值按同樣的比例縮放————均勻性c.同時(shí)具有疊加性和均勻性————線性性質(zhì)性a,b為常數(shù)81.5.1FT的基本性質(zhì)線性性質(zhì)a,b為常數(shù)9對(duì)稱性若則證明：9對(duì)稱性10對(duì)稱性的一些其他情形若f(x,y)為偶函數(shù)，則F(u,v)也是偶函數(shù)，即:若f(-x,-y)=f(x,y),則F(-u,-v)=F(u,v)。若f(x,y)為奇函數(shù)，則F(u,v)也是奇函數(shù)，即：若f(-x,-y)=-f(x,y),則F(-u,-v)=-F(u,v)。10對(duì)稱性的一些其他情形11迭次FT

以連續(xù)兩次FT為例，二元函數(shù)f(x,y)的連續(xù)兩次FT變換，得到原函數(shù)的倒立像，即：11迭次FT124、FT的坐標(biāo)縮放性質(zhì)若a,b為不等于零的實(shí)常數(shù)，若F(u,v)=F{f(x,y)},則有：證明：略光學(xué)上，空域中空間坐標(biāo)的放大或縮小，導(dǎo)致空間頻域中的空間頻譜坐標(biāo)縮小或放大。如：孔徑夫瑯和費(fèi)衍射。124、FT的坐標(biāo)縮放性質(zhì)13、FT的平移性若F{f(x,y)}=F(u,v),且x0,y0為常數(shù)，則有證明：空域中的平移造成頻域中頻譜的相移。光場復(fù)振幅不具有平移不變性。但強(qiáng)度具有平移不變性。13、FT的平移性14FT的體積對(duì)應(yīng)關(guān)系假設(shè)，F(xiàn){f(x,y)}=F(u,v)，則有14FT的體積對(duì)應(yīng)關(guān)系卷積定理(ConvolutionTheorem)相關(guān)定理(CorrelationTheorem)151.5.2FT的基本定理卷積定理(ConvolutionTheorem)151.516卷積定理(convolutiontheorem)設(shè)F{f(x,y)}=F(u,v),F{g(x,y)}=G(u,v)，則有即兩個(gè)函數(shù)卷積的FT等于它們的FT之積。兩個(gè)函數(shù)乘積的FT等于它們的FT的卷積。若f(x,y)和g(x,y)表示兩幅圖像,卷積定理即表示:兩圖像卷積的頻譜等于兩圖像頻譜之積；兩圖像乘積的頻譜等于兩圖像頻譜之卷積。16卷積定理(convolutiontheorem)17證明：同樣可證：17證明：同樣可證：18卷積定理在FT理論及應(yīng)用中非常重要：對(duì)于一個(gè)復(fù)雜函數(shù)，其FT難求，若它可表示成幾個(gè)簡單函數(shù)的卷積，而這些簡單函數(shù)的FT易求，則可用卷積定理。如：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)或圖像的卷積難求時(shí)，可先求得各自的FT，乘積后，再求IFT，即可得兩者之卷積。18卷積定理在FT理論及應(yīng)用中非常重要：對(duì)于一個(gè)復(fù)雜函數(shù)，其19傅里葉變換的存在條件要保證函數(shù)存在二維傅里葉變換對(duì)，函數(shù)就應(yīng)該滿足狄里赫利條件和絕對(duì)可積條件，這個(gè)條件是從純數(shù)學(xué)的角度來考慮的，是數(shù)學(xué)理論研究的范疇，信息光學(xué)來說，應(yīng)該從應(yīng)用的觀點(diǎn)來考慮：在應(yīng)用傅里葉變換的各個(gè)領(lǐng)域的大量事實(shí)表明，作為時(shí)間或空間函數(shù)而實(shí)際存在的物理量，總具備保證其傅里葉變換存在的基本條件。從應(yīng)用的角度看，可以認(rèn)為，傅里葉變換實(shí)際上總是存在的。在應(yīng)用問題中，也會(huì)遇到一些理想化的函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)、階躍函數(shù)等光學(xué)領(lǐng)域中常用的函數(shù)，但是他們不滿足保證其傅里葉變換存在的充分條件；同時(shí)他們?cè)谖锢砩弦膊荒軌驀?yán)格實(shí)現(xiàn)，對(duì)這類數(shù)學(xué)難以討論其經(jīng)典意義下的傅里葉變換。但是可以借助函數(shù)序列極限概念得到這類函數(shù)的廣義傅里葉變換。物理上所用到的函數(shù)總存在FT1傅里葉變換的存在條件要保證函數(shù)存在二維傅里葉變換對(duì)，函數(shù)就20可分離變量的傅立葉變換如果一個(gè)二維函數(shù)可以分離，那么他的傅立葉變換可以表示成兩個(gè)一維傅立葉變換的乘積：如果那么2可分離變量的傅立葉變換如果一個(gè)二維函數(shù)可以分離，那么他的傅213.極坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅立葉變換空域頻域具有圓對(duì)稱的函數(shù)在極坐標(biāo)下描述起來更加方便r33.極坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅立葉變換具有圓對(duì)稱的函數(shù)在極坐標(biāo)22423524極坐標(biāo)系下的Fouriertransformation6極坐標(biāo)系下的Fouriertransformation本節(jié)給出一些重要的FT性質(zhì)，間或加以推導(dǎo)利用這些性質(zhì)，只要知道不多的幾個(gè)函數(shù)的FT，就很容易求出其他函數(shù)的FT，起到化難為簡的作用這些性質(zhì)和定理在線性系統(tǒng)分析，信號(hào)處理，圖像處理等領(lǐng)域經(jīng)常使用。251.5FT的基本性質(zhì)和有關(guān)定理本節(jié)給出一些重要的FT性質(zhì)，間或加以推導(dǎo)71.5FT的基261.5.1FT的基本性質(zhì)線性性質(zhì)設(shè)有a.和的FT等于FT的和————疊加性b.幅值按同樣的比例縮放————均勻性c.同時(shí)具有疊加性和均勻性————線性性質(zhì)性a,b為常數(shù)81.5.1FT的基本性質(zhì)線性性質(zhì)a,b為常數(shù)27對(duì)稱性若則證明：9對(duì)稱性28對(duì)稱性的一些其他情形若f(x,y)為偶函數(shù)，則F(u,v)也是偶函數(shù)，即:若f(-x,-y)=f(x,y),則F(-u,-v)=F(u,v)。若f(x,y)為奇函數(shù)，則F(u,v)也是奇函數(shù)，即：若f(-x,-y)=-f(x,y),則F(-u,-v)=-F(u,v)。10對(duì)稱性的一些其他情形29迭次FT

以連續(xù)兩次FT為例，二元函數(shù)f(x,y)的連續(xù)兩次FT變換，得到原函數(shù)的倒立像，即：11迭次FT304、FT的坐標(biāo)縮放性質(zhì)若a,b為不等于零的實(shí)常數(shù)，若F(u,v)=F{f(x,y)},則有：證明：略光學(xué)上，空域中空間坐標(biāo)的放大或縮小，導(dǎo)致空間頻域中的空間頻譜坐標(biāo)縮小或放大。如：孔徑夫瑯和費(fèi)衍射。124、FT的坐標(biāo)縮放性質(zhì)31、FT的平移性若F{f(x,y)}=F(u,v),且x0,y0為常數(shù)，則有證明：空域中的平移造成頻域中頻譜的相移。光場復(fù)振幅不具有平移不變性。但強(qiáng)度具有平移不變性。13、FT的平移性32FT的體積對(duì)應(yīng)關(guān)系假設(shè)，F(xiàn){f(x,y)}=F(u,v)，則有14FT的體積對(duì)應(yīng)關(guān)系卷積定理(ConvolutionTheorem)相關(guān)定理(CorrelationTheorem)331.5.2FT的基本定理卷積定理(ConvolutionTheorem)151.534卷積定理(convolutiontheorem)設(shè)F{f(x,y)}=F(u,v),F{g(x,y)}=G(u,v)，則有即兩個(gè)函數(shù)卷積的FT等于它們的FT之積。兩個(gè)函數(shù)乘積的FT等于它們的FT的卷積。若f(x,y)和g(x,y)表示兩幅圖像,卷積定理即表示:兩圖像卷積的頻譜等于兩圖像頻譜之積；兩圖像乘積的頻譜等于兩圖像頻譜之卷積。